数列常见大题(含答案)
Tn 3 2 2 (22 23 2n ) (2n 1)2n1
2 22 23 2n1 (2n 1)2n1
2(2n1 1) (2n 1)2n1 (2n 1)2n1 2
Tn (2n 1)2n1 2
（12 分）
4．
已知数列{an } 满足：
1 a1
2 a2
n 3 (32n 1), n N *. an 8
8da1 4d
12d 2
16
，解得
ad1
8, 2,
或
ad1
8 2
因此 Sn 8n nn 1 nn 9，或Sn 8n nn 1 nn 9
9.设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求an 的通项公式； （Ⅱ）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
①当1 n 11时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 |
| an | a1 a2 a3
an
n(10
11 2
n)
n(21 2
n)
②当12 n 时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 | | an | a1 a2 a3 a11 (a12 a13 an )
所以Tn 3 7 2 11 22 ... 4n 1 2n1 ，
2Tn 32 722 1123 ... 4n 1 2n ，
2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n1)]
(4n 5)2n 5
Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.
13.【2012 高考重庆文 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分））
解得 k 6 或 k 1（舍去），因此 k 6 。
14. 数列{an} 中，若 a1
2, 1 an1
1 an
4(n N ),
求
an
设bn
1 an
, 则bn1
bn +4,
即 bn1 bn ＝４，
{b n ｝是等差数列。
15.数列{
an
}中， a1
1, an1
2an an 2
,求
an 通项公式
an 7 2n1 1 ， (n N ) 构造此种数列，往往它的递推公式形如： an1 c an d, (c 1)和Sn an n 2的形式 。 如：an+1＝c an+d,设可化成 an+1+x=c(an+x),
已知 {an} 为等差数列，且 a1 a3 8, a2 a4 12, （Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；（Ⅱ）
记{an} 的前 n 项和为 S n ，若 a1, ak , Sk2 成等比数列，求正整数 k 的值。
【解析】（Ⅰ）设数列 {an }
的公差为
d,由题意知
22aa1142dd
8 12
3 ，故 a1
4
，
Sn
（4 1（ 1 （
1 ）n） 2 1）
8（1 （ 3
1 ）n） 2
从而
2
10 分
11.设 {an} 是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列 {an} 的前 n 项和．已知 S3 7 ，且 a1 3，3a2，a3 4 构成等差数列．
（1）求数列{an} 的等差数列．
2.在等比数列{an } 中，an 0(n N*) ，公比 q 1， a1a3 2a2a4 a3a5 100 ， 且 4 是 a2
与 a4 的等比中项，⑴求数列{an} 的通项公式；（公式法）
⑵设 bn
a
2 n
log 2
an
，求数
列{bn}的前 n 项和 S n ，（分组求和法）
解：（1）设等比数列{an} 的公比为 q，则 an a1qn1 ，由已知得
（2）由（1）知， bn an2 log2 an 4n1 (n 1)
Tn (1 4 42 4n1) (1 2 3
4n 1 n(n 1)
3
2
n 1)
…………………………… 12 分
3. 数列{an}的前 n 项和 Sn n2 ，数列{ bn }满足 b1 2, bn1 bn 3 • 2an 。 （Ⅰ）求数列{ an }，{ bn }的通项公式；（公式法，累加法） （Ⅱ）若 cn 2n • log2 bn1(n N *) ， Tn 为｛ cn ｝的前 n 和，求 Tn 。（错位相减法）
a1a3 2a2a4 a3a5 (a2 a4 )2 100, 又an 0, 则a2 a4 10,
又a2a4 42 16， a2、a4为方程x2 10x 16 0的两根， q 1 …………………………
a2
2, a4
8,即aa11qq3
2 8
… 4分
解得 aq121
an 2n1 .…………………………… 7 分
3 8
(32n－2－1)＝32n－1，
当 n＝1，ann＝32n－1 也成立，
n 所以 an＝32n－1．
（Ⅱ）bn＝log3ann＝－(2n－1)，
…1 分
…5 分 …6 分 …7 分
1
1
11
1
bnbn＋1＝(2n－1)(2n＋1)＝ 2 (2n－1－2n＋1)，
11
11
1 11
1
1
∴b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝ 2 [(1－ 3 )＋( 3 － 5 )＋…＋(2n－1－2n＋1)]
7．记等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，设 S3 12 ，且 2a1, a2 , a3 1 成等比数列，求 Sn .
2a1 a3 1 a22
解析：设an 的公差为 d
，则
a1
a2
a3
12
，
.5.u.
