菱形的性质【公开课教案】

1．1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；

2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；

3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)

一、情景导入

请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等．(2)菱形是特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形．不能忽略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形．

二、合作探究

探究点一：菱形的性质

【类型一】菱形的四条边相等

如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是()

A．10

B．12

C．15

D．20

解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD 的周长．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD.

又∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴△ABD的周长＝3AB＝15.

故选C.

方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．

【类型二】菱形的对角线互相垂直

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC ＝6cm，求菱形的周长．

解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．

解：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

AO＝

1

2AC，BO＝

1

2BD.

因为AC＝6cm，BD＝12cm，

所以AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，得

AB＝AO2＋BO2＝32＋62＝35 (cm)．

所以菱形的周长＝4AB＝4×35＝125(cm)．

方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．

【类型三】 菱形是轴对称图形

如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB

于点E ，CF ⊥AD 于点F ，求证：AE ＝AF .

解析：要证明AE ＝AF ，需要先证明△ACE ≌△ACF .

证明：连接AC .

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD ， 即∠BAC ＝∠DAC . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°. 在△ACE 和△ACF 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧∠AEC ＝∠AFC ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，

∴△ACE ≌△ACF . ∴AE ＝AF .

方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．

探究点二：菱形的面积的计算方法

如图所示，在菱形ABCD 中，点

O 为对角线AC 与BD 的交点，且在△AOB 中，AB ＝13，OA ＝5，OB ＝12.求菱形ABCD 两对边的距离h .

解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．

解：在Rt △AOB 中，AB ＝13，OA ＝5，OB ＝12，

于是S △AOB ＝12OA ·OB ＝1

2×5×12＝30，

所以S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.

又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ， 所以13h ＝120，得h ＝120

13

.

方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．

三、板书设计

菱形错误!

为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.