外微分

利用外微分对场论中三个算子的讨论

【摘要】

本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系.

关键词：外微分场论

1、引言

在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.

2、主要结论及其证明

2.1场论的简单引入

2.1.1 场的概念

依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.

2.1.2 场论中的三个算子

从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.

定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.

在三维的直角坐标系中可以表达为:

.

从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.

定义 2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭

曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式

的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即

它表示点附近单位体积所流出的流量，称为处源的密度.

从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.

定义2.3:设是定义在区域上的向量场,是中的一点,是在点处取定的单位向量.

在内过,做任意光滑的且以为法向量的曲面元,假定这个曲面元的面积为,它的边界

是逐段光滑的闭曲线.选取的环行方向,使之与向量组成右手螺旋系统.如果当面元

无限收缩于点，而在点处的法向量保持不变时，平均环量

的极限就存在，就称此极限为场在点处绕方向的涡量,记做,即

并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点的旋度,

记作.

2.2 外微分形式

2.2.1 外微分形式的外积

设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为0;两个不

同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用表示.

则定义2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式.

设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一

阶、二阶和三阶外微分式

（1）

（2）

（3）

（4）

其满足分配律和结合律，但不满足交换律.

2.2.2 外微分形式的外微分

当我们在其中引入微分运算符d,若是零次外微分形式,即为函数,则定义

d就是通常的全微分算符.若是一次外微分形式

则定义

将全微分的表达式带入后化简，给出

若是二次外微分形式，则可以类比.

若__D_Dd__________ìĝϨϨ______________

2.3 对梯度、散度、旋度的统一

2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系

因为在此，仅仅涉及到三维欧式空间，则三次外微分没有与之对应的“度”，可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.

(1)零次外微分形式的外微分公式为

而数量场的梯度为

所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。

(2)一次外微分形式的外微分为

而矢量场的旋度为

所以一次外微分形式的外微分与旋度相对应。

(3)二次外微分形式_//

而矢量场的散度为

所以二次外微分形式的外微分与散度相对应。

(4) 在三维空间，三次外微分形式的外微分为0.则这三个算子与外微分形式的对应关系为

外微分形式的次数外微分对应的度

0梯度

1旋度

2散度

2.3.2 对几个公式的描述

（1）牛顿-莱布尼兹公式

其中是在上的一个原函数。若记,则，则牛顿-莱布尼兹公式可写为

（2）斯托克斯公式

其中是以分段光滑曲线为边界的光滑曲面，与的方向遵从右手法则.

在这个公式中，由于与都是有向的，故是有向长度微元，是有向面积微元，若记，则

故斯托克斯公式可写为

格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形，自然也具有上述形式。

（3）高斯公式

其中空间闭区域以分片光滑曲面为边界，曲面取外侧。

在这个公式中，由于是有向的，故也可看作有向的。若记

则

故高斯公式可写为

综合上述，可以将上述各公式统一为

令为维区域，则是的边界（因而是维的），是阶外微分（因而是阶外微分）。此定理在N维无限的空间依然适用，并不只局限于三维空间.

3、举例

例1 求矢量场的旋度.

解: 设

则

所以

4、结论

利用外微分形式可以很好的将场论中的梯度,旋度,散度进行解释与统一.同时找到联系多元函数积分的几个公式间的统一形式.

参考文献

【1】陈天权《数学分析讲义》北京大学出版社 2010年

【2】中国科技大学高等数学教研室《高等数学导论》中国科学技术大学出版社 2008年【3】马知恩王锦森《工科数学分析基础》（第二版）高等教育出版社 2006年

【4】曹剑光曹维玺《外微分在场论中的应用》长安大学学报(自然科学版) 第25卷第3期 2005年5月