黎曼积分
黎曼函数在[01]的积分
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黎曼函数在[01]的积分黎曼函数是由欧洲数学家黎曼(Riemann)首次提出的，作为一种特殊的数学函数形式，具有许多独特的性质和应用。
在这篇文章中，我们将讨论黎曼函数在区间[0,1]上的积分。
黎曼函数是定义在实数轴上的一类特殊函数，标志性的特征是在有理点处取值为1，而在无理点处取值为0。
更形式化地说，黎曼函数可以用以下方式定义：f(x) = 1, if x is rationalf(x) = 0, if x is irrational在[0,1]上，我们可以将积分表示为一个定积分的形式：∫[0,1] f(x) dx首先，我们来考虑积分区间[0,1]上有理数的情况。
由于黎曼函数在有理点处取值为1，根据定积分的定义，我们知道函数在有理点上的积分值为1、考虑到有理数是可数无穷的，我们可以将这些有理点表示为一个数列{rr_n}，其中r_n表示第n个有理数。
因此，我们可以将黎曼函数在有理点上的积分表示为以下形式的级数：∑[n=1 to ∞] f(r_n) * Δx_n其中f(r_n)代表黎曼函数在第n个有理数点上的取值，Δx_n代表一个子区间的长度。
在这种情况下，由于黎曼函数在有理点处取值为1，所以每个子区间的长度Δx_n都等于1、因此，上述级数可以简化为：∑[n=1 to ∞] 1 * 1即求和无穷等于正无穷。
这意味着黎曼函数在有理点上的积分值无穷大。
现在，我们来考虑积分区间[0,1]上无理数的情况。
根据黎曼函数的定义，函数在无理点上取值为0，因此在无理点上的积分值为0。
类似于有理数的情况，我们可以通过数列{ir_n}，其中i_r_n表示第n个无理数，来表示黎曼函数在无理点上的积分。
同样，我们将黎曼函数在无理点上的积分表示为以下形式的级数：∑[n=1 to ∞] f(i_r_n) * Δx_n和有理数的情况类似，每个子区间的长度Δx_n也等于1、根据黎曼函数的定义，函数在无理点处取值为0，因此该级数简化为：∑[n=1 to ∞] 0 * 1即求和为0，这意味着黎曼函数在无理点上的积分值为0。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。
它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。
首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。
而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。
从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。
此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。
但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。
几何体ω上黎曼积分的统一定义与性质
几何体ω上黎曼积分的统一定义与性质
统一定义：黎曼积分是指将几何体ω上的某一函数f的微分形式化为一个更为简单的积分形式，其中f是ω上的实值函数，ω是一个n维实数空间中的实值几何体。
性质：
1.黎曼积分的值只与几何体ω的边界有关，与函数f在ω内的具体形式无关；
2.黎曼积分的值只与ω的边界曲线的方向有关，与ω的边界曲线的具体形状无关；
3.黎曼积分的值只与ω的边界曲线的长度有关，与ω的体积无关；
4.黎曼积分的值只与ω的边界曲线的面积有关，与ω的体积无关；
5.黎曼积分的值与ω的边界曲线的曲率有关，但受ω的体积影响较小。
15_黎曼积分的概念汇总
n
m
lim
0
i 1
(i ,i )si
L
( x,
y)d s
继续进行推广
非均匀分布时平面薄板质量问题
................
. .. .
D , (x, y)
Di (i 1, 2, , n)
i , (i ,i ) Di
i m (i ,i ) i
max{
1in
i
}
均匀分布时： 质量=密度×面积
i 1
(i )xi
I
(x) d x
非均匀分布时“曲线段”质量问
题
.............................. i m(i)xi
i m (i ,i )si
？ 均匀分布时(：i ,i )
B
质量=密度×弧长
AA....平...面...曲....线i...............B
nn
m
质量密度面积继续进行推广在直角坐标系中用平行于坐标轴的坐标网格进行分割非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板d上非均匀地分布着质量布密度为将区域d任意分割成n个小块每小块的面积记为求和并取极限便得薄板d的质量为非均匀分布时曲面质量问题继续进行推广非均匀分布时立体质量问题均匀分布时
第十章分割重-积近分似及-求第和一-取型极曲限 线曲面积分
m
I
f (X ) d lim 0
i1
f (i )i
此时称函数在 上是黎曼可积的，记为
f (X ) R()
其中， —— 积分号； f ( X ) ——被积函数；
—— 积分区域；d —— 积分元素。
非均匀分布时“直线段”质量问题
I
f (X)d
黎曼积分概念与性质精品PPT课件
【分割】把D任意划分为n个子域 （i 也表
示面积）i1,2, n, x M i
【近似】Mi i,
i
m i f(M i)i
【求和】
D
y
n
n
o
m mi f(Mi)i
i1
i1
的直径
i
为其上任
【取极限】 n
m a x i的 直 径 意两
点
间
距
mlim 0 i1
f(Mi)i
离的最大者 .
