分类讨论思想例题 [分类讨论]
二次函数中分类讨论思想
二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定例1. （2008年陕西卷）22．本小题满分14分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．2. 轴定区间动 例2. （全国卷）设a 为实数，函数2()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值。
3. 轴动区间定评注：已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x 在[,]m n 上的最大值或最小值。
例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4. 轴变区间变例4. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。
（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。
例5. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例6. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值。
练习：1、（2008江西卷21）． 已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值。
分类讨论思想专题
（3）分式方程有非负数解（过三关）
①整式方程有解 ②最简公分母 0 ③解 0
（三）有关函数的分类
2．已知点 P(2 x,3x 6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ( )
A． (6,6)
B． (3, 3)
C． (6, 6) 或 (3,3)
D． (6,6) 或 (3, 3)
数，再根据解集确定 m 的取值范围．
【解答】解：解不等式组
x m 0 13 2x 1
得：
m
x
6
，
所有整数解的和是 15，15 6 5 4 ，
x 6 ，5，4，因此不等式组的整数解为①6，5，4，
或②6，5，4，3，2，1，0， 1， 2 ， 3，
易忽略： 第二种情况 相反数
3 x 4或- 4 x 3 ；
闯关 游戏
【点评】本题考查了分式方程的增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条 件是解题的关键．
18．已知关于 x 的分式方程 +
＝．
（1）若方程的增根为 x＝2，求 m 的值； （2）若方程有增根，求 m 的值； ▲（3）若方程无解，求 m 的值． （4）若方程解为非负数，求 m 的取值范围．
先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
变式训练：长方形两边长分别为5和 4，如果绕边长旋转一周，
则所得几何体的体积是_________ ．
则该函数的最大值为
．
19.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了 优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买 60 元的门票，采摘的草莓六折优惠； 乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部
分类讨论思想练习题
分类讨论思想练习题思维的分类是人类对事物进行认识和理解的基础。
分类讨论思想练习题是一种常见的思维训练方法，旨在通过分析和归纳，提高我们对问题的认知和解决能力。
本文将从概念分类、问题分类和解决方案分类三个方面，详细讨论分类讨论思想练习题的应用和意义。
一、概念分类概念分类是对不同事物之间的相似性和区别性进行归纳和总结的过程。
在思考问题时，我们可以根据问题的性质和特点，将问题进行概念分类，以便更好地理解问题的本质和内涵。
以数学问题为例，我们可以将数学问题分为代数问题、几何问题和概率问题等。
通过对不同类型问题的分类，我们能够更好地理解和应用相应的数学知识，提高解决问题的能力。
二、问题分类问题分类是对问题进行细致的分解和划分，以便更好地分析和解决问题。
通过将复杂的问题拆解为若干个相对简单的小问题，我们可以更加有条理地思考和解决问题。
以企业经营问题为例，我们可以将问题分为市场问题、财务问题和人力资源问题等。
通过对不同方面问题的分类，我们可以更加深入地分析和解决企业经营中的各种挑战。
三、解决方案分类解决方案分类是对不同解决方案进行归纳和分类的过程。
在面对问题时，我们可以通过对解决方案的分类，从而找到最适合的解决方法，提升问题解决的效率和质量。
以环境保护问题为例，我们可以将解决方案分为政府干预类、技术创新类和公众参与类等。
通过对不同解决方案的分类，我们能够更有针对性地采取措施，保护好我们的环境。
分类讨论思想练习题的意义：1. 提高思维能力：通过对事物进行分类，使我们更好地理解和认识事物的内涵和特点，提高我们的思维能力。
2. 更有针对性地解决问题：通过对问题进行分类，我们能够更加系统和全面地分析问题，从而找到最适合的解决方法。
3. 增强问题解决的效率：通过对解决方案进行分类，我们能够更加迅速地找到解决问题的途径，提高问题解决的效率。
4. 培养创新意识：分类讨论思想练习题的过程中，我们需要对事物和问题进行归纳和总结，这培养了我们的创新意识和思维能力。
专题二-分类讨论思想训练
方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为()A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°2．[2016·荆门]已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为() A．7B．10C．11D．10或113．[2017·聊城]如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题4．[2017·西宁]若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2016·西宁]⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．7．[2016·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．图F2－28．[2017·齐齐哈尔]如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．图F2－39．[2016·鄂州]如图F2－4，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．图F2－410．[2016·荆门]如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y＝kx图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是________图F2－511．[2017·义乌]如图F2－6，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________．图F2－6。
分类讨论思想
