江苏省泰州中学高三数学第一次月考试卷 (5)
江苏省泰州中学2008－2009学年度第一学期 高三数学第一次月考试卷 2008年10月命题人：余静 校对人：刘鸿康一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)１．已知全集U=Z ，A={-1,0,1,2}，B={x|x 2=x}，则A C U B=______________. ２．命题p ：∀x ∈R ，2x 2+1>0的否定是______________.３．已知{a n }是等差数列，a 6+a 8=6，前12项的和S 12=30，则其公差d=_______________.４．若⎧⎨⎩x e x ≤0f(x)=lnx x >0，则1f(f())2＝_______________.５．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，q=3，S k =364，则a k =______________. ６．已知y=log a (3-ax)在[0,2]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围为_____________.７．定义n x M =x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，其中x ∈R ，n ∈N *，例如 4-4M =(-4)(-3)(-2)(-1)=24，则函数f(x)= 2007x-1003M 的奇偶性为______________.８．设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足条件y=f(x+1)是偶函数，且当x ≥1时，f(x)=2x -1，则f(13)、f(23)、f(32)按从小到大的顺序排列为_________________.９．对任意实数x 、y ，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1，若f(1)=1，则对于正整数n ，f(n)的表达式为f(n)=_______________. 10．给出四个函数：①45y x =；②43y x =；③12y x-=；④13y x-=，则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号).甲 乙 丙 丁11. 已知{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，nn n1+a b =a ，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是_______________. 12．若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________.13．已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，若在区间[-1,3]内，函数f(x)=kx+k+1(k ∈R 且k ≠1)有4个零点，则k 的取值范围是_______________.14．有一种病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是1台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的3台计算机，则至少经过___________轮后，被感染的计算机总数超过2000台. 二、解答题(本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设关于x 的方程(m+1)x 2-mx+m-1=0有实根时，实数m 的取值范围是集合A ，函数f(x)=lg[x 2-(a+2)x+2a]的定义域是集合B. (1)求集合A ；(2)若A B=B ，求实数a 的取值范围.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，0 n n n-1a +2S S (n ≥2). (1)判断n1{}S 是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求S n 和a n ；；(3)求证： 22212n 11S +S ++S ≤-24n.17．(本小题满分16分)已知函数f(x)=|x|(x-a)，(a ∈R).(1)讨论f(x)在R 上的奇偶性； (2)当a ≤0时，求函数f(x)在闭区间[-1,12]上的最大值.18．(本小题满分15分)某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元。
请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由.19．(本小题满分15分)已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0) (0,+∞)且f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0，函数g(x)=-x 2+mx+1-2m ，x ∈[0,1].(1)证明：f(x)在(-∞,0)上是增函数； (2)解关于x 的不等式f(x)<0；(3)当x ∈[0,1]时，求使得g(x)<0且f[g(x)]<0恒成立的m 的取值范围.20．(本小题满分16分)我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q 的数列{a n }依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第1列 第2列 第3列 … 第n 列 第1行 11 1 … 1 第2行 q第3行 2q… …第4行1n q(1)设第2行的数依次为b 1,b 2,b 3,…,b n ，试用n 、q 表示b 1+b 2+…+b n 的值； (2)设第3列的数依次为c 1,c 2,c 3,…,c n ，求证：对于任意非零实数q ，c 1+c 3>2c 2；(3)能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由.江苏省泰州中学2008－2009学年度第一学期高三数学第一次月考答题纸一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)１．_______________ ６．_______________ 11．_______________ ２．_______________ ７．_______________ 12．_______________ ３．_______________ ８．_______________ 13．_______________ ４．_______________ ９．_______________ 14. _______________ ５．_______________ 10．_______________二、解答题(本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15． 16．班级_______________ 姓名_______________ 学号________________ 考试号_______________ 座位号_______________ ……………………………………………………………装…………………订……………线…………………………………………………………………17．18．19．20．江苏省泰州中学2008－2009学年度第一学期高三数学第一次月考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) １．{-1,2} ２. ∃x ∈R ，2x 2+1≤0 ３. 1 ４.12５. 243 ６. (1,32) ７. 奇函数 ８. 231f()<f()<f()323 ９. 2n +3n -2210. 4、2、1、3 11. (-8,-7) 12. 3 13. (1,03-) 14. 7二、解答题(本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．解：(1)当m+1=0即m=-1时，方程为x-2=0，此时x=2…………………………(2分) 当m+1≠0即m ≠-1时，方程有实根⇒△=m 2-4(m+1)(m-1)≥0 ⇒m 2-4m 2+4≥0⇒3m 2≤4⇒≤m且m ≠-1…(6分)由上可知：A =[-,]33……………………………………………………(7分) (2)∵A B=B ，∴A ⊆B ………………………………………………………………(8分)而B={x|x 2-(a+2)x+2a>0}={x|(x-2)(x-a)>0}当a>2时，B={x|x>a 或x<2}，此时A ⊆B ，∴a>2适合 当a=2时，B={x|x ≠2}，此时A ⊆B ，∴a=2也适合 当a<2时，B={x|x>2或x<a}，要使A ⊆B，只要3<a ≤2………………(13分) 由此可知：……………………………………………………………(14分) 16．解：(1)S 1=a 1=12，∴11=2S当n ≥2时，n n n-1n n-1a =S -S =-2S S ，∴n n-111-=2S S∴n1{}S 为等差数列，首项为2，公差为2………………………………(4分)(2)由(1)知n1S =2+(n-1)×2=2n ，∴n 1S =2n ……………………………………(6分)当n ≥2时，⋅⋅n n n-1111a =-2S S =-2=-2n 2(n -1)2n(n -1)∴⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩n 1n =12a =1- n ≥2,n ∈N 2n(n -1)………………………………………(9分)(3) ⨯⨯⨯ 221n 22211111111S ++S =(+++)≤(1++++)412n 41223(n -1)n1111=(1+1-++-)42n -1n 1111=(2-)=-4n 24n………………(14分)17．解：(1)∵f(x)在(0,+∞)递增，∴对于∀0<x 1<x 2都有f(x 1)<f(x 2)又f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)任取x 1,x 2∈(-∞,0)，设x 1<x 2<0，则-x 1>-x 2>0，∴f(-x 1)>f(-x 2)f(x1)-f(x2)=f(-x2)-f(-x1)<0，∴f(x)是(-∞,0)上的增函数…………(5分)(2)∵f(1)=0，∴f(-1)=0，∴f(x)<0的解为x<-1或0<x<1……………………(8分)(3)由已知及(2)的结果可知g(x)<0且f[g(x)]<0，当x∈[0,1]时恒成立⇔g(x)<-1，当x∈[0,1]时恒成设h(x)=g(x)+1=-x2+mx+2-2m问题转化为-x2+mx+2-2m<0，当x∈[0,1]时恒成立…………………………(10分) ∴m(2-x)>-x2+2，∵0≤x≤1，∴1≤2-x≤2∴222-x+2-(x-2+2)+2-(x-2)-4(x-2)-4+2 m>==2-x2-x2-x2=-[(2-x)+]+42-x∴m>max2(-[(2-x)+]+4)=4-2-x…………………………………(15分)18．解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y万元则y=50n-[12n+n(n-1)2×4]-98=-2n2+40n-98由y>0可得n<10+∵n∈N*，∴3 ≤n≤17，即第3年开始盈利…………………………(5分)(2)方案一：年平均盈利y98=-2n-+40≤40=12 n2当且仅当982n=n即n=7时取“＝”共盈利12×7+26=110万元……………………………………………………(9分) 方案二：盈利总额y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102当n=10时，y max=102共盈利102+8=110万元………………………………………………………(13分) 方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………(15分) 19．