即
a12 a1
2da1 d 4
d
2
2a1
0
，解得
ad1
1, 3,
或
ad1
8 4
解得 a1 2, d 2
所以 an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
Sn
(a1
an )n 2
(2
2n)n 2
n(1
n)
因 a1, ak , Sk2 成等比数列，
所以
a
2 k
a1Sk 2
从而 (2k)2 2(k 2)(k 3)
，即
k2 5k 6 0
2(a1 a2 a3
a11) (a1 a2 a3
an )
2
11(21 11) 2
n(21 2
n)
n2
21n 2
220
所以,综上所述:| a1 | | a2 | | a3 |
|
an
|
n(21 n) ,(1 n 2
n2 21n 220 , 2
11) (n 12)
（2）令 bn ln a3n1，n 1，2， ，求数列{bn}的前 n 项和T ．
:
解：（1）由已知得
a1 a2 a3 7，
(a1 3) (a3 4)
2
3a2
a2
2
设数列{an}的公比为 q
，由 a2
2
，可得
a1
2 q
，a3
2q
．
又
S3
7
，可知
2 q
2
2q
7
，即
2q2
5q
2
0
，解得
q1
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
(2a2 2)2 5a1a3 4(a1 d 1)2 50(a1 2d ) (11 d )2 25(5 d )
121
22d
d
2
125
25d
d
2
3d
4
0
d 4 an 4n
6或adn111
n
(Ⅱ)由(1)知,当 d) 2
n(3ln
2 3n ln 2) 2
3n(n 1) 2
ln 2
Tn
故
3n(n 1) 2
ln 2
．
12【. 2012 高考浙江文 19】（本题满分 14 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn= 2n2 n ， n∈N﹡，数列{bn}满足 an=4log2bn＋3，n∈N﹡. （1）求 an，bn； （2）求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
2，q2
1 2
．
由题意得 q 1，q 2 ． a1 1 ．故数列{an} 的通项为 an 2n1． （2）由于 bn ln a3n1，n 1，2， ，
由（1）得 a3n1 23n ，bn ln 23n 3n ln 2
又 bn1 bn 3ln 2 ，{bn} 是等差数列．
Tn b1 b2
解得 a1
1,
d
1.
故an的通项公式为an =2-n.
（2）由（I）知 1
1
1 ( 1 1 ),
a a 2n1 2n1 (3 2n)(1 2n) 2 2n 3 2n 1
从而数列
1 a2n1a2
n1
的前n项和为
1（ 1 -1 +1- 1 + 2 -1 1 1 3
+ 1 1 ) n . 2n 3 2n 1 1 2n
16
正数数列{
an
}中，若 a1
5,
a2 n1
an 2
4(n N),求an
解：设 bn an2 ,则bn1 bn 4,即bn1 bn 4
数列{bn}是等差数列，公差是 4，b1 a12 25 bn 25 (n 1) (4) 29 4n 即an 2 29 4n
an 29 4n, (1 n 7, n N )
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
最新高考新课标数学数列大题精选50题(含答案、知识卡片)
高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片）一．解答题（共50题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．5．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．6．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．7．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．8．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．9．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．10．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．11．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．14．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．15．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．16．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．17．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．【分析】（1）由2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0可得，可知数列{}是等差数列，求出的通项公式可得a n；（2）由（1）知＝，然后利用裂项相消法求出a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n，再解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值．【解答】解：（1）∵2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．∴，又，∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，∴；（2）由（1）知，＝，∴a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＝＝，∵a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜，∴＜，∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N*，∴n的最大值为9．【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【分析】（1）定义法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n＝log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）b n＝log2a n＝，∵b1＝1，b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．5．（2018•全国）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2．（1）求S n；（2）求++…+．【分析】（1）由数列递推式可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，运用等差数列的定义和通项公式可得所求S n；（2）化简＝＝（）＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．【解答】解：（1）a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2，可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，即数列{S n2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得S n2＝2+2（n﹣1）＝2n，由a n＞0，可得S n＝；（2）＝＝（）＝（﹣），即++…+＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）＝（﹣1）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．6．