八年级数学解二元一次方程
初二数学二元一次方程解法
初二数学二元一次方程解法•相关推荐初二数学二元一次方程解法在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？以下是小编收集整理的初二数学二元一次方程解法，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为x=根号下n+m.例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解：(3x+1)2=7(3x+1)2=53x+1=(注意不要丢解)x=原方程的解为x1=,x2=(2)解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=x=原方程的解为x1=,x2=2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac0时，x+=x=(这就是求根公式)例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方)解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=x=原方程的解为x1=,x2=.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-425=64-40=240x=[(-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)原方程的解为x1=,x2=.4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
初二数学必备知识点：二元一次方程
初二数学必备知识点：二元一次方程如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
下面是店铺收集整理的初二数学《二元一次方程》的必备知识点以供大家学习。
初二数学必备知识点：二元一次方程1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是O，这样的整式方程，叫做二元一次方程.二元一次方程指的是有两个未知数的，而且未知数的质数都是1的方程式。
由二元一次方程衍生出了二元一次方程组、二元一次方程的解等方面的知识，一般来说，解二元一次方程都需要把方程中的未知数的个数减少，然后再解，它的方程式是X-Y=1。
2.二元一次方程的一般形式ax+by=c(其中x、y少是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠O).3.判断一个方程是二元一次方程，它必须同时满足下列四个条件(l)含有两个未知数;(2)未知项的次数都是1;(3)未知项的系数都不是仇(4)等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程.二元一次方程解题技巧：每个人初学二元一次方程的时候，总是会觉得十分难解的，但是只要你掌握了解题技巧，自然而然就能解开。
首先要想解开一个二元一次方程，就应该是解开二元一次方程组，第一步做的就是把第一个和第二个方程组合并，然后把需要解开的项移到一旁，然后合并同类项，最后就可以将解得的一个未知数带入原先的方程中，就可以得知两个未知数的值。
通常求一个二元一次方程解的方法是:用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，如3x-x/2=7变形为y=2(3x-7)，给出二的一个值，就可以求出少的对应值，这样就得到了一个方程的解。
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.由于任何一个二元一次方程，让其中一个未知数取任意一个值，都可以求出与其对应的另一个未知数的值，因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.但若对未知数的取值附加某些条件限制时，方程的解可能只有有限个。
北师大版数学八年级上册5.2.1解二元一次方程组代入消元法教学设计
4.各小组展示解题成果，分享代入消元法的应用经验。其他小组认真倾听，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习，500字
1.教师出示几道不同难度的课堂练习题，要求学生在规定时间内独立完成。
2.学生认真审题，运用代入消元法解答习题，教师巡回检查学生的解题过程，及时发现问题并进行个别辅导。
5.合作交流，拓展思维
组织学生进行小组讨论，分享解题心得和技巧。通过合作交流，培养学生的团队意识和沟通能力，拓展学生的思维。
6.总结反馈，查漏补缺
在课堂尾声，教师带领学生总结本节课所学内容，强调重点和难点。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，帮助学生查漏补缺。
7.课后作业，巩固提高
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。作业难度要适中，既能巩固基础知识，又能提高学生的解题能力。
3.教师选取部分学生的答案进行展示，组织学生共同分析解题思路和答案的正确性。
4.针对学生在练习过程中出现的问题，教师进行总结，强调注意事项，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结代入消元法的概念、原理、操作步骤和应用技巧。
2.学生分享自己在学习代入消元法过程中的收获和感悟，提出疑问，教师及时解答。
3.讲解示范，突破难点
针对学生在探究过程中遇到的问题，教师进行讲解和示范，帮助学生掌握代入消元法的适用条件和计算方法。同时，强调注意事项，降低学生在解题过程中的错误率。
4.练习巩固，提高能力
设计不同难度的习题，让学生独立完成。在练习过程中，教师巡回指导，针对学生的问题进行个别辅导。通过练习，使学生熟练掌握代入消元法，提高解题能力。
2.作业难度分层，以满足不同层次学生的需求。
初二数学二元一次方程组
初二数学二元一次方程组二元一次方程组是指包含两个未知数的两个方程的方程组。
一元一次方程是指只包含一个未知数的一次方程，而二元一次方程就是指包含两个未知数的一次方程。
解决这类方程组的方法有多种，包括代入法、消元法、等价变形法等。
下面将详细介绍这几种解法。
首先介绍代入法。
假设有方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2可以选择其中一个方程求出x的表达式，然后将其代入另一个方程中，从而解得y的值，接着再将y的值代入第一个方程中求得x的值。
这就是代入法的基本思路。
例如，考虑方程组：2x + 3y = 74x + y = 6我们可以通过代入法求解此方程组。