(1)f(x)=|x|(x-a)当a=0时，f(x)=x·|x|为奇函数当a≠0时，f(x)=(x-a)|x|，∵f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a)∴f(x)是非奇非偶函数……………………(5分)(2)当a=0时，f(x)=x|x|是奇函数，在R上单调递增∴当-1≤x≤12时，f(-1)≤f(x)≤f(12)⇒f(x)∈[-1,14]，此时f(x)max=14当a<0时，⎧⎪⎨⎪⎩1x(x-a) x∈[0,]f(x)=2-x(x-a) x∈[-1,0]………………………………(7分)即4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2222a a1(x-)- x∈[0,]22f(x)=a a-(x-)+ x∈[-1,0]24……………………………………(9分)①若-1≤a2即a≥-2时，f(x)的最大值为f(a2)或f(12)∵f(a2)-f(12)=2a111-(-a)=(a+1+4224又∵-2≤a<0，则f(a 2)<f(12)，∴f(12)为最大值……………………(12分) ②若a 2≤-1即a ≤-2，f(x)的最大值为f(-1)或f(12)∵f(-1)-f(12)=(-1-a)-12(12-a)=-a 2-54当a ≤-52时，f(1)≥f(12)当-52≤a ≤-2时，f(-1)≤f(12)…………………………………………(15分)综上可知：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩max5-1-a a ≤-2f(x)=1a 5- -≤a ≤0422…………………………………(16分) 20．解：(1)b 1=q ，b 2=1+q ，b 3=1+(1+q)=2+q ，b n =(n-1)+q ∴b 1+b 2+…+b n =1+2+…+(n-1)+nq=n(n -1)+nq 2………………………(5分) (2)c 1=1，c 2=1+(1+q)=2+q ，c 3=(2+q)+(1+q+q 2)=3+2q+q 2由c 1+c 3-2c 2=1+3+2q+q 2-2(2+q)=q 2>0得c 1+c 3>2c 2…………………………(10分) (3)设x 1,x 2,x 3和y 1,y 2,y 3分别为第k+1列和第m+1列的前三项 1≤k<m ≤n-1，则x 1=1，x 2=k+q ，x 3=(1+2+…+k)+kq+q 2=k(k +1)2+kq+q 2 若第k+1列的前三项x 1,x 2,x 3是等比数列，则x 1x 3=x 22∴22k(k +1)+kq +q =(k +q)2即2k -k +kq =02，∴1-k q =2 同理，若第m+1列的前三项y 1,y 2,y 3是等比数列，则1-mq =2当k ≠m 时，1-k 1-m≠22∴无论怎样的q ，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列………………………………………………………………………(16分)。
2015-2016学年江苏省泰州中学高三(上)第一次月考数学试卷
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{-1，0，1}【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}，∴C u A={x|x＜2}，又B={-1，0，1，2，3}，则（C u A）∩B={-1，0，1}．故答案为：{-1，0，1}由全集U=R，以及A，找出不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2.已知幂函数f（x）的图象过，，则f（4）= ______ ．【答案】【解析】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，，∴，解得a=-，∴，故f（4）==．故答案为：．设幂函数f（x）=x a，由幂函数f（x）的图象过，，知，解得a=-，由此能求出f（4）．本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知log a2+log a3=2，则实数a= ______ ．【答案】【解析】解：∵log a2+log a3=2，∴log a6=2，∴a2=6，a＞0，且a≠1，解得a=．故答案为：．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．4.函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为______ ．【答案】（- ，）【解析】解：由2x2-3＞0，得x＜或x＞．∵内函数t=2x2-3在（- ，）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2-3）的单调减区间为（- ，）．故答案为：（- ，）．由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．本题考查复合函数的单调性的求法，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．5.若函数f（x）=是奇函数，那么实数a= ______ ．【答案】1【解析】解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）==0，解得a=1．故答案为：1．利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0解决问题．本题考查奇函数定义中的特殊值．6.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为______ ．【答案】-e【解析】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），整理得y=（lnx0+1）x-x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=-e．故答案为：-e设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．7.将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为______ ．【答案】y=-2cos4x【解析】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）=-2cos2x的图象；再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为y=-2cos4x的图象，故答案为：y=-2cos4x．由条件利用诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的______ 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．【答案】充要【解析】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b⇔α＞β成立，由正弦定理=得α＞β⇔sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．9.已知函数f（x）=x2-2x+3在[0，a]（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是______ ．【答案】1≤a≤2【解析】解：∵函数f（x）=x2-2x+3是开口向上的抛物线，对称轴x=1当x=1时函数取得最小值f（1）=1-2+3=2∵y=x2-2x+3在[0，a]上最小值为2∴a≥1当x=0时y=3函数y=x2-2x+3在（1，+ ）上是增函数，当x=2时y=4-4+3=3，当x＞2时y＞3∵函数y=x2-2x+3在[0，a]上最大值为3∴a≤2综上所述1≤a≤2．故答案为：1≤a≤2先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时y=3，根据对称性可知当x=2时y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．10.关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是______ ．【答案】（- ，-）【解析】解：若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，故＜＜，即＜＜，解得：m∈（- ，-），故答案为：（- ，-）若关于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得＜＜，进而可得m的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．11.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（2，2+）【解析】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=2+有两个解．故所求的k的取值范围为（2，2+），故答案为（2，2+）．由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于- ，当x趋于 时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f （x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f （）+f（）的值为______ ．【答案】-8058【解析】解：在f（x）=x+sinπx-3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）-6=2+sin（x1π）+sin（2π-x1π）-6=-4，∴f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（-4）+f（）=-8056+（1+sinπ-3）=-8058．故答案为：-8058．由已知得f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．13.已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则的取值范围为______ ．【答案】，【解析】解：∵实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l：y=k（x-2），则，化为，解得．∴的取值范围为，．故答案为：，．实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P（2，0）与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（-），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为______ ．【答案】-【解析】解：因为f（a）=f（-），所以|lg（a+1）|=|lg（-+1）|=|lg（）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+＞1．从而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+]|=lg[6（b+2）+]．又f（10a+6b+21）=4lg2，所以lg[6（b+2）+]=4lg2，故6（b+2）+=16．解得b=-或b=-1（舍去）．把b=-代入（a+1）（b+2）=1解得a=-．所以a=-，b=-．a+b=-．故答案为：-．根据题目给出的等式f（a）=f（-），代入函数解析式得到a、b的关系，从而判断出f（10a+6b+21）的符号，再把f（10a+6b+21）=4lg2，转化为含有一个字母的式子即可求解．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知0＜＜＜β＜π，且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．【答案】解：（1）把tan=代入tanα=，求得tanα==，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得sinα=，cosα=．