导学案平面向量的概念与运算(2课时)
5.1 平面向量的概念及运算（一）（2课时）1. 向量的概念：①定义 ②表示 ③模 ④零向量 ⑤共线向量 ⑥相等向量2. 向量加减运算：①几何运算（三角形和平形四边形法则）AB BC AC += ②代数运算：11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y ±=±±3. 向量坐标：(,)a x y xi yj ==+4. 平面向量基本定理：给定不共线向量1e 和2e 1122a e e λλ=+则（结果唯一）5. 数乘向量：(,)(,)a x y x y λλλλ⎧==⎨⎩方向模6. 向量共线：1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=7. 三点共线：1PA PB PC αβαβ=++=且 8三角形的“四心”与向量1. 关于重心G ，有重心公式：1()3OG OA OB OC =++ 坐标)3,3(CB AC B A y y y x x x G ++++，并有性质=++；2. 关于垂心H ，有性质⋅=⋅=⋅；3. 关于外心O ，有性质||||||OC OB OA ==；结论：O 、H 、G 三点共线且OG OH 3=；此线称为欧拉（Euler ）线。
（如何证明？）4. 关于内心I ，经常涉及内角平分线的研究，如||||(AC AB AI +=λ。
如： ①已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心 ②在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 的面积是③设斜ABC △的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 。
④ O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心例1、(安徽13) 在四面体O-ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）解析：在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =11()22OA AE OA AD OA AO OD +=+=++ =11111()24244OA OB OC a b c ++=++。
(2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则·＝________. 答案 18例2：||2||1OA OB OC OA OB ==与和夹角分别为3045,|OC|=4OA OB 和，用和表示OC解法一：（解三角形）4sin105sin 45sin 30x y︒︒︒== 1612222y∴==+4x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(232)(2622)OC OA OB ∴=-+-解法二：（建系）A （2，0），B，2)C 设OCxOA yOB =+(2,0)2)x y∴+=222x y x y y ⎧+=⎪⎧=⎪⎪∴⎨=⎪⎩=即解法三：（内积运算）22(:x y OA OC xOA yOA OB OB OC xOA OB yOB=+⎧⋅=+⋅⎪∴⎨⎪⋅=⋅+⎩设OC OA OB点评向量运算双向性) 例3.△ABC 中，M 是BC 边的中点，N 在AC 上，2,:.AN NC AM PM =与BN 交于P,求AP1212121212112121,,,(),()222(),23212312223e e AP AM AM e e AP e e BP e e e BN e e BP BNe e e e λλλμλλμμλμλμ====+=+∴=+-=-∴=⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩解法一:设AB AC 设即24:4:15AP PM λ∴=∴=1:(()23,,24312445AM AM AB AC AP AB AN B P N λλλλλλ==+∴=+∴+=∴=解法二三点共线结论)设AP 三点共线2:()//,4:1AP AN NCMQ CA PM MQ MQ===解法三平面几何则解法四：（坐标法）例4、（江西理15）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为2 ．解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2变式练习 ①ABC ∆中H 为BC 边上任一点,M 为AH 中点,若AH AB AC λμ=+则=+μλ21 ②ABC ∆中G 为重心过G 的直线交AB,AC 分别与P,Q ,若,AB mAP AC nAQ ==则m+n= 3练习：ABC ∆中，O 、H 分别为外心，垂心，()OH m OA OB OC =++,求m =解法一：（求值法）设ABC ∆为Rt ∆0OH OA OB OC =+= 1OA mOA m ∴=∴=法二：（几何法）作OD BCAE BC ⊥⊥BAONM//1=212()1()()2112AH ODAH ODOD OB OC AH OB OC OH OA AH OH m OA OB OC OA OB OC m OA OB OC m m λλλλ∴=∆∴==+=++∴++=++=∴=设等腰OBC 中，（+）（+）又1m ⎧⎪∴=⎨⎪⎩解法三：连OH 交AO 于G ，则G 为ABC ∆重心//||||21||||2()()1AH OD AHG DOGAH AG OD GD AH OD OB OC OA AH m OA OB OC OA OB OC m OA OB OC m ∴∆∆∴==∴==++=++++=++∴=由得例5.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则x ·yx ＋y的值为( ) A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 例6．(2012·吉林四平质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15 B.25C.35D.45解析：选 C 设AB 的中点为D ， 由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD ，如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 例7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C) 4(D) 3解．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则F 为△ABC 的重心，∴ A 、B 、C 三点的横坐标的和为F 点横坐标的3倍，即等于3，∴ |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6A B C x x x +++++=，选B 。
变式练习1设G 为ABC ∆的重心，且 0sin 35sin 40sin 56=++GC C GB B GA A 则︒=∠60_____B例8：△OAB 中，OM ：OA=1：3，ON ：OB=1：4，线段AN 与BM 交于点P ，设,,,,.OA a OB b OP xa yb x y ===+求8118()1138132.111141111AN OP OA AP OA OA ON OA OB OA OB ∴∆∆∆∆∴=∴=+=+-+=+⋅=+解法二：作OH//BM,交AN 延长线于H,APM AHO AP=2PH 而BPN OHN PN=3NHAP例9如图平面内有三个向量,OA OB ，OC 其中,OA OB 夹角为︒120，,OA OC 夹角为︒30，且1=OA ，1=OB ，32=OC ，若OB OA OC μλ+=则4__________=+μλ。
