数学分类讨论的例题
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六上分类讨论题
人教版数学六年级上册分类讨论题包括以下几种类型：
1. 分情况讨论题：这类题目需要分不同的情况进行讨论，根据不同的情况得出不同的结论。
例题：某校六年级有120名学生，其中参加篮球比赛的有24人，参加乒乓球比赛的有18人，既参加篮球比赛又参加乒乓球比赛的有3人，参加这两
项比赛的学生共有多少人？
2. 分类计数原理题：这类题目需要使用分类计数原理进行计算，即各类事物独立地被考虑，各类事物之间无影响。
例题：用1、2、3、4四个数字可组成的四位数有（）个。
3. 分类讨论应用题：这类题目需要先对题目中的条件进行分类讨论，再根据不同的情况得出不同的结果。
例题：甲、乙两地相距150千米，小明和小华同时从甲地出发向乙地前进，小明每小时行4千米，小华每小时行5千米，小明到达乙地后立即返回，途中与小华相遇，从出发到相遇一共经过多少时间？
通过以上分类讨论题的练习，可以帮助学生更好地理解分类讨论的思想，提高数学思维能力和解决问题的能力。
中考数学复习《分类讨论问题》专项检测卷(附带答案)
中考数学复习《分类讨论问题》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。
Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 603．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．54．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．不能确定5．若m 为实数，则点P （m －2，m+2）不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为325，则这两圆的圆心距等于（ ）A ．1B ．2或6C ．7D ．1或77．如果关于x 的方程210x mx ++=的两个根的差为1，那么m 等于（ ）A ．2±B ．3C ．5D ．68．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是2323与则线段AB 的中点C 到直线l 的距离是（ ）A ．2B 3C ．23D ．不能确定 9．已知22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．－3B ．10C ．－4D ．10或－410.方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定二、填空题1．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是弦，且AB ＝2，AC 2，AD ＝1，则∠CAD ＝＿＿＿＿＿＿＿.A BC 2．已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行线，AB ＝12，CD ＝16，⊙O 的直径为20，则AB 与CD 之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.3．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.4．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.5．已知ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C ，且⊙C 与直线AB 不相交，⊙A 与⊙C 相切，设⊙A 的半径为r ，那么r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 6．已知2225,7x y x y +=+=，则x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.7．在平面直角坐标系内，A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限.8.两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程0452=+-x x 的两根，判断这两圆的位置关系： .9．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为22的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为10．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为22的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为11.=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 12． ==--+a 2112无解，求x ax13．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为_____________.14．一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为_____三、解答题1．已知实数a ，b 分别满足221122,22,a a b b a b+=+=+求的值. 2．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.3．在钝角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点，且Ad 与DC 的长度为27120x x -+=方程的两个根，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果BD 长为(0)a a >.求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.ME AB CDN 4．在直角坐标系中，有以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线y ＝x 上方及直线y=－x+2a 上方部分的面积为S ，（1）求12a =时，S 的值.（2）a 在实数范围内变化时，求S 关于a 的函数关系式.5．在直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （5，0），B （0，4），C （－1，0），点M 和点N 在x 轴上，（点M 在点N 的左边）点N 在原点的右边，作MP ⊥BN ，垂足为P （点P 在线段BN 上，且点P 与点B 不重合）直线MP 与y 轴交于点G ，MG ＝BN. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.（2）求点M 的坐标.（3）设ON ＝t ，△MOG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.（4）过点B 作直线BK 平行于x 轴，在直线BK 上是否存在点R ，使△ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出R 的坐标；若不存在，请说明理由.6．在直角坐标系xoy 中，一次函数32y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）以原点O 为圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8.在等腰三角形ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：.9:变换例题12，请问是否在x 轴，y 轴上存在点P,使得P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。