（2）由0＜＜＜β＜π，可得＜α+β＜，再根据sin（α+β）=，可得α+β∈（，π），∴cos（α+β）=-，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-（-）×=．【解析】（1）由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再根据sin2α+cos2α=1，0＜＜＜β＜π，求得cosα的值．（2）由条件同角三角函数的基本关系求得cos（α+β），再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）-α]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．16.已知函数f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0．若sin B=2sin A，求a，b的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R．=sin2x--=sin（2x-）-1∴T==π∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1∵0＜C＜π，∴C=∵sin B=2sin A，∴由正弦定理可得b=2a①∵c=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3②由①②可得a=1，b=2．【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值．本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题．17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润，，（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率第个月的利润第个月前的资金总和，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【答案】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率，，；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵＞，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【解析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入第个月的利润第个月前的资金总和即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式＞，＞，且时取““可得，解答如下：本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．18.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．【答案】解：（1）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为，令，＞，＜，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=，，＜＜，，令，，，，则a=-3，a=-2，a=2.，， ， ， ．①当a＜-3时，＜，＞．则h（x）max=max{h（-1），h（1）}=h（1）=0．①-3≤a≤-2时，＜＜，＜＜．则h（x）max=max{h（-2），h（1），h（2）}，因为h（-2）=3a+3＜0，h（1）=0，h（2）=3+a≥0，所以h（x）max=h（2）=3+a．③当-2＜a＜2时，＜＜，＜＜．则， ， ，因为， ＜ ．若-2＜a＜0，h（-2）=3a+3＜h（2）=3+a．所以h（x）max=h（2）=3+a．若0≤a＜2，h（-2）=3a+3＞h（2）=3+a．所以h（x）max=h（-2）=3a+3．④当a≥2时，，．则h（x）max=max{h（-2），h（-1），h（2）}=h（-2）=3a+3．综上所述，当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0；当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．【解析】（1）运用参数分离，讨论①当x=1时，②当x≠1时，求出右边函数的取值范围，即可得到a的范围；（2）将h（x）写成分段函数的形式，再由二次函数的最值求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到最值．本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查含参的函数的最值，注意运用分类讨论的思想方法，以及二次函数的单调性，结合对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．19.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【答案】∴．当x∈（-1，0）时，g （x）＞0，∴g（x）在（-1，0）上单调递增；当x∈（0，+ ）时，g （x）＜0，则g（x）在（0，+ ）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h （x）＞0；当x∈（e，+ ）时，h （x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+ ）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．【解析】（1）先求出g（x）=ln（x-1）-x（x＞-1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于＞．令t=，设u（t）=lnt-，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证20.已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+ ））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数＜若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．【答案】解：（1）f（x）为单调减函数．（1分）证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）==．由=，（4分）且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+ ）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）（2）①若m≤0，由x1≥2，，x2＜2，＞，所以g（x1）=g（x2）不成立．（7分）②若m＞0，由x＞2时，＜，所以g（x）在[2，+ ）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即，．（9分）（a）若m≥2，由于x＜2时，，所以g（x）在（- ，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即，．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜，即＜成立即可．由于函数在[2，+ ）的单调递增，且h（4）=0，所以2≤m＜4．（12分）（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，＜＜所以g（x）在（- ，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜成立，即成立即可．由0＜m＜2，得＜，＞．故当0＜m＜2时，恒成立．（15分）综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）【解析】（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立”分别可求出g（x1）、g（x2）的值域，使g（x1）的值域为g（x2）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．。
江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及解析
17．在①
m
a
b,
c
a
，n
a
b,
c
，且
m
n
，②
2a
c
2b
cos
C
，③
sin
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ； （2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值． 【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、
四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级 水平一 水平二 水平三 水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
（1）根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为学生实践操作
18．设数列 an
的前
nLeabharlann 项和为Sn，点
n,
Sn n
，
n N
均在函数
y
x
的图象上．
（1）数列an 的通项公式；
（2）记数列
1 anan1
的前
n
项和为 Tn
，若对任意的
n N
，不等式
4Tn
a2
a
恒成立，求实数
a 的取值范围．
19．某学校八年级共有学生 400 人，现对该校八年级学生随机抽取 50 名进行实践操作能力测
C． f x1 f x2 0
高三数学-泰州中学2016届高三上学期第一次月度质量检测数学试卷
江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、设全集U R =，集合{}2x x A =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则()U A B = ð ．2、已知幂函数的图象经过点2,2⎛ ⎝⎭，则()4f = ．3、已知log 2log 32a a +=，则实数a = ．4、函数()()2ln 23f x x =-的单调减区间为 ．5、若函数()221x x af x -=+是奇函数，那么实数a = ．6、若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 ．7、将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得函数的解析式为 ． 8、已知α，β为三角形的内角，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）． 9、已知函数()223f x x x =-+，[]0,x a ∈（0a >）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是 ．10、关于x 的一元二次方程()2232140x m x m ++++=有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是 ．11、对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．12、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1x ，2D x ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得1234028402920152015201520152015f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ．