分类讨论题(含答案)
高中数学思想二 分类讨论思想 专题练习
高中数学思想二 分类讨论思想 专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或322. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．136.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭7.已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C.D.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ． B ．1 C. D ．210.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．3二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________.ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________. 13.若数列，则__________. 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值； （2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极60︒{}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m ()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()xF x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x大值点？说明理由．高中数学思想二 分类讨论思想 专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或32答案 D解析 ∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为双曲线，其中a ＝1，c ＝5，e ＝ca ＝5； 当m ＝－4时，曲线为椭圆，其中a ＝2，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D.2. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]答案 D解析 f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，由题意得f (x )>0恒成立，所以t －1e x ＋1>－1恒成立，即t >－e x 恒成立，所以t ≥0.①若t ∈[0,1]，则f (x )是增函数，当x →＋∞时，得f (x )max →1，当x →－∞时，得f (x )min →t ，所以值域为(t,1)．因为三角形任意两边之和大于第三边，所以t ＋t ≥1，解得12≤t ≤1；②若t ∈(1，＋∞)，则f (x )是减函数，当x →＋∞时，得f (x )min →1，当x →－∞时，得f (x )max →t ，所以值域为(1，t )，同理可得1＋1≥t ，所以1<t ≤2，综上得t ∈[12，2]．3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-【答案】C 【详解】由题意，可得集合()(){}{}101A x x a x a x a x a =---<=<<+，所以{R C A x x a =≤或1}x a ≥+，又由集合{}{}2log 102B x x x x =<=<<，因为R B C A ⊆，所以2a ≥或10a +≤，解得1a ≤-或2a ≥， 所以实数a 的取值范围是][,(),12∞-⋃+∞-， 故选：C .4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠【答案】C 【详解】解析：指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上是单调递减的， 由11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，0a b >>. 所以11a b<，则11a b ->-.故C 正确；0a b ->，但不一定有1a b ->，则不一定有()ln 0a b ->，故A 错误；函数2xy =在(),-∞+∞上是单调递增的，0b a -<.则0221b a -<=，故B 错误； 当01c <<时，函数c y log x =在0,上单调递减，则log log c c a b <.故D 错误. 故选：C5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-， 当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+， 即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩ 故实数t 的最大值为13-. 故选：C.6.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】()0f x =，得1log a x x a =，即11log xax a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题意知函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点．当1a >时，11log ,xay x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭草图如下，显然有两交点．当01a <<时，函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点时，注意到11,log xay y x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭互为反函数，图象关于直线y x =对称，可知函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线y x =相切，设切点横坐标0x ，则0111ln 1x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01e,e .e x a -=⎧⎪⎨⎪=⎩ 综上，a 的取值范围为1e e (1,)-⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭.故选：D ．7.已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -A. B. C.D.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】A 【解析】[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()y f x =()()f m f n t ==()()f m f n =()f x y t =0x ≤()y f x =y (0,1)01t <≤m n <0m ≤0n >01t <≤0ln(1)1n <+≤01n e <≤-()f m t =112m t +=22m t =-()f n t =ln(1)n t +=1t n e =-()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+01t <≤()2tg t e '=-0ln 2t <<()0g t '<()g t ln 21t <≤()0g t '>()g t ()g t ln 2(ln 2)2ln 2132ln 2g e =-+=-0(0)12g e =+=(1)2112g e e =-+=-<32ln 2()2g t -≤<()3231f x ax x =-+'.