平面向量的基本概念
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur的单位向量是u A u B ur ）；| AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有r0）；④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B uru D u C u r，则ABCD是平行四边形 .（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ） ，称 （ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设e r 1,e r 2同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对 （ 1, 2），使 a r 1e r 1 2e r 2.1）定理核心： a rλ1e r 1 λ2er 2；（2）从左向右看，是对向量 a r的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a r的合成 .（3）向量的正交分解：当 e r 1,e r 2时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2为对向量 a r的正交分 解．举例 3 (1)若 a r(1,1)， b r(1, 1)， c r( 1,2) ，则 c r. 结果：1r 3 r a b.22(2)下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1(0,0) ， e r 2(1, 2) B. r e 1( 1,2) ， e r 2(5,7) C. r e 1(3,5) ， e r 2(6,10)（1）模：| a r | | | |a r |；（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当D. e r 1(2, 3) ， 1, 3 ,24（3）已知u A u D ur ,u B u E ur分别是 可用向量 a r,b r表示为 . （4）已知 △ABC 中，点 值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,且 u A u D ura r4r a2果 结上 边B u u r Bu u u u ru u ru u u u r C u 的u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r，）称为向量a r，b r的夹角. uuur r作OAa r，u ru u把r bAOB (0当 0时， a r ， b r 同向；当 时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂直. 2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为 ， 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积） ，记作： a r b r ， 即 a r b r |a r | |b r |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 举例 4（1）△ ABC 中，| u A uu B r| 3 ，|u A uu C r| 4 ，|u B u C ur| 5 ，则 9.uuur uuur AB BC果：结果：2）已知a r1,21，b r0, 12，c ra rkb r，d ra rb r，c r与d r的夹角为 4，则k1. 3）已知 |a r| 2，|b r| 5， a rb r3，则 |a rb r| ___ . 结果： 23. 4）已知 ra, rb 是两个非零向量，且| a r| |b r| |a rb r|，则a r与a rb r的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r| 3，|b r| 5，且 a rb r12 ，则向量 a r在向量 b r上的投影为 ___ . 结果： 152.54. a r b r 的几何意义 ：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a r ， （ 1） a r b a r b 0 ； （2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r同向的充要分条件 ； 当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件； 当 为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向， 充分条件 ； 当 为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向； 充分条件 .（3）非零向量 a r ， b r 夹角b r ，其夹角为 ，则：a r 2|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公式： cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r（ ,2 ） ， b r（3 ,2） ，如果 a r与b r的夹角为锐角，则 的 3或 0且 3；(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且u O u F ur u F u Q ur 1，若12 S 23，则u O u F ur， u F u Q ur夹角的 取值范围是 _____ . 结果： 4, 3；43①用 k 表示 a rb r；②求 a rb r的最小值，并求此时 a r与b r的夹角 的大小. 结果：① a rb r k 4k 1(k 0) ；②最小值为 12， 60o. 六、向量的运算1. 几何运算 (1)向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法 运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .举例 7( 1)化简：①u A u B uru B u C urC uuD ur；② u A uu B ru A u D uru D uu C ur；③uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，u A u B ura r，u B u C urb r，u A u C ur rc ，则 |a rb rc r|.结果： 2 2 ；(3)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B urO uu C ur u O u B urO uu C ur2u O u A ur，则△ABC 的 形状为 . 结果：直角三角形；( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P urC uu P ur r0，设 || u u PAu u DuP ur r || ，则 的值为 . 结果：2；(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r0 ，则△ABC 的内角 C 为 . 