空间向量与平行垂直关系
2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)
利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。
注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。
（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。
⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。
2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。
（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ， 的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈； （2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： 求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -． （1）求点E 、F 的坐标； （2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证： （1）1//FC 平面ADE ； （2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。
空间向量的垂直和平行关系
空间向量的垂直和平行关系空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，它们之间存在着不同的关系。
其中最常见的关系是垂直和平行关系。
本文将深入探讨空间向量的垂直和平行关系，并分析其特点和性质。
一、垂直关系当两个向量的数量积等于零时，它们被称为垂直向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:A⋅A=AAA cos A=0其中，A⋅A表示向量A和A的数量积，AAA表示向量A和A的叉积，A表示两个向量之间的夹角。
当A为90度时，cos A=0，表明向量A和A 垂直。
垂直向量的特点和性质如下：1. 垂直向量的数量积为零，即两个向量之间的夹角为90度。
2. 向量的数量积等于零并不意味着它们一定是垂直的，还需考虑向量的长度和方向。
3. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
4. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
5. 若一个向量与另一个非零向量垂直，则它与另一个向量平行。
二、平行关系当两个向量的叉积为零时，它们被称为平行向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:AAA=AAA sin A=0其中，AAA表示向量A和A的代数长度，sin A表示两个向量之间的夹角的正弦值。
当sin A等于零时，表明向量A和A平行。
平行向量的特点和性质如下：1. 平行向量的叉积为零，即两个向量之间的夹角的正弦值为零。
2. 平行向量之间的数量积可能为非零常数，也可能为零。
3. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
4. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
5. 若一个向量与另一个非零向量平行，则它与另一个向量垂直。
通过对空间向量的垂直和平行关系进行分析，我们可以得出以下结论：1. 垂直和平行是空间向量最基本的关系，它们之间存在着一定的对应性。
2. 垂直和平行关系可以通过向量的数量积和叉积进行判断。
3. 垂直和平行向量在解决实际问题中具有重要的应用价值，如物理力学中的受力分析和几何学中的平面垂直关系。
在实际问题中，我们常常需要确定向量之间的关系，特别是垂直和平行关系。
空间向量的平行与垂直定理
空间向量的平行与垂直定理空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
在研究物理、几何和力学等领域时，我们经常需要判断两个向量之间的关系，这个定理就为我们提供了一个有力的工具。
我们来研究两个向量的平行性。
如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。
也就是说，如果向量A和向量B的方向相同或相反，我们可以写成A∥B。
这种平行关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B=|A||B|，那么向量A和向量B是平行的。
接下来，我们来研究两个向量的垂直性。
如果两个向量的数量积等于0，那么它们是垂直的。
也就是说，如果向量A和向量B的数量积为0，我们可以写成A⊥B。
这种垂直关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于0，即A·B=0，那么向量A和向量B是垂直的。
空间向量的平行与垂直定理在几何和物理问题中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要判断两条线段的平行性或垂直性。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们之间的关系。
这样，我们就可以得到准确的结论，避免了繁琐的几何证明过程。
在物理学中，空间向量的平行与垂直定理也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体受力的情况。
如果两个力的方向相同或相反，那么它们是平行的；如果两个力的数量积为0，那么它们是垂直的。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算向量的数量积来判断力的方向和性质，从而进行精确的力学分析。
除了在几何和物理中的应用，空间向量的平行与垂直定理还可以应用于其他领域。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算向量的平行和垂直关系，以确定图形的方向和位置。
在工程学中，空间向量的平行与垂直定理可以应用于结构分析和力学设计等方面。
空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
3.2.2空间向量与平行.垂直关系
法二 (坐标法) 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系．由已知得
A(－12，0，0)，B(12，0，0)，C(0， 23，0)，N(0， 23，14)，B1(12，0， 1)， ∵M 为 BC 中点，∴M(14， 43，0)．
题型二 证明线线垂直
【例2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长
都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧
棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥ MN. [思路探索] 解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0 或先 建系，再证明A→B1·M→N＝0.