首先，从第二个方程得到y 为： y = 6 - 4x，然后将y的表达式代入第一个方程，即：2x + 3(6 - 4x) = 7化简后得到：2x + 18 - 12x = 7继续化简得：-10x + 18 = 7再继续得到：-10x = -11最终解得x的值为：x = 11/10将x的值代回y的表达式，即可求得y的值。
代入法的优点是简单易懂，适合于一些简单的方程组。
但是当方程比较复杂时，可能会需要多次代入，计算量较大。
接下来介绍消元法。
消元法的思路是通过对方程组进行加减乘除运算，将其中一个未知数的系数变为0，然后再解得另一个未知数的值。
例如，考虑方程组：2x + 3y = 74x - y = 6我们可以通过消元法求解此方程组。
首先，将第二个方程两边乘以3，得到：12x - 3y = 18然后将第一个方程与变形后的第二个方程相加，得到：14x = 25解得x的值为：x = 25/14将x的值代入第一个方程，即可求得y的值。
消元法的优点是可以将方程组简化为只含有一个未知数的方程，计算量相对较小。
但是如果系数较大，可能会引入较大的误差。
最后介绍等价变形法。
等价变形法的思路是通过对方程组进行等价变形，使得其中一个方程变为只含有一个未知数的方程，然后再解得另一个未知数的值。
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》教案1
北师大版数学八年级上册2《求解二元一次方程组》教案1一. 教材分析《求解二元一次方程组》是人教版初中数学八年级上册的一章内容。
这一章主要让学生掌握二元一次方程组的解法，以及应用方程组解决实际问题。
此章节在数学知识体系中起着承前启后的作用，为后续学习更复杂的方程组和函数打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了方程和一元一次方程的解法，但对于二元一次方程组，他们可能还缺乏直观的认识和解决方法。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组，并通过实例让学生感受方程组的意义和应用。
三. 教学目标1.理解二元一次方程组的含义，掌握二元一次方程组的解法。
2.能够应用二元一次方程组解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的解法及应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组，以及解二元一次方程组的方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出问题，并探索解决问题的方法。
2.使用多媒体教学，通过动画和实例，帮助学生直观地理解二元一次方程组的概念和解法。
3.学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件和教学素材。
3.练习题和实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生提出二元一次方程组的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍二元一次方程组的概念，并通过多媒体展示实例，让学生直观地理解二元一次方程组的意义。
3.操练（10分钟）引导学生通过小组讨论，探索解二元一次方程组的方法。
教师在旁边给予指导，并引导学生总结解法。
4.巩固（10分钟）让学生独立解决一些简单的二元一次方程组问题，检验学生对解法的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何应用二元一次方程组解决实际问题，并让学生举例说明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强调二元一次方程组的概念和解法。
北师大数学八年级上册第五章二元一次方程组解法(一)--代入法(提高)
二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x 用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得732yx-=③将③代入②733382yy-⨯-=，解得13y=．将13y=代入③，得x＝3所以原方程组的解为313 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.2.（2016春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320, 2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解：232235297x yx yy-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：2529 7y++=，得 y=4，将y=4代入①：2x－12=2得 x=7，∴原方程组的解是74 xy=⎧⎨=⎩.（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k，y=3k 代入①：4k－4·3k=5 4k－12k=5－8k=558k=-∴542x k==-，1538y k==-，∴原方程组的解为52158 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用3.（2015春•临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组256 3516①x yx y+=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以22 xy=⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax bybx ay-=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a ba b+=-⎧⎨-+=-⎩，解得13 ab=⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c 的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2． 【巩固练习】 一、选择题 1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入② B ．由②得25109nm +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入①2. （2015•张店区一模）若二元一次方程式组的解为x=a ，y=b ，则a+b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）. A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1 D ．-1，0 4．