自动控制原理的数学模型习题
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自动控制系统的数学模型习题
2-1 试建立图示电路的动态微分方程。
解：（a ）解法一：直接列微分方程组法
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+O
i C O
C
C
u u u R u R u dt du C 2
1 i
i
O O u CR dt du u R CR R R dt du 1
21211+=++⇒ 解法二： 应用复数阻抗概念求
)()(11
)(1
1
s U s I Cs
R Cs R
s U O
i
++
=
（1）
2
)()(R
s U s I O
=
（2）
联立式（1）、（2），可解得： Cs
R R R R Cs R R s U s U i
o 2
1
2
1
1
2
)
1()
()
(+++=
微分方程为: i
i
o
o
u
CR
dt
du u R
CR R
R dt
du
1
2
1
2
1
1+
=
++
（b ）解法一：直接列微分方程组法
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧++
=+===C
O
C
i
O
L
C
O
L
L
L
u
R
u
dt
du C
R u u
u u R
u
i dt
di
L u )(2
1
2
(a)
(b)
+
u C -
i
o
o
o
u R u R R dt
du C R R L dt
u
d LC
R 2
2
1
2
1
2
2
1
)()
(=++++⇒
解法二： 应用复数阻抗概念求
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)
(]1)()([)()
()
()(2
1
2
2s U sC
s U R s U R s U Ls R R s U s U C
C
O
i
O
C
)()()()()()(2
2
1
2
1
2
1
s U R s U R R s sU C R R L s U LCs R i
o
o
o
=++++⇒
拉氏反变换可得系统微分方程：
i
o
o
o
u R u R R dt
du C R R L dt
u
d LC
R 2
2
1
2
1
2
2
1
)()
(=++++
2-7 证明图示的机械系统(a)和电网络系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
解：(a)取A 、
B 两点分别进行受力分析。 对A 点有
)()()(2
1
1
y x f x x f x x K o
o
i
o
i
-=-+- (1)
对B 点有
y K y x f o 22
)(=- (2) 对式（1）、（2）分别进行拉氏变换，得
)()()(2
1
1
sY sX f sX sX f X X K o
o
i
o
i
-=-+-
(a)(b)
A B
Y K sY sX f o
2
2
)(=-
消去中间变量Y ，整理后得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)]()[()
)(()
()
(s
f K s f K s f f K s f K s f s X s X i
o
-+++++=
=2
121212
122
12
12212
1
2
1
(
)1(
)1
f f f f s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++
+
+
(b) 由图可写出
s
C R s
C R s
C R s E s
C R s E i
o
22
2
2
1
1
1
1
111)
(1)
(+
⋅
++
=+
整理得 1
)(1
)()
()
(1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
+++++++=
s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s E s E i
o
比较两系统的传递函数，如果设2
2
1
1
2
2
1
1
1,1,,K C K C f R f R ====则两系统相似。
2-9 在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为t
t
e
e t c --+-=21)(，试求系统的传递
函数和单位脉冲响应。 解： t
2t
e
2e
dt
)t (dc )t (k ---== )
2s )(1s (23s 1
s 12
s 2)]t (k [L )s (+++=
+-
+=
=Φ
2-10 试绘制下列方程组描述的系统的动态结构图，并求传递函数
)
()(s R s C 。
)()]()()[()()()(87111s C s G s G s G s G s R s X --= )]()()()[()(36122s X s G s X s G s X -=