分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x –a ｜+1，x ∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn 为它的前n 项和.（1）用Sn 表示Sn+1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N*)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=k k S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N*) 故只要23Sk –2＜c ＜Sk ，（k ∈N*）因为Sk+1＞Sk ，(k ∈N*) ①所以23Sk –2≥23S1–2=1.又Sk ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为cS >=-252232，由Sk ＜Sk+1(k ∈N*)得 23Sk –2＜23Sk+1–2故当k ≥2时，23Sk –2＞c ，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立因为cS >=-4132233，又23Sk –2＜23Sk+1–2 所以当k ≥3时，23Sk –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21>--+c S cS k k 成立.［例2］给出定点A （a,0)（a ＞0）和直线l ：x=–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记B （–1，b)，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=–bx. 设点C(x,y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a by -+-=由x –a ≠0，得a x ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y ≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a )(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA=∠COB=∠COD –∠BOD=π–∠COA –∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COA COA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan =)1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x ＜a) 以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO 的方程为y=–bx ，直线AB 的方程为)(1a x a by -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC=θ,∴直线OC 的斜率为k=tan θ,OC 的方程为y=kx 于是2212tan 1tan 22tan k k-=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b=212k k - ①∵C 点在AB 上∴)(1a x a bkx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k kkx a --=+ ③又x yk =，代入③，有)(12)1(22a x x y x yx x y a --⋅⋅⋅+整理，得(a –1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④当b=0时，即B 点在x 轴上时，C(0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论. 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn n n n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x ｜x2–3x+2=0},B={x ｜x2–ax+(a –1)=0}，C={x ｜x2–mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 . 三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x ｜x2+px+q=0}，B={x ｜qx2+px+1=0},A,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x2+y2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x 2和xn 的表达式； （2）计算∞→n limxn ；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f(x)=ax –bx2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a ≤2b;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a –1)x2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a2–(a –1)＞0.答案：252252+-<<--a 或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x ｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a ｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f(x)=x2–x +a+1=(x –21)2+a+43若a ≤21，则函数f(x)在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1若a ＞21，则函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a ，且f(21)≤f(a). ②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x –a+1=(x+21)2–a+43若a ≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a ，且f(–21)≤f(a)； 若a ＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a ＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A={1,2},B={x ｜(x –1)(x –1+a)=0}, 由A ∪B=A 可得1–a=1或1–a=2； 由A ∩C=C ，可知C={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x0∈A ，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A ∩B=∅与已知矛盾，故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(20=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B.∵A ∩B ={–2},则–2∈A,且–2∈B .设A={–2,x0}，则B={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B=∅）.若x0=–21，则01x –2∈B,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x0=01x ，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}. ∵ON ⊥MN,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x,y)， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y ≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x1=1又由f(x2)=2，当1≤y ≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由bx x x f x f =--1212)()( 即x2–x1=b 1∴x2=1+b 1记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f(xn)=n,f(xn –1)=n –1∴xn –xn –1=(b 1)n –1,n=1,2,……由此知数列{xn –xn –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(xk –xk –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b b n n 即xn=1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, xn 也趋于无穷大.