浅谈函数问题中分类讨论的简化

◇ 湖北 王朝璇 ( 特级教师)
研究发现 , 对称轴 x = 2a 位置活动范围很有限 . 因 为 0 < a < 1 , 故对称轴 x = 2a 介于 ( 0 , 2 ) 之间 , 再 细挖掘发现 2 a = a + a < a 图2 + 1 , 因此 , 对称轴 x = 2a 在 [ a + 1 , a + 2 ] 的左侧 , 且 f ( x ) 与 y 轴的交点在负 半轴 , 函数在 [ a + 1 , a + 2 ]上单调递减 . | f ( x ) | ≤a Ζ - a ≤f ( x ) ≤a ,
1 反客为主
若 A ∪B = R , 求 a 的范围 . 由 A = { x| lg ( x 2 - 2 a x + a 2 + 1 ) < lg 2} , 解 得 A = ( a - 1 , a + 1) .
令
f ( x ) = ( x - a) ( x - 2 ) > 0 ,
如图 1 所示 , 不论 y = f ( x ) 的 Δ> 0 ,Δ= 0 ,Δ< 0 , 由
a , 又 t ≥0 , 所以 0 ≤t < a , 即 0 ≤ a ( a - x ) < a , 解得 0 < x ≤a. 故原不等式的解为 x ∈( 0 , a].
即 bn + 1 = bn + 1 , bn + 1 ( 2 ) 由 ( 1 ) 有 b1 = 1 , bn = n , an = n2 n - 1 . 所以 S n = 2 n- 1 1 + 2 ×2 + 3 ×2 + … + n ×2 , 在公式 1 中 , 令 x
4 故 f ( a + 1 ) ≤a , f ( a + 2 ) ≥- a. 解得 ≤a ≤1 . 5
纵观近几年的高考试题中有关数列的考题 , 不少 n- 1 试题涉及到数列 { n ・ x } 求和 . 对于这种类型的题 目 , 一般采用错位相减法求和 . 在这里 , 我们介绍另一 种求和方法 , 即是利用导数求和 . 这种方法能够简化 运算过程 , 准确地得到结果 . 注意到当 x ≠1 时 , 利用等比数列求和公式有
况 , 转化为有理不等式组来解 . 仔细研究发现如能采 用引入参变量换元的方法 , 则可避免讨论 . 设
a ( a - x ) = t ( t ≥0 ) , 则 x = a t ). a a <t< 2
2
( 1 ) 设 bn =
2
n n- 1
a
. 证明 :数列{ bn } 是等差数列 ;
原不等式得 t > a - 2 ( a -
n
引入参变量 , 作为 揭示 变量 之间 联系的 媒 介 , 帮助我们对变量的变化过程作出定量的 刻画 , 化繁为简 , 化难为易 . ( 作者单位 : 河北省遵化市高级中学)
8
= 2 , 即有 S n =
i =1
∑a
i
= n・ 2 - 2 + 的前 n 项和为 S n , 已知
・ 通法研究 ・
此题的常规思维是对底数分 0 < a < 1 ,a > 1 来讨论确定函数 y = a x 的单调性 , 再分别求 出 y = a x 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值与最小值后求 a 值 ; 若 从整体思维出发 ,单调函数在闭区间上的最值是在端 点处达到 ,则可回避讨论 ,直接求解 . 3 数形结合 例3 已知集合 2 2 A = { x| lg ( x - 2a x + a + 1 ) < lg 2} ,
( 2 ) 求数列{ an } 的前 n 项和 S n . ( 1 ) 由 an + 1 = 2 a n + 2 n , 有 an + 1 an = n- 1 + 1 , n 2 2 - bn = 1 , 即{ bn } 为等差数列 .
因为 a > 0 , 所以 2t 2 - at - a 2 < 0 , 则 -
a1 = 1 2 , S n = n a n - n ( n - 1) , n = 1 , 2 , … 2
1952 年 8 月 1 日 ,人民英雄纪念碑动工兴建 .
x1 x 2 = 1 ≥0 m m> 0
所以
f ( 1) > 0 , 即 - 6 log 3 a + 1 + 1 > 0 , a> 0,
本题通过变换主元 , 把曲线问题转化为直线 问题 , 不仅避免了分类讨论 , 又简化了考察 对象 .
2 整体化归
例2 函数 y = ax 在 [ 0 , 1 ]上的最大值与最小值 的和为 3 , 则 a = . 由题设得 y max + y min = a 0 + a 1 = 1 + a = 3 , 故
- ( 2 n + 1) x ( x 2 - 1) 2
2n
+x +1
下面举例说明 2 个公式在高考题中的应用 .