13、已知实数a 、b 、c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ． 14、设函数()()lg 1f x x =+，实数a ，b （a b <）满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则a b +的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知02παβπ<<<<，且()5sin 13αβ+=，1tan 22α=．()1求cos α的值；()2求sin β的值．16、（本小题满分14分）已知函数()212cos 2f x x x =--，R x ∈． ()1求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；()2设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()C 0f =，若sin 2sin B =A ，求a ，b 的值．17、（本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润函数()()()1,1201,216010x x f x x x x **⎧≤≤∈N ⎪=⎨≤≤∈N ⎪⎩（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为()x g x x =第个月的利润第个月的资金总和，例如()()()()338112f g f f =++．()1求()10g ；()2求第x 个月的当月利润率；()3求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18、（本小题满分16分）已知函数()21f x x =-，()1g x a x =-．()1若R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ()2求函数()()()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．19、（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．()1求函数()()1g x f x x =+-的最大值；()2若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围；()3若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+．20、（本小题满分16分）已知函数()12416mx f x x =+，()212x mf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中R m ∈．()1若02m <≤，试判断函数()()()12f x f x f x =+（[)2,x ∈+∞）的单调性，并证明你的结论；()2设函数()()()12,2,2f x xg x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，试确定实数m 的取值范围．江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题参考答案一、填空题1、{}1,0,1-2、12 3 4、,⎛-∞ ⎝⎭5、16、e -7、2cos 4y x =-8、充要9、[]1,2 10、21,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11、11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12、8058- 13、33⎡-⎢⎣⎦14、1115-二、解答题18、解：。
江苏省泰州市高港中学2021年高三数学理月考试题含解析
江苏省泰州市高港中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】先将化简运算得到，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知，其对应点的坐标为（，），在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则参考答案：B3. 小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．30％ B．10％ C．3％D．不能确定参考答案：C4. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是A． B．C． D．参考答案：D5. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z为(A) (B) (C) (D)参考答案：B6. 已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F（1，0），定点A（﹣1，1）在E的内部，若椭圆E上存在一点P使得|PA|+|PF|=7，则椭圆E的方程可以是（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过记椭圆的左焦点为F 1（﹣1，0），则|AF 1|=1，利用|PF 1|≤|PA|+|AF 1|可知a≤4；利用|PF 1|≥|PA|﹣|AF 1|可知a≥3，进而可得结论．【解答】解：记椭圆的左焦点为F 1（﹣1，0），则|AF 1|=1， ∵|PF 1|≤|PA|+|AF 1|，∴2a=|PF 1|+|PF|≤|PA|+|AF 1|+|PF|≤1+7=8， 即a≤4；∵|PF 1|≥|PA|﹣|AF 1|，∴2a=|PF 1|+|PF|≥|PA|﹣|AF 1|+|PF|≥7﹣1=6， 即a≥3， ∴9≤a 2≤16， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7. 若函数f （x ）=ln （x+﹣4）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[0，4] C ．（﹣∞，4） D ．（0，4）参考答案：A8. 已知全集U=R,集合，集合，则等于A.B. C. D.参考答案： C 略9. 双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x ，则该双曲线的方程是（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=1参考答案：D【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x ，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x 轴上，从而可求双曲线的标准方程． 【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0）， ∴其焦点在x 轴，且实半轴的长a=2， ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x ，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．10. 设实数，满足，则取得最小值时的最优解的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．无数个参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若关于的方程只有一个实根，则实数参考答案：12. 函数的定义域为 .参考答案：要使函数有意义，则有，即，所以，即函数的定义域为。
2017届江苏泰州中学高三上第一次月考文数试卷
2017届江苏泰州中学高三上第一次月考文数试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B = ． 2．若31z i i=+-，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3．函数22()log (6)f x x =-的定义域为 ．4．已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k 的值为 ． 5．已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ． 6．“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）7．已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是 ． 8．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin 2x f x x a π=-，且(3)6f =，则a = ．9．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且43a =，则7a = ．10．若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ．11．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ．12．数列{}n a 定义如下：11a =，23a =，122(1)22n n n n a n a a n n +++=-++，1,2,n =…．若201642017m a >+，则正整数m 的最小值为 ． 13．已知点O 为△ABC 内一点，且230OA OB OC ++= ，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于 ．14．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),x x f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =．（1）求A 的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积．16．已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）．（1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围；（2）求()g x ()f x -的最大值．17．已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ．（1）设BC CA CA AB ⋅=⋅ ，判断△ABC 的形状；（2）设向量(2sin ,s C = ，2(cos 2,2cos 1)2C t C =- ，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3B π-的值． 18．某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<）．中1米长的平均造价为(2+万元． （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？19．已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数（*n N ∈），若351S b =+，4b 是2a 和4a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．20．已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（2）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足1()8h a λ≥+，求λ的取值范围； （3）已知*n N ∈，求证：11111ln(1)12345n n +<++++++…．参考答案1．{}0,2【解析】试题分析：{}2|20{0,2}A x x x =-==，所以A B = {}0,2考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2．2-【解析】 试题分析：3421z i z ii =+⇒=--，所以复数z 的虚部为2-考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi3．(,)-∞+∞【解析】试题分析：由题意得260x x x ->⇒><(,)-∞+∞考点：函数定义域4．6【解析】 试题分析：由题意得263k k ππ=⇒=考点：三角函数周期5．2【解析】试题分析：设()y f x x α==，则11422αα=⇒=-，因此1211()()244f -== 考点：幂函数解析式6．充分不必要【解析】试题分析：三个数a ，b ，c 成等比数列，则2b c b aca b =⇒=，充分性成立； 0a b c ===满足2b ac =，但a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件．考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．7．2425-【解析】试题分析：533cos()sin 255παα+=⇒=-，因为02πα-<<，所以424cos ,sin 22cos 525sin αααα===-考点：二倍角公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
