四川省凉山州2019-2020学年高二下学期期末考试+数学(理)含答案
凉山州2019－2020学年度下期期末检测
高二数学(理科)试题
注意事项：全卷共8页(试题卷4页，答题卷4页)，考试时间为120分钟，满分150分；请将自己的学校、姓名、考号写在答题卷密封线内，答题只能答在答题卷上，答题时用蓝黑墨水笔(芯)书写。
考试结束后，只将答题卷交回。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)
1.已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|1<3x<81}，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则(A∪B)∩C＝
A.{2}
B.{2，4}
C.{0，2，4}
D.{0，2}
2.若复数z的虚部小于0，|z|5z＋z＝4，则iz＝
A.1＋3i
B.2＋i
C.1＋2i
D.1－2i
3.函数f(x)＝x2＋ln x
的图象大致为
4.如图所示的四个正方体中，A、B是正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号为
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.③④
5.命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.a≤4
B.a≥4
C.a≥5
D.a≤5
6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的。
如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率
是
A.3
16 B.3
8 C.1
4 D.1
8
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
2π)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f(x)的图象关于点(－12π，0)对称，则下列判断正确的是
A.要得到函数f(x)的图象，只需将y cos2x 向右平移6π个单位
B.函数f(x)的图象关于直线x ＝56π对称
C.当x ∈[－6π，6π]时，函数f(x)
D.函数f(x)在[6π，3
π]上单调递增8.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，若第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为A.1
6 B.
15 C.12 D.13
9.若(x ＋
1x )n 的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为A.252 B.70 C.56x 2 D.56x －210.执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为
A.18
B.19
C.20
D.21
11.与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是
A.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝4
C.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
12.已知函数f(x)＝(x 2－x)(x －a)，若对∀x ∈R ，均有f(1－x)＋f(1＋x)＝0，且在其定义域内的子区间[0，m]上不单调，则实数m 的取值范围为
A.(0
，33)
B.(33
，33
+)
C.(33+，＋∞)
D.(
33
，＋∞)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
把正确答案填写在题中的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
)
13.过原点作曲线y ＝lnx 的切线，则切点为；
14.已知f(x)＝()x f x 1x 41()x 42
+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，则f(log 23)＝；15.设1e ，2e 为单位向量。
且1e 、2e 的夹角为3
π，若a ＝1e ＋32e ，b ＝21e ，则向量a 在b 方向上的投影为；
16.设F 1，F 2分别为椭圆C ：22
221(1)1
x y a a a +=>-的左、右焦点，P(1，1)为C 内一点，Q 为C 上任意一点，若|PQ|＋|QF 1|的最小值为3，则C 的方程为。
三、解答题(本大题共6小题，共计70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。
)
17.(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n 1
a a +；(1)证明：数列{n
1a }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝
n a 2n +，求数列{b n }前n 项和S n 。
18.(12分)已知m ＝(2cosx ＋
sinx ，1)，n ＝(cosx ，－y)，且m ⊥n 。
(1)将y 表示成关于x 的函数f(x)，并求f(x)的单调增区间；
(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f(
A 2
)＝3，且a ＝3，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积。
19.(12分)2020年寒假，因为“新冠”疫情全体上学习，为了研究上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9：11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意。
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；
(2)把频率视作为概率，若从该地区线上教学学生中随机抽取4人，记对线上教学满意的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望。
附：K 2＝()()()()()2
n ad bc a b c d a c b d -++++。
20.(12分)如图，在四棱锥P 要ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB//DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点。
(1)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值。
21.(12分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
x 2
＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为
N ，点P 满足NP = 。
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)点Q 在直线x ＝－3上，且OP PQ ⋅ ＝1，则过点P 且垂直于OQ 的直线l 是否过定点？若是，
求出定点；若不是，说明理由。
22.(12分)已知函数f(x)＝alnx 。
(1)讨论函数g(x)＝x－1－f(x)的单调性与极值；
(2)证明：当a＝1且x∈[1，＋∞)时，不等式(x＋1)f(x)≥2(x－1)恒成立。
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年四川省凉山州高一下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．如果0a b <<，则下列不等式中成立的为（ ） A ．1a b< B ．1ab <- C ．1a b> D ．11a b< 【答案】C【解析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项. 【详解】令2,1a b =-=-，则21ab=>，所以A 错误， 令2,1a b =-=-，则1121,ab a b=>->，所以BD 选项错误.由1a a b b b --=，其中0,0a b b -<<，所以10a a bb b--=>，所以1a b >成立. 故选：C 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查差比较法，属于基础题.2．已知2a xi j =+，3b i y j =+（i ，j 不共线），若//a b ，则xy 的值为（ ） A ．6 B ．23C ．6-D ．23-【答案】A【解析】由题得,a b λ=化简方程3,2x y λλ=⎧⎨=⎩即得解. 【详解】 因为//a b ，所以,2(3)a b xi j i y j λλ=∴+=+所以3,62x xy yλλ=⎧∴=⎨=⎩. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量平行的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，3b =，30A =︒，则角B 等于（ ） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质求得B . 【详解】由于3a b ==，等腰对等角，所以A B 30==︒. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.4．如图，ABC 中，已知2CD DB =，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．3144AB AC C ．1344AB AC D ．2133AB AC + 【答案】D【解析】利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 5．不等式21x x --≥0的解集是( ) A ．［2, +∞） B ．(],1-∞∪(2, +∞） C ．(－∞,1) D ．(－∞,1)∪［2,+∞)【答案】D 【解析】因为不等式21x x --≥0等价于(2)(1)0{1x x x --≥≠，解得可知选(－∞,1)∪［2,+∞)，选D6．数列{}n a 满足：13a =，26a =，当2n ≥时，112n n n a a a -+=+，则5a 的值为（ ） A ．12 B ．12-C ．15D ．15-【答案】C【解析】由递推关系可知是等差数列即可. 【详解】当2n ≥时，112n n n a a a -+=+，11213n n n n a a a a a a +-∴-=-==-=数列{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，()5351315a =+-⨯= 故选:C 【点睛】此题为基础题，考查等差数列的含义. 7．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >． 其中正确的命题个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数. 【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误.③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误. ④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误. 故正确的命题有1个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题.8．如图，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =，E ，F 分别为棱PA 和PC 上的两点，3PE =，6PF =，F 处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E 处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．35B ．52C ．37D ．9【答案】C【解析】根据四棱锥P ABCD -的结构特征， 沿P A ，PC 剪开展成平面时EF 最短，然后在PEF 中，利用余弦定理求解.【详解】 如图所示：因为底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱相等，且PA AB =， 所以四棱锥P ABCD -是正四棱锥且所有的棱都相等， 当沿P A ，PC 剪开展成平面，EF 最短，在PEF 中，3PE =，6PF =，120EPF ∠=︒， 由余弦定理得2222cos EF PE PF PE PF EPF =+-⋅⋅∠ 1936236632⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 解得 37EF =，所以蚂蚁爬行的最短距离为故选：C 【点睛】本题主要考查四棱锥的结构特征以及展开图的应用，还考查了空间想象和转化求解问题的能力，属于基础题.9．已知正项等比数列{}n a ，向量()3,9a a =-，()9,3b a =，若a b ⊥，则3537log log a a +，的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据a b ⊥，得到3927a a =，再根据数列{}n a 是正项等比数列，得到395727a a a a ==，然后利用对数运算求解.【详解】已知向量()3,9a a =-，()9,3b a =， 因为a b ⊥， 所以3927a a =，又因为数列{}n a 是正项等比数列， 所以395727a a a a ==，所以35373573log log log log 273a a a a +===， 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及等等比数列的性质和对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．医院食堂用两种原料为手术后的病人配制营养食品，甲种原料每1千克含2单位蛋白质和1单位铁质，售价30元；乙种原料每1千克含1单位蛋白质和3单位铁质，售价20元．若病人每餐至少需要3单位蛋白质和4单位铁质，则所需最低费用为（ ） A ．30元 B ．45元C ．50元D ．60元【答案】C【解析】利用线性规划的知识，结合图象求得最低费用.