第8讲 分类讨论思想
《分类讨论思想》课件
分类讨论思想的优点
1 理性思考
2 有效决策
3 更好的规划
分类讨论思想可以帮助我 们以理性的方式解决问题， 减少情绪对决策的影响。
分类讨论思想允许我们在 所有情况下做出决策，从 而总是找到最佳解决方案。
一个好的计划是成功的基 础。分类讨论思想可以帮 助我们制定更好的规划， 更好地利用时间和资源。
您可以使用分类讨论思想来确定公司剩余预算的最佳用途。您列出了所有可能的选项，例如 广告、物料和更多人手，然后仔细分析每个选项的好处和风险。
分类讨论思想的起源
古代智者
分类讨论思想可以追溯到古代中 国。古代智者使用这种方法来解 决各种复杂的问题，包括政治和 哲学上的问题。
希腊哲学家
希腊哲学家也研究过分类讨论思 想。那时候就有人开始将这种思 考方法应用到科学研究中。
解决方案。
3
3.制订计划
在确定最佳解决方案之后，您需要制定 计划并确定实施需要的资源和时间。
分类讨论思想的应用
商业领域
从制定营销计划到决定是否要 进入新市场，分类讨论思想可 以帮助商业领导者做出最佳决 策。
法律领域
在审判案件时，法院可以使用 分类讨论思想来分类讨论所讨论思想》PPT课 件
欢迎来到我们的课程！在这个PPT课件中，我们将介绍分类讨论思想。通过这 个思考方法，您将学习归因错误和一些常见的逻辑谬误以及如何防止它们。 让我们开始吧！
什么是分类讨论思想
定义
分类讨论思想是确定一个问题的所有情况，从而更好地理解该问题，寻找解决方法并做出决 策的方法。
举个例子
结论和要点
在这个PPT课件中，我们介绍了分类讨论思想的基本原则和应用。无论您在哪个领域工作或生活，这种思考方 法都可以帮助您做出更好的决策。没有一个问题是绝对单一的，分类讨论思想可以帮助您创造有多种可能性的 视角。
分类讨论思想总结
分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。
分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。
分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。
在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。
分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。
在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。
在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。
分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。
例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。
在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。
在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。
分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。
例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。
在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。
分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。
例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。
在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。
在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。
数学分类讨论思想课件
Ｅ
Ｆ a
2、在直角坐标系中，O为坐标原点， 已知 A（1，1），在x轴上确定点P， 使得△AOP为等腰三角形，则符合条 y 4 件的P点共有 个
1
P2(2 ,0)
A (1,1)
P1(2,0)
-1
o
-1
P4( 1, 0 )
1 P3(
2
,0) x
例7、在下图三角形的边上找出一点，使得 该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！C
当ＡＱ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形， 即6－t=2t,解得t=2（秒） ∴当t=2秒时， △QAP为等腰直 角三角形。
16 17
(1）若顶角顶点与矩形顶点重合
A
F
D
16
E B
17
如图，当AE=AF=10时,S△AEF=
1 2 2×10×10=50(cm )
C
(2）若底角顶点与矩形顶点重合
A D E A D
E B F C B C
F
如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= 102 62 =8,
1 S△AEF= ×10×8=40(cm2) 2
例5
1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦， 且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD之 间的距离为 7cm或1cm 。
A B C C A B D
O 2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分 别是 3、 2，则∠BAC的度数是 150或750 。
3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若 0或1200 60 BC=2 cm,则∠ A的度数是 。
1）、对∠A进行讨论
110° 20° 50° B