∞→n limxn 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y=x ，即当0≤x ≤1时，f(x)=x;当n ≤y ≤n+1，即xn ≤x ≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x –xn)(n=1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y=f(x)的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1∵b a b a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a ba f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒–1≤f(x ），据此可以推出–1≤f(1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒f(x)≤1.因为b ＞1，可以推出f(b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx2≥b(x –x2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx2≤2b x –bx2≤1 即ax –bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f(x)=ax –bx2≥–b ≥–1 即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b+1a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x –bx2≤1 即f(x)≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是a ≤b+1.。
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习
高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习课时作业一、单选题1．已知()f x 为奇函数，且在上是递增的，若(3)0f −=，则()0xf x >的解集是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或【答案】B 【解析】()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，()f x ∴在(,0)−∞内是增函数，又(3)0f −=，(3)(3)0f f ∴=−−=，∴当(,3)(0,3)x ∈−∞−⋃时，()0f x <；当(3,0)(3,)x ∈−⋃+∞时，()0f x >；()0x f x ∴⋅>的解集是(,3)(3,).−∞−⋃+∞故选.B2．已知函数若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4)−∞ B ．1(,)4−∞C ．(,3)−∞D ．(,8)−∞【答案】A【解析】由题意知，2y x ax =−+图象的对称轴方程为.2a x = 当22a<，即4a <时，根据二次函数的性质可知，一定存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()();f x f x =(0,)+∞当22a …，即4a …时，由题意知22245a a −+>−，解得12a <，不符合题意． 综上所述，(,4).a ∈−∞3．已知角α的终边上一点000(,2)(0)P x x x −≠，则sin cos αα=（ ） A ．25B ．25±C ．25−D ．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角α的终边在第二或第四象限， 当角α是第二象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα==−， 则2sin cos 5αα=−； 当角α是第四象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα=−=， 则2sin cos 5αα=−， 综上，2sin cos .5αα=−4．已知函数21,1()4log 1,1a ax x x f x x x ⎧−−⎪=⎨⎪−>⎩…是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11[,)42B ．11[,]42C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B【解析】①1a >时，()f x 在(1,)+∞上是增函数；()f x ∴在R 上是增函数；显然()f x 在(,1]−∞上不是增函数；1a ∴>的情况不存在；②01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是减函数；()f x ∴在R 上是减函数；1121114aa ⎧⎪⎪∴⎨⎪−−−⎪⎩……； 解得1142a剟； 综上得，实数a 的取值范围为11[,].42故选：.B5．若关于x 的不等式2220ax ax −−<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．或0}a …【答案】B【解析】当0a =时，不等式变为20−<恒成立，故0a =满足题意； 当0a ≠时，若2220ax ax −−<恒成立， 则，即，解得20.a −<<综上，20.a −<… 故选.B 二、多选题6．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(1)(1)0ax x −+<的解集可能是（ ）A ．1{|1}x x a−<<B ．{|1}x x ≠−C ．1{|1}x x a<<− D ．R【答案】AB【解析】由(1)(1)0ax x −+<，分类讨论a 如下． 当0a >时，11x a−<<，故A 正确； 当0a =时，1;x >− 当10a −<<时，1x a<或1;x >− 当1a =−时，1x ≠−，故B 正确； 当1a <−时，1x <−或1.x a> 故选.AB7．3sin 5α=，则的值可能为（ ）A ．B ．CD ．【答案】BC【解析】34sin ,cos 55αα=∴=±，当4cos 5α=时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43252510=+=， 当4cos 5α=−时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43()55=−= 故答案为.BC8．已知函数，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为（ ）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出的图象，如图，因为22()2()10f x f x a −+−=， 所以2244(1)84a a ∆=−−=−，若a <a >则()f x 不存在，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为0；若a =22()2()10f x f x a −+−=化为2()2()10f x f x −+=，即()1f x =， 结合图象知：方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为2；若1a <<−或1a <<，则()1(0,1)f x =，或()1(1,2)f x =+，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若1a =±，则()0f x =或()2f x =，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若11a −<<，则()1[1f x =或()1(2,1f x = 方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为4个．结合选项可知，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为2个或5个或4个． 故选：.ACD9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)(1)(1)(2,)n n nS n S n n n n n N −=++−+∈…，若150S =−，则下列结论正确的有A ．