2018考研数学重点：弧长曲线积分的计算
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10.1 对弧长的曲线积分
y O
1
x
高等数学
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二、对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分
L
f ( x, y ) d s
转化
计算定积分 d s (d x) 2 (d y ) 2
x (t ) ( t ) (1)若L: y (t )
2 2 d s (t ) (t )dt
L
L1
xds xds
0 x
1
y x2 yx L1 (1,1) L2
x
0 x
1
O
L1 : y x, 0 x 1
2 1 (5 5 1) 2 12
高等数学
L2 : y x2 , 0 x 1
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补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L, 其线密度为 ( x, y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:
山东交通学院高等数学教研室
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1 引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应 弧段为AB ,
其线密度为连续函数
求此构件的质量.
是常数, 且弧长为 s, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限”方法.
B
M n1
y
m
在 上的曲线积分:
连续
(3) 若 是空间光滑曲线弧， 类似可定义函数
L f ( x, y) ds存在.
L
f ( x, y, z ) d s lim f (i ,i , i ) si
4.1对弧长的曲线积分
则有
a
b
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
Mk sk M k 1
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
lim L f ( x, y ) ds 0 f ( k ,k )sk
k 1 n
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L f ( x, y )ds
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
2. 性质
(1)
( 2)
L g ( x, y, z )ds ( , 为常数 )
2
f ( x, y , z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1 , 2 组成)
例2. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:
( x y z ) ds
2
2
2
a k
2
2
0
2
[a k t ] d t
2
2 2
第一节 对弧长的曲线积分
y
由曲线微元弧 ds (d x) 2 (d y ) 2
O
ds d y dx x x
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
x ( t ) 因此上述计算公式相当于“换元法”. y (t )
d s (d x) 2 (d y) 2 dt
3
2
1
0
O
1x
例3. 计算
2 2 2 2
其中L为双 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 π ) 4
π 0 4 r cos
L1 : r a cos 2
4 4
π 0 4 a 2 cos
2xy ds 0
L
2 O
2x
x2 y2 原式 =12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
2
2
2 xy 1 y2 dx
例７ 求圆 x 2 y 2 R 2 的周长。 解： 在第一象限， L: y
R x ds
2 2 2
其中 为球面
O1
y
与平面 x z 1 的交线 . x y z 9 2
2 1 2 1 1 ( x 2) 4 y 1 1 2 , 化为参数方程 解: : x z 1 x 1 x 2 cos 2 0 2π : y 2 sin z1 2 cos 2 则
( X 1) ds
2
利用形心公式
x
D
x ds l
高等数学：11-1对弧长的曲线积分
L
L
从而
(x2 y)ds x2ds 1 (x2 y2 )ds ．
L
L
2L
因为点(x, y) 位于 L 上，所以 x, y 满足 L 的方程，即有 x2 y2 1，
故
(x2 y)ds 1 ds 1 L的周长 1 2 ．
L
2L 2
2
注：解法二表明在计算过程中，可将曲线方程直接代入被积函数中．
(11.1.4)
a
注：式(11.1.1),(11.1.2),(11.1.3) ，和 (11.1.4) 中，积分下限小于积分上限．
16-12
例 11.1.1 计算曲线积分 x2 y2ds ，其中 L 是由圆周x2 y2 a2(a 0) ， L
直线 y x 以及 x 轴在第一象限中所围平面图形的边界．
数，则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx ．
L
a
(11.1.2)
16-11
（续定理）如果曲线 L 的方程为 x x( y) (c y d ) ，且x( y) 在[c,d ] 上具有
连续导数，则
f (x, y)ds
d
f (x( y), y)
1 x2( y)dy ．
16-4
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值S h(i ,i )si ． i1
⑷ 取极限：令 0，则有 的面积
n
S
lim
0
i1
h(i ,i )si
．
㈡ 曲线形物体的质量
设有平面上的曲线状物体，占有 xOy 坐标面上的
曲线段 L （见图 11-1-2），在 L 上任一点(x, y) 处，其线密
微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分
i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )
高等数学第一节 对弧长曲线积分
高等数学第一节 对弧长曲线积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
对弧长的曲线积分
0 2
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
第十一章第一节 对弧长的曲线积分
(1)若( x, y, z ) L, 都有f ( x, y, z ) f ( x, y, z ),
则 f ( x , y, z )ds 0;
L
(2)若( x , y , z ) L,都有f ( x , y , z ) f ( x , y , z ),
则 f ( x , y , z )ds 2 f ( x , y , z )ds ;
曲线积分与曲面积分
积分 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分范围 区间 平面区域 空间区域 曲线段 曲面域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第十一章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
L
(2)若( x , y , z ) L,都有f ( x , y , z ) f ( x , y , z ),
则 f ( x , y , z )ds 2 f ( x , y , z )ds ;
L L1
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对弧长的曲线积分的轮换对称性:
设空间曲线L关于平面y x对称,则有
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
则
: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
L
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2018考研数学重点：弧长曲线积分的计
算
理解他的概念的主要的思想逻辑为分割，近似，求和，取极限。
对一条曲线进行分割，把每一段的长度记为ds，密度函数为f(x,y)，从而这一小段上的质量为f(x,y)*ds，从而整个曲线的质量为对f(x,y)*ds求和再取极限，极限过程就是每一小段的直径趋于0的过程。
他的物理意义为密度不均匀的曲线形物体的质量，从而对弧长的曲线积分的物理意义为密度不均匀的曲线形物体的质量，记作
他的计算方法的总体思路就是把他化为定积分的形式，因为我们只会求定积分，那么怎样把他化成定积分呢?首先我们看到有ds，这个符号我们在定积分的应用里计算曲线的弧长中接触过，由微分法可得出
以上我们可以总结出计算弧长曲线积分的一般思路：1.代入，2.把ds转化为dx(或者dy)，dt或，3.定限，数小的为下限，数大的为上限。
对于弧长的曲线积分大家主要理解以及掌握
它的公式，会算即可。