第二部分 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
转化与化归思想、分类讨论思想
一、转化与化归思想
[思想概述] 转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一 问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模
式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用
框图可直观地表示为：
[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之
相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思 路． (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，三维降为二 维，难度降低，易于解答的数学问题分解(或分割)
成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原 问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加 一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、
公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负， 对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比
难以入手，因此对参数θ取特殊值，进行推理求解．
(2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行 观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元 素，然后推广到一般情形，并加以证明．
类型二
换元及常量与变量的转化
【例 2】 已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)在[0，＋ π ∞)上是增函数．当 0≤θ≤2时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)＞f(0)对所有的
转化与化归思想第二篇_转化与化归思想在握_何愁函数问题_王佩其
点拨数学有数充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果．如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误．例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持．同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外．我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法．正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！■王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一．一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力．面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1．已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且［0，＋∞）在上是增函数．当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞f（0）对所有的θ∈［0，π2］均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）＝0．又在［0，＋∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数．由题设条件可得f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞0．又由f（x）为奇函数，可得f（cos2θ－3））＞f（－4m＋2m cosθ）.∵f（x）是R上的增函数，∴cos2θ－3＞－4m＋2m cosθ.即cos2θ－m cosθ＋2m－2＞0．令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1．于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－m t＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m（t－2），即m＞t2－2恒成立．又∵t2－2t－2＝（t－2）＋2t－2≤4－22姨，当且仅当t＝2－2姨时取等号．∴m＞4－22姨．∴存在实数满足题设的条件，m＞4－22姨．点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题．二、利用特殊化将抽象向具体转化例2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）A．x2＋x－15B．x2＋x＋15C．x2－15D．x2＋15解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解，即x－g（x）＝0有实数解．这样很明显得出结论，B选项能使x－g（x）＝0没有实数解，故本题选B．点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松．像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m．对数函数型：f（xy）＝f（x）＋f（y）．幂函数型：f（x＋y）＝f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归．三、通过换元实现函数之间的转化例3．已知函数f（x）＝（1）x，x∈［－1，1］，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a）．（1）求h（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为［n，m］时，值域为［n2，m2］．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由f（x）＝（1）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t＝（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）．因为x∈［－1，1］，所以（13）x∈［13，3］.设（13）x＝t，t∈［13，3］，则g（x）＝φ（x）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2．当a＜13时，h（a）＝φ（13）＝289－23a；当1≤a≤3时，h（a）＝φ（a）＝3－a2；当a＞3时，h（a）＝φ（3）＝12－6a．所以h（a）＝28－2a，（a＜1）3－a2，（13≤a≤3）12－6a.（a＞3∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈）34广东教育·高中2015年第2期GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG（2）由（1）知当m＞n＞3时h（a）的表达式，考察h（a）在［n，m］上的单调性，结合其值域［n2，m2］，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．因为m＞n＞3，a∈［n，m］，所以h（a）＝12－6a．因为h（a）的定义域为［n，m］，值域为［n2，m2］，h（a）且为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2∈，两式相减得6（m－n）＝（m－n）（m＋n）.因为m＞n，所以m－n≠0.故有m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．四、正难则反转化例4．若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）＝x3＋（m＋2）x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数．g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立．由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥2x－3x当x∈（t，3）时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2－3x当x∈（t，3）时恒成立，则m＋4≤2－9，即m≤－37．∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为－373＜m＜－5．点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．五、主与次的转化例5．已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋＋3x2－5，－1≤a≤1．对－1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，∴φ（1）＜0，φ（－1）＜0∈，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0∈，解得－2≤x≤1．故当x∈［－2，1］时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0．点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［－1，1］内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．