圆的分类讨论例题及习题
与圆有关的分类讨论思想例谈
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与圆有关的分类讨论思想例谈
作者：王鹏程
来源：《语数外学习·中旬》2013年第01期
分类讨论，就是当对问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类对象分别进行研究得出每一类的结论，最后综合结果得到整个问题的解答。
在中考中，有关圆的涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类题不仅考查了学生的数学基本知识与基本方法，而且考查了学生思维的深刻性。
本文结合近年来中考中出现的一些试题谈一谈分类讨论思想在有关圆的问题中的应用。
一、根据点的位置分类讨论
例1 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是（）.
A.当a＜5时，点B在⊙A内
B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外
D.当a＞5时，点B在⊙A外
解析：弦AB所对的圆周角的顶点可以在AB所对的优弧上，也可以在AB所对的劣弧上，故本题应分优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角两种情况进行讨论。
圆的分类汇编附答案
圆的分类汇编附答案一、选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π【答案】B【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积为：12×2π×1×3＝3π，故选：B．【点睛】此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )A．1 B．32C．3D．52【答案】A【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.【详解】解：连接CE，∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED=90°，∴∠AEC=180°-∠CED=90°，∴E点也在以AC为直径的圆上，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，∴OC=12AC=4，∵BC=3，∠ACB=90°，∴OB=22OC BC=5，∵OE=OC=4，∴BE=OB-OE=5-4=1.故选A.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理. 3．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则a=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．934π-B．9942π-C．39324π-D．3922π-【答案】B【解析】【分析】连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S阴影=S 扇形-S△ODC即可求得．【详解】连接OD、OC，∵AB是直径,∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠CBD=∠CEB=45°，∴∠COD =2∠DBC=90°，∴S阴影=S扇形−S△ODC=2903360π⋅⋅−12×3×3=94π−92.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.6．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B ．2 C ．3 D ．2【答案】A【解析】【分析】 连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.7．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．22C ．3D ．23【答案】B【解析】【分析】 根据垂径定理得到CH=BH ，»»AC BC=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可．【详解】如图BC 与OA 相交于H∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，»»AC AB =，∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB ⋅sin ∠3，∴3故选D ．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．8．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线33y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A．3 B．2 C．3D．2【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH ⊥CD于H，作OH⊥CD于H；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值；再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值；最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到21PA OP=-，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴2233⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221 PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA 的最小值为22(3)12-=. 故选D. 【点睛】 本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．9．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．10．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.A ．16 B ．6π C ．8π D ．5π 【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB 2=BC 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6π ， 故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.11．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A ． 考点：正多边形和圆．12．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为31故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ∆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π-B ．242π-C ．243π-D ．244π-【答案】D【解析】【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，∵6AB =，10AC =，∴BC=8，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设O e 的半径为r ，∵O e 内切于ABC ∆，∴OH=OE=OF=r ， ∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =⋅=++⋅V ， ∴1168(6108)22r ⨯⨯=++⋅， 解得r=2，∴O e 的半径为2，∴2168-2224-4ABC O S S S ππ=-=⨯⨯⨯=V e 阴影， 故选：D ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（ ）A ．48°B ．42°C ．34°D ．24°【答案】B【解析】【分析】 根据切线的性质求出∠OAC ，结合∠C ＝42°求出∠AOC ，根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠BDO ，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD ＝24°，∴∠AOC ＝48°，∵AC 是⊙O 的切线，∴∠OAC ＝90°，∴∠AOC +∠C ＝90°，∴∠C ＝90°﹣48°＝42°，故选：B ．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC 的度数，题目比较好，难度适中．15．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）A ．99︒B ．100︒C ．101°D ．102︒【答案】D【解析】【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠A，从而根据圆周角定理得出∠BOC，再根据OB=OC得出∠OBC，即可得到∠OBE，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED的度数.【详解】解：连接OB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC，∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.16．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )A．22°B．26°C．32°D．68°【答案】A【解析】试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.考点：圆周角的计算17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC ．3πD ．233π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，∴3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）A ．π+33B ．π-33C ．33π+ D ．