分类讨论思想
分类讨论思想总结
分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。
分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。
分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。
在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。
分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。
在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。
在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。
分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。
例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。
在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。
在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。
分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。
例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。
在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。
分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。
例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。
在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。
在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。
分类讨论思想
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，
分类讨论思想
• 对收集到的素材进行筛选、整理和分类 • 建立素材数据库，便于后续分析讨论
运用分类讨论方法进行分析讨论
运用分类讨论方法
• 根据已确定的分类标准对素材进行分析讨论 • 注意多角度和多层次的分析讨论
得出结论和建议
• 根据分析讨论的结果，得出结论和建议 • 评估结论和建议的可行性和有效性
02
分类讨论思想的实施步骤与方法
确定讨论主题与分类标准
确定讨论主题
• 选择具有代表性和针对性的问题 • 确保问题具有可操作性和可解决性
确定分类标准
• 根据问题的性质和特点制定分类标准 • 分类标准应简洁明了，便于实际操作
收集与整理分类讨论素材
收集分类讨论素材
• 通过文献检索、实地调查、访谈等方式收集素材 • 确保素材的真实性和可靠性
• 可以追溯到古代哲学家亚里士多 德 • 在文艺复兴时期得到进一步发展 -近现代广泛应用于科学、工程、社 会科学等领域
• 东方文化中的“分而治之”策略 • 西方文化中的“案例分析”方法
分类讨论思想在解决问题中的应用
分类讨论思想在问题解决过程中的应用
• 首先，确定问题的主题和分类标准 • 然后，收集和整理相关的分类讨论素材 • 最后，运用分类讨论方法进行分析讨论
分类讨论思想在未来可能的发展机遇
• 如何利用新技术和新方法提高分类讨论的效果 • 如何拓展应用领域和应用场景，发挥分类讨论思想的潜 力
如何应对分类讨论思想未来的挑战
应对分类讨论思想未来的挑战
• 培养信息素养和创新能力 • 提高团队协作和沟通能力
发挥分类讨论思想在未来发展的优势
• 为决策者提供有价值和有深度的信息支持 • 为解决复杂问题和应对不确定性提供新思路和方法
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2．分类讨论的常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，
引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的， 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数
学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，
如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结 果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
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(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用
题中，特别是排列、组合中的计数问题． 3．分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分 类讨论．
[答案] C
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本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的.一
般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数
对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像 形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由 焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体 几何中点、线、面的位置变化等.
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x2 y2 3．设 F1、F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 |PF1| P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.求|PF |
a 当－2≥－1，即0＜a≤2时， 函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间 1 (－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－4a2.
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a a 当－2＜－1，且－6≥－1，即2＜a≤6时， 函数h(x)在区间
a － ，－1 2 a －∞，－ 2
分类讨论思想教育活动总结
分类讨论思想教育活动总结思想教育活动是指根据学生的心理特点和发展规律，通过教育活动传递思想教育内容，培养学生正确的世界观、人生观和价值观。
这些活动通常包括学习班、讨论会、座谈会、辩论比赛等形式，它们可以帮助学生明确自己的追求目标，并提供实现这些目标的途径。
在此，我将对思想教育活动进行分类讨论，并对其进行总结。
分类一：学习班学习班是传授思想教育内容的一种常见形式。
这些班级通常是由学生自愿报名参加，由专业老师或专家学者进行教授和指导。
在学习班中，学生可以深入学习一些重大事件或伟人事迹，了解历史和文化的积累，形成正确的价值观。
例如，参加马克思主义理论学习班可以帮助学生了解社会主义思想，培养社会主义的意识。
分类二：讨论会讨论会是学生进行自由讨论的一种形式。
在讨论会中，学生可以就一个话题展开思考和交流意见。