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【分析】（1）根据a1＝﹣7，S3＝﹣15，可得a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，得S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，∴S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．7．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）由于（常数），数列{b n}是为等比数列；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．8．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q＝±2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由等差数列的通项公式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：数列{b n}的各项都为正数，且，两边取倒数得，故数列为等差数列，其公差为1，首项为；（2）由（1）得，，，故，所以，因此．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q2＝5，解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），则{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b1＝1，T3＝21，可得1+q+q2＝21，解得q＝4或﹣5，当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．11．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【分析】（1）由题意可知a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2＝2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n＝＝＝﹣[2+（﹣2）n+1]，则S n+1＝﹣[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，＝﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝﹣[4+2（﹣2）n+1]＝2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．12．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项；（Ⅱ）化简b n＝＝＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和S n＝n2，可得a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，上式对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），则数列{b n}的前n项和为（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝（（﹣1）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．15．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n＝1，可得a1＝2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．16．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n＝1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，将a1＝1代入可得a2的值，进而令n＝2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，将a2＝代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+a n+1）＝0，进而分析可得a n＝2a n+1或a n＝﹣a n+1，结合数列各项为正可得a n＝2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，又由a2＝，解可得a3＝，故a2＝，a3＝；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n＝2a n+1，故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，故a n＝（）n﹣1．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n与a n+1的关系．17．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据b n＝[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝4，a5+a7＝6．∴，解得：，∴a n＝；（Ⅱ）∵b n＝[a n]，∴b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3，b9＝b10＝4．故数列{b n}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．18．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．可得a4＝4，则公差d＝1．a n＝n，b n＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．19．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣．两式相减，得2a n＝，由此能证明数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．﹣1（Ⅱ）求出2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．∴当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣1﹣．两式相减，得2a n＝，∴2×2n a n＝2×2n a n＝2×2n﹣1a n﹣1﹣4，∴＝﹣2n﹣1a n﹣1＝＝﹣2，又2a1＝2，∴数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．（Ⅱ）∵数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，∴2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，∴a n＝．∴{a n}的通项公式为a n＝．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n＝4S n+3，可知a n+12+2a n+1＝4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）＝4a n+1，即2（a n+1+a n）＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，∵当n＝1时，a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{a n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵a n＝2n+1，∴b n＝＝＝（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n＝（﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．考点卡片1．