高考数学总复习第八节 函数与方程
【高考数学】一轮总复习：第二章 第8讲 对数函数
【解】 (1)因为 f(1)＝1，所以 log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，即 a＝－1， 所以 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0 得－1<x<3，即函数 f(x)的定义域为(－1，3)． 令 g(x)＝－x2＋2x＋3. 则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
A．a<b<c
B．b<a<c
√C．c<b<a
D．c<a<b
2
2
【解析】 (1)因为 23<32，所以 2<33，所以 log32<log333＝23，所以 a<c.因为
2
2
33>52，所以 3>53，所以 log53>log553＝23，所以 b>c，所以 a<c<b，故选 A．
(2)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2x 及 y＝log13x 都是对数函数．( × )
3
(2)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax， 当 a>1 时不满足条件，
高考数学方程与函数知识点
高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达为y=ax+b 的形式，其中a称为斜率，b称为截距。
1. 斜率：斜率可以用来表示函数图像的增减趋势，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
2. 截距：截距表示函数图像与y轴之间的交点，可以用来确定函数图像的位置。
二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表达为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c均为常数。
1. 抛物线：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
2. 零点：通过解方程y=0，可以求得二次函数的零点，即方程的根。
3. 非负性：当a>0时，二次函数的值大于等于c，当a<0时，二次函数的值小于等于c。
4. 顶点：二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。
三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。
1. 指数规律：指数函数的数学规律为a^x=a^y，当x=y时，指数函数取相同的值。
2. 增长与衰减：指数函数具有快速增长或衰减的特点，指数函数的指数为正时，函数递增；指数为负时，函数递减。
3. 自然指数函数：自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数，形式为f(x)=e^x。
四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。
1. 对数规律：对数函数的数学规律为a^loga(x)=x，当x>0时，对数函数取正值。
2. 增长与衰减：对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。
3. 自然对数函数：自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数，形式为f(x)=ln(x)。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于解决与角度相关的问题。
1. 正弦函数：正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常表示为sin(x)。
2. 余弦函数：余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常表示为cos(x)。
2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程课件新人教A版
D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点. 作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示. 又当 x≤1 时，f(x)＝12|x|∈(0，1]； 当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2， ∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2. 结合图象，当 a∈0，12∪[1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程a＝f(x)有两个不同实根. 答案 B
【训练3】 (1)(角度1)(202X·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零
点，则a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋ e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)＝0，∴a＝12. 或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
x0 所在的区间是________.
解析 (1)由函数 f(x)＝x－1 a为奇函数，可得 a＝0， 则 g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－2x. 又 g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－23>0，
所以g(2)·g(3)<0. 故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设 f(x)＝x3－12x－2，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐 标系下画出函数 y＝x3 与 y＝12x－2的图象如图所示. 因为 f(1)＝1－12－1＝－1<0，f(2)＝8－120＝7>0， 所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2). 答案 (1)C (2)(1，2)
2021-2022年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理
2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
第二章 第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
(浙江专用)2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程练习(含解析)
第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习8 函数的奇偶性、周期性
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题8 函数的奇偶性、周期性考点知识1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(√)教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上() A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)答案A解析偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确．2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 答案－6解析因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________. 答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.题型一函数奇偶性的判断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝x sin x是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝x2－xx－1是奇函数答案BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝x2－xx－1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B ，|f (x )|g (x )＝|sin x |(e x ＋e －x )，|f (－x )|g (－x )＝|sin(－x )|(e －x ＋e x )＝|sin x |(e x ＋e －x )＝|f (x )|g (x )，是偶函数，判断错误；选项C ，f (x )|g (x )|＝|e x ＋e －x |sin x ，f (－x )|g (－x )|＝|e －x ＋e x |sin(－x )＝－|e x ＋e －x |sin x ＝－f (x )|g (x )|，是奇函数，判断正确；选项D ，|f (x )g (x )|＝|(e x ＋e －x )sin x |，|f (－x )g (－x )|＝|(e －x ＋e x )sin(－x )| ＝|(e x ＋e －x )sin x |＝|f (x )g (x )|，是偶函数，判断错误．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3＋1，x >0，ax 3＋b ，x <0为偶函数，则2a ＋b 等于()A ．3B.32C ．－12D ．－32答案B解析由已知得，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ax 3＋b ，∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 3＋1＝－ax 3＋b ，∴a ＝－1，b ＝1，∴2a ＋b ＝2－1＋1＝32. (2)(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x －1，则当x <0时，f (x )等于()A ．2－x －x －1B ．2－x ＋x ＋1C ．－2－x －x －1D ．－2－x ＋x ＋1答案D解析当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋x ＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3函数f (x )是定义域为R 的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.则不等式f (x )－2f (－x )x>0的解集为() A ．(－2,2)B ．(－∞，0)∪(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析由于f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (－x )＝－f (x )可得，f (x )－2f (－x )x ＝f (x )＋2f (x )x ＝3f (x )x>0， 由于x 在分母位置，所以x ≠0，当x <0时，只需f (x )<0，由图象可知x <－2；当x >0时，只需f (x )>0，由图象可知x >2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3＋1x＋3，若f (a )＝1，则f (－a )等于() A ．1B ．3C ．4D ．