几何画板_课件设计_三角函数图像的变换和应用[2] 2
5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)
5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。
三角函数的应用ppt课件
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数图像变换ppt
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
三角函数图像变换ppt
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
三角函数的应用 ppt课件
（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
探究二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟， 其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻 开始计时，请回答下列问题：
（1） 作出函数的图象； [答案] 函数的图象如图所示.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置 等物理概念的意义和表示方法.
5.7三角函数的应用
学习目标
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问
题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
要点梳理
1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中
周期现象 的一种数学
模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化 规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、预
测未来等方面发挥重要作用．
[激趣诱思] 江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大 名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称 为“瓯江蓬莱”. 江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅 满目.寺院大门两边有一著名的叠字联: “云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消 (念‘yúnzhāocháo,zhāozhāocháo,zhāocháozhāosàn;cháochángzhǎng, chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiāo’).”该对联巧妙地运用了叠字 诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
三角函数解三角形三角函数的图象与性质课件文ppt
对于任意角x，正弦函数sin(x)的值是角的对边与斜边的比，记为sin(x)=y/r，其中r是斜边长。
三角函数的正弦曲线ห้องสมุดไป่ตู้绘制
要点一
确定正弦函数的定义 域
正弦函数的定义域是所有实数，但在 绘制图像时通常只取一部分。
要点二
确定正弦函数的值域
正弦函数在[-π/2,π/2]区间内的值域 是[-1,1]，在其他区间类比得到。
$\tan x \in \mathbf{R}$。
三角函数的正切曲线的绘制
利用单位圆中的正切线进行绘制。 将正切线按照相同的比例映射到单位圆上。 通过旋转单位圆得到正切曲线。
三角函数的变化趋势
01
在区间$(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi), k \in \mathbf{Z}$上，$\tan x$单调递增。
04
解三角形的应用
解三角形的定义
定义1
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知角A、B、C和边a、 b、c中，至少有一个，则解三角形就是求角A、B、C和边a、b、c的数学过程。
定义2
解三角形也叫解直角三角形，是三角形中角和边关系的一种应用，包括解直角三 角形和斜三角形。
解三角形的方法
常见题型解析
三角函数的化简和求值
01
02
利用三角函数基本关系式进行化简和求值
利用三角函数图象求值域、最值等
03
04
解三角形问题的求解
利用正弦定理、余弦定理等求解三角形中的 边、角、高
05
06
利用解三角形的方法解决实际问题
THANKS
谢谢您的观看
解三角形的应用举例
应用1
三角函数的应用课件
解决物理问题中，三角函数的应用广泛且重要。
详细描述
在物理问题中，如振动、波动、电磁场等，经常需要用到三角函数来描述物理量的变化规律。例如，简谐振动的 位移、速度和加速度可以用正弦和余弦函数表示。
应用实例二：利用三角函数解决几何问题
总结词
在几何问题中，三角函数常用于角度、长度等的计算。
详细描述
在几何问题中，如三角形、圆、椭圆等，三角函数可以用于计算角度、长度等几何量。例如，在直角 三角形中，可以利用正切函数来计算对边长度。
应用实例三：利用三角函数解决金融问题
总结词
在金融领域，三角函数的应用相对较少 ，但仍然存在一些应用场景。
VS
详细描述
在金融领域，如股票价格、债券收益率等 时间序列数据的分析中，有时会用到三角 函数来描述其波动规律。此外，在保险精 算中，也可能会用到三角函数来计算赔率 等。
05
总结与展望
三角函数应用的重要性和意义
三角函数在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具 之一。
三角函数可以描述周期性变化的现象，例如振动、波动、交流电等，为解决这些问 题提供了数学模型和计算方法。
三角函数在几何学、解析几何和线性代数等领域也有着重要的应用，为解决复杂的 几何问题和线性方程组提供了有效的工具。
THANKS
感谢观看
在平面几何中，三角函数用于计算角度、边长和面积。在立体几何中，三角函数 用于描述三维空间中的角度和距离。
三角函数在金融领域的应用
总结词
金融领域中，三角函数常用于分析周 期性数据，如股票价格、利率等。
详细描述
在金融分析中，三角函数用于描述周 期性数据的波动和趋势。此外，三角 函数在复利计算、债券定价和期权定 价等方面也有应用。
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三角函数图像的变换和应用作者：于红伟指导教师：刘胜利首都师范大学数学系00级3班1000500092摘要The Geometer’s Sketchpad 是美国优秀的教育软件。
它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》，以下简称《几何画板》。
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在学习了《几何画板》之后，我利用有关知识制作了三大类数学课件。
本文讨论了用几何画板展示三角函数图像变换和应用的有关问题．主要包括：1.简单的三角函数变换2.自定义坐标系下的三角函数3.创新部分——三角函数在物理学中的应用（用动态效果演示）。
这三大类课件在教学上都有很重要的应用。
全文由三部分组成：第一部分:几何画板课件制作的选题原则。
第二部分：详细介绍了我所选择制作的课件及其详细制作过程。
第三部分：我学习及应用几何画板的体会。
关键词：几何画板、三角函数、图像、变换、旋转、反射、缩放、平移、标记、动画、追踪、轨迹、隐藏。