等差数列的性质【等差数列】等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2．等差数列的通项公式【知识点的认识】a n＝a1+（n﹣1）d，或者a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列的性质例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．5．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．6．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．7．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．二、解题步骤：1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【典型例题分析】典例：已知f（x）＝log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（a n）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{a n}成等比数列；（II）设b n＝a n f（a n），数列{b n}前n项和是S n，当时，求S n．分析：（I）先利用条件求出f（a n）的表达式，进而求出{a n}的通项公式，再用定义来证{a n}是等比数列即可；（II）先求出数列{b n}的通项公式，再对数列{b n}利用错位相减法求和即可．解答：证明：（I）f（a n）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即log a a n＝2n+2，可得a n＝a2n+2．∴＝＝为定值．∴{a n}为等比数列．（II）解：b n＝a n f（a n）＝a2n+2log a a2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）当时，．（8分）S n＝2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ①2S n＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ②①﹣②得﹣S n＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12分）＝﹣（n+1）•2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．∴S n＝n•2n+3．（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．10．数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{a n}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，。
数列大题专题(含解析)
{ n} 1 1数列大题训练一、解答题1.设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2 =4， a n +1 =2 S n +1， n ∈ N ∗ . （1）求通项公式 a n ；（2）求数列{| a n − n − 2 |}的前 n 项和.2.已知 a , a , a ,⋅⋅⋅, a为正整数且 a > a > a>⋅⋅⋅> a > 1 ，将等式 (1 − 1 ) + (1 − 1 ) + (1 − 1) +⋅⋅0 12n12na 1a 2a 3⋅ +(1 − 1 ) = 2(1 − 1) 记为 (∗) 式.a na 0（1）求函数 f (x ) = 1 − 1x， x ∈ [2, +∞) 的值域；（2）试判断当 n = 1 时（或 2 时），是否存在 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ）使 (∗) 式成立，若存在，写出对应 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使 (∗) 式成立的 a i （ 0 ≤ i ≤ n ）所组成的有序实数对 (a 0, a 1, a 2,⋅⋅⋅, a n ) . 3.已知函数 f (x ) = log 3(x +1)(x > 0) 的图象上有一点列 P (x, y )(n ∈ N ∗)，点P在 x 轴上的射影是x +1n n nnQ n (x n , 0) ， 且 x n = 3x n−1 + 2 ( n ≥ 2 且 n ∈ N ∗ )，x 1 = 2 .（1）求证： {x n + 1} 是等比数列，并求出数列 {x n } 的通项公式；21 （2）对任意的正整数 n ，当 m ∈ [−1,1] 时，不等式 3t − 6mt + > y n 恒成立，求实数 t 的取值范3围.（3）设四边形 P Q QP1 1 的面积是 S ，求证： ++ ⋯ +1< 3 . n n n +1 n +1nS 1 2S 2nS n4.已知 n 为正整数，数列{a }满足 a ＞0， 4(n + 1)a2− na2= 0 ，设数列{b }满足 b= a n 2nnnn +1nnt na n （1）求证：数列 为等比数列；√（2）若数列{b n }是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前 n 项和为 S n ， 对任意的 n ∈N * ， 均存在 m ∈N * ， 使得 8a 2S n ﹣ a 4n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值． a 2n5.已知数列 {a n } 和 {b n } 满足： a 1 = λ ,数， n 为正整数．n +1 = 3 a n + n − 4, b n = (−1)(a n − 3n + 21) 其中 λ 为实（1）对任意实数 λ ，证明数列 {a n } 不是等比数列； （2）对于给定的实数 λ ，试求数列 {b n } 的前 n 项和 S n ；（3）设 0 < a < b ，是否存在实数 λ ，使得对任意正整数 n ，都有 a < S n < b 成立？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．6.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1，a n +1 = 1 − 14a n，其中 n ∈ N ∗ .1 1+a +1Ⅲ 3) （1）设 b n = 22an −1，求证：数列 {b n } 是等差数列，并求出 [a n } 的通项公式 ；（2）设 c n = 4a n n +1 ，数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n ，且存在正整数 m ，使得 T n < 1 c m +1 对 于 n ∈ N ∗ 恒成立，求 m 的最小值.7.设各项均为正数的等比数列 {a n } 中， a 1 + a 3 = 10 ， a 3 + a 5 = 40 ，数列 {b n } 的前 n 和 S n =n 2+7n ．2（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）若 c 1 = 1 ， c n +1 = c n + b n −3a n，求证： c n< 3 ．1（3）是否存在整数 k ，使得 a −b的最大值，若不存在，说明理由．+1a 2−b 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +1a n −b n>k 10对任意正整数 n 均成立？若存在，求出 k8.已知数列 {a } 的各项均为非零实数，其前 n 项和为 S，且S n a n .n（1）若 S 3=3 ，求 a 3 的值；nS n 1 = a n +2（2）若 a 2021=2021a 1 ，求证：数列 {a n } 是等差数列；（3）若 a 1=1 ， a 2=2 ，是否存在实数 λ ，使得 |2a n − 2a m | ≤ λ|a 2 − a 2 | 对任意正整数 m ，n 恒成立，若存在，求实数 λ 的取值范围，若不存在，说明理由. a 2 −a+2anm9.