【详解】设购买甲x 千克，购买乙y 千克，则2334,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，目标函数3020z x y =+. 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线30200x y +=到可行域边界点()1,1A 时，目标函数z 取得最小值为30120150⨯+⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，属于基础题.11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①②D ．②③④【答案】A【解析】对截面与正方体的侧面与底面的位置关系进行分类讨论，进而可得出截面形状. 【详解】 如下图所示：当截面平行于正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 时，截面形状为④； 当截面经过A 、B 、1C 、1D 时，截面形状为②；当截面经过正方体1111ABCD A B C D -的体对角线时，截面形状可能为①；对于截面③，截面需经过正方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，只可能是A 、B 、1C 、1D 或1A 、1B 、C 、D 四点，但四边形11ABC D 和四边形11A B CD 不是正方形，所以，截面形状不可能为③. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，要对截面与正方体各面的位置关系进行分类讨论，考查空间想象能力，属于中等题.12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时12n n a a -=，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．8【答案】B【解析】利用51a =出发，按照规则，逆向逐项即可求解0a 的所有可能的取值. 【详解】如果按照规则施行变换后51a =， 则变换中的4=2a ，若变换中的4=2a ，则变换中的3=4a ， 若变换中的3=4a ，则变换中的2a 是1或8，若变换中的2=8a ，则1=16a ，0=32a 或者0=5a ； 若变换中的2=1a ，则1=2a ，则04a =， 则0a 的所有可能的取值为4，5，32共3个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，3122a a a =+，则该数列的公比q =______． 【答案】2【解析】将已知条件转化为1,a q ，由此求得q . 【详解】由3122a a a =+得21112a q a a q =+，即220q q --=，解得2q或1q =-（舍去）.故答案为：2 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 14．已知0a >，0b >，21a b +=，则1aa b+的最小值为______. 【答案】4【解析】把21a b +=代入12a b aa b a b+=++，再用基本不等式即可. 【详解】0a >，0b >，21a b +=，1224a b aa b a b ∴+=++≥+=，当且仅当13a b ==时取等. 故答案为：4 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型.15．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______. 【答案】2【解析】据题意，由于M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MNa ⋅≤（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）从而求得最大值. 【详解】由0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）， 即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离.22(31)(11)2-+-=， 故答案为：2 【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.三、双空题16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为______，该四面体的外接球的表面积为______．【答案】3 22π【解析】将三视图还原为原图，由此计算出四面体的体积，利用补形的方法，求得四面体的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示几何体1A ABC -.其体积为11323332⨯⨯⨯⨯=. 将几何体补形为长方体，几何体外接球的直径也即长方体的对角线，设外接球的直径为2R ，则()2222232322R =++=，即2422R =.所以外接球的表面积为2422R ππ=. 故答案为：3；22π【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.四、解答题17．已知1a =，2b =，()a b a -⊥． （1）求a b ⋅；（2）求a b -与b 的夹角． 【答案】（1）1a b ⋅=；（2）56π． 【解析】（1）由()()0a a b b a a -⇒-⋅=⊥，由此列方程，化简后求得a b ⋅的值. （2）先求得()a b b -⋅、a b -，由此利用向量的夹角公式，计算出a b -与b 的夹角. 【详解】（1）因()a b a -⊥，则()0a b a -⋅=即()20a b a -⋅=，又1a =，所以1a b ⋅=（2）设a b -与b 的夹角为θ．由（1）题与2b =得()()23a b b a b b-⋅=⋅-=-，()()()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=，则()3cos 2a b b a b bθ-⋅==--⋅，[]0,θπ∈所以56πθ=. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，2a =．（1）若1c =，求b ；（2）若ABC c ． 【答案】（1）b =（2）2．【解析】（1）根据A ，B ，C 成等差数列，利用等差中项得到3B π=，再由2a =，1c =，利用余弦定理求解.（2）根据ABC 2a =，3B π=，由1sin 2ABCSac B ==解. 【详解】（1）因为A ，B ，C 成等差数列，即2B A C =+， 又A B C π++=， 所以3B π=又2a =，1c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，解得b =（2）因为ABC所以1sin 2ABCSac B == 又2a =，3B π=，解得2c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差中项的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知156a a +=，36S =. （1）求n a 及n S ； （2）设12n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n n T n +<+. 【答案】（1）n a n =，21122n S n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，利用公式即可求解；（2）根据{}n b 通项公式有()1111211n n b S n n n n ===-++，用裂项相消法求出n T ，即可证明结论. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ， 由15366a a S +=⎧⎨=⎩即()11146336a a d a d ⎧++=⎨+=⎩解得111a d =⎧⎨=⎩所以()11n a a n d n =+-=()21111222n n n S na d nn -=+=+ （2）证明：由（1）小题可知：()1111211n n b S n n n n ===-++ 则123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1nn =+ 那么()()111021212n n n n T n n n n n ++--=-=<+++++ 所以12n n T n +<+ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项公式基本量的计算，考查裂项相消法求数列和，属于中档题.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E ，F 分别为AB ，PC 的中点，求证：（1）//EF 平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明//EF 平面PAD 内的一条直线AM ，即可得答案； （2）证明CD ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定理证明即可； 【详解】（1）证明：设M 为PD 的中点，连接MA ，MF （如图）， 则MF 为PDC △的中位线， 所以//MF DC 且12MF DC =∵四边形ABCD 是正方形，E 为AB 的中点 ∴//AE DC 且12AE DC =故MF AE //且MF AE =， ∴四边形AEFM 为平行四边形 则//EF AM ，又因EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD 所以，//EF 平面PAD（2）证明：∵侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PCD 平面ABCD AD =四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥ ∵CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD又∵CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PAD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理和面面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.21．设数列{}n a 满足：()21*123222n n a a a a n n N -+++⋅⋅⋅+=∈（1）证明{}n a 是等比数列； （2）设1n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）2nn S n =⋅.【解析】(1)将n -1代入，两式作差得{}n a ，再证明即可； (2)利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为21123222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+= ①所以2n ≥时，2112312221n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=- ②由①-②得：121n n a -=，即()1122n n a n -=≥ 又①中1n =，上述结论也满足.所以，()*112n n a n N -=∈ 2n ∴≥时112n n a a -=为常数，即数列{}n a 是等比数列； （2）由（1）可知：()112n n b n -=+则()012122324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ③③2⨯得：()12122232212n n n S n n -=⨯+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ④③-④得：()()121222212n nn S n --=+++⋅⋅⋅+-+⋅()2221212n n n -=+-+⋅-()2nn =-⋅所以，2nn S n =⋅. 【点睛】本题考查了等比数列的证明和错位相减法求和，属于中档题.22．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c2sin a B =． （1）求A ；（2）若1b =，求c 的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（12sin a B =2sin sin B A B =求解.（2）由ABC 是锐角三角形， 则222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩，然后由1b =，3A π=，利用余弦定理得到221a c c =-+，代入上面不等式组求解. 【详解】（12sin a B =，2sin sin B A B =， 因sin 0B ≠，得sin A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3A π=，（2）（解法一）因1b =，3A π=，由余弦定理得：22222cos 1a b c bc A c c =+-=-+， 因为ABC 是锐角三角形，所以，cos 0cos 0B C >⎧⎨>⎩，即222222b ac c a b ⎧<+⎨<+⎩， 代入得2221212c c c c c ⎧<-+⎨<-+⎩且0c >， 解得：122c <<， 即c 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭． （解法二）因为1b =，3A π=，由正弦定理：sin sin b cB C =得sin sin 3sin sin B C c B Bπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，所以12c =+，又因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 3B ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122c <<，即c 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2019-2020学年四川省凉山州高二下学期期末检测数学(文)试题(解析版)
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
11．已知直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）相切，则直线的倾斜角为（）.