21.10.2020
n
b a
ff(Mx)ddx ＝lim 0
i1
f
i
xi
21.10.2020
华北科技学院基础部
12
《数学分析》(2) Ch19 黎曼积分的概念和性质
（2）当Ω为平面有界闭区域（常记为D）时，
f(M ) f(x ,y )(x ,,y ) D ,称为二重积分 n
D
ff((xM, y)d)d
i1
i1
【取极限】 mnax{ i的直}径
mlim 0 i1
f(Mi)
i
21.10.2020
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《数学分析》(2) Ch19 黎曼积分的概念和性质
2. 黎曼积分的概念
定义 设Ω表示一个有界的可度量几何形体，
函数 f(M)在上有.将 界 任意划分 n个为
小 部 i, i 1 分 ,2 , ,n .i也表示其度量 .
f( M ) f( x ,y ， z )( x ,,y ,z ) S ,
称为第一类（对面积的）曲面积分
n
为函数 f 在上的黎曼.积记分 作
n
f(M)dl i0m i1f(M i) i
《黎曼积分概念》课件
函数的可积性
详细讲解函数积分的概念及其 必要性，为函数的可积性提供 了更深层次的理解。
积分的有界性
分析黎曼积分的有界性质，强 化它的基础概念。同时，探讨 有界性质与实际应用的关系。
黎曼积分的计算方法
定积分计算
介绍如何通过定积分计算黎曼积分。
积分计算技巧
介绍一些计算黎曼积分的技巧，例如代数操 作、部分积分法等。
《黎曼积分概念》PPT课 件
欢迎大家来到本次有关黎曼积分的PPT课件。黎曼积分是微积分学中基本的概 念之一，涉及到很多实际的应用。让我们一起来深入了解吧！
黎曼积分的定义
1 基本概念
了解黎曼积分的定义及其作用，从直观上理解积分的本质。
2 积分区间
掌握黎曼积分的积分区间概念，为正确的数学计算打下基础。
微积分基础
提醒大家注意微积分的基础规律，逐步计算 黎曼积分。
计算练习
通过一些练习，让大家熟悉黎曼积分的计算 方法。
黎曼积分的应用
1
物理应用
介绍黎曼积分在物理学中的应用，例如计算物体的质心、计算流体的体积等。
2
经济学应用
介绍黎曼积分在经济学中的应用，例如计算价格总和、计算花费总数等。
3
工程学应用
介绍黎曼积分在工程学中的应用，例如计算材料用量、计算工程成本等。
3 乘积分割
理解黎曼积分的一些基本的操作方法，比如乘积分割。
黎曼积分与近似方法
微积分学应用
探讨黎曼积分及其它微积分学中常见的近似方 法，了解它们的局限性及应用。
问题思考
通过一个实际问题引导思考近似法与黎曼积分 的关系，举一反三，打破常规思维。
黎曼积分的性质
Hale Waihona Puke 积分区间的可加性探讨黎曼积分的线性性质及可 加性，为实际问题的求解提供 帮助。
二重积分黎曼积分写法
二重积分黎曼积分写法
二重积分的黎曼积分写法如下：
设函数f(x, y) 在一个有界闭区域 D 上定义，其中 D 的边界可以用有限条平行于坐标轴的直线段表示。
我们将 D 的边界记为∂D。
黎曼积分的定义是将 D 分割成若干个小区域，然后在每个小区域上取一点(ξi, ηi)，其中(ξi, ηi) 属于该小区域，并计算函数在该点的值乘以该小区域的面积ΔA，最后对所有小区域的贡献进行求和。
数学上可以用如下的形式表示二重积分的黎曼积分：
∬D f(x, y) dA = lim(Δx,Δy→0) Σ[f(ξi, ηi) ΔA]
其中，Δx 和Δy 分别表示x 轴和y 轴上的分割数，ξi 和ηi 分别表示每个小区域内的任意一点，ΔA 表示小区域的面积。
需要注意的是，这里的极限表示当分割数无限增大、小区域的面积无限趋近于零时的情况。
黎曼积分是对一个有界闭区域上的函数进行积分的一种定义方式，可以用于计算函数在该区域上的平均值、总量等相关性质。
黎曼可积的必要条件
黎曼可积的必要条件在数学中，黎曼积分是一种广泛应用的积分方法。
然而，黎曼积分的使用必须满足一定的条件，否则积分的结果可能是不正确的。
本文将讨论黎曼可积的必要条件，以便更好地理解黎曼积分的应用。
1. 黎曼积分的定义首先，我们需要了解黎曼积分的定义。