50a >B ．当4n =时，n S 取得最小值C ．当0n S >时，n 的最小值为7D ．当5n =时，nnS a 取得最小值 【答案】ABD【解析】由1(1)n n nS n S −=+*(1)(1)(2,)n n n n n N +−⋅+∈…得111n n S Sn n n−−=−+ *21(2,)132S S n n N ∈∴−=…，32243S S −=，，111n n S Sn n n−−=−+， 累加得1(1)122n S S n n n −−=+，解得3*25150(2,)n S n n n n N =−−∈…， 当1n =时，150S =−满足上式，351502n n n S −−∴=，当2n …时，2133502n n n n n a S S −−−=−=，550a ∴=>，故选项A 正确；当2n …时，233502n n n a −−=单调递增，又1150a S ==−，22122a S S =−=−，{}n a ∴单调递增，且1234560a a a a a a <<<<<<<，∴当4n …时，{}n S 单调递减，当5n …时，{}n S 单调递增，且45S S <， ∴当4n =时，n S 取得最小值，故选项B 正确；又377517503202S −⨯−==−<，388518502702S −⨯−==>，∴当0n S >时，n 的最小值为8，故选项C 错误；当1n =，2，3，4时，0;n n S a >当5n =，6，7时，0;n n S a <当8n …时，0n nSa >， ∴当5n =，6，7时，考虑nnS a 的最小值， 又当5n =，6，7时，1na 恒为正且单调递减，n S 恒为负且单调递增，n n S a ∴单调递增，∴当5n =时，n nSa 取得最小值，故选项D 正确，故选.ABD 10．在棱长为1的正方体111ABCD A B C D −中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体1B ACM 的体积恒为定值B ．直线1D M 与平面1AD CC ．异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππD ．当1113A M AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD 【解析】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ， 因为11AC ⊂/平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ， 所以11//AC 平面1AB C ，即线段11AC 上的点到平面1AB C 的距离相等， 又因为1AB C 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点， 所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 选项正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，M 到平面1AD C 的距离为d ，则1dsi D Mα=， 因为11//AC AC ，11AC ⊂/平面1AD C ，AC ⊂平面1AD C ， 所以11//AC 平面1AD C ，所以M 到平面1AD C 的距离与1A 到平面1AD C 的距离相等， 连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V −−=可得11111133ACD AA D S dS ⨯=⨯，又11sin 602AD CS︒==，11111122AA D S=⨯⨯=， 所以d =M 为11AC 的中点时，1DM 最小，为2，此时sin α取得最大值为3，故B 错误； 对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为3π， 当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为2π， 所以异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππ，故C 选项正确； 对于D 选项，过M 作11//EF B D ，分别交11A D ，11A B 于点E ，F ，连接DE ，BF ， 设11AC 与11D B 交点为O ，由正方体的性质知11//BD B D ，11BD B D =， 因为1113A M AC =，所以1132A M AO =， 所以11//EF B D ，1132EF B D =，11ED B F =，所以32EF BD =，//EF BD ，BF DE =，即四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．故选：.ACD11．已知函数若5[()]2f f a =−，则实数a 的值可能为（ ） A ．73B ．43−C ．1−D ．116【答案】ACD【解析】令，则当0t …时，5352t −+=−，解得52t =； 当0t <时，152t t+=−，解得2t =−或12t =−， 令，则当0a …时，5352a −+=，解得56a =； 当0a <时，10a a +<，故152a a +=无解． 令，则当0a …时，352a −+=−，解得73a =； 当0a <时，12a a+=−，解得 1.a =− 令，则当0a …时，1352a −+=−，解得116a =； 当0a <时，，当且仅当1a =−时等号成立，故112a a +=−无解， 综上，实数a 可能的取值为5711,,1,.636− 故选.ACD 三、填空题12．定义新运算“⊗”，满足对任意的,a b R ∈，有.a b ab b ⊗=+若对x R ∀∈，恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】【解析】由得，，化简得210mx mx −−<对x R ∀∈恒成立， 当0m =时，10−<，成立； 当0m ≠时，满足，解得40m −<<；故实数m 的取值范围是故答案为：13．已知定义域为R 的函数3()3sin f x x x =+，满足2(1)(1)0f a f a −+−<，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)(1,)−∞−⋃+∞ 【解析】因为3()3sin f x x x =+，所以3()3sin ()f x x x f x −=−−=−，即()f x 为奇函数，当0x …时，2()33cos f x x x '=+， 当[0,]2x π∈时，()0f x '…，当(,)2x π∈+∞时，2233()32x π⨯>…，又33cos 3x −剟，即()0f x '>， 所以当0x …时，2()33cos 0f x x x '=+…，所以函数3()3sin f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，所以函数3()3sin f x x x =+在(,)−∞+∞上为增函数，由2(1)(1)0f a f a −+−<，得22(1)(1)(1)f a f a f a −<−−=−+， 所以211a a −<−+，所以(2)(1)0a a +−>， 解得2a <−或1a >， 故答案为：(,2)(1,).−∞−⋃+∞14．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =__________．【答案】3±【解析】由等比数列的性质可得213236a a a ==，所以26a =±， 又2460a a +=，当26a =时，454a =；当26a =−时，466a =， 所以2425496a q a ===，或26611(6q ==−−不可能为负数，舍去)， 所以 3.q =± 故答案为 3.±15．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，1()()2(2x f x x m m =−+为常数)，则当0x <时__________．【答案】()221xf x x =−−+【解析】根据题意，若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x …时，1()()22x f x x m =−+，则(0)10f m =+=，即1m =−， 故当0x …时，1()()212x f x x =−−， 当0x <时，0x −>，则1()()2()12212x x f x x x −−=−−−=+−， 又由()f x 为奇函数，则()()(221)22 1.x x f x f x x x =−−=−+−=−−+故答案为()22 1.xf x x =−−+16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足1()(2OM OA OB O =+为坐标原点)，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||2PF =，则点P 的横坐标为__________，||AB =__________．