5答案D解析根据题意f (a )＝sin a ＋a 3＋1a＋3＝1， 即sin a ＋a 3＋1a＝－2， 所以f (－a )＝sin(－a )＋(－a )3＋1(－a )＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin a ＋a 3＋1a ＋3＝2＋3＝5. (2)已知函数f (x )＝log 2(|x |＋1)，若f (log 2x )<f (2)，则实数x 的取值范围是()A ．(1,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1,4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 答案D解析依题意，函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，则f (log 2x )<f (2)等价于|log 2x |<2，∴－2<log 2x <2，解得14<x <4. (3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案1解析方法一(定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12， 解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.题型三函数的周期性例4(1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当1≤x ≤2时，f (x )＝x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值等于()A.52B.32C.12D ．－12答案D解析∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，又∵f (2－x )＝－f (x )，∴f (2－x )＝－f (－x )，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12. (2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2,4]上的解析式为____________________．答案f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]解析根据题意，设x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，则有4－x ∈[0,2]，当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (4－x )＝log 2[(4－x )＋1]＝log 2(5－x )，又f (x )为周期为4的偶函数，所以f (x )＝f (x －4)＝f (4－x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]，则有f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]．思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减D．f(x)在[－6,6]上有8个零点答案AB解析f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．课时精练1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x|D．y＝2x－2－x答案ABD解析对于A，定义域为R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，又y′＝2x ln2＋2－x ln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)等于()A ．0B ．2C ．4D ．－2 答案D解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝124-＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.4．(2022·亳州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋log 2|x |，a ＝f (2－0.2)，b ＝f (lg π)，c ＝f (log 0.26)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是() A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <b <a 答案C解析2－0.2<20＝1，lg π>0，log 0.26<0， 因为f (－x )＝(－x )2＋log 2|－x |＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以只需判断2－0.2，lg π，－log 0.26的大小即可， －log 0.26＝log 0.216>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lg π<lg 10＝12，所以－log 0.26>1>2－0.2>lg π>0，当x >0时，y ＝x 2，y ＝log 2x 都单调递增，所以f (x )＝x 2＋log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝f (log 0.26)＝f (－log 0.26)>a ＝f (2－0.2)>b ＝f (lg π)．5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B 解析f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(多选)f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(2－x )，则下列结论正确的是() A ．函数f (x )的一个周期为4 B ．f (2022)＝1C ．当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(4－x )D ．函数f (x )在[0,2021]内有1010个零点 答案AC解析∵f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4，故A 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝－f (0)＝－1，故B 错误； 当x ∈[2,3]时，x －2∈[0,1]，则f (x )＝－f (x －2)＝－log 2[2－(x －2)] ＝－log 2(4－x )，故C 正确；易知f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2019)＝f (2021)＝0， 于是函数f (x )在[0,2021]内有1011个零点，故D 错误． 7．写出一个定义域为R ，周期为π的偶函数f (x )＝________. 答案cos2x (答案不唯一)解析y ＝cos2x 满足定义域为R ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数，符合要求． 8．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是________． 答案(e ，＋∞)解析因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数， 又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x >e ，故不等式的解集为(e ，＋∞)．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2023)． (1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2. 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是()A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1答案C解析因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f (1)＝1，f (0)＝2， 所以f (2)＝－1，D 对．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f (x )；②函数y ＝f (x )是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223从小到大的排列是________． 答案f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214 解析由题意知f (x ＋1)＝1f (x )，则f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，故函数y ＝f (x )的周期为2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x 单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214.13．(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______. 答案－12ln2解析f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋lne b＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)e b －a e bx 1－x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 21－x 2＝0， ∴||(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝|1－x 2|.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，[(a ＋1)2e 2b －1]＋(1－a 2e 2b )x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b－1＝0，1－a 2e 2b＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝ln2.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝x 2－1时，[(a ＋1)2e 2b ＋1]－(a 2e 2b ＋1)x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b＋1＝0，a 2e 2b＋1＝0，无解．综上，a ＝－12，b ＝ln2.14．已知函数f (x )＝x 3＋(x ＋1)2x 2＋1在区间[－3,3]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N的值为________． 答案2解析f(x)＝x3＋x2＋2x＋1x2＋1＝x(x2＋2)＋x2＋1x2＋1＝x(x2＋2)x2＋1＋1，令g(x)＝f(x)－1＝x(x2＋2) x2＋1，则g(－x)＝－x(x2＋2)x2＋1＝－g(x)，∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.。
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 函数零点所在区间的判定
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[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所
在的区间是
()
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，
得 f(x)＝－2 或 f(x)＝12.
若 f(x)＝－2，则 x＝－3 或 x＝14；
若 f(x)＝12，则 x＝－12或 x＝ 2.