33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴2211()2-3 ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-123×6=π-332， 故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．19．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DA DC =，50CBE ∠=︒，AOD ∠的大小为（ ）A ．130°B ．100°C ．20°D ．10°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC 的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC 的大小，从而得出∠C 的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小.【详解】∵∠CBE=50°∴∠ABC=130°∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠ADC=50°∵AD=DC∴在△ADC 中，∠C=∠DAC=65°∴∠AOD=2∠C=130°故选：A【点睛】本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.20．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．33π+ C ．3338π- D ．259π 【答案】D【解析】【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，∴△ACB≌△AED，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S△ACB=S△AED，∵S阴影=S△AED+S扇形ADB-S△ACB=S扇形ADB，∴S阴影=4025360π⨯=259π，故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.。
圆中的分类讨论习题
细说圆中的分类讨论题------之两解情况由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。
先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。
分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径；（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径； 所以，圆O 的直径为2或6。
二、三角形与圆心的位置关系例２：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
分析：因点A 的位置不确定。
所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。
也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，POBAPOB A图3 图4（2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4，Θ∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BPC 55∴∠=︒BAC 125 所以∠A 的度数是55︒或125︒。
练习：已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。
（两种情况如图5、图6）AC图5 图6三、角与圆心的位置关系例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。
圆的分类讨论例题及习题
圆的分类讨论例题及习题圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。
解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。
PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :H .所以，圆0的直径为2或6。
练习1:若。
0所在平面内一点P 到。
0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（）2: P 在。
0内，距圆心0的距离为4,。
0半径长为5,经过P 点， 有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。
3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。
（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ）k _________ 止 ______________ ________ LAP . 定点 交于。
小专题(十六) 圆中的分类讨论(多解问题)
小专题(十六) 圆中的分类讨论(多解问题)一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．【例1】 已知点A 到⊙O 的最近距离和最远距离分别是3 cm 和9 cm ，求⊙O 的半径．1．点A 到圆的最近距离是a ，最远距离是b ，则该圆的直径是__________．二、由于圆的对称性引起的不唯一性方法归纳：平行弦位于圆心O 的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．【例2】 已知，⊙O 的直径是10 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，求AB 与CD 之间的距离．2．如图，⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，则AB 和CD 的距离为________．3．在半径为5 cm 的⊙O 中，如果弦CD ＝8 cm ，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，那么AE 的长为________．4．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为⊙O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________．5．在半径为1的⊙O 中，弦AB ＝2，AC ＝3，那么∠BAC ＝________．三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．【例3】 弦AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角等于多少度？6．⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，则∠A ＝________．四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．【例4】 如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．求⊙P 与直线x ＝2相切时点P 的坐标．7．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3 cm/s 的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问：(1)t 为何值时，P ，Q 两点之间的距离为10 cm?(2)t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相离？相交？参考答案【例1】(1)如图1，当点A 在⊙O 内时，R ＝3＋9＝12(cm)，所以⊙O 的半径是6 cm.(2)如图2，当点A 在⊙O 外时，R ＝9－3＝6(cm)，所以⊙O 的半径是3 cm.综上所述，⊙O 的半径是6 cm 或3 cm. 1.b －a 或b ＋a【例2】图1 图2如图1，当平行两弦位于圆心O 的同侧时．连接OB ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，OE 的延长线交AB 于F. ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD ，∴OF ⊥AB.∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OED 中，OE ＝OD 2－ED 2＝52－42＝3.同理在△OFB 中，OF ＝4. ∴EF ＝OF －OE ＝4－3＝1；如图2，当平行两弦位于圆心O 的异侧时，EF ＝OE ＋OF ＝7.综上所述，AB 与CD 之间的距离是7 cm 或1 cm.2.7 cm3.2 cm 或8 cm4.60°5.75°或15°【例3】(1)当圆周角所对的弧是劣弧时，如图所示：连接OA ，OB ，AC ，BC ，得到△AOB 是等边三角形∴∠AOB ＝60°.∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°. (2)当圆周角所对的弧是优弧时，如图所示：易得∠AC′B ＝150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角等于30°或150°. 6.50°或130°【例4】 过P 作直线x ＝2的垂线，垂足为A ，当点P 在直线x ＝2右侧时，AP ＝x －2＝3，∴x ＝5.∴P(5，152)．当点P 在x ＝2的左侧时，PA ＝2－x ＝3，x ＝－1， ∴P(－1，－32)．∴当⊙P 与直线x ＝2相切时，P 点坐标为(5，152)或(－1，－32)． 7.(1)AP ＝t ，BQ ＝26－3t.如图1：作PE ⊥BC 于E ，QE ＝26－4t.由勾股定理，得(26－4t)2＋64＝100，解得t ＝5或8.(2)当PQ 与⊙O 相切时，如图2，由相切，得PQ ＝AP ＋BQ ＝26－2t ，BE ＝26－4t ，PE ＝8，(26－4t)2＋64＝(26－2t)2，解得t ＝8或23.即t ＝8或23时，直线PQ 与⊙O 相切；当26÷3＝263，当t ＝263时运动停止，0≤t ＜23或8＜t ≤263，直线PQ 与⊙O 相交；23＜t ＜8，直线PQ 与⊙O 相离．。
(易错题精选)初中数学圆的分类汇编含答案解析