黎曼积分是将一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上分成若干个小区间，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间的长度，最后将这些结果相加得到的一个数值。
具体来说，设$P={x_0,x_1,cdots,x_n}$是$[a,b]$的一个分割，其中$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，则$f(x)$在$P$上的黎曼和为：$$S(P,f)=sum_{i=1}^n f(xi_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$xi_iin[x_{i-1},x_i]$是$[x_{i-1},x_i]$上的任意一点。
如果当分割$P$的任意一种方式下，当其对应的黎曼和$S(P,f)$的极限存在，且与分割方式无关，则称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，其黎曼积分值为：$$int_a^b f(x)dx=lim_{|Delta|rightarrow 0}S(P,f)$$ 其中$|Delta|$表示分割$P$的最大长度。
2. 黎曼可积的必要条件了解了黎曼积分的定义后，我们来讨论黎曼可积的必要条件。
根据黎曼积分的定义，我们可以发现，当分割的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，黎曼和趋近于黎曼积分值。
因此，要使$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，必须满足以下两个条件：（1）有限性：$f(x)$在$[a,b]$上有限。
这个条件比较显然，因为如果$f(x)$在$[a,b]$上无限大，则无法将其分割成若干个小区间进行计算。
例如，$int_0^1frac{1}{x}dx$就是一个不满足有限性的积分，因为在$x=0$处$f(x)$无限大。
（2）有界性：$f(x)$在$[a,b]$上有界。
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[ f ( X ) g ( X )] d 0 ,
则
f ( X ) g( X ) , X 。
选讲：R n (n 3) 中 黎曼积分
正确理解黎曼积分的概念和性质。 正确理解二、三重积分的概念。
正确理解对弧长的曲线积分的概念。
正确理解对面积的曲面积分的概念。
的黎曼积分： R (n 3) 中
n
R (n 3) 空间中与
n
分割-近似-求和-取极限 有关的一类数学模型
非均匀分布时“直线段”质量问题
d S | |
二重积分：相当于以 D 为底，高为1 的 平顶柱体体积 V= | D |。
性质2
(线性性质) 则 若 f ( X ) , g ( X ) R() , 、 为实数，
f ( X ) G( X ) R() ,
且
f ( X ) g ( X ) d
f ( X ) d g( X ) d
该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形
性质3
(对积分区域的可加性)
设 f ( X ) R() , 将 任意分成可度量的两个部分：
1 2 , 1与 2 除边界外无其它公共部分，则
f ( X ) R(1 ) ,
1i m
i i (i 1, 2 , , m) , 作和式 f ( i )i ,
i 1
m
称此和式为函数 f ( X ) 在 上的黎曼和。
若极限 I lim
0
f ( )
i i 1
m
i
存在, 且与对
的分割方式及点 i 的选择方式无关, 则称此极限
Q
具有任意性
n
(函数在某点的值)×(小几何体的度量值)
i 1
形式相同的极限： I lim Q
0
max {分割后小几何体的度量值}
黎曼积分的定义:
设 为空间 R n (n 3) 中可度量的几何形体, f ( X ) 是定义在 上的有界函数, 将 任意分割 为 m 个可度量的小几何形体 i (i 1, 2 , , m) , 它 们的度量值记为 i 。记 max {i } 。
为封 闭曲线
对弧长的曲线积分
R
3
非均匀分布时“曲面”质量问题