综上可得函数 y＝f(f(x))＋1 的零点的个数是 4，故选 A. 答案：A
[由题悟法]
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判断函数零点个数的 3 种方法
(1)方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有
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[谨记通法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间 [a，b]上是连续的，当 f(a)·f(b)＜0 时，函数在区间(a，b)内至 少有一个零点． (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差) 构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)＝g(x)－h(x)，作出 y＝ g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点．
(
) 返回
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：函数 f(x)＝ex＋3x 在 R 上是增函数，
∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(－1)·f(0)＜0，
∴函数 f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选 B.
答案：B 3．函数 f(x)＝kx＋1 在[1,2]上有零点，则 k 的取值范围是
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2．函数 f(x)＝exx2－＋x2－x，2，x＜x≥0 0， 的零点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：当 x＜0 时，令 f(x)＝0，即 x2＋2x＝0，解得 x＝－2
或 x＝0(舍去)，所以当 x＜0 时，只有一个零点；当 x≥0 时，
f(x)＝ex－x－2，而 f′(x)＝ex－1，显然 f′(x)≥0，所以 f(x)
1．函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致范围是
()
A．(1,2)
B．(2,3)
C．1e，1和(3,4)
D．(4，＋∞)
解析：易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝
ln 3－23＞0，得 f(2)·f(3)＜0.故选 B.
答案：B
2．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是
________． 答案：－1，－12
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必过易错关
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1．函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是 必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性 或结合函数图象．
交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]
上的零点个数为 3. 答案：C
2．已知函数 f(x)＝xlo＋g21x，，xx≤＞00，，
返回
则函数 y＝f(f(x))＋1 的零
点的个数是
()
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由 f(f(x))＋1＝0 得 f(f(x))＝－1，由 f(－2)＝f 12＝－1
y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有 交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b)
有两个不同的零点，等价于直线 y＝k(x＋1)与函
数 y＝f(x)的图象在(－∞，1]上有两个不同的交
点．作出 f(x)的大致图象如图所示，因为直线 y
＝k(x＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)
和(0,3)连线的斜率分别为 1 和 3，结合 f(x)的图象可知 k 的取
值范围是[1,3)． 答案：A
考点二
[典例引领]
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判断函数零点个数
重点保分型考点——师生共研
1．(2019·温州质检)已知函数 f(x)＝12x－cos x，则 f(x)在[0,2π]
上的零点个数为
()
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图，作出 g(x)＝12x 与 h(x)
＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
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3x，x≤1，
1．已知函数
f(x)＝log
1 3
x，x＞1，
则函数 y＝f(x)＋x－4
的零点个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：函数 y＝f(x)＋x－4 的零点，即函数
y＝－x＋4 与 y＝f(x)的交点的横坐标．如 图所示，函数 y＝－x＋4 与 y＝f(x)的图象有 两个交点，故函数 y＝f(x)＋x－4 的零点有 2 个．故选 B. 答案：B
[小题纠偏]
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1．(2018·诸暨模拟)函数 f(x)按照下述方法定义：当 x≤2 时，
f(x)＝－x2＋2x；当 x＞2 时，f(x)＝12(x－2)2，则方程
f(x)＝12的所有实数根之和是
()
A．2
B．3
C．5
D．8
解析：画出函数 f(x)的图象，如图所示：
结合图象 x＜2 时，两根之和是 2，
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1．(2018·浙江名校联考)已知函数 f(x)＝x＋1x，x＞0，
若
－x2＋3，x≤0，
函数 g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零
点，则实数 k 的取值范围是
A．[1,3)
B．(1,3]
()
C．[2,3)
D．[1，＋∞)
解析：函数 g(x)＝f(x)－k(x＋1)在(－∞，1]上恰
内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是
方程 f(x)＝0 的根．
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2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图象
与x轴 的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) _2__
(_x_1_,0_) __1_
无交点 _0__
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[小题体验]
第八 节 函数与方程
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
1．函数的零点
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(1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数
∴f(－1)＝1a－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案：B
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2．设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数
解析：令 f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则 m＝x2－2ln x．令 g(x)
＝x2－2ln x，则 g′(x)＝2x－2x＝2x－1xx＋1，∴g(x)在e12，1
上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，又
1 ge2
＝4＋e14，g(e)＝e2－2，4＋e14＜5＜e2－2，∴ge12＜g(e)，数形
g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标
所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，
可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选 B.
答案：B
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3．函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上______(填“存在” 或“不存在”)零点． 解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)·f(8)＜0， 又 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在
在[0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝
e2－4＞0，所以当 x≥0 时，函数 f(x)有且只有一个零点．
综上，函数 f(x)只有 2Biblioteka 个零点，故选 C.答案：C
考点三 函数零点的应用
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[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2018·杭州七校联考)若函数 f(x)＝m－x2＋2ln x 在e12，e上有 两个不同的零点，则实数 m 的取值范围为________．