结果： 120o.2. 坐标运算 ：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2) ，则(1)向量的加减法运算 ：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2) . 举例 8 (1)已知3)已知 a r(cos x,sin x) ， rb (cos y,sin y) ，且满足 |k ra b | 3|a rkb|其中 k 0 )点A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若u A uu P r u A uu B ru A uu C r( R) ，则当 ______ 时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：21；(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且21 u A u B ur (sin x,cos y)， x, y ( 2,2)，则 x y . 结 果： 6 或2；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1(3,4) ，F 2(2, 5) ， F 3(3,1) ，则合力 F u r u Fur 1u F ur 2 u F ur 3的终点坐标是 . 结果： (9,1) .(2)实数与向量的积 ： a r (x 1,y 1) ( x 1, y 1).(3)若 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) ，则 u A u B ur (x 2 x 1,y 2 y 1) ，即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9 设A(2,3) ， B( 1,5) ，且 u A uu C r 13u A u B ur， u A u D ur 3u A u B ur，则 C,D 的坐标分别是3举例 10 已知向量 a r(sin x,cos x ) ， b (sin x ,sin x) ， c r( 1,0) .(1)若 x 3，求向量 a r、 c r的夹角；3(2)若x [38 , 4]，函数 f(x) a rb r的最大值为 12，求 的值.结果：(1)150o；8 4 22) 21或 2 1.5)向量的模 ： a r2 |a r |2 x 2 y 2 |a r | x 2 y 2 . 举例 11 已知 a r ,b r 均为单位向量，它们的夹角为 . 结果： 13 .位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 |PO| ；2)求以O 为圆心， 1为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.结果：( 1) 2；(2) x 2y 2xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律： a r 2. 结合律： a r 3. 分配律： ( r b rr arr a)r b rr a r a rr a r c )r br b r( r b r b( r ar ) r b r r a(r r 举例 13 给出下列命题：ar (b c r ) a r b a r c r a r (b c r ) (a r b) c r结果： (1,131),( 7,9).4)平面向量数量积yxx r b60o，那么 |a r3b r|6)两点间的距离 ：若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则|AB| (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 . 举例 12 如图，在平面斜坐标系 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 u O u P urxe r 1方向的单 xOy 中， xOy 60o，平y 面上任一点 P关ye r 2，其中 e r 1,e r 2分别为60o与 x 轴、④ 若a rb r0，则 a r0r或b r r0；⑤若 a r b r c rb r则a r c r；⑥ |a r |2 a r 2；⑦ ar a r2bb a r ； ⑧ (a rb r )2 a r 2 b r 2；⑨ (a rb r )2 a r 22a rb rb r 2. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ . 说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模， 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ； (2)向量的“乘法”不满足结合律，即 八、向量平行 (共线) 的充要条件 a r //b a r b (a r b)2 (|a r ||b|)2 举例 14 (1) 若向量 a r (x,1) ， 相同. 结果： 2. ( 2)已知 a r (1,1) ，b (4,x) ，u r果：4. uuur uuur (3)设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ， 果： 2 或 11. 九、向量垂直的充要条件0. (4,x) ，当 x x 1 y 2 y 1 x 2r br br rrb ar r 2b ， uu urPC r v ar (b c r) (a rb) c r，为什么？ 时， a r 与b r共线且方向 2a r b ，且 u r //v r，则 x(10, k) ， 则k时， A,B,C 共线 . y 1 y 2 0.|AB AC AB AC特别地 uuur uuuruuur uuur .|AB | |AC | |AB | | AC |举例 15 (1)已知 u O u A ur( 1,2) ，O uu B ur(3,m) ， (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标是 .结果： (1,3) 或( 3，－1))； (3)已知 n r(a,b)向量 n rm r，且|n r| |m r| ，则m r的坐标是 ( b,a) . 十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 P 1P 2上异于 P 1、 P 2的任意一点，若存在一个实 数 ，使 u P u 1P ur u P u P ur 2 ，则实数 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比 ， P 点叫 做有向线段 u P u 1u P ur 2的以定比为 的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P 1P 2 ，即点P 在线段 P 1P 2上 0； (2) P 外分线段 u P u 1u P u 2r 时，①点 P 在线段 P 1P 2的延长线上 P 在线段 P 1P 2的反向延长线上 1 0.x 1x 2 uuuruuur uuur 若OA OB ，则 m. 