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）.A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y ax y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．6 6．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．（2015•丹东模拟）若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第 象限．9．（2016•永州）方程组的解是 ．10．若532y xab +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程 47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ．12.关于,x y 的二元一次方程组1353x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩中，m 与方程组的解中的x y 或相等，则m的值为 . 三、解答题13．用代入法解方程组： （1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩ （2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数： （1）21243x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）2123x y x y -=⎧⎨-=⎩； （3）21242x y x y -=⎧⎨-=⎩.你发现了什么规律？15．（2015•沧州一模）若方程组的解是，求（a+b ）2﹣（a ﹣b ）（a+b ）．16.（2016春•万州区校级期中）甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c ，解得，求原方程组中a 、b 、c 的值．【答案与解析】 一、选择题1. 【答案】C ；2.【答案】A ．【解析】把x=a ，y=b 代入方程组得：，将b=15a 代入5a-b=5,解得：，∴a+b=.3. 【答案】A ； 【解析】将12x =时，12y =-代入y kx b =+得1122k b -=+ ①，再由k 比b 大1得1k b -= ②，①②联立解得13k =，23b =-.4. 【答案】B ； 【解析】将24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩分别代入方程y ＝ax+b 得二元一次方程组：2441a b a b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,32a b =-=. 5. 【答案】B ； 【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得.6. 【答案】D. 二、填空题7. 【答案】151x y =-+； 8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P （2，﹣3）在第四象限． 9.【答案】；【解析】解：解方程组，由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y ）+y=4， 解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2， 故方程组的解为，故答案为：．10．【答案】2， -1；【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案. 11.【答案】3， 1；【解析】由题意得：35471x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，代入 2435ax y x by -=⎧⎨-=⎩，得关于a 、b 的方程组22465a b -=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩12. 【答案】12-2或； 【解析】解：解关于x，y 的方程组得21x y m =⎧⎨=--⎩，当x m =时，2m =；当y m =时，12m =-.三、解答题 13.【解析】 解：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩①②将②代入①得，0.50.30.6 1.2y y +-=，得94y =， 将94y =代入①得，38x =-， 所以原方程组的解是3894x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .（2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩①②把3x+2y 看作整体，直接将①代入②得，2(52)117x x +=+，解得3x =-， 将3x =-代入①得，2y =-所以原方程组的解是32x y =-⎧⎨=-⎩．14.【解析】 解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解.规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）； 当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）； 当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）. 15.【答案】解：将代入得，解得：．∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6．16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组，解得．故a=，b=，c=﹣5．。
八年级数学上册5.2.1求解二元一次方程组
把“二元”变为“一元(yī ”. yuán)
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解二元一次方程组的步骤(bùzhòu)：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个 (yī ɡè)适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个 (yī ɡè)未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个 方程(fāngchéng)中，可得一个一元一次方程(fāngchéng).
(1 ) x y 1 2 .,(2 ) x y 5 ,1 .(3 ) x y 5 4 ,.(4 ) x y 1 2 .,