江苏省泰州中学2019届高三第二学期第一次月度检测数学试题
江苏省泰州中学2019届高三第二学期第一次月度检测数 学 试 题注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑，样本数据12,,,n x x x的标准差s =球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合}{1,1,2A =-，{}13B x x =-<<，则A B =I ▲ ． 2．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则z 的值为 ▲ ．3．已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的标准差为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值是 ▲ ．5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为 ▲ ．6．已知sin 2cos 0αα+=，则tan 2α= ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2211xy m -=+的离心率为2，则实数m 的值是 ▲ ．8、魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成（第4题）的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为 ▲ ．9．已知1130,15n n θθθ+=︒=+︒，1sin n n a θ+=，N *n ∈，则224a a += ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2220x y x ay +-+=与曲线220x y -=有2个公共点，则实数a 的值是 ▲ ．11、如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC ∆是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ⊥，则O P B Q ⋅的最小值为 ▲ ． 12、已知集合[][],14,9,0A t t t t t =+++>，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ▲ ．13. 已知ABC ∆1，且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为 ▲ ． 14.已知函数2,()3,0xx x af x x a+≥⎧=⎨<<⎩，若对任意实数1k >，()()g x f x kx =-都有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥.若平面α分别与棱PA 、PB 、BC 、AC 相交于点E 、F 、G 、H ，且//PC 平面α，求证：（1）//EH FG .（2）AB ⊥FG ；BC16.（本题满分14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且1cos 4C =． （1）求22cos2sin 22A BC ++的值； （2）设2c =，求a b +的取值范围．17.（本题满分14分）某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形的游泳池ABCD ,其中AB ∥CD ,060=∠DAB ,圆心O 在梯形内部，设θ=∠DAO .当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.（1）求梯形游泳池的面积S 关于θ的函数关系式，并指明定义域； （2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时θtan 的值.18.（本题满分16分）设椭圆22:12x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P 、Q . （1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；（2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点Q 、R 、S 共线； （3）如图2，点T 是直线:2l x =上任意一点，设直线PT 、FT 、QT 的斜率分别为PT k 、FT k 、QT k ，求证：PT k 、FT k 、QT k 成等差数列.19.（本题满分16分）如果数列{}n a 对于任意*n N ∈，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”．若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，*n N ∈，()1a a a R =∈．（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围； （3）类似地：非零．．数列{}n b 对于任意*n N ∈，都有2n nb q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”。
精品解析：江苏省泰州中学2019届高三3月月考数学试题(解析版)
江苏省泰州中学2019届高三第二学期第一次月度检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）1.已知集合，，则__________．【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，则=故答案为：【点睛】本题考查交集的求法等基础知识，属于基础题．2.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．3.已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的标准差__________．【答案】【解析】【分析】先求出这组数据4，3，5，7，1的平均数，进而由标准差的公式计算即可．【详解】这组数据4，3，5，7，1的平均数为：（4+3+5+7+1）＝4，故这组数据的标准差为：，故答案为： 2【点睛】本题考查了数据的平均数，标准差，熟记标准差的公式是关键，属于基础题．4.执行如图所示的伪代码，最后输出的的值__________．【答案】【解析】【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可．【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3不满足条件i，退出循环，输出的值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题．5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为__________．【答案】【解析】【分析】先求出基本事件总数，再用列举法列出2个数和大于5包含的基本事件，从而由古典概型的公式计算即可．【详解】在1，2，3，4，5中任取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，其中和大于5包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有m＝6个，由古典概型的公式得故答案为：．【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，注意列举法的合理运用，属于基础题.6.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可．【详解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．7.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，则实数的值是__________．。
(参考答案)泰州中学2023-2024学年高三上学期第一次月度检测数学试题
2023-2024学年第一学期高三年级第一次月度检测数学试卷（命题：审题：时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,x A x x *=<∈N ，{}12B x x =∈-<<N ，则A B ⋃等于（）A.{}0,1 B.{}2x x < C.{}12x x -<< D.{}1【答案】A 【解析】【分析】先化简得出集合,A B ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】由24x <可得2x <，则{}{}24,1xA x x *=<∈=N，{}{}120,1B x x =∈-<<=N ，所以{}0,1A B = .故选：A.2.已知i 是虚数单位，x R ∈，复数()()2z x i i =++为纯虚数，则2x i -的模等于（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】先根据复数乘法运算法则计算，再根据纯虚数概念得x ，最后根据复数模的定义得结果.【详解】因为(i)(2i)(21)(2)i z x x x =++=-++为纯虚数，所以1210,202x x x -=+≠∴=，从而2i 1i x -=-=，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 3.82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数是（）A .338C 2-⨯ B.338C 2⨯ C.38C - D.38C 【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出2x 项的系数作答.【详解】二项式82()x x-展开式的通项公式为：8821882C ((2)C ,N,8r rr r r r r T xx r r x--+=-=-∈≤，令822r -=，解得3r =，于是332332488(2)C C 2T x x =-=-⨯，所以所求系数为338C 2-⨯.故选：A4.下列化简不正确的是（）A.223cos 15sin 152-=B.tan 48tan 721tan 48tan 72+=-C.1cos82sin 52sin82cos1282+=-ooooD.1sin15sin 30sin 758=【答案】B 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可计算得A 正确；由两角和的正切公式可知B 错误；利用两角和的正弦公式可求出C 正确；利用正弦的二倍角公式可计算得D 正确.