结果： OAB ， B 90 ，则点 32； 结果： (b, a)或1，②点比为 1.举例 16 若点 P 分u A u B ur所成的比为 43，则 A 分u B u P ur所成的比为 .结果： 73.33. 线段的定比分点坐标公式 ：设 P 1(x 1, y 1) ， P 2( x 2, y 2) ，点P(x, y)分有向线段 u P u 1u P u 2r 所成的比为 ，则定比分x 1 x 21 y 1 y 2x 1时，就得到线段 P 1P 2的中点坐标公式y说明：(1) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比举例 17 (1)若 M( 3, 2) ，N(6, 1)，且 结果： ( 6, 37) ；3(2)已知 A(a,0) ， B(3,2 a)，直线 y 1ax 与线段 AB 交于M ，且u A u M uur 2u M uu B ur，则 a r. 结果：２或 4 .十一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 a r (h,k) 平移至 P(x,y) ，则 x x h,；曲线 f(x,y) 0按 y y k.向量 a r (h,k) 平移得曲线 f(x h,y k) 0.说明：( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2) 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 (1)按向量 a r 把(2, 3)平移到(1, 2) ，则按向量 a r把点( 7,2)平 移到点 ________ . 结果： ( 8,3) ；(2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a r平移后，所得函数的解析式是点坐标公式为特别地，当1).x 1 x 2 , 2 y 1 y 2 .2 在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x,y) ，(x 1,y 1)、(x 2,y 2)13uM uuN ur，则点 P 的坐标为 uuu ury cos2x 1 ，则a r _________ . 结果：( ,1) .4 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|a r| |b r| |a r b r| |a r| |b r|.(1)右边等号成立条件： (2)左边等号成立条件： (3)当 a r 、b r 不共线 |a r | 3. 三角形重心公式在 △ABC 中，若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2) ， C(x 3,y 3) ，则其重 心的 坐标为举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 心的坐标为 . 结果： 32,34.335. 三角形“三心”的向量表示G 为△ ABC 的重心，特别地 u P uu A r u P u Bur u P u C ur 0r G为△ ABC 的重心 .uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)PA PB PB PC PC PA P 为△ ABC 的垂心 .uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur( 3 ) |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ； 向 量 uuur uuur uu A u B ur uu A u C ur ( 0)所在直线过 △ ABC 的内心. |AB | | AC |6.点 P 分有向线段 u P 1uu P ur 2所成的比 向量形式设点 P 分有向线段 P 1P 2所成的比为 ，若 M 为平面内的任一点，则 uuuur uuuur uuuur uuuur u M uu P r MP 1MP 2，特别地 P 为有向线段 u P u 1u P ur 2的中点 u M uu P r MP 1MP 2. 127. 向 量 u P u A ur ,u P u B ur ,u P u C ur 中三终 点 A,B,C 共线 存 在实数 , ，使得 uuuruuur uuur PA PB PC 且1．举例 20 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3)， 若点 C满足 OC 1OA 2OB ,其中 1, 2R 且 1 21, 则点 C 的轨迹是 . 结 果：直线 AB .a r 、b 同向或a r 、b a r 、b r 反向或r rr rrG(x 1 x 2 x 3 3y 1y 2y 3 ) 3)A(2,1) 、B( 3,4)、C( 1, 1)，则 △ ABC 的重 uuur 1 uuur uuur uuur1) PG (PA PB PC)r。
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC u u u r u u u r ，∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r，因此，AB DC u u u r u u u r．③ 正确．∵ a r =b r ，∴ a r ，b r的长度相等且方向相同；又b r ＝c r ，∴ b r ，c r的长度相等且方向相同，∴ a r ，c r 的长度相等且方向相同，故a r ＝c r ．④ 不正确．当a r //b r 且方向相反时，即使|a r |=|b r |，也不能得到a r =b r，故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b r =0r这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k解：∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得：c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有22a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
§5-1 平面向量的基本概念
2
.
0
•
x
P ( x1 , y1 )
[举例说明 举例说明] 举例说明
如已知A(2，)，B(3，)，则 : 6 8 AB =
(3 − 2) + (8 − 6)
2
2
= 5 ; BA =
(2 − 3) + (6 − 8)
2
2
= 5.
[向量的模的计算] 向量的模的计算]
例2：已知平面直角坐标系中，点M（-1，7）， 已知平面直角坐标系中， MN 点N（5，-10）求： MN. 10） 解：由两点间的距离公式得： 由两点间的距离公式得：
3、向量的平行与相等 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 4、把与 AB 的模相等且方向相反的向量叫做 AB 的 、 负向量：记作－ 负向量：记作－BA. ∴AB=－BA . － 5、长度为 0 的向量叫做零向量：零向量方向不确定 、 的向量叫做零向量：零向量方向不确定. 叫做零向量 6、向量的模的计算：即，平面直角坐标系中两点间 向量的模的计算： 的距离公式. 的距离公式.