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】【详解】
将直线 代入方程 得 .
由题意有 ，
.又 ，从面， 或 .
12．已知函数 ，在其定义域内的子区间 上不单调，则实数m的取值范围为（）
∵圆心P(3,−5)到直线4x−3y=2的距离等于
，
由|5−r|<1，解得：4<r<6，
则半径r的范围为(4,6).
故答案为：(4,6)
，当 时满足题意.
【考点】1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.
16．设 ， 为单位向量．且 、 的夹角为 ，若 = +3 ， =2 ，则向量 在 方向上的射影为________.
∵ ，∴2x+ ∈[﹣ ， ]，则当2x+ ＝﹣ 时，函数取得最小值为f（x）＝ sin（﹣ ）＝﹣ ，故C错误，
当 ，∴2x+ ∈[ ， ]，此时f（x）不是单调增函数，故D错误，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查与三角函数图象和性质有关的命题的真假判断，根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的单调性对称性最值以及图象变换关系是解决本题的关键，属于中档题．
【答案】
【解析】【详解】
【考点】该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.
三、解答题
17．已知 ， ，且 .
（1）将 表示 的函数 ，并求 的单调增区间；
（2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 ，且 ， ，求 的面积.
四川省凉山州2019-2020高二下学期期末检测数学(文)试题(wd无答案)
四川省凉山州2019-2020高二下学期期末检测数学（文）试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数，则（）A．12B．1C．D．(★★★) 3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★) 4. 是命题“ ，”为真命题的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 5. 函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．(★) 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 S为（）A．153B．154C．155D．156(★★★) 7. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数的图象，只需将向右平移个单位B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增(★★★) 9. 已知椭圆 =1( a>b>0)与双曲线 =1( m>0, n>0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),若 c是 a, m的等比中项, n 2是2 m 2与 c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A．B．C．D．(★★★) 10. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是A．B．C．D．(★★★) 11. 已知直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）.A．或B．或C．或D．或(★★★) 12. 已知函数，在其定义域内的子区间上不单调，则实数 m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 过原点作曲线的切线，则切点为___________．(★★) 14. 已知，则________.(★★★) 15. 若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是______．(★★) 16. 设，为单位向量．且、的夹角为，若= +3 ，=2 ，则向量在方向上的射影为________.三、解答题(★★★) 17. 已知，，且.（1）将表示的函数，并求的单调增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积.(★★★) 18. 2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有人对线上教学满意，女生中有名表示对线上教学不满意. （1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计100（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率.附：.(★★★) 19. 在菱形 ABCD中，，， O为线段 CD的中点（如图1）.将沿 AO折起到的位置，使得平面平面 ABCO， M为线段的中点（如图2）.（1）求证：平面；（2）当四棱锥的体积为时，求 a的值.(★★★) 20. 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为（ t为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C的方程为.（1）求直线和圆的直角坐标方程；（2）若点 P的坐标为，直线 l和圆 C交于 A、 B两点，求的值.(★★★) 21. 设 O为坐标原点，动点 M在椭圆上，过 M作 x轴的垂线，垂足为 N点 P满足.（1）求点 P的轨迹方程；（2）点 Q在直线上，且，则过点 P且垂直于 OQ的直线 l是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由.(★★★) 22. 已知函数.（1）若函数的图象在点处的切线为直线 l，且直线 l与圆相切，求 a的值；（2）若有且仅有两个不同的根，求 a的取值范围.。
凉山州2019—2020年高二下期理科数学试卷+答题卷+参答及评分标准
A. 嗓 2 瑟
B. 嗓 2,4 瑟
C. 嗓 0,2,4 瑟
D. 嗓 0,Байду номын сангаас 瑟
2援 若复数 z 的虚部小于 0袁 z =姨 5 袁且 z+z=4袁则 iz=( )
A援 1+3i
B援 2+i
C援 1+2i
D援 1-2i
3援
函数
f渊x冤=x2+
ln x 2x2
的图象大致为(
)
4援 如图所示的四个正方体中袁A 尧B 是正方体的两个顶点袁M尧N尧P 分别为其所在棱的中点袁能得 出 A B椅平面 MNP 的图形的序号为( )
曰
扇设设f渊x+1冤袁x约4
蓸 蔀 14.
已知
f渊x冤=
设 设 缮 设
1
设
2 设
墒设
x袁x逸4 袁则 f渊log23冤越
曰
15援
设e1
袁e2
为单位向量援且e1
尧e2
的夹角为
仔 3
袁若
a
=e1
+3e2
袁b
=2e1
袁则向量
a
在b
方向上的投影
为
曰
16援
设
F1袁F2 分别为椭圆
C院
x2 a2
+
y2 a2-1
凉山州 2019要2020 学年度下期期末检测
高二数学渊理科冤试题
注意事项院 全卷共 8 页渊试题卷 4 页袁答题卷 4 页冤袁考试时间为 120 分钟袁满分 150 分曰请将自 己的学校尧姓名尧考号写在答题卷密封线内袁答题只能答在答题卷上袁答题时用蓝黑墨水笔( 芯 ) 书写遥 考试结束后袁只将答题卷交回遥
2019-2020学年四川省凉山州高二下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省凉山州高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1≤3x＜81}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，4}C．{0，2，4}D．{0，2}2．复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．23．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A．153B．154C．155D．1567．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣D．函数f（x）在[]上单调递增9．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y+1）2＝4C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）＝411．直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．﹣或﹣12．已知函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在其定义域内的子区间（m﹣1，m+1）上不单调，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．过原点作曲线y＝lnx的切线，则切点为．14．已知f（x）＝，则f（log212）＝．15．若圆（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y＝2的距离为1，则半径r的取值范围是．16．设，为单位向量，且，的夹角为，若＝+3，＝2，则向量在方向上的投影为．三、解答题（共6小题，共计70分.）17．已知＝（2cos x+2sin x，1），＝（cos x，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）＝3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．18．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9：11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计态度性别男生女生合计100（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率．附：．P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．在菱形ABCD 中，，O为线段CD的中点（如图1）．将△AOD沿AO折起到△AOD'的位置，使得平面AOD'⊥平面ABCO，M为线段BD'的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：OD'⊥BC；（Ⅱ）求证：CM∥平面AOD'；（Ⅲ）当四棱锥D'﹣ABCO 的体积为时，求a的值．20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ．（1）求直线和圆的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为（3，），直线l和圆C交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．21．O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且，直线l过点P且垂直于OQ，求证：直线过定点．22．已知函数f（x）＝lnx﹣2ax．（1）若函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）2+y2＝1相切，求a的值；（2）若f（x）＝0有且仅有两个不同的根，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|1≤3x＜81}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，4}C．{0，2，4}D．{0，2}解：∵集合A＝{x|1≤3x＜81}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，…}，∴A∩B＝{0，2}，故选：D．2．复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．2解：∵复数z＝＝＝，则|z|＝＝．故选：B．3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．4．