显然()00f '≠，令()0f x '=得：2331x a x-=，()0x ≠ 令()2331x t x x -=，()0x ≠，()()()4311x x t x x+-'=-知： 当(),1x ∈-∞-时，()0t x '<，()t x 为减函数；当()1,0x ∈-时，()0t x '>，()t x 为增函数； 当()0,1x ∈时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()1,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 为减函数， 作出()t x 的大致图象如图所示，则当()12a t <-=-时，()t x 存在唯一的正零点.故选A9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ．B ．1 C. D ．2 【答案】B【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得.()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()()sin cos f x a x x x '=+[]20x π∈，sin cos 0x x x +>0a =()32f x =-0a <()[]002x f x π∈'<，，()f x [0]2π， [0]2π，()203f =-0a >]2[0x π∈，，()0f x '>()f x [0]2π， [0]2π，()223322f a πππ-=⋅-=1a =10.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得，若函数在上单调递减，则，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，①当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C ．二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________. 【答案】【解析】因为，所以.当时，，可得；当时，()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -()232f x x ax b '=++()f x (0,1)(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥32()235f x x x x =--+()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩23z a b =-2133z b a =-33z ->-9z <2133zb a =-230a b ++=b 2690a a z ++-=2(3)0z a =+≥09z ≤<33z-≤-9z ≥0z ≥23z a b =-{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a (,9]-∞B A ⊆Φ≠Φ=B B 或Φ=B 1253+<-a a 6<a Φ≠B，可得，综上：． 12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________.【答案】或 【解析】分类讨论：当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为； 当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为； 综上可得，双曲线方程为：或. 13.若数列，则__________. 【答案】【解析】令，得，所以．当时，．与已知式相减，得，所以，时，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126a a a 96≤≤a 9≤a 60︒22113x y -=223177y x -=x 22221x y a b -=by x a=±22603{ 231btan aa b ==-=221{ 3a b ==22113x y -=y 22221y x a b -=ay x b=±22603{ 321btan aa b ==-=227{ 37a b ==223177y x -=22113x y -=223177y x -={}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+226n n +1n =4a 1=16a 1=2n ≥)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n 22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n 2)1(4+=n a n 1n =1a．所以，所以，∴． 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.答案 18＋23或12＋4 3解析 该几何体有两种情况：第一种，由如图①所示的棱长为2的正方体挖去一个三棱锥P －ABC 所得到的，所求的表面积为6×22－3×(12×2×2)＋34×(22)2＝18＋23(cm 2)．第二种，由如图②所示的棱长为2的正方体挖去三棱锥P －ABC 与三棱锥M －DEF 所得到的，所求的表面积为6×22－6×(12×2×2)＋2×34×(22)2＝12＋43(cm 2)．n a 2)1(4+=n a n 441+=+n n a n 12231n a a an +++=+n n n n 622)448(2+=++-三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围.【解析】若为真：对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为，∴，解得，∴为真时：；若为真：，成立，∴成立.设，易知在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，，∵”为真，“”为假，∴与一真一假，当真假时，∴，当假真时，∴，综上所述，的取值范围是或. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值； （2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点. （1）()'af x x x=+. 由切线的斜率为2得()'112f a =+=. ∴1a =.（2）()21ln 2g x a x x =+()1a x -+，0x >， ∴()'a g x x x =+()()()11x a x a x---+=. 1.当01a <<时，m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m p []1 1x ∀∈-，224822m m x x -≤--()222f x x x =--()()213f x x =--()f x []1 1-，3-2483m m -≤-1322m ≤≤p 1322m ≤≤q []1 2x ∃≤，212x mx -+>21x m x -<()211x g x x x x -==-()g x []1 2，()g x ()322g =32m <q 32m <p q ∨p q ∧p q p q 132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩32m =p q 132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或12m <m 12m <32m =由()'0g x >得0x a <<或1x >，()'0g x <得1a x <<， ∴()g x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增.