六、函数、方程、不等式之间的转化例6．设f（x）＝ln（x＋1）＋x＋1姨＋ax＋b（a，b∈R，且为常数），曲线y＝f（x）与直线y＝3x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜9xx＋6．解析：（1）把函数问题转化为方程问题．由y＝f（x）的图像过点（0，0），代入得b＝－1．由y＝f（x）在（0，0）处的切线斜率为32，知y′│x＝0＝（1＋12x＋1姨＋a）│x＝0＝3＋a＝3，得a＝0．（2）把不等式问题转化为函数单调性问题．证：由基本不等式，当x＞0时，2（x＋1）·1姨＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1姨＜x＋1.记h（x）＝f（x）－9xx＋6，则：h′（x）＝1x＋1＋12x＋1姨－54（x＋6）2＝2＋x＋1姨2（x＋1）－54（x＋6）2＜x＋64（x＋1）－54（x＋6）2＝（x＋6）2－126（x＋1）4（x＋1）（x＋6）2.令g（x）＝（x＋6）3－216（x＋1），则当0＜x＜2时，g′（x）＝3（x＋6）2－216＜0.因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）＝0，得g（x）＜0，所以h′（x）＜0．因此h（x）在（0，2）内是减函数，又由h（0）＝0，得h（0）＜0．于是当0＜x＜2时，f（x）＜9x．点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”．函数与导35广东教育·高中2015年第2期广东教育·高中2015年第2期点拨数学有数图2yyO－2Q P 2P 1数的综合性问题，历来是高考的压轴题．解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢■毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”．高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”．三角函数，善于转化才会赢．那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1．求函数y ＝5sin x ＋cos2x 的最值．解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一．y ＝5sin x ＋（1－2sin 2x ）＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2（sin x －54）2＋338．∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π（k ∈Z ）时y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π（k ∈Z ）时y m ax ＝－2×1＋33＝4．点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y ＝A sin （ωx ＋φ）＋b 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 等形式，进而采用相应的方法求最值．二、利用数形结合转化函数的表现形式例2．当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图像，要使不等式sin πx 2≥kx 成立，由图1可知，需k ≤1．点评：图像是函数的另一种表现形式．数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x ≤1时，不等式sin πx ≥kx 恒成立，即当0≤x ≤1时，函数y 1＝sin πx 2的图像在函数y 2＝kx 的上方．作出两函数图像后比较，即可轻易得出k ≤1．三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3．若方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，等价于求a ＝8的值域．∵3sin x ∈［13，3］，∴2·9sin x ＋4·3sin x ＋1∈［239，31］，则a 的取值范围为8≤a ≤72．点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”．四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4．求函数y ＝3姨cos x 2＋sin x的最大值和最小值．解析：联想斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2，将原式变形为y 3姨＝cos x －0，则求y 的最值可转化为求点（sin x ，cos x ）与点（－2，0）的连线的斜率范围．设点P （sin x ，cos x ），Q （－2，0），则y 3姨可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如图2：设直线OP 1的方程为y＝k （x ＋2），即kx－y＋2k ＝0，则圆心（0，0）到它的距离d ＝│2k │k 2＋1姨＝1．解得k 1＝－3姨3或k 2＝3姨3，所以－3姨3≤y 3姨≤3姨3，即－1≤y ≤1．故y m ax ＝1，y min ＝－1．点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cos x 和sin x 的一次式．五、通过合理变角转化例5．已知tan （α－β）＝1，tan α＝17，且α∈（0，π），β∈（π，π），求α－2β．解析：α－2β＝（α－β）－β，而已知条件没有β的三角函数式，所以首先要求出tan β的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan （α－2β）的值进而求出α－2β的度数．∵tan （α－β）＝15，tan α＝177，图1xyy 1＝sin πx2y 2＝kx36。
分类讨论思想、转化与划归思想
3 3 3 (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2＝ × ＝4； 4－2 4＋2 (ⅱ)当直线 l 的斜率不为 0 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x＝my＋ －2m x2 y2 1，与椭圆 4 ＋ 2 ＝1 联立，整理得：(m2＋2)y2＋2my－3＝0.则 y1＋y2＝ 2 ， m ＋2 －3 y1y2＝ 2 ， m ＋2 3－y1 3－y2 （3－y1）（3－y2） 又 x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，所以 k1k2＝ × ＝ ＝ 4－x1 4－x2 （3－my1）（3－my2） 9－3（y1＋y2）＋y1y2 9－3m（y1＋y2）＋m2y1y2
x
【例 2－1】 已知 f(x)＝ f(2 016)＝________．
20
Go the distance
解析
f(x) ＋ f(1 － x) ＝
3＋ 3 3 3 3 3 ＋ 1－x ＝ x ＋ ＝ 1 ， ∴f(0) x＝ x 3＋ 3 3 ＋ 3 3＋ 3 3＋3 3 ＋ 3
x
x
x
＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1， ∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016. 答案 2 016 探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可 以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效 果． [微题型 2] 常量与变量的转化
1，x＝0，
n n n 2
探究提高 利用等比数列的前 n 项和公式时，需要分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况 进行讨论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的．一般地，在应用带有限制条 件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论． [微题型 2] 运用分类讨论思想解决导数中的参数问题
高考数学复习 分类讨论思想、转化与化归思想
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。
技法专题 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想
解
1 a＝ ， 3 2 得 所以 a＋b＝－ . 2 b＝－2， [答案] 3 － 2
[技法领悟] (1)由于 f(x)＝ax＋b 中 a 的范围没有确定，故应对 a 进行 分类讨论，即 a＞1 或 0＜a＜1. (2)应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于 1 进行 讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首 先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应 法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
[即时应用] 2．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p －3成立的x的取值范围是________．
——————[归纳总结]—————————————————
1．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2．分类讨论的思维流程 明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨 论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集 为空集，并集为全集)． 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.