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x的范围求得x2的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：∀x∈[1，2]，有x2∈[1，4]，则由a≥5，可得∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0成立；反之，∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0成立，可得a≥4．∴a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充分而不必要条件．故选：A．5．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数为减函数排除C，D，再由f（π）＜0得答案．解：由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f（x），得f（π）＜0，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A．153B．154C．155D．156【分析】由程序框图知S＝1+1+2+3+…+17，利用等差数列的求和公式计算即可．解：由程序框图知，S＝1+1+2+3+…+17＝1+（1+2+3+ (17)＝1+153＝154．故选：B．7．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】设边长AB＝2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．解：设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，∴S△BCI＝××＝，S平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝，∴所求的概率为P＝＝＝．故选：A．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣D．函数f（x）在[]上单调递增【分析】根据条件求出函数的解析式，分别利用对称性，单调性和最值性的性质进行判断即可．解：由题意知A＝，＝，得T＝π，即＝π得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴﹣×2+φ＝kπ，得φ＝kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣），故A正确，由2x+＝kπ+得x＝+，则当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，即x＝时，不是对称轴，故B错误，∵x∈[]，∴2x+∈[﹣，]，则当2x+＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，故C错误，当x∈[]，∴2x+∈[，]，此时f（x）不是单调函数，故D错误，故正确的是A，故选：A．9．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据是a、m的等比中项可得c2＝am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2﹣b2＝m2+n2＝c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2＝2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．解：由题意：∴，∴，∴a2＝4c2，∴．故选：D．10．与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y+1）2＝4C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）＝4【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y＝0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为，故选：C．11．直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．﹣或﹣【分析】求直线倾斜角，需先求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，确定倾斜角的值．将直线与圆的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，得出直线的斜率取值．解：直线普通方程为：y＝tanαx，记tanα＝k，则直线方程为y﹣kx＝0．圆的普通方程为：（x﹣4）2+y2＝4．∵直线与圆相切∴解得：．∴直线方程为．又倾斜角β取值范围为[0，π），且．∴直线倾斜角为．故选：A．12．已知函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在其定义域内的子区间（m﹣1，m+1）上不单调，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】依题意知，函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在区间（m﹣1，m+1）上有极值，从而得到0≤m﹣1＜＜m+1，解之即可．解：∵f（x）＝x2﹣9lnx+3x在其定义域内（0，+∞）的子区间（m﹣1，m+1）上不单调，∴函数f（x）＝x2﹣9lnx+3x在区间（m﹣1，m+1）上有极值，由f′（x）＝2x﹣+3＝＝0得x＝或x＝﹣3（舍去）∴0≤m﹣1＜＜m+1，解得：1≤m＜，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．把正确答案填写在题中的横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13．过原点作曲线y＝lnx的切线，则切点为（e，1）．【分析】先另设切点，利用导数求出切线方程，将（0，0）代入，求出切点坐标，进而得到切线方程．解：设切点为（x0，lnx0），因为．故切线方程为：y﹣lnx0＝，将（0，0）代入得：，解得x0＝e，所以lnx0＝1，故切点为（e，1）．故答案为：（e，1）．14．已知f（x）＝，则f（log212）＝．【分析】由log212∈（3，4），得f（log212）＝f（log212+1）＝（），由此能求出结果．解：∵f（x）＝，log212∈（3，4），∴f（log212）＝f（log212+1）＝（）＝×＝×＝＝．故答案为：．15．若圆（x﹣3）2+（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y＝2的距离为1，则半径r的取值范围是（4，6）．【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y＝2的距离等于＝5，由|5﹣r|＜1，解得：4＜r＜6，则半径r的范围为（4，6）．故答案为：（4，6）16．设，为单位向量，且，的夹角为，若＝+3，＝2，则向量在方向上的投影为．【分析】向量在方向上的投影为，分别求出分子，分母，代入求值．解：＝+3，2＝（+3）2＝1+6•+9＝1+6cos＝13，||＝•＝（+3）•2＝2+6•＝2+6cos＝5向量在方向上的投影为＝＝故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知＝（2cos x+2sin x，1），＝（cos x，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）＝3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，可得单调递增区间；（2）结合（1）可得f （）＝1+2sin（A +）＝3，进而可得A ＝，由余弦定理可得bc＝4，代入面积公式S ＝，计算可得答案．解：（1）由题意可得（2cos x +2sin x）cos x﹣y＝0，即y＝f（x）＝（2cos x +2sin x）cos x＝2cos2x +2sin x cos x＝1+cos2x +sin2x＝1+2sin（2x +），由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（2）由（1）可知f（x）＝1+2sin（2x +），故f （）＝1+2sin（A +）＝3，解得sin（A +）＝1故可得A +＝，解得A ＝，由余弦定理可得22＝b2+c2﹣2bc cos A，化简可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc，解得bc＝4，故△ABC的面积S ＝＝＝18．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9：11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计态度性别男生女生合计100（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率．附：．P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（Ⅱ）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，女生3人，分别标号，列出所有的基本事件，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．解：（Ⅰ）满意不满意合计态度性别男生301545女生451055合计7525100，这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（Ⅱ）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中男生2名，设为A、B；女生3人设为a，b，c，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10个基本事件，其中抽取一名男生与一名女生的事件有（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共6个基本事件，根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为．19．在菱形ABCD 中，，O为线段CD的中点（如图1）．将△AOD沿AO折起到△AOD'的位置，使得平面AOD'⊥平面ABCO，M为线段BD'的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：OD'⊥BC；（Ⅱ）求证：CM∥平面AOD'；（Ⅲ）当四棱锥D'﹣ABCO的体积为时，求a的值．【分析】（Ⅰ）证明OD'⊥AO．推出OD'⊥平面ABCO．然后证明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；证明四边形OCMP为平行四边形，然后证明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）说明OD'是四棱锥D'﹣ABCO的高．通过体积公式求解即可．【解答】（共14分）（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD中，，O为线段CD的中点，所以OD'⊥AO．………………（1分）因为平面AOD'⊥平面ABCO，平面AOD'∩平面ABCO＝AO，OD'⊂平面AOD'，所以OD'⊥平面ABCO．………………因为BC⊂平面ABCO，所以OD'⊥BC．………………（Ⅱ）证明：如图，取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；因为在△ABD'中，P，M分别是线段AD'，BD'的中点，所以PM∥AB，．因为O为线段CD的中点（如图1），菱形ABCD中，AB＝DC＝a，AB∥DC，所以．所以OC∥AB，．………………所以PM∥OC，PM＝OC．所以四边形OCMP为平行四边形，………………所以CM∥OP，因为CM⊄平面AOD'，OP⊂平面AOD'，所以CM∥平面AOD'；………………（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知OD'⊥平面ABCO．所以OD'是四棱锥D'﹣ABCO的高．………………因为，所以a＝2．………………20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ．（1）求直线和圆的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为（3，），直线l和圆C交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．