学习外微分形式的一些感受
学习外微分形式的一些感受
PB07210141 焦凡书 外微分形式把Stokes,Gauss 公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare ’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。
如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M ，并在M 处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S 上任意一点M ’，在S 上做一条连接M,M ’的曲线，由n(M ’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M ’处的单位法向量n(M ’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S 在M 处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。
在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)
则面积元素dA=dxdy=|())
(v u y x ,,??|dudv=|
v
y u y v
x
u
x
????????|dudv=(u y v x v y u x ????????_)dudv
若将x,y 对换dA=dydx=|())
(v u x y ,,??|dudv=|
v
x u
x v
y
u
y
????????|dudv=(v y u x u y v x ????????_)dudv
可得dxdy=-dydx
dxdx=0
我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用∧ 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H 是x,y,z 的函数，则Pdx+Qdy+Rdz 为一次外微分形式。Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy 为二次外微分形式，Hdx ∧dy ∧dz 为三次外微分形式。 可以证得（1）Newton-Leibniz 公式用外微分表示?
D
df =f(b)-f(a)=
??D
f
（2）Green 公式用外微分表示=ωPdx+Qdy,??+D
Qdy Pdx =dxdy y
P
x Q D
)(
??-???,
???=D
D
d ωω
（3）Gauss 公式用外微分表示
=ωPdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy,
??
S
Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy=
)(
z
R y Q x P V
??+??+?????dx ∧dy ∧dz, ??????=V
V
d ωω
（4）
Stokes
公式用外微分表示
=
ωPdx+Qdy+Rdz,
)()()(
dy dx y
P x Q dx dz x R z P dz dy z Q y R Rdz Qdy Pdx L
S
∧??-??+∧??-??+∧??-??=++???, ???=?S
S
d ωω
而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为
由此得出公式的一般形式：
定理 设为ω外微分形式，d ω是它的外微分，则有?
?=?G
G
d ωω
G 是d ω的积分区域，?G 表示G 的边界。
Stokes 公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令ω，d 为算子，则它们对偶. 所以说Stokes 公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多
内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。 参考书目：《高等数学导论》 《微积分五讲》龚升
第6章 多元函数微分学5-8导学解答(6.2.1 复合函数的微分法6.2.2 全微分形式不变性)
6.2 多元函数微分法 6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式不变性 一、相关问题 1.设(,,)u f x xy xyz =，其中f 具有一阶连续偏导数，显然u 是,x y ，z 的三元函数，如何求u 的一阶偏导数及二阶偏导数． 2.一元函数的一阶微分形式的变性是什么？ 二、相关知识 1.如何确定复合函数的中间变量及自变量？ 2.如何确定复合函数的高阶导数中的中间变量及自变量？ 三、练习题 1.设22ln(1),2sin ,3z x y x t y t =++==，求 dy dt 。 解 这里z 是函数，,x y 是中间变量，t 是自变量．复合关系图为则 222222 224c o s 62c o s 3111d y x y x t y t d t x y x y x y +=?+?=++++++． 2.设(,,)z f x u v =可微，(,,)u g x v y =，(,)v h x y =的偏导数存在，求dz ，z x ??，z y ??。 解 由于函数有多重复合结构，用全微分形式的不变性较简便 123 dz f dx f du f dv =++ 又 12 3 d u g d x g d v g d y =+ +，12dv h dx h dy =+ 12123312121312212332222 ()() ()()dz f dx f g dx g dv g dy f h dx h dy f f g f h f g h dx f g f h f g h dy ∴=+++++=++++++ 故 12131221z f f g f h f g h x ?=+++?，2332222z f g f h f g h y ?=++?。 3.设20 (,)x y t z f t e dt = ? ，其中f 具有连续一阶偏导数，求dz 及 2z x y ???。 解 由于2 2 2222(,)(,)(2)x y x y dz f x y e dx y f x y e xydx x dy ==?+ 所以 22(,)2x y z f x y e xy x ?=? 故2222222312122(,)()222()x y x y x y z xf x y e x f x e f xy xf x y f e f x y ?''''=++?=++??。 4.设2 2 ()(,)z f ax by g x y xy =++，其中,f g 都有连续二阶偏导数，求2z x y ???。 解 函数g 的复合关系图如右下图所示。
微分形式及其应用
