第4章 张量和外微分形式

注意 q = 1 时， Γ1 (V ) = L(V , R) = V * 就是V 的对偶空间。
定义 2 设 S ∈ Γp (V ),T ∈ Γq (V ), 定义 S ⊗ T ∈ Γp+q (V ) 为 (S ⊗ T )(v1, , vp+q ) = S (v1, , vp )T (vp+1, , vp+q ) .
∑ A(T )(v1,
, vr
)
=
1 r!
σ
(−1)σT (vσ (1) ,
, vσ (r) ) .
称 A 为反称化算子,其中 ∑ 表示对所有(1, ,r )的置换求和。 σ
我们需要证明定义的合理性, 即要证明 A(T ) ∈ Λr (V ) . 首先， A(T ) ∈ Γr (V ) 是显然的。 其次， 注意到对(1, , r )的任意两个置换σ ,τ , 有 (−1)στ = (−1)σ ⋅ (−1)τ . 于 是
n
∑ vi = aijej . 定义 D :V × ×V → R 为 D(v1, , vn ) = det(aij ) ，则 D ∈ Λn (V ) . j =1 4
4、反称化算子 定义 1 ∀T ∈ Γr (V ) ,定义 A : Γr (V ) → Λr (V ) 为对 ∀vi ∈V (i = 1, r) ，
, eir ) = Ti1i2
,
ir
则
推论 dim Γr (V ) = nr .
3、对称张量与反对称张量 定义 1 设T ∈ Γr (V ) ,如果对于 ∀vi ∈V (i = 1, , r) 及(1, , r )的任何置换σ ， 有
T (vσ (1) , , vσ (r) ) = T (v1, , vr ) . 则称T 为 r 阶对称张量。全体V 上 r 阶对称张量的集合记为 Pr (V ) .
{ f i1 ⊗ f i2 ⊗ ⊗ f ir : i1, i2 ,…, ir = 1, 2,…, n}
是 Γr (V ) 的基。
证 先证线性无关性。设
∑ Ci1 i r f i1 ⊗ f i2 ⊗
i1 ,i2 ,…,ir
⊗ f ir = 0 .
则
∑ 0=0 (ej1 ,
, ejr ) = (
C f ⊗ i1 i1 ir
, vr ) ,
5
定义 2 向量空间V 上的 r 阶反对称协变张量称为V 上的 r 次外形式，简称 为 r -形式。
5、反对称张量空间上的外积
定义 设ω ∈ Λr (V ), η ∈ Λs (V ) ，定义外积运算 ∧ 为
ω
∧η
=
(r + s)! r!s!
A(ω
⊗η ) ∈
Λr+s
(V
)，
即对 ∀vi ∈V (i = 1, r + s)
n
∑ = f i1 ( a1jej ) j =1
n
∑ f ir ( a1jej ) j =1
n
n
∑ ∑ = ( a1j f i1 (ej )) ( a1j f ir (ej ))
j =1
j =1
n
∑ = (
a1jδ
i1 j
)
j =1
n
∑(
arjδ
ir j
)
j =1
=
a ai1 i2 12
air r
，
推论 设 g1, , g r ∈V *,i1, ,ir 可在1, , r 中取数，则
g i1 ∧ g i2 ∧
⎧ g1 ∧ ∧ gr ,
∧ gir = ⎪⎨−g1 ∧ ∧ g r ,
⎪ ⎩
0,
(i1, ,ir )为偶置换, (i1, , ir )为奇置换, (i1, ,ir )中有相同者.
6、 Λr (V ) 的基 定理 设V 的基为{e1, , en}, 其对偶基为{ f 1, , f n}, 则 Λr (V ) 的基为
{ f i1 ∧ ∧ f ir 1 ≤ i1 < < in ≤ n}，
从而知： dim Λr (V )
=
Cnr
=
n! . r!(n − r)!
证 首先，{ f i1 ∧ ∧ f ir :1 ≤ i1 < < ir ≤ n}线性无关。事实上，设
注意到
∑ λ f ∧ i1 i1 ir 1≤i1 < <ir ≤n
(ω ∧η)(v1,
, vr +s
)
=
(r + s)! r!s!
A(ω
⊗ η )(v1 ,
, vr +s )
∑ = 1 r!s!