【详解】A 选项，22cos 15sin 15cos302-==，A 选项正确.B 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72+=+==-，B 选项错误.C 选项，()cos82sin 52sin82cos128cos82sin 52sin82cos 18052+=+-ooooooooo()cos82sin 52sin82cos522sin 5281sin 302=--=--== ，所以C 选项正确.D 选项，易知sin 3012=，所以1sin15sin 30sin 75sin15sin 752 =()1111sin sin 90sin cos sin 30224815151515=-=== ，D选项正确.故选：B5.用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,3,,7i i x y i = ，其中1277x x x +++= ，设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4z x =+，则127y y y = （）A.70e B.35e C.70D.35【答案】B 【解析】【分析】根据回归直线方程必过样本中心点()x z ，再结合题意以及对数的运算计算即可.【详解】因为1277x x x +++= ，所以12717x x x x +++== ，则45z x =+=，即()1271ln ln ln 57y y y +++= ，即()127ln 35y y y = ，所以35127e y y y = .故选：B.6.一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则(0)(1)(2)f f f ++=（）A.0B.1C.3D.4【答案】C 【解析】【详解】设()sin()h f t A t k ωϕ==++，由三角函数的性质求解．【分析】由题意设()sin()h f t A t k ωϕ==++，则2,1A k ==，3T =，则2π2π3T ω==，当0=t 时，(0)2sin 10f ϕ=+=，取π6ϕ=-，故2ππ()2sin()136f t t =-+，(0)0,(1)3,(2)0f f f ===，(0)(1)(2)3f f f ++=，故选：C7.已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A.12B.14C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】∵tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤ （当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.8.已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e ---的值为（）A.1B.2(1)a - C.1- D.1a-【答案】A 【解析】【分析】令x t xe =，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑2(1)10t a t a +-+-=有两个不同的根，从而可得3a <-或1a >，结合图象可得111x x e t =，221x x e t =，332x x e t =，结合韦达定理即可得到所求值．【详解】解：令x t xe =，则(1)x t x e '=+，故当(1,)x ∈-+∞时，0t '>，x t xe =是增函数，当(,1)x ∈-∞-时，0t '<，x t xe =是减函数，可得=1x -处x t xe =取得最小值1e-，x →-∞，0t →，画出x t xe =的图象，由()0f x =可化为2(1)10t a t a +-+-=，故结合题意可知，2(1)10t a t a +-+-=有两个不同的根，故2(1)4(1)0a a ∆=--->，故3a <-或1a >，不妨设方程的两个根分别为1t ，2t ，①若3a <-，1214t t a +=->，与1220t t e-<+<相矛盾，故不成立；②若1a >，则方程的两个根1t ，2t 一正一负；不妨设120t t <<，结合x t xe =的性质可得，111x x e t =，221x x e t =，332x x e t =，故3122123(1)(1)(1)xxxx e x e x e ---2112(1)(1)(1)t t t =---21212(1())t t t t =-++又121t t a =- ，121t t a +=-，31222123(1)(1)(1)(111)1x x x x e x e x e a a ∴---=-++-=．故选：A ．【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a ，b满足1a b == 且|2|b a -= ，则下列结论正确的是（）A.||a b -=B.2a b += C.,60a b 〈〉=︒D.a b⊥【答案】AD 【解析】【分析】先对条件|2|b a -=进行化简得到a b ⋅，再结合选项逐个判定可得答案.【详解】因为|2|b a -= ，所以22445b a b a -⋅+= ；因为1a b == ，所以0a b ⋅= ，所以,90a b =︒，故C 错误，D 正确；因为222||22a b a a b b -=-⋅+= ，所以||a b -=，A 正确；因为22222a a b b b a +⋅+=+= ，所以a b += ，B 错误；故选：AD.10.给出以下四个结论：①函数sin y x =与log y x π=的图象只有一个交点；②函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象有无数个交点；③函数sin y x =与y x =的图象有三个交点；④函数sin y x =与tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点.则正确结论的序号为（）A.①B.②C.③D.④【答案】ABD 【解析】【分析】①：在同一坐标系内作出函数sin y x =与log y x π=的图象，看两图象交点个数进行判断；②：在同一坐标系内作出函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，看两图象交点个数进行判断；③：在同一坐标系内作出函数sin y x =与y x =的图象，看两图象交点个数进行判断；④：解方程sin tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭进行判断即可.【详解】①：在同一坐标系内作出函数sin y x =与log y x π=的图象，如下图所示：由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故本结论正确；②：在同一坐标系内作出函数sin y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下图所示：由图象可知：在[0,2]x πÎ时，两个函数图象有2个交点，但是函数sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，故当[0,)x ∈+∞时，有无数个交点，故本结论正确；③：在同一坐标系内作出函数sin y x =与y x =的图象，如下图所示：即函数sin y x =与y x =的图象只有一个交点，故本结论错误；④：sin 1sin tan sin sin (1)0,0cos cos 22x x x x x x x x x ππ⎛⎫=⇒=⇒-=∈-∴= ⎪⎝⎭，因此函数sin y x =与tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点，故本结论正确.故选：ABD【点睛】本题考查了两个函数图象的交点问题，考查了数形结合思想、直接法，属于中档题.11.下列关于随机变量X 的说法正确的是（）A.若X 服从正态分布(1,2)N ，则(22)4D X +=B.已知随机变量X 服从二项分布(2,)B p ，且5(1)9P X ≥=，随机变量Y 服从正态分布2(2,)N σ，若(0)2p P Y <=，则1(24)3P Y <<=C.若X 服从超几何分布(4,2,10)H ，则期望4()5E X =D.若X 服从二项分布1(4,3B ，则方差8()9D X =【答案】BCD 【解析】【分析】根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可.【详解】对A ，由于()1,2X N ，所以()D X =()()2222D X D X +==，故A 错误；对B ，X 服从二项分布()2,B p ，()()()()2212511212C 9P X P X P X p p p p p ∴≥==+==-+=-=，解得13p =，()106P Y ∴<=，根据正态分布的对称性可得，()1243P Y <<=，故B 正确；对C ，X 服从超几何分布()4,2,10H ，根据超几何分布的期望公式，()424105E X ⨯==，故C 正确；对D ，X 服从二项分布14,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二项分布方差公式得，()()12814339D X np p =-=⨯⨯=，故D 正确.故选：BCD.12.设函数()ex xf x k =-，()e x g x x =-，下列命题正确的是（）A.若函数()f x 有两个零点，则10e<<k ，B.若()0f x ≤恒成立，则1ek <C.若1x ∀，2x ，120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x -<-恒成立等价于1a ≤D.1,e ex ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()1ln 0g x x x-->恒成立．【答案】AC 【解析】【分析】利用导数求函数e xxy =的最大值，结合变化趋势考察与y k =的关系可判断AB ；构造函数22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--，将问题转化为导数在(0,)+∞大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C ；取1ex =，然后使用放缩法可判断D .【详解】1()ex xf x -'=，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，故1x =时，()f x 有最大值max 1()(1)ef x f k ==-，又0x >时，0e x x>,且x 越大时，e x x 趋近于0，要使函数()f x 有两个零点，则10e<<k ，故A 正确，B 错误；若1x ∀，2x ，120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x -<-恒成立等价于函数22()2()2e 2x h x g x ax ax x =-=--在(0,)+∞上单调递增，等价于()2(e 1)0x h x ax '=--≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()e 1x m x ax =--，则()e x m x a '=-，当1a ≤时，()0m x '≥，所以当0x >时，()(0)0m x m >=成立，当1a >，(0,ln )x a ∈时，()0m x '<，此时()(0)0m x m <=，不满足题意，故C正确；记11()()ln e ln x s x g x x x xx x =--=---，则1e 11(e e 1e e s ==--+，因为11e 2e e <<11e 3>，所以1e 1112(e e 1e 1e<0e e 33s ==--+<-+=-，故在区间1(,e)e 上存在0x 使得0()0m x ≤，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则sin α=___________.【答案】43310+【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦运用正弦的和角公式可得答案.