微分形式及其应用 1 引子 两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？ 比如 y x f +=2 ，6022 2 4 +++=y y x x g ，它们之间就有关系602 +=f g ，这很 明显。但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。 另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式 ()0221 442////) ,(,22 =++=????????=??y x xy x x y g y f x g x f y x g f ，因此它们相关，互为函数关系。 对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。比如),,(),,,(z y x g z y x f ，要想判定他们是否互为函数，就要判定 ()() y x g f ,,??， ()() z y g f ,,??， ()() x z g f ,,??都为0才对。 有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释） 44444444)44()22(2) 22()22(2) 2()2()602()602()602()(3 3 3 3 3 2 2 24 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2422422 2 4 2 =∧-∧-∧+∧=∧+∧+∧+∧=+∧++∧=++∧+++∧=+∧++∧=+++∧++++∧=+++∧+=∧dy xydx dy dx x dy xydx dy dx x dx xydy dx dy x dy xydx dy dx x xydx dx x dy ydy dy x xdx dy x y dx dx dy dy dy x y dx xdx y x x d dy y y x d dx y y x x d dy y y x x d dx y y x x d y x d dg df 好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。da db db da ∧-=∧，0=∧da da 这让我们想起了面积的定义。对了！外积的意义就是面积。 我们重新理解一下（见图） 如果将),(g f 作为两个变量，则组成空间。),(g f 作为),(y x 的函数，当),(y x 改变时， ),(g f 也随之改变。当函数g f ,互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当) ,(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 也形成一个小面积。但是当函数g f ,互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当),(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。由于dg df ∧就代表面积元，因此为0.
二阶微分不具有形式不变性
二阶微分不具有形式不变性 设中间变量u=u(x)，函数y=y(x)=y(u(x))，x为自变量。 如果求导时符号没有下标，也就是没有写明对哪个 变量求导，那么默认就是对自变量求导。 在求一阶微分的时候，我们通常是先求导，再乘上x 的改变量： 此时y对x的导数可以写作，也就是y的改变量的 近似值除以自变量x的改变量。 这个规则对中间变量u仍然成立，即 所以y对u的导数可以写作，我们称一阶微分具有 形式不变性。 在求二阶微分的时候，求d2y也可以先对x求二阶导数，再乘上x的改变量的平方： 此时y对x的二阶导数可以写作，也就是“y的 改变量的近似值”的改变量的近似值除以自变量x的 改变量的平方。
但是这里要求x必须为自变量，因为我们规定了 d(d x)=0，也就是d x是与x无关的常数。如果u(x)为函数，那么d2u≠0，于是 因此y对u的二阶导数不能写作，求d2y时也必须同时求出y对u的二阶导数和一阶导数，分别与(d u)2和d2u相乘，然后相加。二阶微分不具有形式不变性！（更高阶微分或偏微分的情况，请参阅英文维基百科Differential of a function条目下面的Higher-order differentials一节内容） 例如，若u=x2+1，y=2u2，则 (1) y=2(x2+1)2=2x4+4x2+2 (2) d y=(8x3+8x)d x (3) dy=4u d u (4) d2y=(24x2+8)(d x)2 (5) d2y≠4(d u)2 （因为u是函数，所以d2u≠0） (6) d2y=4(d u)2+4u d2u (7) d u=2x d x (8) d2u=2(d x)2 （因为x是自变量，所以d2x=0）
学习外微分形式的一些感受
学习外微分形式的一些感受 PB07210141 焦凡书 外微分形式把Stokes,Gauss 公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare ’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。 如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M ，并在M 处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S 上任意一点M ’，在S 上做一条连接M,M ’的曲线，由n(M ’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M ’处的单位法向量n(M ’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S 在M 处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。 在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v) 则面积元素dA=dxdy=| ()) (v u y x ,,??|dudv=| v y u y v x u x ????????|dudv=( u y v x v y u x ????????_ )dudv 若将x,y 对换dA=dydx=| ()) (v u x y ,,??|dudv=| v x u x v y u y ????????|dudv=( v y u x u y v x ????????_ )dudv 可得dxdy=-dydx dxdx=0 我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用∧ 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P ,Q,R,H 是x,y,z 的函数，则Pdx+Qdy+Rdz 为一次外微分形式。Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy 为二次外微分形式，Hdx ∧dy ∧dz 为三次外微分形式。 可以证得（1）Newton-Leibniz 公式用外微分表示?D df =f(b)-f(a)=??D f （2）Green 公式用外微分表示=ωPdx+Qdy, ? ?+D Qdy Pdx =dxdy y P x Q D )( ??- ???, ???= D D d ωω （3）Gauss 公式用外微分表示=ωPdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy, ?? S Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy= )( z R y Q x P V ??+ ??+ ????? dx ∧dy ∧dz, ????? ?=V V d ωω （4 ） Stokes 公 式用外微分表示=ωPdx+Qdy+Rdz,
微分流形