（易错题精选）初中数学圆的分类汇编含答案解析一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.【详解】∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8.故选C.2．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．36ππC．312πD．48336ππ【答案】C【解析】【分析】易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．【详解】连接OE，OF．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．3．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )A ．4B ．83C ．6D ．43【答案】B【解析】【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，∴∠OAB =60°，在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3∴光盘的直径为3故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.4．如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．4.5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】 【分析】连接AI 、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI ，同理BE=EI ，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI 、BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI=∠BAI ，由平移得：AC ∥DI ，∴∠CAI=∠AID ，∴∠BAI=∠AID ，∴AD=DI ，同理可得：BE=EI ，∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．5．如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点（A 、B 除外），132AOD ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．48︒C ．34︒D ．24︒【答案】D【解析】【分析】 根据平角得出BOD ∠的度数，进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可．【详解】解：132AOD ∠=︒Q ，48BOD ∴∠=︒，24C ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．6．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．【详解】解：∵»»AB CD =，∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ， ∴BE ＝DF ，又∵OB＝OD，∴由勾股定理可知OE＝OF，即A、B、C正确，D错误，故选：D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．7．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．25cm B．45 cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【答案】C【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴222254OA AM-=-=3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴22224845AM CM+=+=；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中22224225AM CM+=+=cm.故选C.8．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求，观察图象可知，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，所以OP=12AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP 是一个定值，点P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P 下落的路线是一段弧线．故选D ．10．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME，同理可得NC=NE，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴MN AMBC AB=，即767MN BM-=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，①+②得MN=12-2MN，∴MN=4．故选：B．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．13B．12C．34D．1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．【详解】圆锥的底面周长是：π；设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．解得：r=12．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．如图，将△ABC 绕点C 旋转60°得到△A ′B ′C ′，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）A ．32πB ．83πC ．6πD ．以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=()603616103603π⨯-=π． 故选D ．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形．13．已知线段AB 如图，(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ，点O 为圆心；(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交»AB 于点E F 、；(3)连接,OE OF ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．CE DF =B ．»»AE BF =C ．60EOF ∠=︒D ． =2CE CO【答案】D【解析】【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =，A 正确；∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ，CE 为OA 的中垂线，AE OE =在半圆中，OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，»»AE BF=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ，D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.14．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）A ．522(,22-B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ， ∴顶点34C a （，-），当点O、P、C三点共线时，OP取最小值为3，∴OC＝OP+2＝5，∴2+=>，9165(0)a aa=，∴1∴C（3，﹣4），故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C 的度数是（）A．48°B．42°C．34°D．24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD＝24°，∴∠AOC＝48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°，故选：B．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．17．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．50cm2B．50πcm2C．255cm2D．255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，∴等腰三角形的斜边长＝22＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半105径为5，∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝1×10π×55＝255πcm2，2故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．18．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．23D．43【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．考点：正多边形和圆．19．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 分析：先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D ．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．20．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.A ．16 B ．6π C ．8π D ．5π 【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB 2=BC 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6 ， 故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.。
中考复习之分类讨论思想-圆
A O P
B
A O
B P
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA+PB = a+b 半径为
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA-PB = a-b 半径为
综合（1）（2）可知，此圆的半径为 a b
圆都相切的圆有
与两圆均内切.