3）、对∠C进行讨论
C
分类讨论思想公开课.答案版
分类讨论思想公开课经典精讲分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
分类方法：1）明确讨论对象，确定对象全体，2）确定分类标准，正确进行分类；3）逐类进行讨论，获取阶段性成果；4）归纳小结，综合得出结论。
经典例题【例1】【答案】1981【习题1】【分析】2200与2000【例2】【分析】10岁或者28岁；【习题2】所以这个人是1987年和2005年出生的。
【例3】【分析】共有52种；【习题3】【分析】84个；【例4】【分析】60和48；【习题4】【分析】24【例5】【分析】3.5或者4.5【习题5】【分析】4或者6；【例6】【分析】50°或者70°。
【习题6】【分析】70°或者40°。
补充题1.【分析】可以得到两个圆柱体，体积分别是50π=157和20π=62.8，所以最大是157.补充题2.【分析】可以得到两个圆柱体，体积分别是6π=18.84和18π=56.52，所以最小时18.84.【例7】【分析】20或者20/3【习题7】【分析】30；20；30/11;20/11;【例8】【分析】712.4元或者730元。
【习题8】【分析】162或者252；补充题3.【分析】4150/9或者600元；补充题4.一次性付款为80000乘以0.95=76000元。
如果不是一次性付款，需要交营业税：2000元；如果是一次性付款，需要交营业税：1900元。
分类讨论思想 PPT
1若f x的定义域为R，求a的取值范围；
2当f x的定义域为R时，求f x的单调减区间．
解 析 ：1 f x 的 定 义 域 为 R ，
所 以 x 2 ax a 0恒 成 立 ， 所 以 a 2 4a 0，
所 以0 a 4， 即 当0 a 4时 ， f x 的 定 义 域 为 R.
a 0
； a 0
则
f
x m in
f f
a a
a 0 2a2
a 0
2
a
2
a 0 .
a 0
2a2
综
上
，
f
x m in
2a
2
3
a 0
. a 0
【思维启迪】由数学概念引起的分类讨论： 如绝对值的定义、不等式的定义、二次函 数的定义、直线与平面所成的角、直线的 倾斜角、两条直线的夹角、定比分点坐标 公式、两异面直线所成的角等．本题的讨 论是根据绝对值的定义及二次函数的对称 轴位置进行讨论的．
2
f
x
xx x2
a 2ex ax a2
.
令 f x 0， 得 x x a 2 0；
由 f x 0， 得 x 0或 x 2 a.
又 因 为0 a 4，
所 以 当 0 a 2时 ， 由 f x 0， 得 0 x 2 a；
当a2时，f x0；
当2a4时，
所 以 4 b 2 4 a＞ 0， 即 b 2＞ a， 此 时 方 程 ax 2 2bx 1 0的 根 为
x1
2b
4b2 4a 2a
b
b2 a ， a
x2 2b
4b2 4a 2a
b
b2 a . a
所 以 f x a x x1 x x2 ．
分类讨论思想的简单应用
分类讨论思想的简单应用思想分类讨论是指将某一思想按照某种标准进行分类，以便更好地理解和应用这一思想。
思想分类讨论的简单应用涉及到对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，以便更好地理解和应用这一思想。
本文将围绕思想分类讨论的简单应用展开讨论，以期对读者有所帮助。
思想分类讨论的简单应用是对某一思想进行分析。
对某一思想进行分析，可以帮助我们更好地理解这一思想的内涵和外延，以及其与其它思想之间的关系。
对于马克思主义思想，我们可以通过对其社会历史背景、基本原理和实践应用进行分析，更好地理解这一思想的内在逻辑和价值取向。
在实际生活和工作中，我们可以通过思想分类讨论的简单应用，更好地理解和应用各种思想，提升自我认知和自我修养。
在管理实践中，我们可以通过对不同领导思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解员工心理和行为动因，制定更科学的管理策略和方法，提高管理效能和员工满意度。
在社会治理中，我们可以通过对不同政治思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解社会需求和公共利益，制定更可行的政策和措施，提高社会治理效果和人民福祉。
在文化交流中，我们可以通过对不同文化思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解彼此差异和共通之处，促进文明互鉴和民族交流，增进世界和平和发展。
思想分类讨论的简单应用是一种思维工具和方法论，可以帮助我们更好地理解和应用各种思想，提升个人素养和社会能力。
通过对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，我们可以更清晰地认识其内涵和外延，更准确地把握其核心观点和实践路径，更有效地运用其理论思想和实践经验。
希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。
【2000字】希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。
【2000字】。
分类讨论的思想