【答案】1；8【解析】由于点M 满足1()2OM OA OB =+，所以M 是线段AB 的中点． 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为 1.x =− 设00(,)P x y ，由于P 在抛物线上，且||2PF =， 根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设(1,2)P ， 若直线l 的斜率不存在，则不妨设(1,2)A ，(1,2)B −，所以(1,0)M ， 此时M 的纵坐标和P 的纵坐标不相同，不符合题意， 所以直线l 的斜率存在，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线l 的方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程并化简得2222(24)0k x k x k −++=， 则12242x x k+=+，12 1.x x = 由于M 是线段AB 的中点，所以1212(,)22x x y y M ++，又(1,2)P ， 所以1222y y +=，即124y y +=， 即1212244(1)(1)()2(2)24k x k x k x x k k k k k−+−=+−=+−==， 解得1k =，所以12246x x +=+=，所以(3,2)M ， 则点M 到准线1x =−的距离为4，根据抛物线的定义及中位线的性质可知||||||428.AB AF BF =+=⨯=17．已知关于x 的不等式a R ∈)，若1a =，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的11x −剟均成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】{|11}x x −剟；【解析】当1a =时，(1)(1)0x x −+…，解之得：1 1.x −剟∴该不等式的解集是当1x =−时，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于00…，恒成立， 当11x −<…时，10x +>，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于10ax −…， 结合函数1y ax =−的性质可得，解得11a −剟， 综上所述，实数a 的取值范围是，故答案为{|11}x x −剟；真题练习题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a ax x a −−+<+<−．（注：e 2.71828=是自然对数的底数） 【解析】（1）()22e 12e 22xf x x x x −'=−+=， 当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '−=−，故方程()()()f x b f x x a '−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫−−−−+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=−−−−+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=−+−+−−+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x =−−−， 当0e x <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>， 故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数， 因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0g a >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭， 整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a>+=， 此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫−−−<+−+−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()3e ln 22u a a a =−−，则()2e-202a u a a '=<， 故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <−−=， 故()1012e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数， 不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭， 整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<， 又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=−+−+， 设e t x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x +−+−+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +−+++=即为()21ln 02mm t t t b −++++=， 记123123e e e,,,t t t x x x === 则123,,t t t 为()21ln 02m m t t t b −++++=有三个不同的根， 设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<， 要证：22132e 112e e 6e 6e a a x x a −−+<+<−，即证13e 2e e 26e 6e a at t a −−+<+<−，即证：13132166m mt t m −−<+<−， 即证：131********m m t t t t m −−⎛⎫⎛⎫+−+−+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t −−++−−<+， 而()21111ln 02m m t t t b −++++=且()23331ln 02m m t t t b −++++=， 故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t −+−−+−=， 故131313ln ln 222t t t t m m t t −+−−=−⨯−， 故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t −−+−−⨯<−+， 即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +−−++>−即证：()()()213121ln 0172m m m k k k −−+++>−，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>−，则()()2112ln 1k k k kk ϕ⎛⎫'=−− ⎪⎝⎭−，设()12ln u k k k k =−−，则()2122210u k k k k k'=+−>−=，所以()()10u k u >=，()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()1k m ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m −−+−−++++>+−−， 记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω−−−+=+<<+， 则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω−−−+−+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m −−−++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m −−+++>−，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =−． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>， 故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax xh x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−， 则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>， 故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−， 下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立， 证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++， 故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤， 故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数， 所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x −+<成立， 令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有 整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=−−+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()1ln ,0f x x x x =−−>，则()22111xf x x x x−'=−=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以()()max 11f x f ==−；（2）()()11ln ,0f x ax a x x x =−−+>，则()()()221111ax x a f x a x x x −−+'=+−=， 当0a ≤时，10ax −<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==−<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()110f a =−<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥−，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =−−+>−−+>−+则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x−'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =−=，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增； 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =−>，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>−，1>ln 21x ⎛> ⎝， 此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=−−+<−−+−< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为()0,∞+.。
分类讨论的思想
过 Ｄ 作 Ａ曰 的 垂 线 交
交 ＣＤ 千 Ｎ．
解 ： 为 ＋ １ 所 以 Ⅱ＝ 一 因 ６＝ ， ２ １ ｂ，
６ １ －
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因为 ＞ ， 以 ａ ０ ｂ ０或 ａ ０ ０所 ＞ ，＞ ＜ ，
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数学金刊・ 版Ｉ ３ 初中 ７
塑 史 堡 丽 塞堑，
５ ．已 知 平 行 四 边 形 ＡＢ Ｄ 的 Ｃ 周长 为 ５ ２， 自顶 点 Ｄ 作 ＤＥ．ＡＢ． Ｌ ９ ．某 工厂有 ２ ６名工 人接 受 了 １ 生产 １ ０ ０台 Ｇ 型 高 科 技 产 品 的 ０ Ｈ
时 ， （ 所 以 分 以 下 四种 情 况 讨 论 ． Ｄ １
工 人 有 人 ，他 们 加 工 完 Ｇ型 装 置 所 需 时 间 为 ｇ（ ） 其 余 工 人 加 工 完 ｘ，
Ｈ型装置所需时间为 ｈ ）单位 ： （ 小
６ 已 知 旦 ６ ＝— ． ± Ｊ ｂ ＋
—
ｃ
＝ ：
，
时， 可不 为整 数 ） ．
（ ） 出 ｇ ｘ ， ） 析式． １写 （ ）＾ 解 （） ２ 比较 ｇ ｘ 与 ｈ（ 的 大 小 ， （） ）
因 为 ＡＢ Ｃ 辑 以 ＭＮ Ｃ Ｄ． Ｄ．
甄 以 ＡＭ＝ ＡＢ＝ ＣＮ： ＣＤ＝ ５，
１． ２
（） ａ０ｂ０时， １ 当 ＞ ，＞
原 式 ＝ａｘ １ ＋ ／１ ＝ ／ 一ｂ ｂ、 一
ｎ
、 ＋、 ＝ Ｉ ｌ６ｂＪ ２ ２１ ／ ６ ／ ｎｎ ＋ ａ ｂ ． ｌ ＝ ＋ ＝ ＿
＋ ０ （一 ａ＞ ， 得 ｘ ６ ４ ） ６ ）Ｏ 解 ＜ ａ或 ＞ ４ ’
加 工 一 种装 置．设加 工 Ｇ 型装 置 的
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用1. 引言1.1 概述数统计等。
【概述】分类讨论思想是指在解决问题时，将问题按照不同的特征或条件进行分类，然后分别讨论每个类别下的情况，最终得出综合结论的思维方法。
在初中数学学习中，分类讨论思想被广泛运用于解决各种类型的数学问题，尤其在解决复杂的问题和提高问题解题能力方面具有重要意义。
通过分类讨论思想，学生可以将复杂的问题进行分解，逐步解决，提高问题解决的效率和准确性，培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将重点讨论分类讨论思想在解初中数学题中的应用，分析其基本概念、应用案例、具体技巧，比较与其他解题方法的优劣以及在数学学习中的重要性。
通过本文的探讨，旨在深入探析分类讨论思想在数学学习中的实际意义，并探讨未来在该领域的研究方向。
1.2 研究背景在传统的教学模式中，学生往往是被passively 授予知识，缺乏对知识的主动探索和应用能力。
而分类讨论思想的引入可以打破这种被动学习的模式，鼓励学生思考问题的本质和解决方法，培养其独立思考和创新能力。
通过对不同情况的分类讨论和比较，学生可以更深入地理解问题，掌握解题的基本思路和方法，提高解题效率和准确度。
研究分类讨论思想在初中数学题中的应用具有积极意义，可以有效促进学生数学思维的发展，提高其解决实际问题的能力。
也为教师提供了一种新的教学方法和手段，有助于激发学生学习兴趣，提高教学效果。
通过深入探讨分类讨论思想的具体应用和技巧，可以为数学教育的改革和发展提供有益启示。
1.3 研究目的研究目的：本文旨在探讨分类讨论思想在解初中数学题中的应用，通过对分类讨论思想的基本概念、具体应用技巧以及与其他解题方法的比较分析，揭示其在数学学习中的重要性。
通过对分类讨论思想在解题过程中的实际操作和应用案例分析，旨在帮助读者更深入理解该方法的实际运用情况，从而提高解题效率和思维能力。
通过对未来研究方向的探讨和展望，寻求分类讨论思想在数学问题解决中的更广泛应用可能性，为数学教育的改革和提升提供参考。
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当问题所包含的对象不能统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出各自的结论，再综合各类结果得到整个问题的解答，这种方法就叫做分类讨论. 在解决某些数学问题时，因为在条件或结论中存在一些不确定的因素，解答无法用同一的方法或结论不能给出统一的表述，但就其解题方法及转化手段而言都是类似的，此时可以根据数学对象本质属性的异同和题目的特点、要求，选择恰当的标准加以分类，逐一研究解决.分类的要求有两个，其一，分类标准统一，其二，分类要不重不漏.