例10如图 AB 是圆O 的直径，CD 是圆上两点，若︒=∠︒=∠45,60ABD CBA 且BC y OA x CD +=则33_________-=+y x课堂练习1已知0,31===OB OA OB OA 点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设n m +=则=nm--------3— 2.如图在ABC ∆中P NC 31=是BN 上一点，若m 112+=则实数m=--------1133. 在ABC ∆中,过中线AD 的中点E 的任意条一条直线分别交AC AB ,于N M ,若AC y AN AB x AM ==,，则y x +4的最小值是----- --------494．已知非零向量满足⎫⎛+AC AB =0,21=AC AB 则ABC ∆是 等 边三角形。
5 。
已知ABC是平面上不共线三点，动点P满足⎪⎫ ⎛+++=COSC AC COSB AB OP λ2，()()+∞∈,0λ，则动点的轨迹一定通过ABC ∆的————————————————外心。
6在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足AB PC PB PA =++，则PBC ∆与ABC ∆的面 积之比为---------------- 32。
教案平面向量的基本概念和运算
教案平面向量的基本概念和运算平面向量是数学中的重要概念之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
一般用大写字母表示平面向量，如A、B。
平面向量可以由一个有序的数对表示，也可以用坐标表示。
例如，平面向量A可以表示为(Ax, Ay)或者\[A =\begin{pmatrix} Ax \\ Ay \end{pmatrix}\] ，其中Ax和Ay分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，其坐标表示分别为\[A = \begin{pmatrix} Ax \\ Ay\end{pmatrix}\] 和\[B = \begin{pmatrix} Bx \\ By \end{pmatrix}\]，则它们的和向量C为\[C = \begin{pmatrix} Ax + Bx \\ Ay + By \end{pmatrix}\]。
2. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的差向量C可以表示为C = A - B。
具体计算方法是将B的坐标取反，然后进行加法运算，即\[C = \begin{pmatrix} Ax - Bx \\ Ay - By \end{pmatrix}\]。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个向量A和实数k，它们的数乘结果为kA。
具体计算方法是将向量A的每个分量都乘以实数k，即\[kA = \begin{pmatrix} kAx \\ kAy\end{pmatrix}\]。
4. 平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B。
设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B = Ax * Bx + Ay * By。
必修二《平面向量的概念》教案、导学案、同步练习
《6.1平面向量的概念》教案小和方向怎样表示？字母表示法：大写字母和小写字母。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
知识探究（三）：向量的模和两类特殊向量思考：有什么含义？向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||.两类特殊向量：零向量和单位向量。
思考：1. 与0有区别吗？为什么？2. 零向量和单位向量的方向呢？3. 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？判断1.向量的模是一个正实数。
（）2.若|a|>|b| ，则a > b。
（）注:向量不能比较大小例1. 如图，分别用向量表示A地至B、C两地的位移,并根据图中的比例尺，求出A地至B,C两地的实际距离（精确到1km）知识探究（四）：向量之间的关系思考：观察图象，探究发现平行向量。
平行向量：方向相同或相反的叫做平行向量. 记作 //.共线向量：平行向量又称为共线向量.思考：是相同的向量吗？学生根据动态变化图，观察探究的出向量之间的关系。
利用例题引导学生掌握本节课知识,并能够灵活运用.利用数形结合的思想，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
例题的3问三种类型，加深学生对基础知识理解，并能够灵活运用基础知识解决具体问题。
ABABABa b,AB BA《6.1 平面向量的概念》导学案【学习目标】一、向量的概念和表示方法1．向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． 2．向量的表示(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素： ， ， ． (2)表示方法：向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a ，b ，c ，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.AB →AB →AB →CD →思考（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？（2）两个向量可以比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？ （3）两个向量的长度可以比较大小吗？ 二、向量的模及两个特殊向量(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的______ (或称模)，记作______． (2)零向量：长度为______的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于__________________的向量． 思考（1）零向量的方向是什么？ （2）两个单位向量方向相同吗？ 三、相等向量与共线向量1. 且 的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a ＝b .2.方向 的非零向量叫做平行向量，如果向量a ，b 平行，记作a ∥b .任一组 向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做 ．3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.( ) (2)向量就是有向线段．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上．( ) (4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( ) (6)任意两个单位向量都相等.( )2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有 。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量的概念教案导学案 (4)