5
个.
与两圆均 外切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与两圆均 外切.
分类讨论思想在圆中应用的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
F
B
OE=3cm
OF=4cm
OE=3cm
OF=4cm
∴ EF=OF-OE=1cm
∴ EF=OF+OE=1cm
分类思想 圆中的应用
三、圆的大小或位置不唯一
例3、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若 以点Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点， 则R的值为多少？ B B
D C A C A
分类讨论：（1）当圆的半径R<3时
12 R= 5
（3）当圆的半径R>3时 从圆由小变大的过程中，可知R
3＜ R
4
4
（2）当圆的半径R=3时 圆与斜边有2个交点，不合题意。
∴综上可知，当 R= 5
12
或 3＜ R
4 时，
圆与斜边只有一个公共点.
分类讨论在圆中的应用(圆专题 于群制作)
0
y C B Q P2
O A
H P1 C’
AB x
点在圆上位置不确定
例3、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O 的弦，且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB 与CD之间的距离为 7cm 或 1cm ；
A
B A C B D
O
C
O
D
两弦与圆心的位置关系不确定
变式：已知：⊙O半径为1， AB、 AC ⊙O是弦， 3 AB= ，AC= ，∠BAC的度数为______ 2
r=1+t(t≥0)
(2)问点A出发后多少秒两圆相切？
M A B N
11 3
①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+t+1,t=3； ②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,t=
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11; ④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
在圆中的应用
庄河一中 于群
一张矩形纸片有四个角,剪掉一个 角后，还剩几个角？
在解答某些数学问题时，因为存在一 些不确定的因素，无法用统一的方法解答， 或结论不能给出统一的表述，对这类问题， 我们依情况先分类、再逐类求解（即讨 论），最后归纳出结论，这就是分类讨论。
印象中，通常有哪些 问题需要分类讨论？
M A B N
M
A
2t
A′
B
N
当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;
M
A
B
2t
A′
N
当t＞5.5时,函数表达式为d=2t-11.