初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)
“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。
例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。
9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
问题：在一批图书中，有若干本是故事书，若干本是科普书，而剩下的是绘本。
已知故事书的数量是科普书数量的两倍，而绘本的数量又比科普书的数量少3本。
如果总共有30本图书，请问每种类型的图书各有多少本？
解答：我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
设故事书的数量为x，科普书的数量为y，绘本的数量为z。
根据已知条件，我们可以列出以下方程：
1. 故事书的数量是科普书数量的两倍：x = 2y
2. 绘本的数量比科普书的数量少3本：z = y - 3
3. 图书总数为30本：x + y + z = 30
现在我们可以利用这些方程，解得每种类型的图书的数量。
首先，我们将方程1代入方程3中，得到：2y + y + z = 30，即3y + z = 30。
然后，将方程2代入上面的方程，得到：3y + y - 3 = 30，即4y = 33，解出y = 8.25。
由于y代表科普书的数量，而书的数量应为整数，所以无法得到一个精确的值。
此时，我们可以近似地认为y ≈ 8。
然后，将近似值代入方程1，得到x ≈ 16。
再将近似值代入方程2，得到z ≈ 5。
所以，根据我们近似得到的结果，可能有大约16本故事书，8本科普书和5本绘本。
请注意，这只是根据近似值得到的结果，实际的解可能会有所不同。
中考数学专题复习分类讨论经典例题
以OE为半径画弧EF．P是EF上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点2018(上)NS数理推演拓展11专题复习（二）分类思想姓名___________班级___________一．基础练习1．半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10B．430C．10或430D．10或216512．若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）2A、0B、0或2C、2或﹣2D、0，2或﹣23．如图，在平面直角坐标系x Oy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．如图，矩形A BCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2B．3C．4D．55．如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，⌒P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若BGBM=3，则BK=_______．6．如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＝43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=_______；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=____________时，⊙C与直线AB相切．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B （-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形O′A′B′C′，此时直线OA′、直线′B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=12BQ，则点P的坐标为_______．8．已知实数a，b满足a-b=1，a2-ab+2>0，当1≤x≤2时，函数y=a(a≠0)的最大值与最小值之差是1，求a的值。
分类讨论的七年级数学题题目
以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。
给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。
首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。
如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。
如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。
如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。
如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。
例如，比较-3和2的大小。
首先，我们比较它们的绝对值。
|-3|等于3，而|2|等于2。
因为3大于2，所以-3小于2。
2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。
给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。
首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。
然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。
这样就可以得到最简形式的分式。
例如，约分36/48。
首先，我们找到36和48的最大公约数是12。
然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。
所以，36/48约分成最简形式是3/4。
3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。
给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。
首先，我们需要确定方程的解的类型。
如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。
如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。
例如，解方程2x+6=0。
首先，我们看到a=2且b=6。
因为a不等于0，所以方程有唯一解。
我们可以将方程变形得到x=-3。
所以，方程2x+6=0的解是x=-3。
4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。
给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。
绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习课时作业一、单选题1．已知()f x 为奇函数，且在上是递增的，若(3)0f −=，则()0xf x >的解集是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或【答案】B 【解析】()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，()f x ∴在(,0)−∞内是增函数，又(3)0f −=，(3)(3)0f f ∴=−−=，∴当(,3)(0,3)x ∈−∞−⋃时，()0f x <；当(3,0)(3,)x ∈−⋃+∞时，()0f x >；()0x f x ∴⋅>的解集是(,3)(3,).−∞−⋃+∞故选.B2．已知函数若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4)−∞ B ．1(,)4−∞C ．(,3)−∞D ．(,8)−∞【答案】A【解析】由题意知，2y x ax =−+图象的对称轴方程为.2a x = 当22a<，即4a <时，根据二次函数的性质可知，一定存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()();f x f x =(0,)+∞当22a …，即4a …时，由题意知22245a a −+>−，解得12a <，不符合题意． 综上所述，(,4).a ∈−∞3．已知角α的终边上一点000(,2)(0)P x x x −≠，则sin cos αα=（ ） A ．25B ．25±C ．25−D ．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角α的终边在第二或第四象限， 当角α是第二象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα==−， 则2sin cos 5αα=−； 当角α是第四象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα=−=， 则2sin cos 5αα=−， 综上，2sin cos .5αα=−4．已知函数21,1()4log 1,1a ax x x f x x x ⎧−−⎪=⎨⎪−>⎩…是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11[,)42B ．11[,]42C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B【解析】①1a >时，()f x 在(1,)+∞上是增函数；()f x ∴在R 上是增函数；显然()f x 在(,1]−∞上不是增函数；1a ∴>的情况不存在；②01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是减函数；()f x ∴在R 上是减函数；1121114aa ⎧⎪⎪∴⎨⎪−−−⎪⎩……； 解得1142a剟； 综上得，实数a 的取值范围为11[,].42故选：.B5．若关于x 的不等式2220ax ax −−<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．或0}a …【答案】B【解析】当0a =时，不等式变为20−<恒成立，故0a =满足题意； 当0a ≠时，若2220ax ax −−<恒成立， 则，即，解得20.a −<<综上，20.a −<… 故选.B 二、多选题6．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(1)(1)0ax x −+<的解集可能是（ ）A ．1{|1}x x a−<<B ．{|1}x x ≠−C ．1{|1}x x a<<− D ．R【答案】AB【解析】由(1)(1)0ax x −+<，分类讨论a 如下． 当0a >时，11x a−<<，故A 正确； 当0a =时，1;x >− 当10a −<<时，1x a<或1;x >− 当1a =−时，1x ≠−，故B 正确； 当1a <−时，1x <−或1.x a> 故选.AB7．3sin 5α=，则的值可能为（ ）A ．B ．CD ．【答案】BC【解析】34sin ,cos 55αα=∴=±，当4cos 5α=时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43252510=+=， 当4cos 5α=−时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43()55=−= 故答案为.BC8．已知函数，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为（ ）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出的图象，如图，因为22()2()10f x f x a −+−=， 所以2244(1)84a a ∆=−−=−，若a <a >则()f x 不存在，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为0；若a =22()2()10f x f x a −+−=化为2()2()10f x f x −+=，即()1f x =， 结合图象知：方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为2；若1a <<−或1a <<，则()1(0,1)f x =，或()1(1,2)f x =+，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若1a =±，则()0f x =或()2f x =，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若11a −<<，则()1[1f x =或()1(2,1f x = 方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为4个．结合选项可知，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为2个或5个或4个． 故选：.ACD9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)(1)(1)(2,)n n nS n S n n n n n N −=++−+∈…，若150S =−，则下列结论正确的有A ．50a >B ．当4n =时，n S 取得最小值C ．当0n S >时，n 的最小值为7D ．当5n =时，nnS a 取得最小值 【答案】ABD【解析】由1(1)n n nS n S −=+*(1)(1)(2,)n n n n n N +−⋅+∈…得111n n S Sn n n−−=−+ *21(2,)132S S n n N ∈∴−=…，32243S S −=，，111n n S Sn n n−−=−+， 累加得1(1)122n S S n n n −−=+，解得3*25150(2,)n S n n n n N =−−∈…， 当1n =时，150S =−满足上式，351502n n n S −−∴=，当2n …时，2133502n n n n n a S S −−−=−=，550a ∴=>，故选项A 正确；当2n …时，233502n n n a −−=单调递增，又1150a S ==−，22122a S S =−=−，{}n a ∴单调递增，且1234560a a a a a a <<<<<<<，∴当4n …时，{}n S 单调递减，当5n …时，{}n S 单调递增，且45S S <， ∴当4n =时，n S 取得最小值，故选项B 正确；又377517503202S −⨯−==−<，388518502702S −⨯−==>，∴当0n S >时，n 的最小值为8，故选项C 错误；当1n =，2，3，4时，0;n n S a >当5n =，6，7时，0;n n S a <当8n …时，0n nSa >， ∴当5n =，6，7时，考虑nnS a 的最小值， 又当5n =，6，7时，1na 恒为正且单调递减，n S 恒为负且单调递增，n n S a ∴单调递增，∴当5n =时，n nSa 取得最小值，故选项D 正确，故选.ABD 10．