已知数列 {a n } 和 {b n } , a 1 = 1, a 2 = 3 , a n +1= nn−1nn−1 ,( n ∈ N ∗且n ≥ 2 ), b n =1og 2(a n +1)2−5a n +1(I) 求 a 3, a 4 ;, (n ∈ N ∗) .(Ⅱ)猜想数列 {a n } 的通项公式,并证明;( )设函数 f (x ) = x + 1 x +2, 若 |f (b n ) − t | ≤ 16 35 对任意 n ∈ N ∗恒成立,求 t 的取值范围.210.已知数列 {a n } 满足： a 1 = − 3 , a n +1 =−2a n −3 (n ∈ N ∗ ）.3a n+4（1）证明：数列 { 1} 是等差数列，并求 {a} 的通项公式；a n +1n（2）若数列 {b n } 满足： b n = 2 (a n + 1)(n ∈ N ），若对一切 n ∈ N ∗ ，都有 (1 − b 1)(1 − b 2). . . (1 −b n ) ≤λ√2n +1 成立，求实数 λ 的最小值.11.已知数列 {x n } ，如果存在常数 p ，使得对任意正整数 n ，总有 (x n +1 − p )(x n − p ) < 0 成立，那么我们称数列 {x n } 为“p -摆动数列”．（Ⅰ） 设 a n = 2n − 1 ， b n = (− 由；1 n2， n ∈ N ∗ ，判断 {a n } 、 {b n } 是否为“p -摆动数列”，并说明理 （Ⅱ）已知“p -摆动数列” {c n} 满足 c n +1 = 1cn +1， c 1= 1 ，求常数 p 的值；∗} 1 2 （Ⅲ）设 d n = (−1)n ⋅ (2n − 1) ，且数列 {d n } 的前 n 项和为 S n ，求证：数列 {S n } 是“p -摆动数列”， 并求出常数 p 的取值范围．12.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .（1）求证：数列S n{ n }是等差数列；（2）若 a 1= 1, {√S n 是公差为 的等差数列，求使 S k +1⋅S k +2S k 2为整数的正整数 k 的取值集合；（3）记 b = t a n ( t 为大于 0 的常数)，求证：b 1+b 2+⋯…+b n≤b 1+b 2.nn213.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n = 2a n − 2 ． （1）求 {a n } 的通项公式；（2）在 a n 与 a n +1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列，在数列 {d n } 中是否存在 3 项 d m ， d k ， d p （其中 m ， k ， p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．14.已知递增的等比数列 {a n } 满足 a 2 + a 3 + a 4 = 28 ，且 a 3 + 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）若 b n = a n log 1a n ， S n =b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n 求使 S n + n ⋅ 2n +1 > 30 成立的 n 的最小值. 15.已知数列 {a n } 中，已知 a 1 = 1 ， a 2 = a ， a n +1 = k (a n + a n +2) 对任意 n ∈ N ∗ 都成立，数列{a n }的前 n 项和为 S n ．（1）若 {a n } 是等差数列，求 k 的值； （2） 若 a = 1 ， k = − 12 ， 求 S n ；（3）是否存在实数 k ，使数列 {a n } 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 a m ， a m +1 ， a m +2 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由．16.一列火车从重庆驶往北京，沿途有 n 个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各 1 个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各 1 个，设从第 k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋 a k 个（k=1，2，…，n ）．（1）求数列{a k }的通项公式；（2）当 k 为何值时，a k 的值最大，求出 a k 的最大值．17.已知等比数列 {a n } 的公比 q > 1 ， a 2 ， a 3 是方程 x 2 − 6x + 8 = 0 的两根． （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {2n ⋅ a n } 的前 n 项和 S n ．18.设数列 {a n } 满足 a n 2 = a n +1a n−1 + λ(a 2 − a 1)2 ，其中 n ⩾ 2 ，且 n ∈ N ， λ 为常数. （1）若 {a n } 是等差数列，且公差 d ≠ 0 ，求 λ 的值；（2）若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4 ，且存在 r ∈ [3,7] ，使得 m ⋅ a n ≥ n − r 对任意的 n ∈ N ∗ 都成立，求m 的最小值；（3）若 λ ≠ 0 ，且数列 {a n } 不是常数列，如果存在正整数 T ，使得 a n +T = a n 对任意的 n ∈ N ∗均成立.求所有满足条件的数列{an } 中 T 的最小值.19.已知等差数列 {a n } 满足 a 2 = 5 ， a 4 + a 5 = a 3 + 13 .设正项等比数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ， 且 b 2b 4 = 81 ， S 3 = 13 .（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）设 c n = a n b n ，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .20.公差不为零的等差数列 {a n } 中， a 1 ， a 2 ， a 5 成等比数列，且该数列的前 10 项和为 100，数列{b n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n = 2b n − 1, n ∈ N ∗ ．( Ⅰ ) 求数列 {a n } ， {b n } 的通项公式；( Ⅱ ) 令 c n = 1+a n4b n，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的取值范围．21.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且 S n +a n =4，n ∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知 c n =2n+3（n ∈N *），记 d n =c n +log C a n （C ＞0 且 C≠1），是否存在这样的常数 C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出 C 的值；若不存在，请说明理由． （3）若数列{b }，对于任意的正整数 n ，均有 b a +b a +b a+…+b a =（）n ﹣ n +2成立，求证：数n列{b n }是等差数列．1 n2 n ﹣13 n ﹣2n 1 2 222.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 = 1 −14a n,其中 n ∈ N ∗ .（1）设 b n = 22an −1,求证:数列 {b n } 是等差数列,并求出 {a n } 的通项公式;（2）设 c n = 4a nn +1 ,数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n .23.