π k＝f′4 ＝cos
π 2 ＝ .切点 4 2
2 2 π 2 ，则切线方程为 y－ ＝ x－4 ， 2 2 2
π 即 x－ 2y＋1－ ＝0. 4 1 2 (2)g′(x)＝m－ x . 2 ①当 m≤0 时，g′(x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞， ＋∞)；
[即时应用] 3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的 体积为 8 3 A. 3 2 3 C. 9 B． 4 3 D．4 3或 8 3 3 ( )
1 解析：当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2× 3× 2 4 2 3 ×4＝4 3 ；当长、宽分别为4和6时，体积V＝ × 3 3 1 8 3 × × 6＝ . 2 3 答案：D
转化与化归思想
高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
1．转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想1
A.-
3
3 2
B.
3
3 2
C.-
3
4 2
D.
3
4 2
关闭
若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但 a1≠0,即得 S3+S6≠2S9,与题设矛 盾,故 q≠1.又依题意 q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)· (q3-1)=0,因为 q≠1, 所以 q3-1≠0,则 2q3+1=0, 解得 q=- 2 . C
第一部分
应用一 应用二 应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
-14-
突破训练x 3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点 ,则实数a的取值范围 x 函数 f(x)=ae -x-2a 的导函数 f'(x)=ae -1, 是( ) 当 a≤0 时,f'(x)≤0 恒成立,函数 f(x)在 R 上单调,不可能有两个零点;
当 a>0 时,g(x)的对称轴 x=-2������<0,g(x)在(0,1)内单调递增,符合题 意, 当 a<0 时,需满足 g(x)的对称轴
1 x=-2������
≥1,解得
1 a≥-2,综上
1 a≥-2.
1 - ,+∞ 2
关闭
解析
答案
第一部分
应用一 应用二 应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
1
综上:①当 0<a< 时,f(x)在区间 1, , + ∞ 上单调递增;
1 1 1 1-2 ������ ������
上单调递减,在区间(0,1)和
②当 a=3时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增; ③当3<a<2时,f(x)在区间
分类讨论、转化与化归思想
x
－∞，2t
2t ，－t
(－t，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
所以，f(x)的单调递增区间是－∞，2t ，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是2t ，－t.
16
热点聚焦 分类突破
@《创新设计》
②若 t>0，则－t<2t .当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
14
@《创新设计》 热点聚焦 分类突破
@《创新设计》
探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的 方程、不等式、函数等. (2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆 锥曲线位置关系要进行讨论. 2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.
@《创新设计》
分类讨论、转化与化归思想
1
热点聚焦 分类突破
@《创新设计》
数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研 究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终 综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破， 再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维 受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使 问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
表示的是一个直角三角形围成
kx－y＋1≥0
的平面区域，则实数 k＝( )
A.－12
B.12
C.0
D.－12或 0
(2) 设 圆 锥 曲 线 C 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 ， F2 ， 若 曲 线 C 上 存 在 点 P 满 足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________.