分类讨论是一种重要的数学思想方法，能培养学生思维的逻辑性、探究性以及归纳的条理性、完整性，它渗透于数学的各个分支，在中考试题中占有重要的位置.平方根，绝对值的概念，两圆相切的位置关系，三角形的形状，角的大小范围等等常常是分类的出发点.
例1 （2011 浙江）某计算程序编辑如图1所示，当输入x＝时，输出的y=
图1
分析分别计算当x≥3、x<3时，x-3=3、3x+5=3相应的x的值即可.
分别解得x=12或-2
例2 函数y＝-1|x|图象的大致形状是
（）
分析对于这个函数同学们是陌生的.先考虑定义域，由x非零，排除C选项；再从x＞0,x<0两种情况都可以判断y的值为负数，答案选D.
图2
例3 （2011福建厦门）如图2，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
分析由图上格点可知AD=1，AB=3，AC=6要求以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，就要分两种情形△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值有两个22,2
点评本题考查相似三角形的性质，解题的关键是注意结合图形进行分类讨论.
图3
例4 (2011四川德阳改编)如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B旋转90°至CB，那么点C的坐标是 .
分析有两种情形（1）AB绕点B顺时针旋转.此时，过点C作y轴的垂线，D为垂足，根据三角形全等可以知道CD=b,BD=a,OD=b-a，则点C的坐标为(-b，b-a)；（2）AB绕点B逆时针旋转，同理可得点C的坐标为(b,a+b).
点评本题考查了旋转三要素.如果本题改为以AB为一边作正方形，求其他两个点的坐标.请同学们不妨自己试一试.
例5 已知实数x满足x2+1x2=7，求3x2+x+32x的值.
分析将x2+1x2=7左边配方，x2+1x2+2=7+2，得x+1x2=9，从而x+1x=±3，将3x2+x+32x变形得32x+1x+12，整体代入求得5或-
点评本题考查开平方的意义、代数式的变形化简以及整体代换的方法，不能漏解.
例6 (2011 北京)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象求出当直线y=12x+b（b 分析从一元二次方程根的判别式入手，得到k≤3，正整数k的值有1,2,然后分别检验方程是否有两个非零的整数根，得到新的函数图象后，把图形的位置变化转化为对字母b计算，此时图象有公共点的情况不唯一，可分类讨论.
解答（1）由题意，得Δ=16-8(k-1)≥0，∴k≤
∵k为正整数，∴k=1，2，
（2）当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根；
当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根.
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意.
当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-
图4
（3）设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A(-3，0)，B(1，0).依题意翻折后图象如图4所示.当直线y=12x+b经过A点时，可得b=32；当直线y=12x+b经过B点时，可得b=-1
由图象可知，符合题意的b(b<3)的取值范围为-12 点评本题中因为b值不确定，所以直线y=12x+b表示无数条互相平行的直线，通过平移直线找到与翻折后图象的公共点的不同情形.此题若改成讨论直线y=m与新图象的公共点的个数，你能给出完整答案吗？
拓展训练若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为 .
分析可设上、下底长分别为x,y(x h2+x2=92，h2+y2=112，两式相减得y2-x2=112-92=40，
进而(y+x)(y-x)=40.。