【详解】02πα<<Q ，663πππα∴-<-<，又3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3414525210+=⨯+⨯=，故答案为：410+.【点睛】关键点点睛：在解决三角函数中的给值求值问题时，关键在于运用已知的角去表示待求的角，再利用相应的三角函数公式得以解决.14.数据15,16,23,24,28,36,37,42,45,53,58,76的25百分位数是__________.【答案】23.5##472【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】共12个数据，1225%3⨯=，第3,4个数据分别为23,24，232423.52+=.故答案为：23.5.15.已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【答案】143【解析】【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得()32432k k πππωπ+=+∈Z ，由此求得ω的值．【详解】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω-≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=.故答案为：14316.已知函数31sin cos 22y x x ππ=+在2,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（23t >）时的最小值为m ，最大值为M ，若20M m +=，则()m M t +的取值范围为______．【答案】21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题易得sin 6y x ππ⎛⎫=+⎪⎝，在坐标系内画出函数的图象结合20M m +=分析可得12M =，1m =-，313266t ππππ≤+≤，423t ≤≤，最后由()12m M t t +=-得出答案即可.【详解】1sin cos sin 226y x x x ππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为2,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,666z x t πππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，在坐标系内画出函数y =sin z 的大致图象如下：由图象并结合20M m +=可知，当566x πππ+=，即23x =时，y 取得最大值，最大值为12M =，因此y 的最小值m 为1-，要使y 取得最小值，由图象可知必有313266t ππππ≤+≤，解之得423t ≤≤，所以()21,231m M t t +=⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈.故答案为：21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()cos ,sin2m x x = ，()2cos ,1n x =-，()f x m n =⋅ .（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间：（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【答案】（1）π；π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）当0x =时，()f x 的最大值为2，当3π8x =时，()f x的最小值为1【解析】【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出()f x 的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦函数性质求解其周期与减区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值即可.【小问1详解】已知向量()cos ,sin 2m x x = ，()2cos ,1n x =-，所以()2π2cos sin 21cos2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ .故函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由π2π22π+π4k x k ≤+≤，解得：π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .【小问2详解】由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.故当ππ244x +=，即0x =时，()f x 取得最大值，最大值为2；当π2π4x +=，即3π8x =时，()f x 取得最小值，最小值为1+.18.设ABC 三个内角,,A B C 所对的变分别为,,a b c 已知π,cos 6A b C a ==（1）求角C 的大小；（2）如图，在ABC 的一个外角ACD ∠内取一点P ，使得2PC =，过点P 分别作直线CA CD 、的垂线PM PN 、，垂足分别为M N 、.设PCA α∠=，求PM PN +的最大值及此时α的取值.【答案】（1）π3C =（2）当π3α=时，PM PN +取得最大值为【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得B ，进而求得C .（2）求得PM PN +的表达式，结合三角函数最值的求法，求得PM PN +的最大值以及此时对应的α的值.【小问1详解】依题意π,cos 6A b C a ==，由余弦定理得222222222,22a b c a b c b a b a c ab a+-+-⋅===+，所以ππ,23B C ==.依题意可知π2sin ,2sin 3PM PN αα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以π132sin 2sin 2sin 2sin cos 322PM PN ααααα⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3sin6ααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,2πππ5π0,,,3666αα⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当πππ,623αα+==时，PM PN +取得最大值为19.已知函数2()2ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当0a >时，1()2f x a≥-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x '，然后对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明1ln 10a a+-≥，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【小问1详解】因为2()2ln f x ax x =-，所以()2212()2,0ax f x ax x x x-'=-=>．①当0a ≤时，()0,()'<f x f x 在(0,)+∞单调递减；②当0a >时，由()0f x '<得0x <<，由()0f x '>得x >，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．当0a >时，min ()ln 1f x f a ==+，要证明1()2f x a ≥-，只要证1ln 12a a +≥-，即证1ln 10a a+-≥，设1()ln 1,0a a a aϕ=+->，则22111()a a a a a ϕ-'=-=，令()0a ϕ'=得1a =，列表得a(0,1)1(1,)+∞()a ϕ'-0+()a ϕ单调递减极小值单调递增所以()(1)0a ϕϕ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以1()2f x a ≥-．20.如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高6SO =点P 在高SO 上，ABC 是圆锥SO 底面的内接正三角形.（1）若PO =:PA ⊥平面PBC（2）点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意易证AP BP ⊥，AP CP ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明PA ⊥平面PBC .（2）首先点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和基本不等式得到当PO =PE 与平面PBC 所成角的正弦值最大，再求三棱锥-P ABC 的体积即可.【小问1详解】因为AE AS =，AS SE =，所以ACE △是正三角形，则π3SAO ∠=，易知SO ⊥底面圆O ，而AE ⊂底面圆O ，所以SO AE ⊥，又在Rt AOS 中，6SO =，所以AO ==，因为ABC是正三角形，所以26AB AO ===，且AP ==BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，,BP PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ；【小问2详解】如图，因为AE BC ⊥，所以以点O 为原点，平行于CB 方向为x 轴，以OE 方向为y 轴，以OS 方向为z 轴，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -，设||,(06),(0,0,),(2(PO m m P m E B C =≤≤∴-，所以0,),),(),PE m PB m PC m =-=-=--设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则·3z 0·30n PB x m n PC x mz ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，令0x =，则,y m z ==(0,n m →=，设直线EP 和平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,PE n θ==13=，当且仅当2236m m =，即PO m =PE 所在直线和平面PBC 所成角的正弦值最大，故2111sin 60332ABC V S PO AB =⋅=⨯⨯⨯⨯ .21.某高校男､女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男､女各60名学生的成绩，情况如下表：合格不合格男生3525女生4515（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？（2）从这60名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；（3）将抽取的这120名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率.若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加16.现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关（2）分布列见解析，()76=E X （3）289324【解析】【分析】（1）由条件计算2K ，再比较其与临界值的大小，并作出判断；（2）由条件确定X 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；（3）根据概率乘法公式和概率加法公式求对应事件的概率．