分类讨论的思想一、高考真题感悟已知函数f(x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x.(1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，∴当x ＝－2时，f (x )有极小值，∴f (x )的极小值是f (－2)＝－12.(2) 在(－1,1)上，f (x )是增函数当且仅当f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0，即3ax 2＋3ax －1≤0. ①a ．当a ＝0时，①恒成立．b ．当a ＞0时，若要①成立， 则需3a ·12＋3a ·1－1≤0，解得a ≤16.c ．当a ＜0时，若要①成立，则需3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－3a 4－1≤0， 即－3a 4－1≤0，解得a ≥－43.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，16. 考题分析 本题考查了函数导数的求法、函数极值的求法，考查了由函数单调性求参数范围的方法，考查了分类讨论的数学思想方法．本题的核心是考查考生利用分类讨论的思想解决问题的能力．易错提醒 (1)f ′(x )＝0的根x ＝1并不是函数f (x )的极值点．考生易忽视对极值点的判断．(2)不能将f(x)在(－1,1)上单调递增转化为不等式进行研究．(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键．二、思想方法概述1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．三、热点分类突破题型一 根据数学概念分类讨论例1.已知二次函数y ＝g(x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行,且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1 (m ≠0)．设f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2)k (k ∈R )如何取值时，方程f (x )－kx ＝0有解，并求出该方程的解．解 (1)依题可设g (x )＝a (x ＋1)2＋m －1 (a ≠0)，则g ′(x )＝2a (x ＋1)＝2ax ＋2a ，又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，a ＝1，∴g (x )＝(x ＋1)2＋m －1＝x 2＋2x ＋m ，f (x )＝g (x )x ＝x ＋m x ＋2. 设P (x 0，y 0)，则PQ 2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02 ＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ＝22|m |＋2m ， 当且仅当2x 20＝m 2x 20时，PQ 2取最小值，即PQ 取得最小值 2. 当m >0时，(22＋2)m ＝2，解得m ＝2－1；当m <0时，(－22＋2)m ＝2，解得m ＝－2－1.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋m x ＋2＝0 (x ≠0)，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0 (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2；当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，当m >0，k >1－1m 或者m <0，k <1－1m 时，方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )； 当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，方程f (x )－kx ＝0，有一解x ＝1k －1＝－m . 综上，当k ＝1时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝－m 2； 当k >1－1m (m >0)，或k <1－1m (m <0)时，方程f (x )－kx ＝0有两解x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )； 当k ＝1－1m 时，方程f (x )－kx ＝0有一解x ＝－m .探究提高 本题有两次运用了数学概念进行分类，一次是根据绝对值的概念，另一次是根据一元二次方程的概念，要注意的是不能见到形如(*)式这样的方程就认定它是一元二次方程，要根据系数是否为零进行分类探究．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1，2，3…)． (1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．思维启迪 (1)根据条件列出关于q 的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{b n }为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．解 (1)∵{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q >0，即1－q n1－q>0 (n ＝1,2,3，…)， 上式等价于①⎩⎨⎧ 1－q <01－q n <0(n ＝1,2,3，…) 或②⎩⎨⎧1－q >01－q n >0 (n ＝1,2,3，…)， 解①式得q >1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，故－1<q <1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q ，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q S n ， 于是T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋12(q －2)． 又因为S n >0且－1<q <0或q >0，所以当－1<q <－12或q >2时，T n －S n >0，即T n >S n ；当－12<q <2且q ≠0时，T n －S n <0，即T n <S n ；当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n .