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且满足 12S n ﹣36=3n 2+8n ，数列{log 3b n }为等差数列，且 b 1=3，b 3=27． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c =（﹣1）n (a − 5) + b ，求数列{c }的前 n 项和 T ． nn12n n n24.已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合 A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1 ， x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．（1）当 q ＝2，n ＝3 时，用列举法表示集合 A.（2）设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1， t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n－1， 其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若 a n ＜b n ， 则 s ＜t. ∗25.已知数列 {a n } 的首项 a 1 = a (a > 0) ，其前 n 项和为 S n ，设 b n = a n + a n +1(n ∈ N ) . （1）若 a 2 = a + 1 ， a 3 = 2a 2 ，且数列 {b n } 是公差为 3 的等差数列，求 S 2n ； （2）设数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，满足 T n = n 2 . ①求数列 {a n } 的通项公式； ②若对 ∀n ∈ N ∗，且n ≥ 2 ，不等式 (a n−1 − 1)(a n +1 − 1) ≥ 2(1 − n ) 恒成立，求 a 的取值范围.12 Ⅱ26.是否存在一个等比数列{a }同时满足下列三个条件：①a +a =11 且 a a =；②a ＞a （n ∈N *）；n163 49 n+1n③至少存在一个 m （m ∈N *且 m ＞4），使得 2a， a 2 ， a + 4依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．3m ﹣1mm+1927.设 {a n } 是等差数列， a 1 = −8 ，且 a 2 + 8 ， a 3 + 6 ， a 4 + 4 成等比数列. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）求 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值；（3）若 {b n } 是等差数列， {b n } 与 {a n } 的公差不相等，且 b 5 = a 5 ，问： {a n } 和 {b n } 中除第 5 项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可） 28.已知数列 {a } 满足 1a ≤ a≤ 3a ， n ∈ N ∗ ， a= 1 .n3 n n +1n1（1）若 a 2 = 3 ， a 3 = x ， a 4 = 6 ，求 x 的取值范围；（2）若 {a } 是公比为 q 的等比数列， S= a + a+ ⋯ + a ， 1S ≤ S≤ 3S ， n ∈ N ∗ ， 求 qn的取值范围；n12n3 nn +1（3）若 a 1, a 2, ⋯ , a k 成等差数列，且 a 1 + a 2 + ⋯ + a k = 2020 ，求正整数 k 的最大值. 29.若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列，数列 {b n } 满足 b 1＝1，b 2＝2，且 a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. （1）求数列 {a n } , {b n } 的通项公式；（2）设数列 {c n} 满足 c n= a n +1 b n +1，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，若不等式 (－1)n λ < T n+ n 2n−1对一切 n ∈N *恒成立，求实数 λ 的取值范围.30.设 T n 是数列 {a n } 的前 n 项之积，且满足 T n = 3 − a n ， n ∈ N ∗ .（1）求证：数列 { 13−a n1− } 是等比数列，并写出数列 {a n } 的通项公式；（2）设 S 是数列 {a } 是前 n 项之和，证明： n + 1 − 1< S< n + 2 − 2.nnT nnT n31.已知数列{a n }满足 a n+1+a n =4n ﹣3，n ∈N * （1）若数列{a n }是等差数列，求 a 1 的值； （2）当 a 1=﹣3 时，求数列{a n }的前 n 项和 S n ； （3）若对任意的n ∈N *， 都 有a n 2+a n +1 2a n +a n +1≥5 成立，求 a 1的取值范围．32.ΔABC 中，内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，已知 a , b , c 成等比数列，且B = 3．（Ⅰ）求1tan A+1tan B的值；cos 4（ ）设 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A ⃗⃗⃗ ⋅ B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ⃗⃗⃗ = 3 2，求 a + c 的值． 33.已知数列 {a n } 的前 n 和为 S n ，且满足 λS n = a n − 1 ，其中 λ ≠ 0 且 λ ≠ 1 . （1）证明：数列 {a n } 是等比数列；（2）当 λ = 12，令 c n= (n + 1)a n ，数列 {a n } 的前 n 项和为 T n ，若需 Tn> 2019 恒成立，求正整n数 n 的最小值.321+a 2 n a 2 n)34.已知数列 {a n} 满足 a 1 = 1 ， a n +1=a n n， n ∈ N ∗， 记Sn， T n分别是数列 {a n} ， {a 2} 的前 n 项和，证明：当 n ∈ N ∗ 时，（1）a n +1 < a n ；（2）T n = 1n +1− 2n − 1 ；（3）√2n − 1 < S n < √2n .35.设 q 为不等于 1 的正常数， {a n } 各项均为正，首项为 1 ，且 {a n } 前 n 项和为 S n ，已知对任意的正整数 n , m ，当时 n > m ， S n − S m = q m · S n−m 恒成立. （1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）若数列 {t n } 是首项为 1 ，公差为 3 的等差数列，存在一列数 k 1, k 2, ⋯ , k n , ⋯ ：恰好使得 t k 1 = a 1, t k 2 = a 2, ⋯ , t k n = a n , ⋯, 且 k 1 = 1, k 2 = 2 ，求数列 {k n } 的通项公式；（3）当 q = 3 时，设 b n = na n ，问数列 {b n} 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所 有这样的三项，若不存在，请说明理由36.已知数列 {a} 满足aa− 3 （ n ≥ 2 ， 且 n ∈ N ∗）， 且 a= − 3， 设 b n + 2 = 3log 1(a n +n4 n = n−1 1441) ， n ∈ N ∗，数列{c n } 满足 c n = (a n + 1)b n .（1）求证：数列 {a n + 1} 是等比数列并求出数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ； （3）对于任意 n ∈ N ∗，t ∈ [0,1]， cn⩽ tm 2 − m − 12恒成立，求实数 m 的取值范围.37.