在棱长为1的正方体111ABCD A B C D −中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体1B ACM 的体积恒为定值B ．直线1D M 与平面1AD CC ．异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππD ．当1113A M AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD 【解析】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ， 因为11AC ⊂/平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ， 所以11//AC 平面1AB C ，即线段11AC 上的点到平面1AB C 的距离相等， 又因为1AB C 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点， 所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 选项正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，M 到平面1AD C 的距离为d ，则1dsi D Mα=， 因为11//AC AC ，11AC ⊂/平面1AD C ，AC ⊂平面1AD C ， 所以11//AC 平面1AD C ，所以M 到平面1AD C 的距离与1A 到平面1AD C 的距离相等， 连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V −−=可得11111133ACD AA D S dS ⨯=⨯，又11sin 602AD CS︒==，11111122AA D S=⨯⨯=， 所以d =M 为11AC 的中点时，1DM 最小，为2，此时sin α取得最大值为3，故B 错误； 对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为3π， 当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为2π， 所以异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππ，故C 选项正确； 对于D 选项，过M 作11//EF B D ，分别交11A D ，11A B 于点E ，F ，连接DE ，BF ， 设11AC 与11D B 交点为O ，由正方体的性质知11//BD B D ，11BD B D =， 因为1113A M AC =，所以1132A M AO =， 所以11//EF B D ，1132EF B D =，11ED B F =，所以32EF BD =，//EF BD ，BF DE =，即四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．故选：.ACD11．已知函数若5[()]2f f a =−，则实数a 的值可能为（ ） A ．73B ．43−C ．1−D ．116【答案】ACD【解析】令，则当0t …时，5352t −+=−，解得52t =； 当0t <时，152t t+=−，解得2t =−或12t =−， 令，则当0a …时，5352a −+=，解得56a =； 当0a <时，10a a +<，故152a a +=无解． 令，则当0a …时，352a −+=−，解得73a =； 当0a <时，12a a+=−，解得 1.a =− 令，则当0a …时，1352a −+=−，解得116a =； 当0a <时，，当且仅当1a =−时等号成立，故112a a +=−无解， 综上，实数a 可能的取值为5711,,1,.636− 故选.ACD 三、填空题12．定义新运算“⊗”，满足对任意的,a b R ∈，有.a b ab b ⊗=+若对x R ∀∈，恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】【解析】由得，，化简得210mx mx −−<对x R ∀∈恒成立， 当0m =时，10−<，成立； 当0m ≠时，满足，解得40m −<<；故实数m 的取值范围是故答案为：13．已知定义域为R 的函数3()3sin f x x x =+，满足2(1)(1)0f a f a −+−<，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)(1,)−∞−⋃+∞ 【解析】因为3()3sin f x x x =+，所以3()3sin ()f x x x f x −=−−=−，即()f x 为奇函数，当0x …时，2()33cos f x x x '=+， 当[0,]2x π∈时，()0f x '…，当(,)2x π∈+∞时，2233()32x π⨯>…，又33cos 3x −剟，即()0f x '>， 所以当0x …时，2()33cos 0f x x x '=+…，所以函数3()3sin f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，所以函数3()3sin f x x x =+在(,)−∞+∞上为增函数，由2(1)(1)0f a f a −+−<，得22(1)(1)(1)f a f a f a −<−−=−+， 所以211a a −<−+，所以(2)(1)0a a +−>， 解得2a <−或1a >， 故答案为：(,2)(1,).−∞−⋃+∞14．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =__________．【答案】3±【解析】由等比数列的性质可得213236a a a ==，所以26a =±， 又2460a a +=，当26a =时，454a =；当26a =−时，466a =， 所以2425496a q a ===，或26611(6q ==−−不可能为负数，舍去)， 所以 3.q =± 故答案为 3.±15．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，1()()2(2x f x x m m =−+为常数)，则当0x <时__________．【答案】()221xf x x =−−+【解析】根据题意，若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x …时，1()()22x f x x m =−+，则(0)10f m =+=，即1m =−， 故当0x …时，1()()212x f x x =−−， 当0x <时，0x −>，则1()()2()12212x x f x x x −−=−−−=+−， 又由()f x 为奇函数，则()()(221)22 1.x x f x f x x x =−−=−+−=−−+故答案为()22 1.xf x x =−−+16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足1()(2OM OA OB O =+为坐标原点)，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||2PF =，则点P 的横坐标为__________，||AB =__________．【答案】1；8【解析】由于点M 满足1()2OM OA OB =+，所以M 是线段AB 的中点． 