《微分流形》课程教学大纲 课程编号: 02200030 课程名称：微分流形 英文名称： Differential Manifolds 课程类型: 选修课 总学时： 56 讲课学时：42 习题课学时： 14 学分： 3 适用对象: 数学与应用数学专业本科四年级 先修课程：数学分析、高等代数、微分几何 一、课程简介 微分流形是20世纪数学有代表性的基本观念，是描述许多自然现象的一种空间形式。本课程属于大范围分析与几何范畴，是学习现代数学的基础。主要论述与流形有关的最重要，最基本的知识。通过对本课程的学习，目的是使学生掌握必要的现代几何基础知识。这门课程的主要内容是介绍微分流形的基本概念，流形上的切问题，张量与外微分形式等概念和一些主要定理，以及流形上的积分和Stokes定理。适于高年级本科生。 四、教学内容及要求 第一章准备知识(讲课6 , 习题课2) §1. n维欧氏空间 §2. 光滑映射 §3. 曲纹坐标 §4. 张量 §5. 外代数 第二章微分流形(讲课 12 , 习题课4) §1. 微分流形的定义 §2. 光滑映射 §3. 切向量和切空间 §4. 子流形 第三章切向量场(讲课 12 , 习题课4) §1. 切丛 §2. 光滑切向量场 §3. 单参数变换群 §4. Frobenius定理 §5. 光滑张量场 第四章外微分式(讲课 12 , 习题课4)
§1. 外微分式 §2. 外微分 §3. Pfaff方程组和Frobenius定理 §4.外微分式的积分和Stokes定理 十、推荐教材和教学参考书 教材：《微分流形初步》，陈维桓编著，高等教育出版社，1998年。 参考书： 1、《黎曼几何初步》，白正国，沈一兵等编著，高教出版社。 2、《微分几何讲义》，陈省身，陈维桓等编著，北京大学出版社。 大纲制订人：贾兴琴、冷雁 大纲审定人：冯淑霞 制订日期：2007年3月15日
外 微 分
外 微 分 尹 小 玲 以下仅在三维空间中讨论。 一、微分的外积运算 微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则： （1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）； （2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(； （3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(； dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。 dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向 体积微元。因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。 把微分的外积运算与向量的外积运算b a ?相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。而| |b a ?在几何上是以b a ,为边的平行四边形的面积，对应于 dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧|| 二、外微分式及其外微分式的外积运算 设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式 F （1） Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4） 例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
外微分
利用外微分对场论中三个算子的讨论 【摘要】 本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系. 关键词：外微分场论 1、引言 在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明. 2、主要结论及其证明 2.1场论的简单引入 2.1.1 场的概念 依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场. 2.1.2 场论中的三个算子 从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念. 定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向. 在三维的直角坐标系中可以表达为: . 从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念. 定义 2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭 曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式 的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即
微分几何 陈维桓 第四章讲稿.
目录 第四章曲面的第二基本形式 (50) § 4.1 第二基本形式 (50) § 4.2 法曲率 (52) § 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55) 一、Gauss映射和Weingarten变换 (55) 二、主曲率和主方向 (55) § 4.4 主方向和主曲率的计算 (57) 一、Gauss曲率和平均曲率 (57) 二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (59) 三、第三基本形式 (61) § 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (61) § 4.6 某些特殊曲面 (64) 一、Gauss曲率K为常数的旋转曲面 (65) 二、旋转极小曲面 (66)
第四章 曲面的第二基本形式 本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面 计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主方向与主曲率 § 4.1 第二基本形式 设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 向量函数(,)r u v 的一阶微分为 u v dr r du r dv =+， 二阶微分为 ()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++. 由于0dr n ?=，再微分一次，得2 d r n dr dn ?=-?. 定义 二次微分式 222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6) 称为曲面S 的第二基本形式(second fundamental form)，其中 uu u u L r n r n =?=-?，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲面S 的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度 由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量,,L M N 一般都会改变. 第二基本形式与空间坐标系的选取无关. 对曲面:(,)S r r u v =作参数变换 (,),(,)u u u v v v u v == (1.7) 在新的参数下， (,)n u v (,r u u v +?(,) r u v r ?