已知 {a n } 是递增的等差数列， a 2 ， a 4 是方程 x 2－5x ＋6＝0 的根. （1）求 {a n } 的通项公式； a（2）求数列 {2n } 的前 n 项和.38.已知数列 {a } 的满足 a = 1 ，前 n 项的和为 S，且 a n +1−a n = 2 (n ∈ N *) .n1（1）求 a 2 的值；na n an +1 4S n−1（2）设 b n = a na n +1−a n ，证明：数列 {b n} 是等差数列；（3）设 c n = 2b n ⋅ a n ，若 1 ≤ λ ≤ √2 ，求对所有的正整数 n 都有 2λ2 − kλ + 3√2 < c n 成立的 k 的取值范围.39.数列 {a n } 是首项与公比均为 a 的等比数列（ a > 0 ，且 a ≠ 1 ），数列 {b n } 满足 b n = a n ⋅ lg a n ． （1）求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ； （2）若对一切 n ∈ N ∗都有b n < b n +1 ，求 a 的取值范围．40.等差数列{a n }中，其前 n 项和为 S n ， 且S n = (a n +1)22，等比数列{b n }中，其前 n 项和为 T n ， 且 T n =(b n +1 2 ，（n ∈N *）2（1）求a n ，b n ； （2）求{a n b n }的前 n 项和 M n ．n +1 41.已知函数 f （x ） = log 3（ax + b ） 的图象过点 A （2，1） 和 B （5，2 ）记 a n = 3f （n ） ， n ∈ N * ．（1）求数列{ a n }的通项公式．（2）设 b n = a n2n ， T n = b 1 + b 2 + ⋯ b n ， T n< m （ m ∈ Z ），求 m 的最小值．42.已知公比 q > 0 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 = 1, S 3 = 13 ，数列 {b n } 中， b 1 = 1, b 3 = 3 ．（1）若数列 {a n + b n } 是等差数列，求 a n , b n ； （2）在（1）的条件下，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．43.已知数列{b n }是首项 b 1=1，b 4=10 的等差数列，设 b n +2=3 log 1 4a n （n ∈n *）．（1）求证：{a n }是等比数列；（2）记 c n =1 b n b n +1，求数列{c n }的前 n 项和 S n ；（3）记 d n =（3n+1）•S n ， 若对任意正整数 n ，不等式的最大值．1n +d 1 1+ n +d 2 +…+ 1n +d nm＞ 24 恒成立，求整数 m 44.已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前五项和 S 5 = 20 ，且 a 1, a 3, a 7 成等比数列；（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）若 T n 为数列 { 1a n a n +1} 的前 n 项和，且存在 n ∈ N ∗，使得T n− λa n≥ 0 成立，求实数 λ 的取值范围。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题）1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小．5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．10．（2011?安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．11．（2010?浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010?四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．13．（2010?四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n（m﹣n）2﹣1+2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．14．（2010?陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n．15．（2010?宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3?22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列的前n项和S n．16．（2010?江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．17．（2009?陕西）已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（2009?山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n．19．（2009?江西）数列{a n}的通项，其前n项和为S n，（1）求S n；（2），求数列{b n}的前n项和T n．20．（2009?辽宁）等比数列{a n}的前n项和为s n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求s n．21．（2009?湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．22．（2009?福建）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．23．（2009?安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n （Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2?b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2009?北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008?浙江）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．26．（2008?四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．27．（2008?四川）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．28．（2008?陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．29．（2008?辽宁）在数列{a n}，{b n}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{c n}是否为等比数列证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lna n}，{lnb n}的前n项和分别为S n，T n．若a1=2，，求数列{c n}的前n项和．30．（2008?辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
数列大题训练50题及答案
数列大题训练50题及答案本卷含答案及知识卡片，同学们做题务必认真审题，规范书写。
保持卷板整洁。