解：圆C的方程为ρ＝2sinθ．整理得，根据转化为直角坐标方程为，整理得．（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为标准式为，代入圆的方程，得到，（t1和t2为A、B对应的参数），所以|PA|+|PB|＝|t1+t2|＝1421．O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且，直线l过点P且垂直于OQ，求证：直线过定点．【分析】（1）设P点坐标，M的坐标，由向量之间的关系得P，M坐标之间的关系，M在椭圆上，求出P的轨迹方程；（2）设Q的坐标，及P的坐标，由已知得直线OP的斜率是直线OQ的负倒数，然后由数量积得出恒过（﹣1，0）．解：（1）设P（x，y），M（x'，y'），则N（x'，0），＝（x﹣x'，y），＝（0，y'），由得：x'＝x，y'＝，因为M点在椭圆上＝1，所以＝1，即点P的轨迹方程：x2+y2＝2；（2）由题意设Q（﹣3，t），P（m，n）则m2+n2＝2，由＝1得：（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）＝1，∴﹣3m﹣m2+tn﹣n2＝1，∴3+3m﹣tn＝0，由已知得，直线l的方程：y＝（x﹣m）+n＝x﹣+＝（x+1），所以直线恒过定点（﹣1，0）．22．已知函数f（x）＝lnx﹣2ax．（1）若函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）2+y2＝1相切，求a的值；（2）若f（x）＝0有且仅有两个不同的根，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线方程，再由直线与圆相切的性质即可求解；（2）由已知可转化为2a＝有两个不同实数根，然后构造函求解．数，结合函数图象即可求解．解：（1）由题意可得，，故k＝f′（1）＝1﹣2a，f（1）＝﹣2a，所以在（1，f（1））处的切线方程为y+2a＝（1﹣2a）（x﹣1）即（2a﹣1）x+y+1＝0，由题意可得＝1，解可得，a＝；（2）由f（x）＝0有且仅有两个不同实数根可得，2a＝有两个不同实数根，令g（x）＝，则，易得，当x＞e时，g′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x→+∞时，g（x）＞0，x→0时，g（x）＜0，g（1）＝0，g（e）＝，结合图象可知，，故．。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷(理) 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷（理） 含答案数 学 （理）刘世荣 候永红注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间：120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。
2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
第Ⅰ卷 选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}|15,1,2,3,1,2.3.1,3.1,2.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==1.已知全集==,则121122.,=1+,=A.2B 2 C.2D 2z z z i z z i i⋅--设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则 . .33.1.ln ..3.x A y x B y C y D y x x x ==-==+下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是333334.:2,80,A.2,80 B.2,80C.2,80D.2,80p x x p x x x x x x x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是{}323305.9,3,111A.1B.C.1D.1222n a a S x dx q ===⎰等比数列中，前三项和则公比或-或6.83648A.B.C.D.7799n S =执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的＝(第6题)俯视图侧视图{}{}7.3(|)1111A.B C.D 104312P B A =一个口袋中装有大小相同的1个红球和个黑球，现在有三个人依次去摸球，每个人摸出1个球，然后放回，若有两个人摸出的球为红色，则称这两个人是“好朋友”，记A=有两个人是好朋友,B=三个人都是好朋友，则 . .8. A.8+8 B.6+8C.4+8D.2+8ππππ如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为9.(11)(12)(21)(13)(22)(31)(14)(23)(32)(41)60A.(7,5)B (5,7)C.(2,10)D (10,1)⋅⋅⋅已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”是. .222210.2(0)1(B D 1x y y px p F a bF 2=>-=设抛物线的焦点恰好是双曲线连线过点，则该双曲线的离心率为11.0A.36B 64 C.144D 256S ABC M SC SB AM SA S ABC ππππ-•==-正三棱锥中，是的中点，，若侧棱的外接球的表面积为. .1112()()(1)1,()(),()()22A.(0,+)B.(1,+)C.(,0)D.(,1)x xe f x x R f f x R f x f e e +'∈=><∞∞-∞-∞.函数满足且在上的导函数则不等式为自然对数的底数的解集为第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.()()13.2,3,1,32,//,a b t t a b t ==+-=已知若则5214.(1)(1)5.ax x x a ++=已知的展开式中的系数为，则37015,11x y x y x y x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最大值是{}*20151.,2(),n n n n na n S a n N S a =+∈=16已知正项数列的前项和S 若则 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.22217.(12)1,,,,.,.42(I)tan (II)3ABC A B C a b c A b a c C ABC b π∆=-=∆本小题满分分 在中，内角所对的边分别为已知求的值；若的面积为，求的值.xx 第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.(I) 求该小区居民用电量的平均数；(II) 用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；(III) 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.19.(12)-//II 1,P ABCD ABCD PA ABCD E PD PB AEC E PD AP AD E ACD D AE C ⊥==---本小题满分分如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为侧棱上的一点，且平面.（I ）证明：为的中点；（）设且三棱锥的大小.D()()()()222220122C:10F A B M .MF FB 2 1.I II ,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆本小题满分分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心.若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由21.(12)1()ln(1).(I)()(1,(1))(II),()ln()()ln .x f x x xf x f x y x y x y x y x my m +=+++≤++本小题满分分已知求在点处的切线方程；若存在正实数使不等式成立，求实数的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷(理) 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试卷（理） 含答案数 学 （理）刘世荣 候永红注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间：120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置。
2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
第Ⅰ卷 选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}|15,1,2,3,1,2.3.1,3.1,2.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==1.已知全集==,则121122.,=1+,=A.2B 2 C.2D 2z z z i z z i i ⋅--设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则 . .33.1.ln ..3.x A y x B y C y D y x x x ==-==+下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是333334.:2,80,A.2,80 B.2,80C.2,80D.2,80p x x p x x x x x x x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是{}323305.9,3,111A.1B.C.1D.1222n a a S x dx q ===⎰等比数列中，前三项和则公比或-或6.83648A.B.C.D.7799n S =执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的＝(第6题)正视图俯视图侧视图{}{}7.3(|)1111A.B C.D 104312P B A =一个口袋中装有大小相同的1个红球和个黑球，现在有三个人依次去摸球，每个人摸出1个球，然后放回，若有两个人摸出的球为红色，则称这两个人是“好朋友”，记A=有两个人是好朋友,B=三个人都是好朋友，则 . .8. A.8+8 B.6+8C.4+8D.2+8ππππ如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为9.(11)(12)(21)(13)(22)(31)(14)(23)(32)(41)60A.(7,5)B (5,7)C.(2,10)D (10,1)⋅⋅⋅已知“整数对”按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则第个“整数对”是. .222210.2(0)1(,0)B D 1x y y px p F a b a bF 2=>-=>设抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为11.0A.36B 64 C.144D 256S ABC M SC SB AM SA S ABC ππππ-∙==-正三棱锥中，是的中点，，若侧棱的外接球的表面积为. .1112()()(1)1,()(),()()22A.(0,+)B.(1,+)C.(,0)D.(,1) x xe f x x R f f x R f x f e e +'∈=><∞∞-∞-∞.函数满足且在上的导函数则不等式为自然对数的底数的解集为第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.()()13.2,3,1,32,//,a b t t a b t ==+-=已知若则5214.