例如，关于现代社会问题的讨论会可以促进学生正视现实，批判现实问题，以及提出解决方案。
这种活动可以帮助学生培养独立思考和分析问题的能力。
分类三：座谈会座谈会是学生与专家或领导进行交流的一种形式。
在座谈会中，学生可以向专家或领导请教问题，或者就某一个领域的知识进行探讨。
例如，与成功的企业家座谈可以让学生了解到创业的困难和机遇，以及成功的经验和经验教训。
这种活动可以帮助学生树立正确的职业观念和人生目标。
分类四：辩论比赛辩论比赛是学生在对抗性环境中交流和辩论的一种形式。
在辩论比赛中，学生可以通过互相对抗的方式，运用逻辑思维和辩证思维，提出自己的观点并反驳对方。
例如，高中生辩论比赛可以帮助学生锻炼辩论技巧和口才表达，培养批判性思维和自信心。
这种活动可以帮助学生发展自己的个性和思想，提高自己的辩论能力。
综上所述，思想教育活动包括学习班、讨论会、座谈会、辩论比赛等形式，它们为学生提供了各种各样的参与思考和交流的机会。
这些活动可以帮助学生明确自己的追求目标，并提供实现这些目标的途径。
它们不仅在知识、能力和品德方面对学生起到了积极的促进作用，而且为学生的成长和发展打下了坚实的基础。
分类讨论思想
分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x –a ｜+1，x ∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn 为它的前n 项和.（1）用Sn 表示Sn+1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N*)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=k k S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N*) 故只要23Sk –2＜c ＜Sk ，（k ∈N*）因为Sk+1＞Sk ，(k ∈N*) ①所以23Sk –2≥23S1–2=1.又Sk ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为cS >=-252232，由Sk ＜Sk+1(k ∈N*)得 23Sk –2＜23Sk+1–2故当k ≥2时，23Sk –2＞c ，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立因为cS >=-4132233，又23Sk –2＜23Sk+1–2 所以当k ≥3时，23Sk –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21>--+c S cS k k 成立.［例2］给出定点A （a,0)（a ＞0）和直线l ：x=–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记B （–1，b)，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=–bx. 设点C(x,y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a by -+-=由x –a ≠0，得a x ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y ≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a )(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA=∠COB=∠COD –∠BOD=π–∠COA –∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COA COA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan =)1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x ＜a) 以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO 的方程为y=–bx ，直线AB 的方程为)(1a x a by -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC=θ,∴直线OC 的斜率为k=tan θ,OC 的方程为y=kx 于是2212tan 1tan 22tan k k-=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b=212k k - ①∵C 点在AB 上∴)(1a x a bkx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k kkx a --=+ ③又x yk =，代入③，有)(12)1(22a x x y x yx x y a --⋅⋅⋅+整理，得(a –1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④当b=0时，即B 点在x 轴上时，C(0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论. 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn n n n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x ｜x2–3x+2=0},B={x ｜x2–ax+(a –1)=0}，C={x ｜x2–mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 . 三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x ｜x2+px+q=0}，B={x ｜qx2+px+1=0},A,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x2+y2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x 2和xn 的表达式； （2）计算∞→n limxn ；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f(x)=ax –bx2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a ≤2b;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a –1)x2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a2–(a –1)＞0.答案：252252+-<<--a 或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x ｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a ｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f(x)=x2–x +a+1=(x –21)2+a+43若a ≤21，则函数f(x)在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1若a ＞21，则函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a ，且f(21)≤f(a). ②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x –a+1=(x+21)2–a+43若a ≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a ，且f(–21)≤f(a)； 若a ＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a ＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A={1,2},B={x ｜(x –1)(x –1+a)=0}, 由A ∪B=A 可得1–a=1或1–a=2； 由A ∩C=C ，可知C={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x0∈A ，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A ∩B=∅与已知矛盾，故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(20=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B.