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内容 总结 (nèiróng)
第五章 二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组。第五章 二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组。昨天,我们8个人 去红山公园玩,买门票花了34元.。由①得：y = 8－x. ③。解得：x = 5.。解二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ) 组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.。第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可 得一个一元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ).。用代入消元法解二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)组时，尽量选取一 个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形。练一练
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知 数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验
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小窍门
用代入消元法解二元一次方程(fāngchéng)组时， 尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方 程(fāngchéng)进行变形；若未知数的系数的绝对值 都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程 变形. (fāngchéng)
《求解二元一次方程组》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第1课时
第五章二元一次方程组5.2 求解二元一次方程组第1课时教学设计一、教学目标1．会用代入消元法解二元一次方程组．2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会化未知为已知的化归思想．二、教学重点及难点重点：1．会用代入消元法解二元一次方程组．2．了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想．难点：1．“消元”的思想．2．“化未知为已知”的化归思想．三、教学用具多媒体课件四、相关资源《大马小马驮包裹》动画五、教学过程【复习导入】上节课我们的老牛和小马驮包裹的问题，经过同学们的合作探究，得出了二元一次方程组212(1)x yx y-=⎧⎨+=-⎩①②到底谁的包裹多呢？这就需要解这个二元一次方程组．设计意图：承接上节场景“谁的包裹多”，让学生思考会解什么方程．【探究新知】（一）一元一次方程我们会解，二元一次方程组如何解呢？我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程，那么我们发现：由①得y ＝x －2，由于方程组相同的字母表示同一个未知数，所以方程②中的y 也等于x －2，可以用x －2代替方程②中的y ．这样就得到大家会解的一元一次方程了．解：由①得x ＝2＋y ③将③代入②得(2＋y )＋1＝2(y －1)解得y ＝5，把y ＝5代入③，得：x ＝7．所以原方程组的解为⎩⎨⎧==57y x 即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹． 设计意图：如何将二元一次方程组化为已经学过的一元一次方程，从而在具体问题的解决中初步感受代入消元法．做一做［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的．我们将这种方法叫代入消元法．这种解二元一次方程组的思想为消元思想．下面我们来做一做．例1 解方程组 ⎩⎨⎧+==+②3①1423y x y x解：将②代入①，得3(y ＋3)＋2y ＝ 143y ＋9＋2y ＝14，5y ＝5，y ＝1．将y ＝1代入②，得x ＝4，所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩，．例2 解方程组2316413x y x y +=⎧⎨+=⎩①②教师先分析：此题不同于例1，(即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①，那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢?请同学回答(应先对②式进行恒等变化，把它化为例1中②式那样的形式．)分小组合作完成上述例题，请两个小组的代表上黑板上来板演．解：由②，得x＝13－4y ③将③代入①，得2(13－4y)＋3y＝1626－8y＋3y＝16－5y＝－10y＝2将y＝2代入③，得x＝5所以原方程组的解是52 xy=⎧⎨=⎩，．设计意图：通过层次渐进的两个例题，进一步进行代入消元法解二元一次方程组的巩固练习．议一议上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数．第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程．第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值．第五步：用“{”把原方程组的解表示出来．第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立．［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡．在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯．上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”．主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式．③解这个一元一次方程．④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．这种解方程组的方法称为代入消元法．简称代入法．设计意图：经过学生的讨论，最后对所运用的方法进行整理与提炼，让学生体会解二元一次方程组的基本思路是“消元”．【典例精讲】已知关于x 、y 的方程组23332111233x y x y ax by ax by -=+=⎧⎧⎨⎨+=-+=⎩⎩和的解相同，求a 、b 的值． 