． P(1,3)
A(0,1)
0
x
（2）∵向量长度就是向量的模， ） 向量长度就是向量的模 的长度就是|AP|，即： ∴AP的长度就是 的长度就是 ， |AP|= (1 − 0) 2 + (3 − 1) 2 = 5 ；|0P| = 12 + 32 = 10 .
uuu r PQ 例5： 是以二次函数y = 2 x 2 + 1图象上的顶点P为 uuu r 始点、Q为终点的向量，且 PQ = 2，求Q的坐标。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
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向量的长度 有向线段的长
向量的长度又称向量的 模
3
2、向量与有向线段的区别：
有向线段有起点、大小和方向三个要素，
有向线段的位置是固定的. 向量只有大小和方向 两个要素；
向量位置是自由的，可平行移动
4
3.零向量： 长度为0的向量叫做零向量，记作 0 ※零向量的方向是任意的. 4.单位向量： 长度为1的向量叫做单位向量 .
× 9 若 向 量 a ||b ， b ||c ， 则 向 量 a ||c . × 1 0 若 a b ,则 a b 或 a b .
2.下列关于向量的说法正确的是（ C）
(A) 长度相等的向量必相等. (B) 两向量相等,其长度不一定相等. (C) 向量的大小与有向线段起点无关. (D) 向量的大小与有向线段起点有关.
是向量. ⑤坐标轴是向量. 其中正确命题的序号是___ ② _____
16
这些概念你都记住了吗?
①向量；
②有向线段；
③向量的表示；
④向量的长度(模)；零向量；单位向量；
⑤平行向量；共线向量；
⑥相等向量；相反向量； ⑦向量与有向线段的区别.
作业本B:
P56
17
5
5.平行向量： 又叫共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .
如图：就是一组平行向量
a
b
记作a/： /b//c
c
任一组平行向量都可以移到同一直线上.
※规定：零向量 0 与任一向量平行.
6
6.相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
a
b
7
7.相反向量: 方向相反、模相等的向量叫相反向量.
向量不能比大小
× 6 若 a b , 则 a 、 b 的 长 度 相 等 方 向 相 同 或 相 反 . × 7 由 于 零 向 量 0 方 向 不 确 定 , 故 0 不 与 任 何 向 量 平 行 .
13
× 8 向 量 a 与 b 共 线 ， b 与 c 共 线 , 则 向 量 a 与 c 共 线 .
√ 2 向 量 A B 与 B C 是 共 线 向 量 , 则 A , B , C 必 在 同 一 直 线 上 .
（3 ）4 四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形 , 则 A B ＝ D C .
√
反之是否成立？
12
×
5 向 量 A B 、 C D 满 足 A B C D 且 A B 、 C D 同 向 , 则 A B C D .
a
b
8
这些概念你都记住了吗?
①向量； ②有向线段； ③向量的表示； ④向量的长度(模)；零向量；单位向量； ⑤平行向量；共线向量； ⑥相等向量；相反向量； ⑦向量与有向线段的区别.
9
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。
OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
14
3.关于零向量下列说法错误的是（A ）
(A) 零向量是没有方向的. (B)零向量的长度为0. (C)零向量与任一向量平行. (D) 零向量的方向是任意的.
15
4.下列四个命题: ①向量的模是个正实数. ②两个向量相等,则这两个向量必定平行. ③若两个单位向量平行,则这两个单位向
量相等. ④温度含有零上温度和零下温度,所以温度
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？
存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
10
例 2.已 知 在 四 边 形 A B C D 中 ,A BD C . 求 证 :A D B C .
11
四.随堂检测 1.判断下列命题是否正确:
× 1 向 量 A B 与 C D 是 共 线 向 量 , 则 A , B , C , D 必 在 同 一 直 线 上 .
大家好
1
有向线段：
B（终点）
在线段AB的两个端点中，规定一
个顺序，假设A为起点，B为终点，
我们就说线段A有向线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
2
1.向量的定义： 既有大小又有方向的量叫做向量 .
向量的几何表示： 用有向线段表示。
a
A
记作：向量 a
B