AbstractThe Geometer’s Sketchpad is an excellent America education software. It is well-known to be "geometry drawing-board ─ the development geometry of 21 century in china ", following abbreviation " geometry drawing-board ". " geometry drawing-board " applies to the teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry), partial physics and this platform not only can help teachers use the modern educational technology in their teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation and solving question, and progressing their ideation. As far as it goes, the platform represents the developing direction of the educative tool software.After learning the Geometer’s Sketchpad, three types of mathematic facilities using concerned knowledge are made. This paper discusses the problem of the diagram variance and the appliance of trigonometric function by Geome ter’s Sketchpad, mainly including: 1.simple diagram variance of trigonometric function.2.trigonometric function of self-defined coordinate system.3.created part----the application of trigonometric function in physics (demonstrating with trends). These three types of facilities have important application in mathematics.This paper is composed of three parts:In the first part, some fundamental about what kinds of problem we can make the courseware by the Geometer’s Sketchpad are described.In the second part, several of courseware, which I made particularly, and the course of making are introduced.In the last part, I relate the experience of study by using the Geometer’s Sketchpad are related.Keyword:The Geometer’s Sketchpad, trigonometric function，image, transform, reflect, zoom, translate, mark, animation, trail, track, hide.目录摘要 (1)abstract (2)第一部分几何画板的选题原则 (4)第二部分课件设计与制作 (4)一.简单的三角函数变换 (4)1.y=sin x的图像的形成 (4)2.由y=sin x转换成y=cos x (6)3.由y=sin x转换成y=sin(x+w) (6)4.由y=sin x转换成y=sin(2x) (6)5.例1由y=sin x转换成y=cos(x/3) (7)6.由y=sin x转换成y=2sin x (7)7.例2由y=sin x转换成y=2sin(x/2) (8)8.由y=sin x转换成y=asin(bx+w) (8)二. 在自定义坐标系的三角 (9)1．自定义坐标系下的y=sin x图像 (9)2．y=sin x的周期函数 (9)三. 创新部分——三角函数在物理学中的应用 (10)1．绳波的形成 (10)2．示波器 (12)第三部分学习几何画板的体会 (13)参考文献： (14)第一部分几何画板的选题原则心理学认为变动的事物，图形容易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的映像。
在教学中，使用常规工具（如纸，笔，圆规和直尺等）画图，有一定的局限性，并且所画的图形很容易掩盖极其重要的几何原理。
《几何画板》在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。
例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。
在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让《几何画板》大显身手。
当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，应用几何画板制作课件，应该注意课题的选择。
第一：几何画板可以很好的表现图形的任意性。
例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在黑板上只能画出几个三角形作代表，不能很好的说明任意三角形，利用几何画板就可以形象的演示任意三角形重心、内心、外心等重要点的位置了。
第二：几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。
例如：在讲解三角函数有关概念时，正弦和余弦函数图像的画法，就可以利用几何画板出，其中正弦函数y=A sin(ωx+φ)+d 的图像通过调整A，ω，φ，d的值不仅可以得到不同的精确图像，而且还能够将动态效果展示给学生。
这充分体现出了人机交互的功能。
我做的课件是关于三角函数图像的变换和应用。
我之所以选这个题目，是因为三角函数图像变换和应用是中学数学教学中的重点和难点，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图像分析，因此三角函数的研究已初步把几何与代数联系起来了。
在各个应用技术学科中都经常用到三角函数的图像和性质，因此这些内容既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学的基础，在传统的学校教学中，教师一般利用直尺、圆规在黑板上作图，这种传统的作图方式，点和线是孤立的、静止的，甚至是抽象的，这样难于记忆，难于理解，学生不明其究竟。
然而利用《几何画板》就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果，能够使三角函数图像的变换生动、鲜明地展现出来。
第二部分课件设计与制作一．简单的三角函数变换1．y=sin x的图像的形成.方法一：如图1.1所示。
逐个描点法。
利用描点发可以揭示三角函数的几何意义。
把单位圆上的点投影到X轴上。
图1.1打开一个新画板，执行<图表/自定义坐标系>；改原点为O，单位点为1。
执行<图表/隐藏网格〉；为了方便看正弦波，我们不妨取（-1，0）点为单位圆的圆心，(1)找（-1，0）并作单位圆。
选中Y轴再执行＜变换/标记镜面>（或双击Y轴）选中（1，0）再执行＜变换/反射＞即得到点（-1，0）。
选中（-1，0）和原点0执行＜构造/以圆心和圆周上的点绘圆＞得到单位圆。
(2)在圆上取点。
选中点（-1，0），再执行＜变换/标记中心＞（或双击点（-1，0））选中原点再执行＜变换/旋转/π/6弧＞画下滑线的部分顺次执行11次。
便在圆上得到11个不同的点。
分别选中这11个点与点（-1，0）作连线。
这些线段分别与x 轴正半轴的夹角为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6(3)在横坐标轴上找横坐标值为π/6,π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6的点，并选中这11个点和x轴执行＜构造/垂线＞(4)在圆上选取这11个不同的点和x轴执行＜构造/平行线＞。
(5)找交点。
即夹角为π/6和x轴所构成平行线与横坐标值为π/6和x轴所构成的垂线的交点。
同理π/3,π/2,2π/3,5π/6,π,7π/6,4π/3,3π/2,5π/3,11π/6。
共构成11个交点。
(6)顺次选中原点和这11个交点中的三点执行＜构造/过三点的弧＞这样可构造出六条首尾相接弧。
这六条弧所构成的曲线便为正弦曲线。
(7)最后隐藏所有没必要的对象。