又()21ln 2g a a a a =+()11ln 12a a a a a ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭0<，()()22ln 220g a a a +=+>，∴当01a <<时函数()g x 恰有一个零点. 2.当1a =时，()'0g x ≥恒成立，()g x 在()0,+∞上递增.又()11202g =-<，()4ln40g =>， 所以当1a =时函数()g x 恰有一个零点. 3.当1a >时，由()'0g x >得01x <<或x a >，()'0g x <得1x a <<， ∴()g x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增. 又()1102g a =--<， ()()22ln 220g a a a +=+>，∴当1a >时函数()g x 恰有一个零点.综上，当0a >时，函数()()()1g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即． （2）（法一）当时，．因为当时，；当，． 由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．， 记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．…… 由，得当时，． 故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()x F x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x ()6x a f x x e ⎛'⎫=-⎪⎝⎭06a x <<()()0f x f x '<，6ax >()()0f x f x '>，()00,110666a a a f f f ⎛⎫⎛⎫<=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,166a a x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()00f x =00x x <<()0f x <0x x >()0f x >()f x ()0,+∞0x 1a >ln 0a >()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,a e ∈0ln a x <()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()[]2ln 1,1,6x g x x x x x e =--+∈()()3ln ,033x xg x x g x x''-='=->()g x '()1,e ()()110,1033eg g e ''=-=-()01,t e ∈()01g t '=()01,x t ∈()()0,g x g x '<()0,x t e ∈()()0,g x g x '>()1,x e ∈()()(){}max 1,g x g g e <()()21610,066e g g e -=-<=<()1,x e ∈()0g x <()0ln 0,0ln f a a x <<<0ln x a <<()()()()()0,0,0,xxe af x F x e a f x F x -'-<=0ln a x x <<()()()()()0,0,0,x xe af x F x e a f x F x -><=-<'，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，． 由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为， 记，因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②由，可得，代入②式可得，当时，， 所以，必存在，使得，即对任意有解， ()()1,1,4a e ∈⊂ln a ()F x ()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,4a ∈ln a ()F x ()1,4a ∈0ln a x <()1,4a ∈()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()()2ln 1,1,46x g x x x x x =--+∈()()ln ,1,4,3x g x x x '=-∈()33x g x x '-'=3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''>()g x '3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()3312ln 0,2ln202223g g ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00g t '=03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<()0,2x t ∈()()0,g x g x '>3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()200000min ln 16t g x g t t t t ==--+()00g t '=00ln 3t t =()()2000min 16t g x g t t ==-+03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()220000311106628t t g t t -=-+=-≤-<3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0g x <()3,2,ln 02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭所以对任意，函数存在极大值点为．3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭()F x ln a。
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
初中分类讨论专题训练(含详解)
分类讨论专题训练1.已知，且，则的值等于()A. 或B. 或C. 或D. 或2.已知，，则的值等于()A. 或B. 或C.D.3.在同一直线上有、、、四点，已知，，且，求的长．4.如图，点在射线上，若，，点是线段的中点，则的长为________．5.在直线上有,,三个点，已知，点是的中点，且，求线段的长．6.如图，将一条长为的卷尺铺平后沿着图中箭头的方向折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分沿与卷尺的边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度比为，则折痕对应的刻度可能的值有________．7. 阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得(称分别为与的零点值)．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简代数式可分以下种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．综上讨论，原式．通过以上阅读，请你解决以下问题：1. 化简代数式．2.求的最大值．8. 如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(大于)秒．1.点表示的数为________．2.当点运动到达点处时运动时间为________秒．3.运动过程中点表示的数的表达式为________．(用字母的式子表示)．4.求当等于多少秒时，之间的距离为个单位长度．9. 如图，已知平分，射线在的内部，．1. 求的度数．2.作射线，使射线是三等分线，则的度数为________．10. 