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为 1.x =− 设00(,)P x y ，由于P 在抛物线上，且||2PF =， 根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设(1,2)P ， 若直线l 的斜率不存在，则不妨设(1,2)A ，(1,2)B −，所以(1,0)M ， 此时M 的纵坐标和P 的纵坐标不相同，不符合题意， 所以直线l 的斜率存在，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线l 的方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程并化简得2222(24)0k x k x k −++=， 则12242x x k+=+，12 1.x x = 由于M 是线段AB 的中点，所以1212(,)22x x y y M ++，又(1,2)P ， 所以1222y y +=，即124y y +=， 即1212244(1)(1)()2(2)24k x k x k x x k k k k k−+−=+−=+−==， 解得1k =，所以12246x x +=+=，所以(3,2)M ， 则点M 到准线1x =−的距离为4，根据抛物线的定义及中位线的性质可知||||||428.AB AF BF =+=⨯=17．已知关于x 的不等式a R ∈)，若1a =，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的11x −剟均成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】{|11}x x −剟；【解析】当1a =时，(1)(1)0x x −+…，解之得：1 1.x −剟∴该不等式的解集是当1x =−时，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于00…，恒成立， 当11x −<…时，10x +>，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于10ax −…， 结合函数1y ax =−的性质可得，解得11a −剟， 综上所述，实数a 的取值范围是，故答案为{|11}x x −剟；真题练习题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a ax x a −−+<+<−．（注：e 2.71828=是自然对数的底数） 【解析】（1）()22e 12e 22xf x x x x −'=−+=， 当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '−=−，故方程()()()f x b f x x a '−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫−−−−+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=−−−−+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=−+−+−−+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x =−−−， 当0e x <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>， 故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数， 因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0g a >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭， 整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a>+=， 此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫−−−<+−+−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()3e ln 22u a a a =−−，则()2e-202a u a a '=<， 故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <−−=， 故()1012e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数， 不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭， 整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<， 又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=−+−+， 设e t x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x +−+−+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +−+++=即为()21ln 02mm t t t b −++++=， 记123123e e e,,,t t t x x x === 则123,,t t t 为()21ln 02m m t t t b −++++=有三个不同的根， 设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<， 要证：22132e 112e e 6e 6e a a x x a −−+<+<−，即证13e 2e e 26e 6e a at t a −−+<+<−，即证：13132166m mt t m −−<+<−， 即证：131********m m t t t t m −−⎛⎫⎛⎫+−+−+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t −−++−−<+， 而()21111ln 02m m t t t b −++++=且()23331ln 02m m t t t b −++++=， 故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t −+−−+−=， 故131313ln ln 222t t t t m m t t −+−−=−⨯−， 故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t −−+−−⨯<−+， 即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +−−++>−即证：()()()213121ln 0172m m m k k k −−+++>−，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>−，则()()2112ln 1k k k kk ϕ⎛⎫'=−− ⎪⎝⎭−，设()12ln u k k k k =−−，则()2122210u k k k k k'=+−>−=，所以()()10u k u >=，()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()1k m ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m −−+−−++++>+−−， 记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω−−−+=+<<+， 则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω−−−+−+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m −−−++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m −−+++>−，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =−． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax xh x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−， 则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>， 故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−， 下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立， 证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++， 故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤， 故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数， 所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x −+<成立， 令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有 整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=−−+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()1ln ,0f x x x x =−−>，则()22111xf x x x x−'=−=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以()()max 11f x f ==−；（2）()()11ln ,0f x ax a x x x =−−+>，则()()()221111ax x a f x a x x x −−+'=+−=， 当0a ≤时，10ax −<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==−<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()110f a =−<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥−，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =−−+>−−+>−+则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x−'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =−=，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =−>，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>−，1>ln 21x ⎛> ⎝， 此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=−−+<−−+−< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为()0,∞+.。
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数学分类讨论的例题
在数学学科中，分类讨论是解决问题的一种重要方法。
通过对问题进行合理的分类，可以将问题分解为较小、较简单的部分，从而更容易求解。
本文将针对数学分类讨论的例题进行详细阐述，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、问题描述
假设有一批水果，其中有苹果、梨子和桃子三种，共计20个。
已知：
1. 每个篮子里至少有一个水果；
2. 每个篮子里最多可以有8个苹果；
3. 每个篮子里最多可以有7个梨子；
4. 每个篮子里最多可以有6个桃子。
现在需要回答以下几个问题：
1. 至少需要几个篮子才能将这批水果分装完毕？
2. 若每个篮子内的水果总数相同，每个篮子里应该装多少个水果？
二、问题分析
首先，我们可以通过分类讨论的方法来解决这个问题。
我们可以将水果的种类与每个篮子里的水果总数作为分类的依据，具体分为以下几种情况：
1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。
2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。
3. 第三种情况：每个篮子中装有三种水果。
对于每种情况，我们分别分析并得出结论。
三、分类讨论
1. 第一种情况：每个篮子中只装有一种水果。
假设每个篮子中只装有苹果，即每个篮子内只有苹果，不含其他水果。
由已知条件可知，每个篮子内最多可以放8个苹果。
因此，所需篮子的个数为20/8=2.5，即至少需要3个篮子才能将这批水果分装完毕。
每个篮子内的水果总数相同，为8个苹果。
同理，若每个篮子中只装有梨子或者桃子，也可得到类似的结论：- 每个篮子中只装有梨子时，所需篮子的个数为20/7≈2.86，即至少需要3个篮子；
- 每个篮子中只装有桃子时，所需篮子的个数为20/6=3.33，即至少需要4个篮子。
2. 第二种情况：每个篮子中装有两种水果。
假设每个篮子中既有苹果又有梨子，即每个篮子内同时含有苹果和梨子。
根据已知条件：每个篮子内最多可以放8个苹果和7个梨子。
因此，所需篮子的个数至少为2，因为每个篮子放入3个苹果和3个梨子，加
起来总数最多为6+6=12，超过20个水果的总数。
而若每个篮子放入2
个苹果和3个梨子，每个篮子的水果总数为5个，此时所需篮子的个
数为20/5=4，即至少需要4个篮子。
每个篮子内的水果总数相同，为2个苹果和3个梨子。
同理，若每个篮子中既有苹果又有桃子，或者既有梨子又有桃子，
也可得到类似的结论：
- 每个篮子中既有苹果又有桃子时，所需篮子的个数至少为4，每个篮子内的水果总数为2个苹果和3个桃子；
- 每个篮子中既有梨子又有桃子时，所需篮子的个数至少为4，每个篮子内的水果总数为2个梨子和3个桃子。
3. 第三种情况：每个篮子中装有三种水果。
假设每个篮子中分别装有苹果、梨子和桃子，即每个篮子内同时含
有苹果、梨子和桃子。
根据已知条件，每个篮子内最多可以放8个苹果、7个梨子和6个
桃子。
因此，所需篮子的个数至少为2，每个篮子内的水果总数为
8+7+6=21个，超过了20个水果的总数。
因此，无法满足每个篮子内的水果总数相同的要求，故不存在这样的情况。
综上所述，根据给定的条件，至少需要3个篮子才能将这批水果分
装完毕。
若每个篮子内的水果总数相同，则每个篮子里应该装8个苹
果，或者每个篮子里应该装5个苹果和3个梨子，或者每个篮子里应该装2个苹果、2个梨子和3个桃子。
结论
通过对这个问题的分类讨论，我们可以得出结论：至少需要3个篮子才能将这批水果分装完毕。
每个篮子内的水果总数可以相同，其中一种合理的装法是每个篮子装8个苹果，另一种装法是每个篮子装5个苹果和3个梨子。
这一例题充分体现了数学分类讨论的应用，通过合理的分类，对问题进行分解和分析，有助于解决更为复杂的数学问题。