【小问1详解】完善二联表如下：合格不合格总计男生352560女生451560总计8040120所以22120(35154525) 3.75 6.63560608040K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关；【小问2详解】合格人数X 的取值有0，1，2，225260C 10(0)C 59P X ===，113525260C C 175(1)C 354P X ===，235260C 119(2)C 354P X ===，所以X 的概率分布为：X012P1059175354119354所以101751197()012593543546E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由已知该校学生首次参加英语四级考试成绩合格的概率为8021203=，首次不合格第二次合格的概率为125636+=，所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩合格的概率为224339⨯=，两位同学其中一位首次合格，另一位同学首次不合格，第二次合格的概率为21102363275⨯⨯⨯=，两位同学都首次不合格，第二次都合格的概率为22152536324⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率为42528992734142023++=22.已知函数1()ln ()ex f x k x k =+∈R .（1）若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；（2）已知120x x <<.（i ）当1ek =时，证明：2121e e 1e e x x x x --＞；（ii ）若1212x x x x k e e==，证明：()()121f x f x -＜.【答案】（1）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可得原题意等价于exxk ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x x x x ϕ=>，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；（2）（i ）取1e k =，根据题意分析可得2121e e e ln e x x x x ->-，构建()ln 1g x x x =--，结合导数证明2211ln1x x x x ->-即可；（ii ）根据题意分析可得1201x x <<<，()1111ln e 1x x x f x +=，()2222ln e1x x x f x +=，构建ln 1())e (0xx x g x x +=>，结合导数证明()()12101e f x f x <<<<，即可得结果.【小问1详解】∵1()ln ()e xf x k x k =+∈R ，则1()(0)ex k f x x x '=->若()f x 是增函数，则1()0e x k f x x '=-≥，且0x >，可得ex xk ≥，故原题意等价于e x xk ≥对0x ∀>恒成立，构建()(0)e x x x x ϕ=>，则()1()0ex xx x ϕ-'=>，令()0x ϕ'>，解得01x <<；令()0x ϕ'<，解得1x >；则()ϕx 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()1()1ex ϕϕ≤=，∴k 的取值范围为1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】（i ）由（1）可知：当1ek =时，ln 1()e e x x f x =+单调递增，∵120x x <<，则()()21f x f x >，即21211111ln ln e e e e x x x x +>+，整理得211212e eln ln e e ln x x x x x x =-->-，构建()ln 1g x x x =--，则()()1110x g x x x x-'=-=>，令()0g x '<，解得01x <<；令()0g x '>，解得1x >；则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()()ln 110g x x x g =--≥=，即ln 1x x -≥-，当且仅当1x =时等号成立，令211x x x =>，可得2211ln 1x xx x ->-，故21211x x x e e e e x ->-；（ii ）∵1212x x x x k e e==，则1212110e e x x k k x x -=-=，可知1()0ex k f x x '=-=有两个不同实数根12,x x ，由（1）知1201x x <<<，可得()1111111111ln 111ln l e e e n e x x x x x x x f x k x x +=+=+=，同理可得()2222ln e1x x x f x +=，构建ln 1())e (0xx x g x x +=>，则()e (1)ln ()0x x x g x x -'=>，当01x <<时，(1)ln 0x x -<；当1x >时，(1)ln 0x x -<；当1x =时，(1)ln 0x x -=；且e 0x >，故()0g x '≤对()0,x ∀∈+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，∵1201x x <<<，则()()21()1g x g g x <<，即()()21e1f x f x <<，且22ln 0,e 0xx >>，则22ln 10x x +>，故2222ln 1)0e(x x x g x +=>，可得()210ef x <<；又∵101x <<，由（i ）可得11ln 1x x ->-，即11ln 1x x <-，则()11111ln 1111e xx x x x +<-+<<，第21页/共21页且1e 0x >，则111ln 11e x x x +<，可得()111e f x <<；综上所述：()()12101e f x f x <<<<.可得()21e0f x -<-<，则()()1201f x f x <-<故()()()()12121f x f x f x f x -=-<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数()h x ．（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
江苏省泰州中学 2021 届高三第一次月度检测(数学)及答案
x1 f x2
x1 x2
0．
当1 x1 x2 时， g x1 g x2 ∴ f x1 x1 f x2 x2 ，
∴
f
x1
f
x2
x1 x2 ，∴
f
x1 f x2
x1 x2
0．
D．正确；因为 ln x 1 时， f x 单调递增，又∵A 正确，
9．关于双曲线 C1 ：
x2 9
y2 16
1与双曲线 C2 ：
y2 9
x2 16
1 ，下列说法正确的是（
）．
A．它们有相同的渐近线
B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等
D．它们的焦距相等
10．函数 y Asin x （ A 0 ， 0 ， 0 π ）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
x2
即
x2
f
x1 x1 f
x2 ．
B．错误；因为令 g x f x x x ln x x ，∴ g x ln x 2 ，
∴ x e2, 时， g x 0 ， g x 单调递增， x 0, e2 时， g x 0 ， g x 单调递减．
∴ x1 f x1 与 x2 f x2 无法比较大小． C．错误；因为令 g x f x x x ln x x ， g x ln x ，
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ；
（2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值．
【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设数列 an
2015-2016学年江苏省泰州中学高三(上)第一次月考数学试卷
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．(★★★★)设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={-1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B= {-1，0，1} ．2．(★★★★)已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）= ．3．(★★★★)已知log a2+log a3=2，则实数a= ．4．(★★★★)函数f（x）=ln（2x 2-3）的单调减区间为（- ）．5．(★★★★)若函数f（x）= 是奇函数，那么实数a= 1 ．6．(★★★)若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为 -e ．7．(★★★★)将函数f（x）=2sin（2x+ ）的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得函数的解析式为 y=-2cos4x ．8．(★★★★)已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．9．(★★★)已知函数f（x）=x 2-2x+3在0，a（a＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是 1≤a≤2 ．10．(★★★)关于x的一元二次方程x 2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是（-∞，- ）．11．(★★)对于函数y=f（x），若存在区间a，b，当x∈a，b时的值域为ka，kb（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（2，2+ ）．12．(★★★)设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x 1，x 2∈D，当x 1+x 2=2a时，恒有f（x 1）+f（x 2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为 -8058 ．13．(★★)已知实数a，b，c满足a 2+b 2=c 2，c≠0，则的取值范围为．14．(★★)设函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）=f（- ），f（10a+6b+21）=4lg2，则a+b的值为 - ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(★★★★)已知0 ＜β＜π，且sin（α+β）= ，tan = ．（1）求cosα的值；（2）求sinβ的值．16．(★★★)已知函数 f（x）= sin2x-cos 2x- ，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c= ，f（C）=0．若sinB=2sinA，求a，b的值．17．(★★★)某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．(★★)已知函数f（x）=x 2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值．19．(★★★)已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x 2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x 1＞x 2＞0，求证：＞．20．(★★★)已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f 1（x）+f 2（x）（x∈2，+∞））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g（x 1）=g（x 2）成立，试确定实数m的取值范围．。