平面向量的概念一、教学目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示.2、理解共线向量、相等向量的概念.3、正确区分向量平行与直线平行二、教学重点1、理解向量的有关概念及向量的几何表示2、理解共线向量、相等向量的概念三、教学难点1、理解共线向量、相等向量的概念.2、正确区分向量平行与直线平行四、教学过程1．向量的概念定义：既有大小，又有方向的量叫做向量.2．向量的表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段.包含三个要素：起点、方向、长度(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作.⑶字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c,…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母7，~b，T，….共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量思考尝试1.思考判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)若a=b,b=c，贝U a=c.()⑵若a〃b，则a与b的方向一定相同或相反.()—>—>⑶若非零向量AB〃CD，那么AB^CD.()(4)向量的模是一个正实数.()2.下列各量中不是向量的是：()A.位移B.力C.速度D.质量3.设e1,e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.勺=勺B.勺〃勺C.I e1l=l e2lD.以上都不对4.向量a与任一向量b平行，则a一定是.5._______________________________________________________________ 如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有.IFF丨ABCD类型1向量的概念例1、给出下列命题：—>—>①若AB=DC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；—>—>②在口ABCD中，一定有AB=DC；^③a=b，b=c，贝9a=c；④若a〃b，b〃c，则allc.其中所有正确命题的序号为.归纳1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a l b,b l c,则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b H0,贝寸必有a〃b,b〃c斗a〃c.问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是（）A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量与任一非零向量平行C.向量就是有向线段D.两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示例2、一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点.⑴作出向量AB,BC,CD;—>(2)求I AD I.归纳1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.变式训练、一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100羽km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50羽km到达D点.问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：—>—>—>—>—>—>①AB与CD是共线向量；®AB=CD；®AB>CD.以上结论中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是．①若AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在一条直线上；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；—>—>④若四边形ABCD是平行四边形，贝i AB=DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“口ABCD中”呢？归纳1.判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断.2.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.3.(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0).3.向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．4.任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量|0|五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a〃b,b〃c,则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b丰0,贝寸必有a〃b,b〃c O a〃c.问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.七、教学反思平面向量的概念一、学习目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示.2、理解共线向量、相等向量的概念.3、正确区分向量平行与直线平行二、教学过程1.向量的概念定义：既有，又有的量叫做向量.2.向量的表示⑴有向线段：的线段叫做有向线段•包含三个要素：起点、_、_、_（2）几何表示：用表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的（或称模），记作.⑶字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a,b,c,…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母;，b，C，….共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量m、"一思考尝试1.思考判断（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）若a=b,b=c,则a=c・（）（2）若allb,则a与b的方向一定相同或相反.（）—>—>⑶若非零向量AB I CD，那么AB I CD・（）（4）向量的模是一个正实数.（）2•下列各量中不是向量的是：（）A.位移B.力C.速度D.质量3.设勺，勺是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.e’=e2B.e、lle2C.I e」=l e2lD.以上都不对1212124.向量a与任一向量b平行，则a一定是.5.____________________________________________________________ 如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有.1111ABCD类型1向量的概念例1、给出下列命题：—>—>①若AB=DC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；—>—>②在口ABCD中，一定有AB=DC；③若a=b，b=c，则a=c；④若a l b，b l c，则a〃c其中所有正确命题的序号为.归纳1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a l b，b l c，则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b H O,则必有a l b,b〃c O a〃c•问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是（）A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量与任一非零向量平行C.