σ
(−1)σω ⊗η(vσ (1),
, vσ (r +s) )
∑ = 1 r!s!
σ
(−1)σω(vσ (1) ,
, vσ (r) )η (vσ (r +1) ,
, vσ (r + s) ) .
由定义可知外积运算满足 1）外结合律 (λω) ∧η = ω ∧ (λη) = λ(ω ∧η) 2）分配律 (ω1 + ω2 ) ∧η = ω1 ∧η + ω2 ∧η, ω1,ω2 同阶；
ω ∧ (η1 +η2 ) = ω ∧η1 + ω ∧η2, η1,η2 同阶。
定理 1 ∧ 满足结合律，即对任意的ω ∈ Λr (V ), η ∈ Λs (V ), ξ ∈ Λt (V ) 有 (ω ∧η) ∧ ξ = ω ∧ (η ∧ ξ ) = (r + s + t)! A(ω ⊗η ⊗ ξ ) . r!s!t!
注 张量积的交换律不成立。
例 ∀gi ∈V *, vi ∈V (i = 1,…, n) ，则 (g1 ⊗ g 2 ⊗ ⊗ g n )(v1, , vn ) = g1(v1) g n (vn ) ，
所以， g1 ⊗ g 2 ⊗ ⊗ g n ∈ Γn (V ) .
2
定理 设V 的基为{e1, ，en}，{e1, ，en}的对偶基为{ f 1, ，f n} ，则
容易证明： A(Γr (V )) = Λr (V ) . 事实上，我们有
定理 若T ∈ Λr (V ) ，则 AT = T .
∑ 证
A(T )(v1,
, vr
)
=
1 r!
σ
(−1)σT (vσ (1) ,
, vσ (r ) )
即 AT = T .
∑ = 1 r!
σ
T (v1,
, vr ) = T (v1,
1
V *P = V * ×V * × ×V * , V q = V × ×V
p次
q次
Γqp (V ) = L(V *p ×V q , R) ，称 Γqp (V ) 为 ( p, q) 型张量空间， Γqp (V ) 的每个元素（即
p + q 重多线性泛函）称为 ( p, q) 型张量。
特别 p = 0 时， Γq0 (V ) = Γq (V ) = L(V q , R) 的每个元素称为 q 阶协变张量，简 称 q 阶张量， Γq (V ) 称为V 上的 q 阶张量空间。
例 1 f (x, y) = xy 定义了 R2 到 R 的双线性泛函。
例 2 设V 是线性空间，V * 是对偶空间。定义T :V * ×V → R 为T ( f , x) = f (x) ，则T 是双线性泛函。
注 1 多重线性映射与线性映射不同。 注 2 记 L(V1 ×V2 × ×Vn ,W ) 为全体V1 × ×Vn 到W 的多重线性映射的集合， 定义加法和数乘如下：
( f + g)(v1, , vn ) = f (v1, vn ) + g(v1, , vn ) ， (λ f )(v1, , vn ) = λ f (v1, , vn ) ， 则 L(V1 ×V2 × ×Vn ,W ) 是 R 上的线性空间。
2、线性空间V 上的张量空间和张量积 定义 1 设V 是 R 上的 n 维线性空间，V * 为其对偶空间，记
(−1)τη(vτ (1) ,
, vτ (r) )ω(vτ (r +1) ,
, vτ (r + s) )
= (−1)rs (η ∧ ω)(v1, ,vr+s ) 其中置换τ 为下面置换之积：
(1, , r + s) ⎯σ⎯→(σ (1), ,σ (r + s)) ⎯r⎯s个对⎯换⎯→(σ (r +1), ,σ (r + s),σ (1), ,σ (r)) .
定义 2 设T ∈ Γr (V ) ,如果对于 ∀vi ∈V (i = 1, , r) 及(1, , r )的任何置换σ ， 有
T (vσ (1) , , vσ (r) ) = (−1)σ T (v1, , vr ) ,
其中 (−1)σ
=
⎧ 1, ⎨⎩−1,
σ 为偶置换,, σ 为奇置换
则称T 为V
第四章 张量和外微分形式
一、张量空间 1、多重线性映射与多重线性泛函 定义 设V1,V2 , ,Vn ,W是n + 1个线性空间，如果映射
T : V1 ×V2 × Vn → W 对于每个向量变量是线性的，即对 ∀i ∈{1, 2,…, n} ，都有
T (v1, , λvi + μv 'i , , vn ) = λT (v1, , vi , , vn ) + μT (v1, , v 'i , , vn ) ， 则称T 是 n 重线性映射或多重线性映射。当W = R 时称为多重线性泛函。
, vr +s )
=
1 r!s!