探究提高 本题以等比数列为载体，涉及了分类讨论和大小比较的问题，综合性较强，应用了不等式的解法和比较大小的基本方法——作差比较法．同时含有字母q ，一般要进行分类讨论，要特别注意等比数列求和公式在应用时一定要分q ＝1和q ≠1讨论 .题型三 根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．解 (1) 当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2) f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a 8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，1－12a 2>0. 解不等式组得22<a <5或a <－22.因此2<a <5. 综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5. 题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论例4.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是____________．解根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD＝3，SD＝a2－1，则有a2－1<2＋3，即a2<8＋43＝(6＋2)2，即有a<6＋2，又2a>2，∴1<a<6＋2；(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图(2)，此时a>0且a<4，即0<a<4.综上分析可知a∈(0,4)．探究提高涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．四、规律方法总结分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．五、经典练习1．等比数列{a n}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是________．2．已知a>0，命题p：函数y＝a x (a≠1)在R上单调递减，命题q：不等式|x－2a|＋x>1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是________________．。
分类讨论思想的教案
分类讨论思想的教案教案标题：分类讨论思想的教案教学目标：1. 了解分类讨论思想的概念和重要性。
2. 学习如何进行分类讨论，并能运用分类讨论思想解决问题。
3. 培养学生的批判性思维和合作能力。
教学内容：1. 介绍分类讨论思想的定义和背景知识。
2. 分类讨论的步骤和技巧。
3. 示例案例分析和讨论。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引发学生对分类讨论思想的兴趣，可以通过提问或分享一个相关的真实案例。
2. 解释分类讨论思想的定义和重要性，说明它在解决问题和批判性思维中的作用。
知识讲解（10分钟）：1. 介绍分类讨论的步骤：确定主题、收集信息、分类整理、讨论和总结。
2. 解释如何有效地分类整理信息，包括根据相似性、重要性、优先级等进行分类。
3. 提供一些分类讨论的技巧，如提出问题、引用例证、分析对比等。
示例案例分析和讨论（15分钟）：1. 给出一个与学生熟悉的案例，例如环境保护、社会问题等。
2. 引导学生根据分类讨论思想的步骤，对案例进行分类整理。
3. 学生分组讨论各自的分类结果，并就各自的分类进行辩论和交流。
4. 整合各组的讨论结果，总结出最佳的分类方案。
练习和巩固（15分钟）：1. 学生分组进行小组练习，选择一个新的案例，并运用分类讨论思想解决问题。
2. 每个小组向其他小组展示他们的分类方案，并进行讨论和评价。
总结和反思（5分钟）：1. 总结分类讨论思想的重要性和应用。
2. 鼓励学生反思他们在分类讨论过程中的经验和收获。
3. 提供反馈和建议，以便学生进一步提高他们的分类讨论技巧。
教学资源：1. PowerPoint演示文稿或白板。
2. 真实案例材料。
3. 分组讨论活动的工作表。
4. 评价和反馈表格。
教学评估：1. 观察学生在分类讨论过程中的参与程度和合作能力。
2. 评估学生对分类讨论思想的理解程度，可以通过小组练习和展示进行评价。
3. 收集学生的反馈和建议，以改进教学方法和教案设计。
教学扩展：1. 鼓励学生在日常生活中运用分类讨论思想解决问题。
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2019春季班|第八讲 分类讨论思想
业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随 第八讲 分类讨论思想
我们在秋季班曾经学习过“从反面考虑”的思想，知道在正面情况复杂时，考虑从所有情况中减去反面情况会更加容易，即“正难则反”．这一讲，我们学习的是数学中的另一个重要的思想——分类讨论思想．
分类讨论是一种重要的数学思想，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按照某个标准进行分类讨论，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．分类讨论思想注重思维的严谨性和周密性，对分析问题和解决问题的能力都提出了较高的要求．
分类讨论的原则：
（1） 不重不漏；
（2） 标准统一，层次分明，不越级讨论；
（3） 总结概括，得出结论．
计数问题中常常会用到分类讨论，在出现特殊元素时，要先讨论它的情况；在题目叙述不清楚时，要先分析所有可能出现的情况，然后逐一讨论．
在应用题、数论甚至几何问题中需要分类讨论时，答案往往会有多解，需要考虑完整． 一个问题并不一定只能使用一种数学思想，很多问题既可以用分类讨论思想解决，也可以用从反面考虑解决，甚至还可以用分步思想解决．我们需要熟练掌握不同的数学思想，做到融会贯通，并在实际生活中应用这些思想去解决问题．
知识点大杂烩。