《金榜1号》二轮总复习文科数学：专题八第3讲分类讨论思想
中考历史二轮专题复习科举制创立
历史中考二轮复习专题卷--科举制创立附详细参考答案学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题()1、古代科举考试中，最早将进士科考试第一名称为“状元〞皇帝是A．隋炀帝B．唐太宗C．武那么天D．唐玄宗2、“朝为田舍郎，暮登天子堂。
将相本无种，男儿当自强。
少小须勤学，文章可立身。
满朝朱紫贵，尽是读书人。
〞这首诗歌赞颂是我国古代〔〕A．世袭制B．分封制C．科举制D．郡县制3、我国科举制考试始于隋朝，到明朝时期发生了巨大变化。
明朝科举考试最突出特点是A．八股取士B．开场有殿试与武举C．以诗词为主要内容D．试题类型繁多4、“朝为田舍郎，暮登天子堂。
将相本无种，男儿当自强。
少小须勤学，文章可立身。
满朝朱紫贵，尽是读书人。
〞这首诗歌赞颂是我国古代〔〕A．世袭制B．分封制C．科举制D．郡县制5、元代高明在琵琶记中说：“十年寒窗无人问，一举成名天下知。
〞这句话反映社会现象在中国最早出现时期是〔〕A．秦汉时期B．隋唐时期C．宋元时期D．明清时期6、“水国寒消春日长，燕莺催促花枝忙。
风吹金榜落凡世，三十三人名字香。
〞这首及第谣与以下哪一制度直接相关A．中央集权制B．科举制度C．三省六部制D．行省制度度7、“太宗皇帝真长策，赚得英雄尽白头。
〞该诗句是说唐太宗〔〕A．善于用人B．虚心纳谏C．科举取士D．勤政爱民8、南宋时期，潮州人王大宝参加廷试〔殿试〕，中榜眼〔进士第二名〕，后来成为岭南名宦。
殿试制度创立者是A．隋炀帝B．唐太宗C．武那么天D．唐玄宗9、“风吹金榜落凡世，三十三人名字香。
〞“十年寒窗无人问，一举成名天下知。
〞诗句反映现象与以下哪一制度相关？A．科举制B．郡县制C．分封制D．行省制10、封建统治者重视科举制度根本原因是〔〕A．为了选拔有用人才B．为了控制选官权力C．为了稳固自身统治D．让更多读书人改变命运11、“朝为田舍郞，暮登天子堂〞是古代中国许多知识分子追求，他们通过读书考试平步青云，入朝做官。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 ＝（ ）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得 的值，即可得到答案．
∴1＝2－ ，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－ ，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－ ＝－x＋ ＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令 ，则 ．
在 中，将 换为 ，得 ，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数 的对称性和周期性，可得出该函数的周期为 ，于是得出
可得出答案．
【详解】 函数 是 上的奇函数，则 ，
对于D选项，令 ，则 ， ， 且 ，
所以，函数 为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
数学学习计划
数学学习计划数学学习计划汇编6篇数学学习计划篇1数学的学习有一个循序渐进的过程，妄想一步登天是不现实的。
熟记书本内容后将书后习题认真写好，有些同学可能认为书后习题太简单不值得做，这种想法是极不可取的，书后习题的作用不仅帮助你将书本内容记牢，还辅助你将书写格式规范化，从而使自己的解题结构紧密而又严整，公式定理能够运用的恰如其分，以减少考试中无谓的失分。
1、按部就班：数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。
2、强调理解：概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。
每新学一个定理，尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。
3、基本训练：学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉考试中的题型，训练要做到有的放矢。
4、重视平时考试出现的错误：订一个错题本，专门搜集自己的错题，这些往往就是自己的薄弱之处。
复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
数学学习计划篇21、给自己定一个明确的学习目标比如，语文能够认识多少字、读多少书、期末考试能考多少分，数学、英语、体育等，计划要全面。
有的家长和孩子制定学习计划时只考虑三件事：吃饭、睡觉和学习，对集体活动不管不顾，对锻炼身体不予考虑。
至于娱乐和休息，计划内更是没有它们的位置。