§4–7 微分 基础知识导学9页
§4–7 微分 基础知识导学 1．定义 如果函数y= f (x)在点x的某一邻域内有定义，且当自变量x有改变量Δx时，函数y有改变量Δy Δy= f (x+Δx) - f (x)=A?Δx+o(Δx) (Δx→0) 其中A与Δx无关，则称A?Δx为函数f (x)在点x处的微分，记作dy或df (x) 即dy=A?Δx或df (x) =A?Δx 此时也称函数y= f (x)在点x处可微。 当A≠0时函数的微分dy=A?Δx也称作函数的改变量Δy的线性主部。 2．可微与可导的关系 定理函数y= f (x)在x点可微的充要条件是：函数y= f (x)在x点可导。 换言之，若函数y= f (x)在x点可导，则它在x点可微，且dy= fˊ(x)Δx；反之若函数在x点可微dy=A?Δx，即，则它在x点可导，且fˊ(x) =A 又因自变量的微分就等于自变量的改变量，即dx=Δx，所以 dy= fˊ(x)dx dy 有fˊ(x) = dx 即函数y= f (x)在x处的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，故导数也称作微商。 3．微分的几何意义 函数f (x)在处的微分dy= fˊ(x0)dx即为切线MT上的点的纵坐标的增量（如图所Array 示）dy=| NT |
4．微分的基本公式和运算法则 由dy= f ˊ(x )dx 和导数的基本公式，可得如下 微分基本公式： （1）d (C) = 0 （C 为常数） （2）d (αx )= 1-ααx dx (α为任意实数) （3）d (sin x )= cos xdx （4）d (cos x )= -sin xdx （5）d (tg x )= sec 2x dx （6）d (ctg x )= -csc 2xdx （7）d (a x )= a x ln adx （8）d (e x )= e x dx （9）d (log a | x |)=a x ln 1dx (a > 0，a ≠1) （10）d (ln| x |)=x 1dx （11）d (arc sin x )= 2 11x -dx （12）d (arccos x )=2 11x -- dx （13）d (arctg x )=2 11 x +dx （14）d (arcctg x )=211x +-dx （15）d (sh x )= ch x dx （16）d (ch x )= sh xdx （17）d (th x )= x ch 2 1dx 对应于求导的运算法则有下面的微分运算法则： （1）d [ u (x )±v (x ) ]= d u (x ) ± d v (x ) （2）d [ u (x ) v (x ) ]= d u (x ) v (x ) + u (x ) d v (x ) （3）d [c u (x )] = c d u (x )
函数的微分
§5 函数的微分 【目的要求】 1、掌握函数、隐函数、复合函数的微分法则； 2、熟练掌握一阶微分形式不变性求函数微分的方法． 【重点难点】 微分概念、微分形式的不变性及其应用． 【教学内容】 在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点x 处有微小增量x ?时，求函数()y f x =相应的微小增量 ()()y f x x f x ?=+?-。 这个问题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数()f x ，增量y ?的值不易求出。这时我们可以考虑求y ?的近似值，怎样求y ?的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。 一、微分的定义 先分析一个具体问题。一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由0x 变为x x ?+0，问铁片的面积大体改变了多少？ 如图2-5所示,设正方形铁片的边长为x ，面积为 A ，则 2A x =， 当边长x 由0x 变为x x ?+0时，面积的改变量为 2 2 2 00 0()2()A x x x x x x ?=+?-=?+?。 上式包含两个部分，第一部分是02x x ?，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是x ?的线性函数，是A ?的主要部分；第二部分是2()x ?，即图中带有交叉斜线 图2-5