(1)(1)5.ax x x a ++=已知的展开式中的系数为，则37015,11x y x y x y x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最大值是{}*20151.,2(),n n n n na n S a n N S a =+∈=16已知正项数列的前项和S 若则三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.22217.(12)1,,,,.,.42(I)tan (II)3ABC A B C a b c A b a c C ABC b π∆=-=∆本小题满分分 在中，内角所对的边分别为已知求的值；若的面积为，求的值.xx 第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.(I) 求该小区居民用电量的平均数；(II) 用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；(III) 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.19.(12)-//II 1,P ABCD ABCD PA ABCD E PD PB AEC E PD AP AD E ACD D AE C ⊥==---本小题满分分如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为侧棱上的一点，且平面.（I ）证明：为的中点；（）设且三棱锥的大小.D()()()()22222012C:10F A B 2M .MF FB 2 1.I II ,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆本小题满分分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心.若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由21.(12)1()ln(1).(I)()(1,(1))(II),()ln()()ln .x f x x xf x f x y x y x y x y x my m +=+++≤++本小题满分分已知求在点处的切线方程；若存在正实数使不等式成立，求实数的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2019-2020学年度高二下数学期末考试答案
2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案及评分标准 2020．7一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BCDA BCDD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1m - 14．8 15．(,1][2,)-∞+∞ 16． 157301()22 674四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）………………………………………………………………………………4分（2）22105(15302040)211.9095550357011K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． ······································· 8分 因为2 1.909 2.706K ≈<，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”． ································· 10分 18．（本小题满分12分）解：（1）当0x 时，0x ， ··································································· 1分 因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 故22()()()2()323f x f x x x x x ． ································ 5分 所以2223, 0 ,()23, 0 x x x f x x x x ．······················································· 6分（2）223yx x 图象的对称轴为直线10x．又223yx x 的图象开口向上，所以()f x 在[0,)上单调递增． ········· 7分又()f x 是定义在R 上的偶函数， 故(21)(|21|)f m f m ，(2)(|2|)f m f m ． ································ 9分 由(21)(2)f m f m ，得(|21|)(|2|)f m f m ．又()f x 在[0,)上单调递增，所以|21||2|m m ，即22(21)(2)m m ． ····································· 11分 解得11m ．故m 的取值范围是(1,1)．········································· 12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）2(4(1)40)ax a bx f x b ．由题意，2(41)40ax a x b 的解集为{|12}x x ，则0a ．且11x ，22x 是方程2(41)40ax a x b 的两个实根．··············· 2分 故12(41)3a x x a，1242b x x a，解得1,6.a b ·················· 4分（2）()0f x ，即(1)(4)0ax x ．·························································· 5分 ①当0a 时，有40x ，得4x ． ··············································· 6分 ②当0a 时，有1()(4)0xx a ，此时14a ．解得14x a ． ············· 7分 ③当0a 时，有1()(4)0xx a． ···················································· 8分 若104a ，则14a ．解得4x ，或1x a ； ···································· 9分 若14a ，此时不等式为2(4)0x ．解得4x ；······························· 10分若14a，此时14a．可得1xa ，或4x ． ······································ 11分 综上，0a 时，解集为1{|4}x x a ；0a 时，解集为{|4}x x ；104a 时，解集为{|4x x ，或1}x a ；当14a 时，解集为{|4}x x ≠；当14a 时，解集为1{|x x a，或4}x ． ············································································· 12分 20．（本小题满分12分）（1）A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=； ············································ 2分 （2）B 恰好答对两个问题的概率为223214C ()339⋅=． ········································ 4分 （3）X 所有可能的取值为1,2,3．124236C C 1(1)C 5P X ===；214236C C 3(2)C 5P X ===；304236C C 1(3)C 5P X ===． ···································································· 7分所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． ·················································· 8分 由题意，随机变量Y ～2(3,)3B ，所以2()323E Y =⨯=． ·························· 9分 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=． ····························· 10分 212()3333D Y =⨯⨯=． ····································································· 11分 因为()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定．所以选择投票给学生A ． ·································································· 12分 21．（本题满分12分）解：（1）由题意，判别式214104a ∆=-⨯⨯， ·············································· 2分 解得11a -．所以实数a 的取值范围是11a -． ······························· 4分 （2）当1x >时，()ln 0g x x =-<，()min{(),()}()0h x f x g x g x =<，所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ····························································· 6分由题意，()h x 在(0,1]上有三个零点． 5(1)4f a =+，(1)0g =， 若(1)(1)f g ，则54a -，(1)(1)0h g ==，1是()h x 的一个零点；若(1)(1)f g <，则54a <-，(1)(1)0h f =<，1不是()h x 的一个零点． ········· 8分当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->．由题意，1是()h x 的一个零点，且21()4f x x ax =++在(0,1)上有两个零点． ····································································································· 9分所以54a -，且21410,401,21(0)0,45(1)0,4a a f f a ⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=+>⎩解得514a -<<-． ······················ 11分综上，若()h x 有三个零点，a 的取值范围是514a -<<-． ······················· 12分 22．（本小题满分12分）证明：（1）()f x 的定义域为R ．由()(1)e 1x f x x x =---，得()e 1x f x x '=-，()(1)e x f x x ''=+． ················· 1分()01f x x ''<⇔<-；()01f x x ''>⇔>-．所以()f x '在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． ······················· 2分 所以1min ()(1)e 10f x f -''=-=--<． 当1x <-时，显然()0f x '<；当1x >-时， 1211()e 1022f '=-<，(1)e 10f '=->， ······························· 3分故存在唯一的实数01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=．综上，()f x 在0(,)x -∞上单调递减，()f x 在0(,)x +∞上单调递增．因此，()f x 存在唯一的极值点，且为极小值点． ···································· 4分 （2）由（1）知，0()(1)20f x f <=-<，2(2)e 30f =->，且()f x 在0(,)x +∞上单调递增．所以()0f x =在0(,)x +∞上存在唯一的实根α，且(1,2)α∈． ··················· 5分 由12α<<，得21α-<-<-．