这种“单打一”的学习计划，使得学习生活单调、乏味，从而容易引起疲劳，既影响学习效果，也影响全面发展。
2、弄清楚时间都到哪儿去了每天什么时候上课?什么时候下课?什么时候吃饭?什么时候放学回家?路上要花多少时间?多少睡眠时间?列出来，看一看自己每天的时间都花在哪些方面了。
3、搞清楚自己还有多少自由时间将上课、吃饭、睡觉等这些硬性需要的时间去掉之后，看看自己还剩下多少时间，分别在什么时候，把这些能够自己自由支配的空白时间全部写在纸上。
初中金榜学案数学八年级上册答案
初中金榜学案数学八年级上册答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．1449的平方根是()3.12A 3.12B ±12.3C ±12.3D 2．若0m <，则m 的立方根是（）A．3mB．3m±-C．3m±D．3m -3．在实数23-，0，3，-3.14，4中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列运算正确的是（）A、426a a a =-B、()532a a =[来C、326a a a =÷D、532a a a =⋅5．已知等腰三角形的两边分别为4和5，该三角形的周长是（）A.13B.14C.13或14D.以上都不对6．如果()()n mx x x x +-=+-22423，那么m、n 的值分别是（）A、2，12B、－2，12C、2，－12D、－2，－127．如图，在ABC △中，点D 在BC 上，AB AD DC ==，80B ∠=︒，则C ∠的度数为（）A.30°B.40°C.45°D.60°8．如图，已知AB CD ∥,AD BC ∥，AC 与BD 交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，那么图中全等的三角形有（）A.5对B.6对C.7对D.8对第8题图第7题图二、填空题（每小题3分，共18分）9．比较大小：513-13(填“＞”“＜”或“＝”）．10．若xy=2,x－y =2－1,则(x +1)(y －1)=______.11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．命题“对顶角相等”的条件是.13．如图，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A 点开始按ABCDBEA 的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2012m 停下，则这个微型机器人停在点处（填A、B、C、E）14．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C ''△，使得点A '恰好落在AB 上，则旋转角度为.三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：)()(284232a a a a a -÷+⋅+-16．（6分）因式分解：x 4y-2x 3y 2+x 2y3第13题图第14题图17．（6分）先化简，在求值：()()2212224,5,.5xy xy x y xy x y ⎡⎤+--+÷==⎣⎦其中18．（7分）223,4,5,mn k m n k aa a a +-===已知：试求：的值。
数学学习计划锦集八篇
数学学习计划锦集八篇数学学习计划篇1如何制定学习与复习计划学习不是一朝一夕的事，古人寒窗十载，才得以有金榜题名的荣耀，现在虽说废除了八股取士，在入大学之前同样有十几年的书要读，读这么长时间书，计划显然必不可少，“宜未雨而绸缪，忘临渴而掘井。
”下面说一说如何制定计划。
学习是温故而知新的过程，所以作计划自然也分学习计划与复习计划两种。
首先说一下如何制定学习计划。
由于针对高考，所以暂只就高中而谈。
从新生入学开始，就应当有明确的目标，考大学，考什么大学，高考中考到什么程度，这是学习计划的第一条：终极目标。
然后就是根据这一目标制定远近期计划。
从长期看，一个学期、一个学年都可，但一般以一学期为宜。
计划的内容可以包括以下两个方面：1、打算考到的名次，包括保位名次或超出几个名次；2、对总分及各科分数的阶段性要求。
这就使你在短期内有了目标，在每次小测验、单元考中向所定的目标靠拢，但切记目标不可定得太高，否则结果如果离目标太远会十分打击自信心。
从短期看，作出一周至一天的计划来，可以使自己对学过的东西有一个更好的掌握。
对于一周的计划，每周可以有一至两个重点科目，如果你对知识的渴望超过对升学的热衷，计划中的自由时间可以多一些，反之可以少一些。
对于一天的计划来说，要注意对老师所讲内容消化时间的安排，并留出适当的时间以备调整。
对于新生来说，全面掌握是十分重要的。
总之，远期与近期计划都应符合自身情况，并要结合学习情况进行调整，才能达到它的效果。