甲、乙两人从、两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了千米，相遇后再经小时乙到达地．1.甲，乙两人的速度分别是多少？2.两人从、两地同时出发后，经过多少时间后两人相距千米？11. 如图，已知直线上有一点，点、同时从出发，在直线上分别向左、向右做匀速运动，且、的速度之比是：，设运动时间为．1.当时，，此时，点的运动速度是________，点运动的速度是________.2.若点为直线上一点，且，求的值.3.如图，在的条件下，若、同时按原速向左运动，再经过几秒，？参考答案1.【答案】B【解析】解：，时，，则；时，，则．故选B．【知识点】绝对值的定义、综合-分类讨论2.【答案】B【解析】解：，，，，，当，时，，，，；当，时，，，，；故选B．【知识点】代入参数、综合-分类讨论3.【答案】或或【解析】解：依题意，有以下种情况，情况如图，，，设，则，，，，，．情况如图，，，设，则，，，，，，．情况如图，即，，，，，，，，．情况如图，，即，，，，，，，，．综上所述或或．【知识点】数轴上点运动与距离问题、综合-分类讨论4.【答案】或【解析】解：当点在点的左边时，，所以，当点在点的右边时，，所以．故答案为或．【知识点】线段的计算、综合-分类讨论5.【答案】见解析【解析】解：如图．设，则．是的中点，；如图．设，则．是的中点，．综上，当在的延长线上时，．当在的延长线上时，．【知识点】线段的计算、综合-分类讨论6.【答案】【解析】解：三段长度由短到长的比为，三段长度分别为：．①当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；②当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；③当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；④当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；⑤当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；⑥当剪切处右边上部分的长度为，剪切处左边的卷尺为时，折痕处为：；综上所述，折痕对应的刻度有种可能：．【知识点】线段的计算、综合-分类讨论7.（1）【答案】见解析【解析】当时，；当时，；当时，．【知识点】绝对值分类讨论化简【解析】当时，原式，当时，原式，当时，原式，则的最大值为．点睛：本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，即．【知识点】一元一次不等式的概念、综合-分类讨论8.（1）【答案】【解析】解：．【知识点】绝对值化简8.（2）【答案】【解析】解：（秒）．【知识点】绝对值化简、动点问题8.（3）【答案】【解析】解：点每秒钟运动个单位，即秒钟运动个单位，起点为，则表达式为．【知识点】动点问题8.（4）【答案】见解析【解析】解：当点在点的左边时，，则秒，当点在点的右边时，，则秒，综上所述，当等于或者秒时，、之间的距离为个单位长度．【知识点】动点问题、综合-分类讨论【解析】因为，平分，可得．又，故可得．【知识点】角平分线、角的计算9.（2）【答案】或【解析】解：分两种情况求解即可．①当时，．，．②当时，．，．【知识点】角的计算、综合-分类讨论10.（1）【答案】见解析【解析】解：设甲的速度为千米/时，则，解得，，，即甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时．【知识点】一元一次方程的应用-行程10.（2）【答案】见解析【解析】解：设经过小时后两人相距千米，则或，解得，或，即经过小时或小时后两人相距千米．【知识点】一元一次方程的应用-行程、综合-分类讨论11.（1）【答案】见解析【解析】解：设点的运动速度为，点运动的速度为，由题意，得，解得：，即点的运动速度是，点运动的速度是．故答案为：．【知识点】一元一次方程的其他应用、动点问题11.（2）【答案】见解析【解析】解：如图所示，当在线段之间时，，，，设，则，，，；如图所示，当在的延长线上时，，，，设，则，，，．答：或．【知识点】线段的计算、综合-分类讨论11.（3）【答案】见解析【解析】解：设，同时按原速向左运动，再经过秒，，由题意，得或，解得：或．答：再经过秒或秒，．【知识点】一元一次方程的其他应用、动点问题。
人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六年级上册分类讨论题包括以下几种类型：
1. 分情况讨论题：这类题目需要分不同的情况进行讨论，根据不同的情况得出不同的结论。
例题：某校六年级有120名学生，其中参加篮球比赛的有24人，参加乒乓球比赛的有18人，既参加篮球比赛又参加乒乓球比赛的有3人，参加这两
项比赛的学生共有多少人？
2. 分类计数原理题：这类题目需要使用分类计数原理进行计算，即各类事物独立地被考虑，各类事物之间无影响。
例题：用1、2、3、4四个数字可组成的四位数有（）个。
3. 分类讨论应用题：这类题目需要先对题目中的条件进行分类讨论，再根据不同的情况得出不同的结果。
例题：甲、乙两地相距150千米，小明和小华同时从甲地出发向乙地前进，小明每小时行4千米，小华每小时行5千米，小明到达乙地后立即返回，途中与小华相遇，从出发到相遇一共经过多少时间？
通过以上分类讨论题的练习，可以帮助学生更好地理解分类讨论的思想，提高数学思维能力和解决问题的能力。
初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)
“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。
例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。
9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 ·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 ·类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |.(1)|AB |＝________；(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值．2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值． 【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝a a ＋－b b ＋－c c＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值为3或－1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值； (2)已知|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；②|－12＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009.5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－12|＋|－13|________|－12－13|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．详解详析1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x . 因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，解得x ＝－12. 2．解：(1)7(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc ＜0，所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为－3或1.(2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2018同号或x 为0，所以当|x |＋|－2018|＝|x －2018|时，x 的取值范围是x ≤0.。