分析：既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同，将此方程组的解代入含有a 、b 的另两个方程，则解关于a 、b 的二元一次方程组，从而求出a 、b 的值．解：求得方程组解为将其代入ax ＋by ＝－1，2ax ＋3by ＝3，可得 由①得，b ＝－3a －1 ③把③代入②，得，6a ＋3(－3a －1)＝3．解得a ＝－2，把a ＝－2代入④，得：b ＝5所以a ＝－2，b ＝5．【课堂练习】1．已知x ＋3y －6＝0，用含x 的代数式表示y 为 ，用含y 的代数式表示x 为 ．2．用代入法解方程组⎩⎨⎧+==13332y x y x ，以下各代入中代入正确的的是（ ）⎩⎨⎧=+=-1123332y x y x ⎩⎨⎧=+=-1123332y x y x ⎩⎨⎧==,13y x ⎩⎨⎧=+-=+33613b a b a ①②32832x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②A ．1)32(33+=x xB ．1)32(33+=y x C ．1)23(3+=x x D ．3x ＝3x (6x ＋1) 3．用代入消元法解下列方程组： 5211329(1)(2)(3)(4)2127234365y y x x y x y x x y x y x y x y -⎧=+=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨+=-=+=⎩⎩⎩⎪+=⎩，，，，；；．；（5） 【答案】61633xy x y -==-．；．2．A ． 3．解：2(1)12y x x y =⎧⎨+=⎩， ①；②将①代入②，得x ＋2x ＝12x ＝4．把x ＝4代入①，得y ＝8所以原方程组的解为⎩⎨⎧==84y x5(2)24365y x x y -⎧=⎪⎨⎪+=⎩， ①； ②将①代入②，得4x ＋3(2x ＋5)＝65解得x ＝5把x ＝5代入①得y ＝15所以原方程组的解为⎩⎨⎧==155y x11(3)7x y x y +=⎧⎨-=⎩，①；②由①，得x ＝11－y ③把③代入②，得11－y －y ＝7y ＝2把y ＝2代入③，得x ＝9所以原方程组的解为⎩⎨⎧==29y x 329(4)23x y x y -=⎧⎨+=⎩，①．② 由②，得x ＝3－2y ③把③代入①，得3(3－2y )－2y ＝9得y ＝0把y ＝0代入③，得x ＝3所以原方程组的解为⎩⎨⎧==03y x（5）解方程组 32832x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②解：将②代入①，得 82233=++⨯y y 3y ＋9＋4y ＝16，7y ＝7，y ＝1将y ＝1代入②，得：x ＝2所以原方程组的解是⎩⎨⎧==12y x 注：在练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一．六、课堂小结1．解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元2．解题步骤概括为三步即：①变形，②代入，③解答．3．方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起．4．由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式．七、板书设计5.2 求解二元一次方程组（1）1．代入消元法。
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八年级数学解二元一次方程
在数学课上，我们学习了各种各样的方程式。
其中，二元一次方程
是我们学习的重要内容之一。
二元一次方程（又称为二元线性方程）
是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示）的一次方程。
解二元一次
方程就是要找到能够同时满足方程中的两个未知数的值。
在本文中，
我们将探讨解二元一次方程的方法和步骤。
解二元一次方程的一般步骤如下：
步骤 1：观察方程式。
首先，我们需要观察给定的二元一次方程，
并确定方程的形式和系数。
一个典型的二元一次方程的形式如下：ax + by = c
步骤 2：通过消元法消去一个变量。
我们可以利用消元法将方程化
简为只含有一个未知数的方程。
消元法的基本思想是通过适当的操作，使得在两个方程中的某一个变量的系数相等并最终消除它。
步骤 3：求解未知数。
接下来，我们可以使用代入法或减法法来求
解剩下的未知数。
代入法是指将步骤 2 中求得的某一个未知数的表达
式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程并求解它。
减法法是指将两个方程相减，从而消去其中一个未知数，再进一步计
算求解另一个未知数。
步骤 4：检验解。
最后，我们需要将求得的未知数代入原始的方程中，验证它们是否满足原方程。
如果满足，则我们得到了正确的解。
反之，则需要重新检查我们的计算步骤。
现在，让我们通过一个例题来具体展示解二元一次方程的过程。
例题：
解方程组：
2x + y = 5
3x - 4y = 2
解题过程：
首先，我们观察到这是一个二元一次方程组，方程组为：
2x + y = 5 (1)
3x - 4y = 2 (2)
接下来，我们通过消元法来消去变量 y。
我们可以将方程（1）的两倍加到方程（2）上，得到：
4x + 2y = 10
3x - 4y = 2
然后，我们可以将这两个方程相减，得到：
x + 6y = 8 (3)
接下来，我们再次观察原方程组。
我们可以选择代入法或减法法来求解未知数。
在本例中，我们使用减法法。
我们将方程（1）乘以 4，并将方程（2）乘以 3，得到：
8x + 4y = 20
9x - 12y = 6
然后，我们将这两个方程相减，得到：
- x + 16y = 14 (4)
现在，我们得到了两个只含有一个未知数的方程，即方程（3）和方程（4）。
我们可以使用减法法再次消去一个变量。
我们将方程（3）乘以 16，并将方程（4）乘以 1，得到：
16x + 96y = 128
- x + 16y = 14
然后，我们将这两个方程相减，得到：
17x + 80y = 114 (5)
最后，我们解得 x = 6 和 y = 1。
最后，我们将求得的解代入原方程验证：
将 x = 6 和 y = 1 代入方程（1），得到：
2(6) + 1 = 5，
12 + 1 = 5，
13 = 5 （不成立）
因此，我们需要重新检查我们的计算步骤，可能存在错误。
总结起来，解二元一次方程的方法包括观察方程式、消去一个变量、求解未知数和检验解。
通过这些步骤，我们可以解决各种各样的二元
一次方程问题。
掌握解二元一次方程的方法和技巧，将有助于我们在
解决实际问题时找到正确的解，并提高数学解题能力。