()(1)e 1f αααα--=--+-e [(1)e 1]αααα-=---e ()f αα-=0=， ············ 6分 由（1），01(,1)2x ∈，所以0x α-<．又()f x 在0(,)x -∞上单调递减，所以()0f x =在0(,)x -∞上存在唯一的实根α-． 综上所述，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数． ············· 7分 （3）由()(1)e 1n f n n n --=--+-e [(1)e 1]n n n n -=---e ()n f n -=，可得()e ()n f n f n =-，因此|()|e |()|n f n f n =-． 由（2）可知，对*n ∀∈N ，()0f n ≠，()0f n -≠．22|()|(22)|()|f n n n f n >++-⇔21|()|(1)|()|2f n n n f n >++-⇔21e |()|(1)|()|2n f n n n f n ->++-⇔21e 12n n n >++． ································ 9分令21()e 12x h x x x =---，求导得()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-．当0x >时，()e 10x h x ''=->，因此()e 1x h x x '=--在(0,)+∞上为增函数． 因此，当0x >时，()(0)0h x h ''>=，所以21()e 12x h x x x =---在(0,)+∞上为增函数． ································· 11分 所以，当0x >时，()(0)0h x h >=，即21e 102x x x --->．因此21e 12x x x >++．因为*n ∈N ，所以21e 12n n n >++． 因此原不等式成立．······················· 12分。
四川省凉山州2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文科)试题(含答案解析)
四川省凉山州2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为A ．(0)B ．(0)C ．(，0)D ．(0)2．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A ．()1,2,3--B ．()1,2,3--C ．(1,-2,3)D ．(1,-2,3)-3．已知A 、B 、C 三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n 的样本，若从C 社区抽取了15人，则n =（ ） A ．33B ．18C ．27D ．214．命题“R x ∀∈，2ln 2x ≥”的否定为（ ） A ．R x ∃∈，2ln 2x ≥ B ．R x ∀∈，2ln2x ≤ C ．R x ∀∈，2ln 2x <D ．R x ∃∈，2ln 2x <5．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．75D ．806．已知2log x 、2log y 、2成等差数列，则(),M x y 的轨迹表示的图象为A ．B ．C ．D ．7．4m =是直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=平行的 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数9．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（ ） A ．24B ．20C ．4D ．010．过点()3,1作圆()()22224x y -+-=的弦，其中最短弦的长为A ．B ．1C ．2D11．若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．0个 B ．至多有一个 C ．1个 D ．2个12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是椭圆上一点，△12PF F 是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠< ，则该椭圆的离心率的取值范围是A ．B ．1)2C ．1(,1)2D ．1(0,)2二、填空题13．如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图.根据直方图估计：该公司月收入在1000元到1500元之间的人数是___________人.14．比较两数的大小：(4)1000__________(2)111111．15．已知点A （-2，0），B （0，2），若点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则ABP ∆面积的最小值为______．161x -与直线y x b =+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是___________. 三、解答题17．已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P .(1)求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（结果写成直线方程的一般式）(2)求过点P 并且在两坐标轴上截距相等的直线2l 的方程.（结果写成直线方程的一般式）18．假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）有以下统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系.试求： （1）求,x y ；（2）线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）估计使用10年时，维修费用是多少？附：利用“最小二乘法”计算ˆˆ,ab 的值时，可根据以下公式：1221ˆˆˆ,()ni ii nii x y nx ybay bx xn x ==-⋅==--∑∑ 19．已知圆C 的圆心在直线210x y --=上，且圆C 经过点(4,2),(0,2)A B . （1）求圆的标准方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.20． 命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 实数x 满足12,{30.2x x x -≤+≥- （△）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （△）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 21．已知抛物线24y x =截直线2y x b =+所得的弦长为5AB =. （1）求实数b 的值；（2）试在x 轴上求一点P ，使得APB ∆的面积为.22．已知动点M 到定点F 1（-2，0）和F 2（2，0）的距离之和为 （1）求动点M 轨迹C 的方程；（2）设N （0，2），过点P （-1，-2）作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1+k 2是否为定值？若是的求出这个值．参考答案：1．C 【解析】 【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解 【详解】由2222211211x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c ，所以左焦点坐标为(－20) 答案选C 【点睛】本题考查双曲线的标准式的化简和双曲线系数,,a b c 的关系式，222c a b =+ 2．C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点P x y z （，，）关于yOz 平面对称的点的坐标为x y z -（，，）．【详解】在空间直角坐标系中，点123P （，，）关于yOz 平面对称的点的坐标为123-（，，）．故选C ． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系中对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．A 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】A 、B 、C 三个社区的居民人数分别为600、1200、1500， 从中抽取一个容量为n 的样本，从C 社区抽取了15人，则15600120015001500n =++，解得33n =． 故选：A ． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】全称命题的否定是特称命题．命题R x ∀∈，2ln 2x ≥”的否定是：2l 2R,n x x ∃∈<． 故选：D ． 5．B 【解析】 【分析】根据程序的运行过程，依次得到,,n m S 的值，然后判断是否满足100S =，结合循环结构，直至得到符合题意的n . 【详解】执行程序框图，8026020,1002080,32010033n m S ==-==⨯+=≠； 则7926821,1002179,6310033n m S ==-==+=≠； 则7822,1002278,66921003n m S ==-==+=≠； 则7728423,1002377,6910033n m S ==-==+=≠； 则7629224,1002476,7210033n m S ==-==+=≠； 则7525,1002575,751003n m S ==-==+=成立， 故输出25n =.故答案为B. 【点睛】本题主要考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 6．A 【解析】根据等差中项，得到222log 2log y x =+，进而得到24y x =，0x >，0y >，即可得出点M 的轨迹图形. 【详解】2log x 、2log y 、2成等差数列，222log 2log y x ∴=+，即()222log log 4y x =，24y x ∴=，0x >，0y >，因此，点(),M x y 的轨迹为抛物线24y x =在第一象限的图象.故选：A. 【点睛】本题考查了等差中项和对数的运算性质，同时也考查了动点轨迹方程的求解，涉及抛物线的问题，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行， 当m=0时，直线方程分别为：34y =，32x =- ，两直线不平行；当3m - 4=0，即43m =时，直线方程分别为：94x =- ，2x+43y+3=0，两直线不平行；由直线mx 3m 4y 30+-+=（）与直线2x my 30++=平行，可知两直线斜率相等， 即234m m m-=-- ，解得m=2或m=4； 当m=2时，两直线重合，故“m 4=”是“直线mx 3m 4y 30+-+=（）与直线2x my 30++=平行”的充要条件.故选C. 【点睛】考查存在斜率的两直线平行的充要条件，根据直线方程求直线斜率，以及充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念,注意求出m 值后，代入直线方程，验证两直线是否重合，直线平行不包括直线重合这一情况. 8．D 【解析】 【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型. 9．D 【解析】 【分析】由两直线垂直得10m =，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案. 【详解】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=，解得10m =， 所以原直线直线420mx y +-=可写为10420x y +-=， 又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=， 故选:D【解析】 【分析】要使得弦长最短，得到直线过点(3,1)P 且与PC 垂直，利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22224x y -+-=，可得圆心坐标为()2,2C ，又由点(3,1)P ，则PC =要使得弦长最短，则直线过点(3,1)P 且与PC 垂直，此时最短弦长为=故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用圆的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】根据直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，得到点(,)P m n 在以原点为圆心，2为半径的圆内，然后再根据圆与椭圆的位置关系判断. 