σ
(−1)σω(vσ (1),
, vσ (r) )η (vσ (r +1) ,
, vσ (r +s) )
∑ = 1 r!s!
σ
(−1)ση (vσ (r +1) ,
, vσ (r + s) )ω(vσ (1) ,
, vσ (r) )
∑ = 1 (−1)rs r!s!
τ
上的 r 阶反对称张量。全体V
上的 r
阶反对称张量的集合记为 Λr (V ) .
显然 Pr (V ) 和 Λr (V ) 都是 Γr (V ) 的线性子空间。 每个 1 阶张量既是对称的，也是反对称的。
例 V 是 R 上的向量空间， vi ∈V (i = 1, 2,…, n) ,设 e1, ,en 是V 的基, 则
称 S ⊗ T 为 S 与T 的张量积。
张量积有性质： (1) 分配律 (S1 + S2 ) ⊗T = S1 ⊗T + S2 ⊗T , S1, S2 同阶张量；
S ⊗ (T1 + T2 ) = S ⊗T1 + S ⊗T2, T1,T2 同阶张量。 (2) 结合律 (S ⊗T ) ⊗W = S ⊗ (T ⊗W ) . (3) 外结合律 (λS) ⊗ T = S ⊗ (λT ) = λ(S ⊗ T ) .
3
所以
∑ T (v1, , vr ) =
T (ei1 , , eir )( f i1 ⊗
i1 ,…,ir
∑ 故T =
T (ei1 , , eir )( f i1 ⊗ ⊗ f ir ) . 记 T (ei1 ,
i1 ,…,ir
∑ T =
Ti1 ir f i1 ⊗
i1 ,…,ir
⊗ f ir .
⊗ f ir )(v1, , vn ) .
n
∑ {e1, , en} 是V 的基，所以 vi = aijej (i = 1,…, n) . 于是 j =1
n
n
∑ ∑ T (v1, , vr ) = T ( a1jej , , arjej )
j =1
j =1
另一方面，因为
∑ =
ai1 1
i1 ir
air r
T
(ei1
eir ) .
( f i1 ⊗ ⊗ f ir )(v1, , vr ) = f i1 (v1) f ir (vr )
∧ f ir = 0 .
f i1 ∧ f i2 ∧
⎧ f 1 ∧ ∧ f n,
∧ f in = ⎪⎨− f 1 ∧ ∧ f n ,
⎪Байду номын сангаас⎩
0,
(i1 in )是偶置换, (i1 in )是奇置换, (i1 in )中有相同者.
7
⊗ f ir )(ej1 ,
, ejr )
∑ =
Ci1 , ,ir f i1 (e j1 ) f i2 (e j2 ) f ir (e jr )
= ∑ C δ δ δ = C i1 i2
ir
,
i1 , ,ir j1 j2
jr
j1 , , jr
即 f i1 ⊗ ⊗ f ir 线性无关。
再 证 Γr (V ) 由 这 些 线 性 无 关 向 量 张 成 。 ∀T ∈ Γ（r V ), v1, , vr ∈V , 因 为
∑ A(T )(vσ (1) ,
, vσ (r) ) =
1 r!
τ
(−1)τ T (vτσ (1) ,
, vτσ (r ) )
∑ = (−1)σ
1 r ! τσ
(−1)στT (vτσ (1) ,
, vτσ (r ) )
= (−1)σ A(T )(v1, , vr ) , 即 A(T ) 是 r 阶反对称张量。
定理 2 ∧ 满足反交换律，即若ω ∈ Λr (V ), η ∈ Λs (V ) ，则 ω ∧η = (−1)rs (η ∧ ω) .
特别, 当 r = s = 1 时, ω ∧η = −η ∧ ω ; ω ∧ ω = 0 .
6
证 对 ∀vi ∈V (i = 1, r + s)
∑ (ω ∧η)(v1,