分类讨论思想练习题
分类讨论思想练习题思维的分类是人类对事物进行认识和理解的基础。
分类讨论思想练习题是一种常见的思维训练方法，旨在通过分析和归纳，提高我们对问题的认知和解决能力。
本文将从概念分类、问题分类和解决方案分类三个方面，详细讨论分类讨论思想练习题的应用和意义。
一、概念分类概念分类是对不同事物之间的相似性和区别性进行归纳和总结的过程。
在思考问题时，我们可以根据问题的性质和特点，将问题进行概念分类，以便更好地理解问题的本质和内涵。
以数学问题为例，我们可以将数学问题分为代数问题、几何问题和概率问题等。
通过对不同类型问题的分类，我们能够更好地理解和应用相应的数学知识，提高解决问题的能力。
二、问题分类问题分类是对问题进行细致的分解和划分，以便更好地分析和解决问题。
通过将复杂的问题拆解为若干个相对简单的小问题，我们可以更加有条理地思考和解决问题。
以企业经营问题为例，我们可以将问题分为市场问题、财务问题和人力资源问题等。
通过对不同方面问题的分类，我们可以更加深入地分析和解决企业经营中的各种挑战。
三、解决方案分类解决方案分类是对不同解决方案进行归纳和分类的过程。
在面对问题时，我们可以通过对解决方案的分类，从而找到最适合的解决方法，提升问题解决的效率和质量。
以环境保护问题为例，我们可以将解决方案分为政府干预类、技术创新类和公众参与类等。
通过对不同解决方案的分类，我们能够更有针对性地采取措施，保护好我们的环境。
分类讨论思想练习题的意义：1. 提高思维能力：通过对事物进行分类，使我们更好地理解和认识事物的内涵和特点，提高我们的思维能力。
2. 更有针对性地解决问题：通过对问题进行分类，我们能够更加系统和全面地分析问题，从而找到最适合的解决方法。
3. 增强问题解决的效率：通过对解决方案进行分类，我们能够更加迅速地找到解决问题的途径，提高问题解决的效率。
4. 培养创新意识：分类讨论思想练习题的过程中，我们需要对事物和问题进行归纳和总结，这培养了我们的创新意识和思维能力。
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分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.【答案】D .2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm ，底边长是6cm 时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm 时能组成三角形．【答案】D3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，从而可求得B′E=BF ；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，B FE B EF ''∴∠=∠，B F B E ''∴=．B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=． AE a =，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．4.【解析】圆与斜边AB 只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB 相切，此时r ＝2.4；2、圆与线段相交，点A 在圆的内部，点B 在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
【答案】 3＜r≤4或r ＝2.45.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。
由AB=AC=5，3cos 5B =，可得BC 边上的高AD 为4，圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则AO=3，若O 在BC 下方，则AO=5。
【答案】3或5．6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d ＝11-2t ；当t ＞5.5时，函数表达式为d ＝2t -11．（2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝311； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．所以，点A 出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． 7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。
要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。
题中遇到“如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似”，一定要注意分类讨论。
【答案】（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+． 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥． 12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2y x x =+>；（2）由已知得DE =以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切， 1122MH AB DE ∴=+，即11(4)222x ⎡+=+⎣． 解得43x =，即线段BE 的长为43； （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，又易证得DAM EBM ∠=∠．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠．①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥， ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥， ADB DBE ∴∠=∠．DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠， BED MEB ∴△∽△． DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE =，得2222(x x =+-．解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2．综上所述，所求线段BE 的长为8或2．8.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．【答案】（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=++= 设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，，∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =， 221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =， 22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． (31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，． FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=． 又5EF = ∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是55。