∵A ∩B ={–2},则–2∈A,且–2∈B .设A={–2,x0}，则B={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B=∅）.若x0=–21，则01x –2∈B,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x0=01x ，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}. ∵ON ⊥MN,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x,y)， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y ≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x1=1又由f(x2)=2，当1≤y ≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由bx x x f x f =--1212)()( 即x2–x1=b 1∴x2=1+b 1记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f(xn)=n,f(xn –1)=n –1∴xn –xn –1=(b 1)n –1,n=1,2,……由此知数列{xn –xn –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(xk –xk –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b b n n 即xn=1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, xn 也趋于无穷大.∞→n limxn 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y=x ，即当0≤x ≤1时，f(x)=x;当n ≤y ≤n+1，即xn ≤x ≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x –xn)(n=1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y=f(x)的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1∵b a b a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a ba f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒–1≤f(x ），据此可以推出–1≤f(1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒f(x)≤1.因为b ＞1，可以推出f(b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx2≥b(x –x2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx2≤2b x –bx2≤1 即ax –bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f(x)=ax –bx2≥–b ≥–1 即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b+1a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x –bx2≤1 即f(x)≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是a ≤b+1.。
分类讨论思想的总结
分类讨论思想的总结思想是指人们对于世界、生活和人生等一系列问题的认识、理解和见解。
作为人类的一种高级智慧和思考能力，思想在人类社会发展和进步中起着重要的作用。
思想不仅是认识世界的一种手段，而且也是人们对于现实和未来的期望和理想的体现。
分类讨论思想是一种对思想进行辨析和分析的方法，可以帮助我们更好地理解和应用思想。
下面将从不同层面和视角对思想进行分类讨论，并进行总结。
1.哲学思想：哲学思想是对于宇宙万物的本质和规律进行探索和思考的一种思想。
哲学思想涉及到诸多问题，如存在、认识、伦理、美等。
在哲学思想中，人们通过辩证和综合的方法，试图找到介于自然科学与人文科学之间的认识方式和真理的本质。
2.科学思想：科学思想是经验观察、实验证据和逻辑推理相结合的思想。
科学思想强调通过实证和理性的方式，对世界和事物进行客观和系统的认识和解释。
科学思想以现代科学为基础，通过对自然界、人类社会等领域的研究，推动了人类社会的进步和发展。
3.宗教思想：宗教思想是人们对于信仰、灵性和超自然力量的思考和追求。
宗教思想强调对于神秘世界和信仰体系的探索和崇拜。
宗教思想在不同文化和地区具有多样性，包括基督教、佛教、伊斯兰教等。
宗教思想对于人们的精神需求和道德规范起着重要的作用。
4.政治思想：政治思想是人们对于政治制度、权力和社会秩序等问题的思考和观点。
政治思想涉及到国家、政府和政治体制等方面，通过思考政治问题，人们试图找到公正、平等和民主的最佳实践。
在不同历史时期和文化背景下，政治思想具有多样性，如自由主义、共产主义、保守主义等。
5.伦理思想：伦理思想是人们对于道德和价值观的思索和思考。
伦理思想关乎人们的行为和人与人之间的关系，试图制定一套行为规范和道德标准。
伦理思想包括对于善、恶、义务等问题的讨论和探索，通过伦理思想，人们试图解决道德困境和促进个人和社会的和谐。
综上所述，思想是人类智慧和思考的产物，具有多个分类和层面。
在不同的领域和视角下，人们通过思考和讨论，试图探索世界的本质和规律，解决问题，并推动社会的进步和发展。
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分类讨论思想
一、含义
分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点
1.绝对值的定义；
1.二次函数对称轴的变化；
2.函数问题中区间的变化；
3.函数图像形状的变化；
4.直线由斜率引起的位置变化；
5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；
6.立体几何中点、线、面的位置变化等。
七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题
第一步：确定需分类的目标与对象。
即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。
第二步：根据公式、定理确定分类标准。
运用公式、定理对分类对象进行区分。
第三步：分类解决“分目标”问题。
对分类出来的“分目标”分别进行处理。
第四步：汇总“分目标”。
将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。