【详解】2>，即224m n +<，∴点(,)P m n 是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆224m n +=内切于椭圆， ∴点P 是椭圆内的点，∴过点(,)P m n 的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D 12．B 【解析】在焦点三角形中根据等腰三角形和椭圆定义可将三边长用,a c 表示, 设12PF F θ∠=,根据余弦定理可得cos θ,再根据θ的范围列不等式,结合离心率的定义,解关于离心率的不等式可得. 【详解】 如图所示:因为△12PF F 是以2F P 为底边的等腰三角形, 所以112||||2PF F F c ==,由椭圆的定义可得:2||22PF a c =-, 设12PF F θ∠=,因为1260120PF F <∠<, 所以11cos (,)22θ∈-,在△12PF F 中,由余弦定理可得,222(2)(2)(22)cos 222c c a c c c θ+--=⨯⨯2222222122c a ac e e c e-++-== , 所以221211222e e e +--<<,所以22102210e e e -<⎧⎨+->⎩,解得12e <<. 故选:B. 【点睛】本题考查了椭圆的定义,余弦定理,离心率的公式,解一元二次不等式,属于基础题. 13．100 【解析】 【分析】求出月收入在1000元到1500元之间的频率后可得人数． 【详解】由直方图知月收入在1000元到1500元之间频率为1(0.00040.00050.00050.00030.0001)5000.1-++++⨯=，所以人数为10000.1100⨯=． 故答案为：100． 14．> 【解析】 【分析】将两个数均化为十进制数，即可得出结论. 【详解】因为()3410001464=⨯=，()5432211111122222163=+++++=，所以()()421000111111>，故答案为：>. 15．4 【解析】 【分析】先求出AB 的方程，求出圆心C 到直线AB 的距离，用此距离减去半径，再乘以||2AB ，即为所求． 【详解】△点A （-2，0），B （0，2），△AB 的直线方程为22x y+-=1，即x-y+2=0．圆心C （3，-1）到直线AB 的距离为=P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P 到直线AB 距离的最小值为：d AB ==则∆ABP 面积的最小值为(11AB d 422⋅=⋅=. 故答案为4． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．16．(1]- 【解析】 【分析】1x -是半圆，由直线与圆的位置关系可得． 【详解】1x -以以(1,1)F 为圆心，1为半径的圆的右半部分，如图，它与x 轴公共点为(1,0)A ，当直线y x b =+时，1b =-，当直线y x b =+1=，b =b =．所以b 的范围是(1]-．故答案为：(1]-．17．(1)3470x y +-= (2)20x y +-=或0x y -= 【解析】 【分析】（1）求出P 点坐标，由平行得斜率，然后可稈直线方程； （2）根据截距是否为0分类讨论设出直线方程求解． (1)由210210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)P ，直线34150x y +-=的斜率为34-，所以所求直线方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=；(2)当截距为0时，直线方程为y x =，即0x y -=．当截距不为0时，设直线方程为1x ya a +=，所以111a a +=，2a =，所以直线方程为221x y+=，即20x y +-=． 18．（1）4, 4.8x y ==；（2）ˆ 1.2y x =；（3）维修费用为12万元【解析】 【分析】（1）利用x y ，的计算公式即可得出；（2）利用ˆb 的计算公式得出结果，再求ˆa 即可；（3）利用第（2）问得出的回归方程，计算x =10时的结果即可. 【详解】 （1）2345645x ++++==，24567 4.85y ++++==．（2）51i i i x y =∑=2×2+3×4+4×5+5×6+6×7=108，5xy =5×4×4.8=96，521i i x =∑=90，25x =80，△10896ˆ9080b-=-=1.2，ˆˆa y bx =-=4.8-1.2×4=0， 所以，线性回归方程为ˆy =1.2x ． （3）当x =10时，y =12.所以该设备使用10年，维修费用的估计值为12万元. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用及相关计算，意在考查学生的数据处理能力，分析能力及计算能力，难度不大.19．(1)22(2)(3)5x y -+-=；(2)1x =或3410x y -+=. 【解析】 【分析】（1）先求AB 的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心C 到直线l 距离，设直线l 点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件.【详解】（1）设圆心为M ，则M 应在AB 的中垂线上，其方程为2x =，由222103x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，即圆心M 坐标为()2,3又半径r MA =()()22235x y -+-=. （2）点()1,1P在圆内，且弦长为4<.圆心到直线距离1d ==.△当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =， 此时圆心到直线距离为1，符合题意.△当直线的斜率存在时，设为k ，直线方程为()11y k x -=- 整理为10kx y k --+=，则圆心到直线距离为1d =，解得34k =，直线方程为3410x y -+=， 综上△△，所求直线方程为1x =或3410x y -+=.20．（1）实数x 的取值范围为(2，3)；（2）实数a 的取值范围是(1，2]. 【解析】 【详解】本题考查复合命题的应用和必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答（1）当a=1时，p 真：1＜x ＜3，q 真：2＜x≤3，由p△q 为真，能求出x 的取值范围． （2）若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，由a ＞0，知p ：a ＜x ＜3a ，q ：2＜x≤4，由此能求出a 的取值范围．（△）由22430x ax a -+<得 (3)()0x a x a --<，又 0a >，所以 3a x a <<， 当1a =时，1< 3x <，即 p 为真时实数 x 的取值范围是1< 3x <. 由12,{30,2x x x -≤+≥-得 13,{32,x x x -≤≤≤->或解得 23x <≤，即q 为真时实数 x 的取值范围是 23x <≤. 若p q ∧为真，则 p 真且q 真，所以实数 x 的取值范围是(2,3).（△）由（△）知p ：3a x a <<，则 p ⌝： x a ≤或 3x a ≥， q ：23x <≤，则 q ⌝： 2x ≤或 3x >，p ⌝是 q ⌝的充分不必要条件，则 p q ⌝⇒⌝，且q p ⌝⇒⌝，△02,{33,a a <≤>解得 12a <≤，故实数a 的取值范围是 (1,2]． 21．（1）2-；（2）()10,0或者()8,0- 【解析】 【分析】联立方程组224y x b y x=+⎧⎨=⎩，整理得224(44)0x b x b +-+=，利用根与系数的关系和弦长公式，列出方程，即可求解；（2）设点P 的坐标为(,0)()a a R ∈时，APB ∆的面积为角形的面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组224y x by x=+⎧⎨=⎩，整理得224(44)0x b x b +-+=，可得212121,4b x x b x x +=-=，由曲线的弦长公式，可得21AB x -=又由5AB =5=，解得2b =-，即实数b 的值为2-. （2）由（1）知AB 所在的直线方程为220x y --=， 设点P 的坐标为(,0)()a a R ∈时，APB ∆的面积为此时点P 到直线220x y --=的距离为d ==，所以APB ∆的面积为115122S AB d =⋅=⨯=-，1-=，解得10a =或8a =-，所以点P 的坐标为(10,0)或(8,0)-. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，利用根与系数的关系，以及圆锥曲线的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．（1）22184x y +=（2）见解析 【解析】 【分析】(1)由椭圆的定义确定轨迹方程即可；(2)当直线斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理和斜率公式可得k 1+k 2的值，当斜率不存在时，直接计算k 1+k 2的值，从而可以考查k 1+k 2是否为定值. 【详解】（1）由椭圆定义，可知点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，以由2c a ==，b =2． 故曲线C 的方程为22184x y +=． （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y +2=k （x +1）， 由()2218421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，得（1+2k 2）x 2+4k （k -2）x +2k 2-8k =0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），()1224212k k x x k -+=-+，21222812k kx x k -=+．从而()()()()121212122121224422224428kx x k x x k k y y k k k k x x x x k k+-+---+=+==--=-． 当直线l的斜率不存在时，得11A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，， 得k 1+k 2=4． 综上，恒有k 1+k 2=4． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
2019-2020学年四川省凉山州高二下学期期末考试数学(理科)试题及答案
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75´ 25´ 45´ 55
这说明有 90% 的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.
（2）依题意，满意的概率 P= 3 4
X
~
B
æ çè
4,
3 4
ö ÷ø
故
P
(
X
=
0
)
=
æ çè
1 4
ö4 ÷ø
=
1 256
P(X
= 1)
=
C14
æ çè
3 4
ö3 ÷ø
´1 4
=
12 256
个单位
6
B.函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 5 对称 6
C.当 x∈[－ ， ]时，函数 f(x)的最小值为－ 2
66
D.函数 f(x)在[ ， ]上单调递增
63
8.袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，若第二次摸到的
是红球，则第一次摸到红球的概率为
．
易知，二面角
3 10
F - AB - P 是锐角，∴其余弦值为 10
21:
uuur
uuuur
（1）设 P（x，y），M（ x0, y0 ）,则 N（ x0 , 0 ）， NP = (x - x0 , y), MN =（0, y0）
uuur 由 NP =
uuuur 2 NM 得 x0 = 0，y0 =
由
BF
^
AC
，得
2(1 -
2l)+2(2
-
2l)=0
，解得 l
=
3 4
，即
uuur BF
=