向量就是有向线段D.两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示例2、一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D—>—>—>—>点.⑴作出向量AB,BC,CD；(2)求AD I.归纳1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.变式训练、一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100羽km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50、f2km到达D点.问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：—>—>—>—>—>—>①AB与CD是共线向量；®AB=CD；③AB>CD・以上结论中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是.①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上;②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，贝U AB=DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“^ABCD中”呢?归纳1.判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断2.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.3．(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0).3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．4.任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量O i五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a〃b,b〃c,则a#c，”是错误的.当b=0时，a，c可以是任意向量，但若b工0，则必有a〃b,HEallc•问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.七、教学反思。
平面向量的概念教案
平面向量的概念教案教案标题：平面向量的概念教案教案目标：1. 使学生理解平面向量的基本概念和性质。
2. 培养学生使用向量表示和解决实际问题的能力。
3. 帮助学生掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算。
4. 引导学生理解平面向量的共线、共面和垂直关系。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 引入平面向量的概念，并与学生讨论日常生活中可能涉及到的向量概念，例如力的方向、速度和位移等。
2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的定义和表示方法，包括有向线段表示、坐标表示和分量表示。
- 解释平面向量的长度、方向和零向量的概念。
3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的加法和减法运算。
- 强调向量的顺序对结果的影响，并引导学生理解向量的反向和相反向量的概念。
4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的加法和减法运算。
第二课时：1. 复习（5分钟）- 回顾上节课的内容，让学生简要概括平面向量的定义和表示方法。
2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的数量乘法运算，包括向量与标量的乘法和向量与向量的数量积。
- 解释数量乘法对向量长度和方向的影响。
3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的数量乘法运算。
- 引导学生理解数量乘法的几何意义和向量的放缩效果。
4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的数量乘法运算。
教学资源：1. 平面向量的定义和性质的PPT或讲义。
2. 平面向量加法、减法和数量乘法的示例题和练习题。
3. 板书工具和白板。
评估方式：1. 课堂练习题的完成情况和答案讲解。
2. 学生对平面向量概念和运算方法的理解程度的口头回答和讨论。
3. 针对平面向量的应用问题，让学生进行解答和解释思路。
教学拓展：1. 引导学生探究平面向量的共线性、共面性和垂直关系的概念和判定方法。
《平面向量的概念与线性运算》导学案
平面向量的概念与线性运算知识梳理：1向量的有关概念1向量:既有,又有的量叫向量;通常记为;长度为的向量是零向量,记作:;的向量,叫单位向量2平行向量或共线向量记作:;规定:零向量与任何向量3相等向量:4相反向量:2向量加法与减法1向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律:;结合律:2向量减法作法:3实数与向量的积1实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：长度：方向：2．运算律4共线定理:5平面向量基本定理:6基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：a b a b AB DC =a b b c a c a b a b a b a b b c a cAB DC =||||AB DC =//AB DC //AB DC ||||AB DC =AB DC =a b a b b c b c a c a c a b a b a b a b a b a b b 00a a a a 0a a a a 0a a 0a a a 0a 1a a 0a a 0a a 0a a a 0a BA a BCb a b OE BF BD FD a b BA BC BA AO BO +=+=BO a b OE BO a b BF BO OF BO BA a b a a b BD BC CD +BC BO +b a b a b FD BC BA -b a a b a b a b BM CN =AM AC CM =+BN =和B ､AP AM BP BN BA BP AP =-BA BC CA =+=4,5AP AM ==4:1 三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首尾相接”或“起点相同”来化简；2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。
四、反思感悟b a O FE DC B A。
平面向量的运算教案
平面向量的运算教案一、引言：本教案旨在深入介绍平面向量的运算方法，包括向量的加法、减法、数乘以及与平面几何的联系。
通过本教案的学习，学生将能够熟练运用平面向量的运算方法解决与平面几何相关的问题。
二、平面向量的概念：1. 平面向量的定义：平面上的向量指的是具有大小和方向的箭头，可用有向线段表示。
2. 平面向量的表示方法：用字母加上一个箭头，如u→表示向量u。
3. 平面向量的模长：向量的长度被称为其模长，记作|u|，表示向量u的大小。
4. 平面向量的方向角：向量与x轴正方向的夹角被称为其方向角，记作θ。
5. 平面向量的坐标表示：平面向量可以用有序数对表示，如(u₁,u₂)。