一.解答题(共50题),2a n+1a n+a n+1−a n=0.1. (2019•全国)数列{an}中, a1=13(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求满足a1a2+a2a3+⋯+a n−1a n<1的n的最大值 .72.( 2019•新课标Ⅰ )记 Sn为等差数列{aₙ}的前 n项和 .已知Sg= -a₅.(1)若 a₃=4,求{aₙ}的通项公式 ;(2)若 a₁>0, 求使得Sₙ≥aₙ的n的取值范围 .3.( 2019·新课标Ⅱ)已知数列aₙ和bₙ满足a₁=1,b₁=0,4aₙ₊₁=3aₙ−bₙ+4,4bₙ₊₁=3bₙ−aₙ−4.( 1) 证明 : aₙ+bₙ是等比数列，aₙ−bₙ是等差数列；(2)求{aₙ}和bₙ的通项公式 .4.( 2019•新课标Ⅱ)已知{ aₙ}是各项均为正数的等比数列， a₁=2,a₃=2a₂+16.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)设bₙ=log₂aₙ,求数列bₙ的前n项和 .5.(2018•新课标Ⅱ)记 Sn为等差数列aₙ}的前 n项和 , 已知a₁= - 7 , S₃= -15 .(1)求{ aₙ}的通项公式；(2)求Sₙ,并求Sₙ，的最小值 ..6 .( 2018•新课标Ⅰ )已知数列{ aₙ满足a₁=1,naₙ₊₁=2(n+1)aₙ,设b n=a nn(1)求b₁,b₂,b₃;( 2) 判断数列{bₙ}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{aₙ}的通项公式 .7.( 2018•新课标Ⅲ ) 等比数列{aₙ}中 ,a₁=1,a₅=4a₃·(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)记 Sn为{aₙ}的前 n项和 .若Sₙ=63,求m..8.(2017•全国)设数列{bₙ}的各项都为正数 , 且b n+1=b nb n+1}为等差数列；( 1) 证明数列{1b n(2)设 b₁=1,求数列{ bₙbₙ₊₁的前n项和Sₙ.9 .( 2017•新课标Ⅱ )已知等差数列{aₙ}的前 n项和为 Sₙ,等比数列{bₙ}的前 n项和为Tₙ,a₁=−1,b₁=1,a₂+b₂=2(1)若 a₃+b₃=5,又求{bₙ}的通项公式 ;(2)若 T₃=21, 求 S₃.10 .( 2017•新课标Ⅰ )记. Sₙ，为等比数列{aₙ}的前 n项和 .已知 S₂=2,S₃=-6.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求Sₙ,并判断Sₙ₊₁,Sₙ,Sₙ₊₂是否成等差数列 .11 .( 2017•新课标Ⅲ)设数列{aₙ}满足a1+3a2++(2n−1)a n=2n.(1)求{an}的通项公式 ;}的前 n项和 .(2)求数列{a n2n+112.( 2016·全国) 已知数列aₙ}的前 n项和Sₙ=n².( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;,求数列{bₙ}的前 n项和 .(Ⅱ)记b n=√a n+√a n+113 .( 2016•新课标Ⅲ ) 已知数列aₙ}的前n项和Sₙ=1+λaₙ,其中λ≠0.(1) 证明{aₙ}是等比数列，并求其通项公式；,求λ .(2)若S5=313214 .( 2016•新课标Ⅰ ) 已知{aₙ}是公差为 3 的等差数列 , 数列{ bₙ满足b₁=1,,a n b n+1+b n+1=nb n.b2=13( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;(Ⅱ)求{bₙ}的前n项和.15 .( 2016•新课标Ⅲ) 已知各项都为正数的数列aₙ满足a1=1,a n2−(2a n+1(1)aₙ−2aₙ₊₁=0.(1)求 a₂, a₃;(2)求{aₙ}的通项公式 .16 .( 2016•新课标Ⅱ ) 等差数列{aₙ}中 ,a₃+a₄=4,a₅+a₇=6.( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;数列全国高考数学试题 参考答案与试题解析一 . 解答题(共50 小题)1.( 2019•全国)数列{a ₙ}中 , a 1=13,2a n+1a n +a n+1−a n =0.(1)求{a ₙ}的通项公式 ;( 2)求满足 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n <17的n 的最大值 .【解答】解:(1) ∵2a n+1a n +a n+1−a n =0.∴1a n+1−1a n=2,∴a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(13−12n+1),∵a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n <17,∴12(13−12n+1)<17, ∴4n +2<42,∴n <10,∵n ∈N ∗, ∴n 的最大值为9.【点评】本题考查了等差数列的定义 ，通项公式和裂项相消法求出数列的前 n【分析】(1)由 2aₙ₊₁aₙ+aₙ₊₁−aₙ=0可得−=2,可知数列 {}是等差数列 ，求出- 的通项公式可得 an ；(2)由(1)知1a a =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),然后利用裂项相消法求出 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n 再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值 . 又1a =3,∴数列 {}是以3为首项 ，2 为公差的等差数列 ， ∴1a =2n +1,∴a n =12n+1;(2)由(1)知 , a n−1a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),。
高中数学数列大题带答案
数列综合大题1、在数列中，已知（.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求数列的前项和.2、己知数列的前n项和为，，当n≥2时，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.3、已知等比数列中，求的通项公式；令求数列{}的前项和4、数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．(1)求的值；(2)求的通项公式； (3)若数列的前n项之和为，求证∈。
5、四川省广元市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%吗？为什么(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)6、设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a 9 =－2，S 8 =2.（1）求首项a1和公差d的值；（2）当n为何值时，S n最大？并求出S n的最大值.7、设数列的前项和为，，.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ）设是数列的前项和，求．8、设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足且（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式：（Ⅱ）设T n为数列{S n}的前n项和，求T n．9、已知数列的前项和（为正整数）。
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，，求使得成立的最小正整数，并证明你的结论.10、已知等差数列满足：（1）求数列的前20项的和；（2）若数列满足：，求数列的前项和.11、数列{}的前n项和为，，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，．求不超过的最大整数的值。
数列大题30题学生(含答案)
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B 垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.A BC第1题图ABCD第1题图AB CA1B1C1M第3题图4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件， 并求出展开图中P 、B 两点间的距离。
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
高中数学《数列》100题(问题+答案)
数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。