第八节微分形式的外微分

第八节 微分形式的外微分

一 微分形式及其外积

我们知道, 一个可微函数12(,,

,)n f x x x 的全微分为

1

n

i i i

f

df dx x =∂=∂∑

. 它是12,,n dx dx dx 的线性组合, 一个很自然的想法是将12,,

n dx dx dx 看作一个线性空间

的基.

设Ω是n

ℜ上的区域, 记12(,,)n x x x x =, 1()C Ω(1,2,

,i n =)为Ω上连续可微函数全

体. 将12,,

n dx dx dx 看作一组基, 其线性组合

11122()()(),()()(1,2,

,)n n i a x dx a x dx a x dx a x C i n ++

+∈Ω=

称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为1

()ΛΩ(或1

Λ).

如果对1Λ中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使1

Λ成为一个1

()C Ω上的

线性空间. 对于任意1

,ξη∈Λ:

1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++, 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=++

+,

定义ξη+和λξ(1

()C λ∈Ω)为

111222(()())(()())(()())n n n a x b x dx a x b x dx a x b x dx ξη+=++++

++, 1122(()())(()())(()())n n x a x dx x a x dx x a x dx λξλλλ=++

+,

进一步定义1

Λ中的零元为

120000n dx dx dx =++

+,

且定义负元为

1122(())(())(())n n a x dx a x dx a x dx ξ-=-+-+

+-

显然1

Λ成为一个1

()C Ω上的线性空间.

为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.

设12(,)a a a =, 12(,)b b b =为平面2

ℜ上两个线性无关的向量, 我们将行列式

121

2

a a

b b

称为向量a 与b 的外积, 记为a b Λ, 即

12

12

a a a

b b b Λ=

.

平面上的向量的外积的讨论可以推广到n

ℜ上去. 设

12(,,

,),1,2,,,i i i in a a a a i n ==

定义他们的外积为

1112121

22

21212

n n n n n nn

a a a a a a a a a a a a ΛΛΛ=

.

它是由12,,,n a a a 所张成的平行2n 面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配

律.

类似于向量的外积, 规定

,0(,1,2,

,)i j j i i i dx dx dx dx dx dx i j n Λ=-ΛΛ==.

因此共有2

n C 个有序元

,1.i j dx dx i j n Λ≤<≤

以这些有序元为基就可以构造一个线性空间2

Λ. 其中2

Λ的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是2

Λ中的元素可以表示为

1()ij i j i j n

g x dx dx ≤<≤Λ∑

.

这种形式称为2-形式的标准形式.

一般地, 在12{,,

,}n dx dx dx 中任意选取k 个组成有序元, 记为

12k i i i dx dx dx ΛΛ

Λ,

这里12,,,k i i i 是从集合{1,2,

,}n 中选取的任意k 个整数. 规定

1212,1i i k k dx dx dx i i i n ΛΛ

Λ≤<<

<≤.

以这些有序元为基构造一个线性空间k

Λ. 其中k

Λ的元素称为k 次微分形式. 简称k -形式. 于是一般k-形式就可以表示为

121212,,

,1()k

k k i i i i i i i i i n

g x dx dx dx ≤<<<≤ΛΛΛ∑

.

这种形式称为k -形式的标准形式.

显然, 当k n >时, 总有120k i i i dx dx dx ΛΛ

Λ=, 因此{0}k Λ=.

Ω上的连续可微函数称为0-形式, 它们的全体记为0Λ, 它是一个线性空间, 函数

1g ≡是它的一个基.

现在把i j dx dx Λ中的Λ理解为一种运算. 对于任意1

,ξη∈Λ:

1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++, 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=++

+,

定义ξ与η的外积为

1()()()()

i j i j i j n

i j a x a x dx dx b x b x ξη≤<≤Λ=

Λ∑

它是2

Λ中的元素.

下面把这样的外积定义推广到任意的i Λ和j

Λ上去. 若记Λ为线性空间01

,,

,n

ΛΛΛ之和, 即有0

1

n Λ=Λ+Λ+

+Λ, 于是Λ是一个2n (因012n

n n

n n C C C +++=)维的线性

空间, 因此Λ中的元素的一般形式为

01,,0,1,

,i n i i n ωωωωω=++

+∈Λ=.

记12p I i i i dx dx dx dx =ΛΛ

Λ,12q J j j j dx dx dx dx =ΛΛΛ. 则

1212p q I J i i i j j j dx dx dx dx dx dx dx dx Λ=ΛΛ

ΛΛΛΛ

Λ

它是()p q +-形式. 对一般p -形式()I

I

I

g x dx ξ=∑和q -形式()J

J

J

h x dx

η=∑, 定义ξ

和η的外积ξηΛ为

,().I J I J I J

g h x dx dx ξηΛ=Λ∑

它是()p q +-形式. 对于0-形式f ,我们补充定义

()(),p I I I

f f f x

g x dx ξξξ=Λ=∈Λ∑