三、平面向量的运算方法：1. 平面向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的箭头连起来即可得到它们的和向量。
2. 平面向量的减法：向量的减法可以通过将被减向量取负，然后与减向量进行加法运算得到。
3. 平面向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个实数即可得到数乘后的向量。
4. 平面向量与平面几何的联系：平面向量可以用于表示线段、向量共线、向量垂直等几何概念。
四、平面向量的运算性质：1. 交换律：向量的加法满足交换律，即u + v = v + u。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(u + v) + w = u + (v + w)。
3. 数乘结合律：数乘与向量的加法满足结合律，即k(u + v) = ku + kv。
4. 数乘分配律：数乘与向量的加法满足分配律，即(k + l)u = ku + lu。
5. 数乘结合分配律：数乘之间的运算满足结合分配律，即k(lu) = (kl)u。
五、平面向量的实际应用：1. 平面向量在力学中的应用：平面向量可以用于表示力的大小和方向，解决复杂力的合成、分解等问题。
2. 平面向量在几何中的应用：平面向量可以用于表示线段的长度和方向，解决平面几何中的垂直、共线等问题。
3. 平面向量在工程中的应用：平面向量可以用于表示力矩、距离等概念，解决工程中的力学平衡、力的作用点等问题。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念 导学案
6.1 平面向量的概念1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.1．(1)向量：既有 ，又有 的量叫做向量．(2)数量：只有 ，没有 的量称为数量． 2．向量的几何表示(1) 的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ． (2)向量可以用 表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的 (或称 )，记作 ．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB →，CD →. 3.向量的有关概念一、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？2.（1）向量与数量的定义：既有，又有的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有，没有的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习1：下列量不是向量的是（）（1）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面积（7）年龄（8）身高（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？1.有向线段的定义在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，就说线段AB 具有方向，具有 的线段叫做有向线段.如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB .线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB . 思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？2. 向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 3. 向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如CD AB 、。
平面向量的基本概念与线形运算导学案.doc
《平面向量的基本概念与线形运算》导学案学习目标: 1.理解平面向量的基本概念2.明确平面向量的线形运算及几何意义3.掌握平面向量的运算性质及运算律 一、课前预习1．(教材改编题)平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．∃λ∈R ，b ＝λa D ．存在不全为零的实数λ1、λ2，使λ1a ＋λ2b ＝02．(2011·四川高考)如图4－1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B. BE → C.AD → D.CF →3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB→＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D二、探究展示三、自主检测1．(2012·青岛质检)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|22．(2012·武汉调研)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．53. 如图4－1－2所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，若AP →＝QA →，试确定λ的值．。
平面向量导学案
§2.1向量的概念及表示班级：姓名：制作人: 王芳审阅人: 高一数学备课组【学习目标】1. 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
【课前准备】（预习教材P74 ~ P76，完成以下内容并找出疑惑之处）【自主探究】1.在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量等）在取定单位后只用就能表示，我们称之为，而另外一些量（如位移、速度、加速度、力等）必须用和才能表示。
2.我们把称为向量，向量常用一条来表示，表示向量的大小。
以A为起点、B为终点的向量记为。
3.称为向量的长度（或称为），记作4. 称为零向量，记作；叫做单位向量.5. 叫做平行向量，叫做相等向量. 叫做共线向量.【剖例探法】例1、下列各量中哪些是向量浓度、年龄、面积、位移、人造卫星速度、向心力、电量、盈利、动量例2、判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.【自我测评】1、判断下列命题的真假:（1）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（2）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（3）如果a=b，则a与b长度相等方向相同（4）若a=b，则与a与b的方向没有关系。
2、关于零向量，下列说法中正确的有（1）零向量是没有方向的。
（2）零向量的长度是0（3）零向量与任一向量平行（4）零向量的方向是任意的。
3、把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_____________.4、把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是______________.5、教材77页练习第3,4题。
【作业布置】教材77页习题第2,3,5题【课堂收获】§2.2.1向量的加法班级： 姓名： 制作人: 王芳 审阅人: 高一数学备课组【学习目标】1. 掌握向量加法的定义.2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.【课前准备】（预习教材P80 ~ P83，完成以下内容并找出疑惑之处）【自主探究】1、如何求a 与b 的和向量？2、向量的加法： 叫做向量的加法。