的小正方形的面积，当0x ?→时，2()x ?是比x ?高阶的无穷小，是A ?的次要部分。 由此可见，如果边长有微小改变(即||x ?很小)时，我们可以将第二部分2 ()x ?忽略，而用第一部分02x x ?近似地表示A ?，即02A x x ?≈?。因为00()2A x x '=，所以0()A A x x '?≈?，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。由此我们引入微分的定义。 定义5.1 设函数()y f x =在点0x 处可导，自变量x 由0x 变到0x x +?，则把 x x f ?')(0叫做函数()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ?的微分，记作0 d x x y =或 d () x x f x =，即 0d ()x x y f x x ='=?或0 0d () ()x x f x f x x ='=?. 此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微。 函数()y f x =在任意点x 的微分，叫做函数()y f x =的微分，记作dy 或 ()df x ，即 d ()y f x x '=?或d ()()f x f x x '=?. 例1 求函数2x y =当01.0,2=?=x x 时的增量和微分。 解 函数的增量为0401.02)01.02(22=-+=?y ， 函数的微分为2d ()2y x x x x '=??=??，将01.0,2=?=x x 代入，得 d 220.010.04y =??=. 由上例结果可看出，d y y ?≈，误差是0.0001. 对于函数x y =，它的微分是d d y x x x x '==??=?，即 d x x =?. 即自变量的微分等于自变量的增量。 于是函数的微分可以写成 d ()y f x dx '=， 即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。从而有 d ()d y f x x '=，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。 从上看到，若函数可导，则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。
第三章 外分是和活动标架
第三章 外微分是 和活动标架 一 外微分形式 1 Grassmann 代 数 （1） 主要概念 2n 维向量空间()v G ，外乘、 Grassmann 代数 设V 是n 维向 量 空间，{}e e e n ,ΛΛ21是它 的一组基。 ()V V V V n p V G ΛΛΛ⊕⊕⊕⊕=10其中 R ,R V V n ≈=0 ??????∧∧∧=∑<<≤a i i i i i i p i p p a p e e e a V ΛΛΛ12111（2）主要性质和 公式
命题 1 Grassmanm 代数 满足反交换律。 V V q p y ,x ∈∈则 ()x y y x pq ∧=∧-1 推论 设V y ,x 1 ∈ 则 0,=∧∧-=∧x x x y y x 命题 2 设 {}e e e n ,ΛΛ21是V 一维基 ， ,,,21V y y y p ∈Λ,则 有() ∑===n j j ij i p i e a y 12,1ΛΛ ∑≤≤≤≤=∧∧∧n p i i pi pi i i p p p a a a a y y y ΛΛΛ ΛΛΛΛ11112111p i i i e e e ∧∧∧ (21)
推论 1 V 中 的一组向量 y y y p ,Λ21是线性无关的必要和充 分条件是： 021≠∧∧∧y y y p Λ. 推论 2 设{} y y y n ,ΛΛ21是V 的另一组基，并 且()∑===n j j ij i n i e a y 1 ,,2,1Λ ()0det ≠a ij 则有 ()a y y y ij n det 21=∧∧∧Λe e e n ∧∧∧Λ21 2 外微分形式 （1） 主要概念 坐标域U 上 的-∞ C 函数环K 上的模V ，外微
微分形式的外微分
习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω； （3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 （2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 （3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ， 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ， 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证 明
8.4-2全微分形式不变性
第八章 多元函数微分学 第4节多元复合函数的求导法则 全微分形式不变性
d z u z v x u x v x ??????=?+? ???????d d d z z z x y x y ??=+??d z u z v y u y v y ??????+?+? ???????d d z u u x y u x y ?????=+ ??????d d z v v x y v x y ?????++ ??????d z u u ?=?d .z v v ?+?
实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. z v u 、v u 、称之为 全微分形式不变性.