①当0≤t≤5.5时, 函数表达式为d=11-2t;
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圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径；（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径；所以，圆O 的直径为2或6。
练习1：若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b ，则此圆的半径为（ ）2：P 在⊙O 内，距圆心O 的距离为4，⊙O 半径长为5，经过P 点，交于⊙O 的弦为整数的有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是6cm （该弦垂直于OP ，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm （过O 、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm ，所以共有8条(其中的7、8、9各有两条，以OP 为对称轴） 。
3：⊙O 的半径为2.5，动点P 到定点O 的距离为2，动点Q 到P 的点的距离为1，则点P 、Q 与⊙O 有何位置关系二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例1、圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点O 作OM AB ⊥交AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、OD ，得Rt OMB ∆，Rt OND ∆，然后由勾股定理求得：OM cm ON cm ==43，，故AB 和CD 的距离为1cm 。
（2）当AB CD 、在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM cm ON cm ==43，。
故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、 已知弓形的弦长为8cm ，所在圆的半径为5cm ，则弓形的高为多少？（2或8cm ） 例3、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数．解：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴BC=1/2AB=1， ∠B=60°以A 圆心BC 长为半径画弧可得点D ，再连接AD 即可；∵AD=BC ， 所以弧BCE=弧ADC ∴∠DAB=∠B=60°， ∴∠DAC=60°-30°=30°；POBAPOBNM DOB A NMCOB A同理可得：∠D ′AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD 的度数为30°或90°例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm ，其半径为50cm ，求油面的最大深度？ 两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。
例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O ，桥下水面宽度为7.2m ，过O 作OC ⊥AB 于D ，交圆弧于C ，CD=2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论例1、已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点于点M 。
若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论例1：⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°，则∠BAC ＝_________。
例2：在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C 、D 不重合的任意一点。
判断COB与CPD的数量关系，并尝试证明你的结论。
五、三角形与圆心的位置关系例1：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
分析：因点A 的位置不确定。
所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。
也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BAC 55OBCAOBCAP图3 图4（2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4，∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BPC 55∴∠=︒BAC 125 所以∠A 的度数是55︒或125︒。
练习：1、已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。
（两种情况如图5、图6）DCOBACD OBA图5 图6例2、△ABC 内接于⊙O ，AOC =1000，则ACB =例 3、△ABC 是半径为2cm 的园内接三角形，若BC=23cm ，则∠A 的度数为例4、已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长。
六、角与圆心的位置关系在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。
其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。
通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。
例1、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。
解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==112,所以∠BAE ＝30° 同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ， 所以∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：∠BAC '=︒-︒=︒453015 所以∠BAC 为75°或15° 七、弦所对的圆周角有两种情况 例1：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于____。
分析：弦所对的圆周角有两种情况： （1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上； （2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。
解：故应填60°或120°。
例2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。
A.30°或60° B.60° C.150° D.30°或150°练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 。
八、 点在弧上的位置，需要分类讨论例1：如下图，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OPB ＝_________度。
（分p 在x 轴的两侧） 九、圆与圆的位置关系例1、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径。
解：（1）当圆O 2是大圆时，则圆O 1的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为3cm 。
（2）当圆O 2是小圆时，则圆O 1的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为5cm 。
所以圆O 1的半径是3cm 或5cm 。
例2、两圆相切，半径分别为4cm 和6cm ，求两圆的圆心距 。
解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即642-=cm 。
（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6410+=cm 。
所以两圆的圆心距是2cm 或10cm 。
例3、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm ，则两圆的圆心距等于_______分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况 补充：C'E CA1、弦所对弧的优劣情况不确定已知横截面直径为100cm 的圆形下水道，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最大深度。
20cm 或80cm2、如图3，AB 是圆O 的弦，AC 是圆O 的切线，__________。
3、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 21 解：（1）当圆O 2是大圆时，则圆O 1的半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为3cm 。
（2）当圆O 2是小圆时，则圆O 1的半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm ，求得圆O 1的半径为5cm 。
所以圆O 1的半径是3cm 或5cm 。
4、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_______。
解：（1AB 于点C ，则AC =4 （23+。
5、过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。
分析：因弦AB 所对的圆周角的顶点未确定。
可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。
解：（1）当这个圆周角的顶点在弦 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120︒。
（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60︒。
所以弦AB 所对的圆周角等于120︒或60︒。
解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种： （1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ，则AE R AF R =-=+1010，由相交弦定理得：()()R R -+=101064 所以R =241（负值已舍去） （2）点A 在⊙O 外，如图2，此时AE R AF R =-=+1010，由割线定理得：()()101064-+=R R 所以R =6（负值已舍去） 故⊙O 的半径R 为241或6。
6、如图8，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OAB ＝_________度，∠OPB ＝_________度。
解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以∠OAB ＝45° 当动点P 在OAB ⌒上时，∠OPB ＝∠OAB ＝45° 当动点P 在OB ⌒上时，∠OPB ＝180°－45°＝135° 故∠OPB 为45°或135°。
7、已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。