1 公式 1 的应用
) 在数列 { an } 中 , a 1 = 例 1 ( 2008 年全国卷 Ⅰ 1 , an + 1 = 2a n + 2 . t , 代入 a
2 n
分析 按常规方法需分 x >
◇ 河北 梁玉凤
浅谈函数问题中分类 讨论的简化
B = { x| ( x - a) ( x - 2 ) > 0} ,
分类讨论的思想方法是高中数学的基本方法之 一 ,是历年来高考的重点 . 运用此法解题需要有一定 的分析能力和分类技巧 . 学习中要求同学们在重视分 类讨论思想应用的同时 , 也要避免见参数就讨论 , 应 树立辩证的解题观点使分类讨论用得更为合理 . 如何 简化或避免分类讨论 ,本文以函数问题为例作一简要 探讨 ,供同学们学习参考 .
6 巧引参数
=
1- x ( x - 1)
+
nx . x - 1
n
分别对式 ② 的两边求导 , 得到公式 2 : 2 2n 1 + 3 x + …+ ( 2n - 1 ) x
( 2 n - 1) x
2n + 2
2 2
= .
例6 当 a > 0 时 , 解关于 x 的不等式
a ( a - x) > a - 2 x . a a 和 x ≤ 这 2 种情 2 2
5 挖掘隐含
利用导数求数列的和
2 2
例5 已知 f ( x ) = - x + 4a x - 3 a ( 0 < a < 1 ) . 若函数| f ( x ) | ≤a 在 [ a + 1 , a + 2 ]上恒成立 , 求 a 的取值范围 . 画出草 图 ( 如 图
2) , 从 图 中 仔 细
1 + x + x + …+ x = x + x + …+ x
3 2n - 1 2 n
x x
n+ 1
- 1 , x - 1
① ②
=
- x , 2 x - 1
n 2
2n + 1
分别对式 ① 的两边求导 , 得到公式 1 :
1 + 2 x + 3 x + …+ n x
2 n- 1
本题如果不对函数自身特点去进行研究分 析 , 必然要对二次函数坐标轴的位置进行分 类讨论 , 而且至少要分 3 种情况讨论 .
a = 2.
1952 年 8 月 1 日 ,八一电影制片厂创建 .
] m ≥9 . 所以 m < 9. 又二次函数与 x 轴有交点须有 Δ≥0 ( m ≤1) 及 m ≠0. 故 m 取值范围为 0 < m ≤1 或 m < 0. 7
・ 名师大课堂 ・
本题若直接从正面解决 , 需要考虑的因素太 多 , 解题思路不明朗 , 用补集思想考虑其对 立面 , 即从问题的反面去思考探索 , 可得到正面结论 .
A∪ B=R ] f ( a + 1) > 0 , f ( a - 1) > 0 < 3.
例1 若函数 y = ( x - 1 ) log a - 6 x log 3 a + x +
1在x ∈ [ 0 , 1 ]内恒正 , 求 a 的取值范围 .
2 3
]
1 < a
图1
分析 本题若用条件 y > 0 , 即 ( x - 1 ) log a 6 x log 3 a + x + 1 > 0 在 x ∈ [ 0 , 1 ]内恒成立 , 解关于 a 的不等式 , 再利用 0 ≤x ≤1 求 a 的取值范围 . 运算十 分复杂 , 若将 y = ( x - 1 ) log a - 6 x log 3 a + x + 1 看 成直线 , 则可得如下简捷的解法 . 2 2 f ( x ) = ( log 3 a - 6 log 3 a + 1 ) x + 1 - log 3 a , 因为函数 y = f ( x ) 在 x ∈[ 0 , 1 ] 内恒正 , 所 以 f ( x ) 表示的线段 A B 恒在 x 轴上方 , 即 2 端点在 x 轴上方 .
f ( 0) > 0 , 1 - log 3 a > 0 , a> 0,
3 1 < a < 3. 3 2 2 3
2 3
按照不等式知识须分 a > 0 ,a = 0 ,a < 0 分类 讨论求出集合 B , 而用数形结合有效避免了 分类讨论 .
4 正繁则反
例4 二次函数 y = m x 2 + ( m - 3 ) x + 1 的图象 与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 , 求 m 的取值 范围 . 分析 此题若从正面直接解 , 须分 “ 2 个交点分 别在原点的两侧” 和 “ 2 个交点都在原点的右侧” 2种 情况讨论 , 运算量大且易出错 . 若用补集思想考虑其 对立面 , 即 “ 2 个交点都在原点的左侧 ( 含原点 ) ” ,问 题就简捷多了 , 而且避免了分类讨论 . 设一元二次方程 m x 2 + ( m - 3 ) x + 1 = 0 的 2 个根为 x 1 和 x 2 , 则 2 个交点都在原点的 左侧 ( 含原点) , 必须满足 : Δ= ( m - 3 ) 2 - 4m ≥0 , m ≥9 或 m ≤1 , m- 3 x1 + x2 = ≤0 , m ] m ≥3 或 m < 0 ,