] )cos( )[sin(y x y x e y x +++=解:) (d d =z u v e u d sin =v e u sin v v e u d cos +] )cos( )[sin(y x y x e y x +++=)(d y x )(d y x +)d (d y x +)d d (y x x y +
[sin()cos()];x y z e y x y x y x ?=?+++?[sin()cos()].x y z e x x y x y y ?=?+++?所以[sin()cos()]x y e y x y x y =+++[sin()cos()]x y e x x y x y ++++d x d y d z 即
解d(2)0,xy z e z e --+= d()2d d 0,xy z e xy z e z -∴--+=(2)d (d d ) z xy e z e x y y x --=+d d (2)(2) xy xy z z ye xe z x y e e --=+--x z ??,2-=-z xy e ye y z ??.2 -=-z xy e xe
外微分
外 微 分 尹 小 玲 以下仅在三维空间中讨论。 一、微分的外积运算 微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则： （1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）； （2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(； （3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(； dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。 dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。 把微分的外积运算与向量的外积运算b a ?相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全 类似的。而||b a ?在几何上是以b a ,为边的平行四边形的面积，对应于 dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧|| 二、外微分式及其外微分式的外积运算 设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式 F （1） Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）
最新微分几何 陈维桓 第四章讲稿
微分几何陈维桓第 四章讲稿
精品好文档，推荐学习交流 目录 第四章曲面的第二基本形式 (50) § 4.1 第二基本形式 (50) § 4.2 法曲率 (51) § 4.3 Weingarten映射和主曲率 (54) 一、Gauss映射和Weingarten变换 (54) 二、主曲率和主方向 (55) § 4.4 主方向和主曲率的计算 (57) 一、Gauss曲率和平均曲率 (57) 二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (58) 三、第三基本形式 (59) § 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (60) § 4.6 某些特殊曲面 (63) 一、Gauss曲率?Skip Record If...?为常数的旋转曲面 (63) 二、旋转极小曲面 (64)
第四章 曲面的第二基本形式 本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面 计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主方向与主曲率 § 4.1 第二基本形式 设?Skip Record If...?为正则曲面，?Skip Record If...?是单位法向量. 向量函数?Skip Record If...?的一阶微分为 ?Skip Record If...?， 二阶微分为 ?Skip Record If...?. 由于?Skip Record If...?，再微分一次，得?Skip Record If...?. 定义 二次微分式 ?Skip Record If...? (1.6) 称为曲面?Skip Record If...?的第二基本形式(second fundamental form)，其中 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (1.4-5) 称为曲面?Skip Record If...?的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量?Skip Record If...?一般都会改变. (,)n u v (,r u u v +?(,) r u v r ?
一阶微分形式不变性
一阶微分形式不变性是指：无论u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(uv)的全微分形式是 一样的。此性质的好处是：一方面是可以不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算； 另一方面是不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量，以及它们的结构问题就可以利用 微分性质直接计算。 定义 若以和为自变量的函数可微，则其全微分为 如果，作为中间变量又是自变量的可微函数 由于复合函数是可微的，其全微分为 由于又是的可微函数，因此同时有 将（3）式代入（1）式，得到与（2）式完全相同的结果。这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性 [1] 。 这是一阶全微分的一个非常重要的性质，有了这个“形式不变性”作保证，对于一个函数 就可以按照是自变量去求它的微分，而无需顾忌究竟真的是自变量，还是一个随自变量变 化的中间变量。 在微积分的教与学的过程中，利用这个性质求解较复杂的多元函数特别是复合函数，隐函数 的偏导数，实用方便，简单易行。 在隐函数求导中的应用编辑 隐函数存在定理是微积分中的难点，一般的教材介绍这一部分时，尽管对定理的证明不做要求，但是推导偏导数的过程复杂，公式繁多，导致许多学生在求隐函数的偏导数时，常会出错，但若利用一阶微分的形式不变性对方程两边同时求微分，则可减少此类错误。 隐函数存在定理1 设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，。则方程在点的某一领域内恒能惟一 确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 [2] 证明设函数在点的某一领域内具有连续的偏导数，且，则函数可微。于是。由于连续，且，由连续函数的保号性，存在的某一领域，在该领域内，。于是可得结论成立。 隐函数存在定理2
第八节微分形式的外微分