I f ( X ) d f ( x, y, z ) d S
I f ( X ) d f ( x, y, z ) d S
对面积的曲面积分
R
3
∑为 封闭 曲面
以上讨论的共同点： 看成均匀变化时，所求量可表示为两个量的乘积. 对自变量的取值范围作任意分割. 所求量对区域具有可加性. 形式相同的和式：
| 其中， | 为区域 的度量值。
例
定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
b
dx ba
|D|
a
(区间[a, b]的长度)
(平面区域 D 的面积) (R3 中立体 的体积)
d
D
d v | |
ds | L|
L
(平面曲线 L 的弧长)
(曲面∑的面积)
设 f ( X ) C () 。若 , 有
f (X )d 0
则
f (X ) 0 , X 。
/ 运用反证法：设 f ( X ) 0 , 则至少有一点 X0， 使 f ( X 0 ) 0 ( 0) , 由推论1 便可得出矛盾。
性质6的推论3
设 f ( X ) , g ( X ) C () 。若 , 有
什么样的函数可积(黎曼可积)
根据黎曼积分的定义可以得出：
若 f ( X ) C ( ) , 则 f ( X ) R ( ) 。 若 f ( X ) 在 内有界, 且在除去 中
有限个低于 所在空间维数的几何形 体外连续, 则 f ( X ) R ( ) 。
黎曼积分的性质
如果 f ( ) 0 , 会有什么结果出现？
f (X )d
f ( ) | | 0
性质5的推论1
若 f ( X ) C () , 是有界闭区域，且有
f (X ) 0 , X , 但 f (X ) 0 , 则 /
பைடு நூலகம்
f (X )d 0.
性质6的推论2
I f (X )d
b
f ( x) d x
a
定积分 [a, b] R
非均匀分布时平面薄板质量问题
I f ( X ) d f ( x, y ) d
D
I f (X )d
f ( x, y) d x d y
D
直 角 坐 标 系
f ( x, y ) d s
L
I f ( X ) d f ( x, y ) d s
L
L 为封 闭曲线
对弧长的曲线积分
L LR
2
空间曲线
非均匀分布时“曲线段”质量问题
I f ( X ) d f ( x, y, z ) d s
I f ( X ) d f ( x, y, z ) d s
性质4的推论 2
| f (X ) d | | f (X ) | d
性质5
(积分中值定理)
若 f ( X ) C () , 是有界闭区域，则至少存在一点
, 使得
现在看这里
f ( ) d f ( ) | |
f (X )d
f ( X ) R(2 ) ,
且
f (X )d f (X )d f (X )d
1 2
可以将性质3中的 任意分成有限个相互
间只有公共边界的部分：
1 2 n
f (X ) d f (X ) d f (X ) d
值 I 为函数 f ( X ) 在 上的黎曼积分, 记为
I f ( X ) d lim
0
f ( )
i i 1
m
i
此时称函数在 上是黎曼可积的, 记为
f ( X ) R()
其中,
—— 积分号；
f ( X ) —— 被积函数；
—— 积分区域；
d —— 积分元素。
1 n
性质4
(保号性)
设 f ( X ) R ( ) , 若 f ( X ) 0 , X , 则
f (X )d 0.
性质4的推论 1
设 h ( X ) , g ( x ) R ( ) ,
若 h( X ) g ( X ) , X , 则
h( X ) d g ( X ) d
f 设 为 R3 中的可度量的几何形体， ( X ) R ( ) , 则
f ( X ) d lim f ( )
0 i i 1
n
i
这就是说，
黎曼积分应具有一些极限所具有的性质
性质1
若 f (X ) 1
X , 则
f ( X ) d | | ,
二重积分
D R
2
非均匀分布时“立体”质量问题
I f (X )d
f ( x, y, z) d v
I f (X )d
f ( x, y, z) d x d y d z
直角坐标系
三重积分
R
3
平面曲线
非均匀分布时“曲线段”质量问题
I f (X )d