下面是复习计划的制定问题。
复习计划的制定已是完全针对中考而言的。
学完所有的内容后，老师一般会按他出的计划带领同学们复习，而对同学来说，课余时间没有必要按老师的思路做。
首先，计划书中要有充足的时间留给基础知识，无论哪一科，基础知识往往比考生忽视，实际上，这才是高分的基石，必须踏实。
其次，考试题型训练，熟悉中考，消除手生的感觉，做到熟练解题。
第三，留出时间放松心情，这对考前的学生来说必不可少，很多考生就是在冲刺阶段搞坏了身体，以致无法正常发挥的。
2024届高考语文二轮复习散文阅读专题一：梳理行文思路题提升练(原卷版)
2024届高考语文二轮复习散文阅读专题一：梳理行文思路题提升练（原卷版）一、阅读下面的文字，完成文后题目。
火车穿越的身与心阿来①离开格尔木，从海拔4100多米的玉珠峰车站开始，我们一路都在用汽车追赶试运行的火车，借此反复感受青藏高原上从未有过的机械与钢铁巨大力量的冲击。
②我驾驶着吉普在高旷的青藏路上奔驰，一次次冲到火车前方，等待火车蜿蜒着驶近，感受火车从面前不远处轰隆着经过时，脚下的地面传导到心中的轻轻震颤，再目送它从某个山口处消失。
③然后，一踩油门，开始新一轮的追赶。
这样直到海拔高度达到5000米以上的唐古拉山。
④当我看到铁路在高原灿烂的阳光下强劲地延伸，火车在亮闪闪的两股铁轨上呼啸而至时，内心的感觉远非兴奋这样的字眼可以形容。
20世纪80年代刚刚工作时，去一个一百来公里的地方，只能牵着马，驮着行李与书籍，翻越两座雪山，徒步行走三天时间。
后来，我坐着汽车、火车、轮船、飞机去过很多地方。
记得在科罗拉多州的某个地方，在美国的高原上，有一天开着汽车在高速公路上驱驰，公路两边的金黄秋草中不断有马匹出现，草原尽头是裸露着岩石筋骨的落基山脉，这景色自然就触发了一个旅人的思乡病，让我想起了景色相仿的青藏高原。
有一次，在公路与铁路交叉处，我们停下车来，看长长的铁路线上，长长的一列火车在草原和积雪的山脉之间蜿蜒而过。
那时，我就想，要是也有这样一条铁路穿过青藏高原，会是一种什么样的景象。
当即，我就要求朋友帮忙退掉机票，要坐这条线上的火车，穿过落基山脉，直到美国的西部海岸。
⑤这是一种情感的代入法，这样，几乎就有了在青藏高原上乘坐火车的感觉。
没有想到的是，才过了几年，就在青藏高原真切地看到火车奔跑了。
⑥此次青藏之行前，我正在我的小说中写到一种新型的交通工具——马车，马车在一个藏族村庄的出现。
⑦此前村子里有马，也有马上英雄的传奇，但是没有车，没有马车。
其实，不只是这个村子，方圆好几百里，上下两三千年，这个地区都没有这个东西。
【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)
难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3， 所以当k =1，k =2时，c ＜Sk因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS cS k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOACOA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x aby -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk-=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k- ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x abkx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kkkx a --=+ ③ 又xyk =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nnnn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2； 由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(20=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1. 因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知 当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性： 对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1 即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。