第八节 微分形式的外微分 一 微分形式及其外积 我们知道, 一个可微函数12(,, ,)n f x x x 的全微分为 1 n i i i f df dx x =?=?∑ . 它是12,,n dx dx dx 的线性组合, 一个很自然的想法是将12,, n dx dx dx 看作一个线性空间 的基. 设Ω是n ?上的区域, 记12(,,)n x x x x =, 1()C Ω(1,2, ,i n =)为Ω上连续可微函数全 体. 将12,, n dx dx dx 看作一组基, 其线性组合 11122()()(),()()(1,2, ,)n n i a x dx a x dx a x dx a x C i n ++ +∈Ω= 称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为1 ()ΛΩ(或1 Λ). 如果对1Λ中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使1 Λ成为一个1 ()C Ω上的 线性空间. 对于任意1 ,ξη∈Λ: 1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++, 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=++ +, 定义ξη+和λξ(1 ()C λ∈Ω)为 111222(()())(()())(()())n n n a x b x dx a x b x dx a x b x dx ξη+=++++ ++, 1122(()())(()())(()())n n x a x dx x a x dx x a x dx λξλλλ=++ +, 进一步定义1 Λ中的零元为 120000n dx dx dx =++ +, 且定义负元为 1122(())(())(())n n a x dx a x dx a x dx ξ-=-+-+ +- 显然1 Λ成为一个1 ()C Ω上的线性空间. 为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念. 设12(,)a a a =, 12(,)b b b =为平面2 ?上两个线性无关的向量, 我们将行列式 121 2 a a b b
微分及意义
第五讲 微分及其应用 授课题目： 第六节 微分及其应用 教学目的与要求： 1.理解微分的概念和微分的几何意义 2.会求函数的微分 3.会利用函数的微分进行近似计算 4.理解微分形式不变性 教学重点与难点： 重点：函数的微分 难点：函数微分的定义 讲授内容： 第六节 微分及其应用 一、微分的定义与几何意义 讨论当自变量有微小变化时，函数大体上的变化情况。 引例： 边长为x 的正方形铁片，其面积函 数为2x y =，假定它在0x 受热而膨胀，边长增加x ?，这 时 面 积 的增 加量为 2 02 02 02)(x x x x x x y ?+?=-?+=? 从上式可 以看出，y ?分成两部分，第一部分x x ?02是x ?的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分是比x ?高阶的无穷小。由此可见，如果边长改变很微小，即x ?很小时，面积的改变量可用第一部分来 代替，此时误差也很小（误差仅为2x ?）。 1、定义 设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ?+0在此区间内，如果 函数的增量 )()(00x f x x f y -?+=? 可表示为 )(x o x A y ?+?=? 其中A 是不依赖x ?的常数，那么称函数)(x f y =在点0x 点可微的，而x A ?叫做函数 )(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ?的微分，记作dy ，即 x A dy ?= 0x x ?
注：(1) 微分dy 依赖于函数)(x f ，点0x 及自变量的改变量x ?； (2) 微分dy 是x ?的线性函数 可以证明： 证明 （1）可微一定可导 若)(x f y =在x 点可微，则)0)((→??+?=?x x o x A y x x o A x y ??+ =??∴)(等式两边取0→?x 时的极限，有： A x x o A x y x x =??+=??→?→?)(lim lim 即极限x y x ??→?0 lim 存在且等于A ， 而由导数定义，此极限就是：)('x f A x f =∴)('，可微一定可导 （2）可导一定可微 若)(x f y =在x 点可导，则)('lim x f x y x =??→? )()('x x f x y ?+=??∴α，其中0)(lim 0 =?→?x x α x x x x f y ??+?=?∴)()('α 这里x x ??)(α是一个关于x ?的高阶无穷小量，可将)0)(()(→????x x o x x 记作α )()('x o x x f y ?+?=?∴ 由微分定义，可知)(x f y =在x 点可微，且x x f dy ?=)(' 综上所述，对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的，且有x x f dy ?=)('。 2、可微与可导关系 结论 )(x f y =在点0x 处可微?)(x f y =在点0x 处可导，且A x f =')(0，由此 x x f dy ?'=)(0。 主部的定义 )(x o dy y ?+=? 即dy 是y ?的主部，因而 dy y ≈? 又因x x f dy ?'=)(0是x ?的线性函数，所以在0)(0≠'x f 的条件下，就说dy 是y ?
外微分
外 微分 尹小玲(以下仅在三维空间中讨论) 一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ù，它们满足以下运算法则： （1）)()(dy dx a dy adx ù=ù，（a 是实数）； （2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ù+ù=+ù)(； （3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ù-=ù； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=ùdx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ùù=ùù)()(； dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。 dy dx dx dz dz dy ùùù,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ùù在几何上可以理解为有向体积微元。因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。 把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ′相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似 的。而||b a r r ′在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于 dydz dz dy =ù||，dzdx dx dz =ù||，dxdy dy dx =ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算 设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式 F （1）Rdz Qdy Pdx ++（2）dy Cdx dx Bdz dz Ady ù+ù+ù（3）dz dy Fdx ùù（4）