解 法一 (基向量法)
(3)若直线 l 的方向向量是 u，平面α的法向量是 v，则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a_⊥__b__⇔ a_·_b_＝__0__⇔ _a_1_b_1＋__a_2b2＋a3b3＝0 (2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2， b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔ __u_＝__k_v．
(3)面面垂直
设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__u_⊥__v_⇔ ___u_·_v＝__0_ ⇔ _a_1_a_2_＋__b_1b_2_＋__c_1_c_2＝__0___ ．
试一试：若平面α与β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系空间向量在解析几何中具有广泛的应用，它们可以描述物体在空间中的位置、方向和运动等属性。
在学习空间向量时，了解其垂直与平行的几何关系是非常重要的。
本文将通过几何解析的方式，深入探讨空间向量垂直与平行的性质及其应用。
一、垂直向量在空间中，当两个向量的数量积为零时，我们称这两个向量是垂直的。
数学上可以表达为：两个向量的数量积等于零，则它们垂直。
设有两个向量a和b，它们的坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b垂直的条件可以表示为：a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = 0这个条件求解出的结果就是两个向量垂直的充要条件。
垂直向量在几何上有许多重要的应用。
例如在平面几何中，两条直线互相垂直，则它们的方向向量必然垂直；在立体几何中，两个平面互相垂直，其法向量也必然垂直。
因此，熟练掌握垂直向量的性质对于解析几何的应用非常重要。
二、平行向量在空间中，当两个向量之间存在倍数关系时，我们称这两个向量是平行的。
数学上可以表达为：两个向量之间存在倍数关系，则它们平行。
设有两个向量a和b，它们的坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b平行的条件可以表示为：a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = k (k为常数)其中k为两个向量平行的倍数关系。
平行向量的性质可以应用于线段、直线和平面的平行关系的判断。
例如，在平面几何中，两个直线互相平行，则它们的方向向量之间必然存在倍数关系；在立体几何中，平面与直线平行，则平面的法向量与直线的方向向量必然平行。
三、垂直与平行向量的应用举例1. 垂直向量的应用考虑一个示例问题：已知一条直线L的向量方程为(r - r1) · n = 0，其中r1为已知点，n为已知向量。
求直线L上与已知点A垂直的点B 的坐标。
解析：根据向量方程可以得知，L上的任意点P满足向量n与r - r1垂直的关系。
8.7.1 利用空间向量证明平行与垂直关系
B．－13，23，－23 D．23，13，－23
解析：验证4个选项，可知C正确．
第8章 第1节 第1课时
第19页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
(2)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－
报
告 一
3，1,4)，则(
C
)
A．α∥β
课
B．α⊥β
一
u2＝(a2，b2，c2)．
课 时
若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 .
作 业
报
若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔
告 二
__(_a_1_，__b_1，__c_1_)_＝__k_(a_2_，__b_2_，__c_2)__．
第8章 第1节 第1课时
第10页
第8章 第1节 第1课时
第32页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
(3)借助棱锥的高线建系等．对于正棱锥，利用顶点在底面
报 的射影为底面的中心，可确定z轴，然后在底面确定互相垂直
告 一
的直线分别为x，y轴．如图4.
课
时
作
业
报 告 二
第8章 第1节 第1课时
时
〈D→A，B→C〉，
作 业
报 告
解得cos〈D→A，B→C〉＝ 22，所以〈D→A，B→C〉＝45°.
二
所以所成二面角的大小为135°.
第8章 第1节 第1课时
第23页
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报
告
一
课
报告二 名校备考方案调研
时 作 业
报 告 二
第8章 第1节 第1课时
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。
接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和定理。
1.平行性质的证明：两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长度可以不相等。
下面是两个向量平行的证明方法：方法一：向量比例法如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。
可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。
如果两个向量平行，它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。
方法二：向量点乘法如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。
即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。
如果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b平行。
2.垂直性质的证明：两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。
下面是两个向量垂直的证明方法：方法一：向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，那么可以证明向量a和b垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计算它们的点乘为：a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此，向量a和b垂直。
47空间向量证明空间中的平行与垂直
变式迁移 证明 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，则有 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别是 BB1、 → A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以F DD1 的中点，求证： → (1)FC1∥平面 ADE； → ＝(0,2,1)． DA＝(2,0,0)、AE (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
1 2， 3 ，0 ， 2
设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC ＝ 60°， ∴△ABC 为 正 三 角 形 ． ∴C
1 E ， 4
2 3 2 3 → → 设 D(0， y,0)， AC⊥CD， 由 得AC· ＝0， y＝ CD 即 ， D0， 则 ，0， 3 3 3 3 1 → 1 → 1 ∴CD＝－ ， ，0.又AE＝ ， ， ， 6 4 2 2 4
方法二
如图所示，取 BC 的中点 O，连结 AO.
因为△ABC 为正三角形，所以 AO⊥BC.
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1， 所以 AO⊥平面 BCC1B1.
→ → → 取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以OB，OO1，OA为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0)．
u ⇔ u1·2＝0
.
题型一 线面平行的证明方法 题型一 线面平行的证明方法 例 1 如图所示，已知四边形 ABCD、ABEF 为两个正方形，M、N 分别 在其对角线 BF 和 AC 上，且例 1 如图所示，已知四边形 ABCD、ABEF 为两个 FM＝AN，求证：MN∥平面 EBC.
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A→C、A→B.
(2)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
??n ·A→C＝ 0
(3)联立方程组? ??n
并解答． ·A→B＝0
(4) 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而 是比例关系，设定某个坐标为常数 ( 常数不能 为0) 便可得到平面的法向量．
变式训练 1.如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直 角梯形，∠ ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且
D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即?????nn11··DA→ →AE＝＝22yx11＋＝z01＝
，得 0
??x1＝0
?
，令
?z1＝－2y1
z1＝2，则
y1＝－1，
所以 n1＝(0，－1，2)．
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
∴M→N·n＝??21，0，12??·(1，－1，－1)＝0，
∴M→N⊥n . 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴MN∥平面 A1BD.
可求得 M??0，1，12??、N??21，1，1??、D(0，0，
0)、A1(1，0，1)、B(1，1，0)，
于是M→N＝??12，0，12??，D→A1＝(1，0，1)，D→B＝
(1，1，0)，
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0，
得???x＋z＝0， ?x＋y＝0，
(2)∵u＝－13v ，∴ u∥v ，即平面 α，β平行．
典题例证技法归纳Biblioteka 题型探究求平面的法向量
例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别 为A(2 ，1，0) ，B(0 ，2，3) ，C(1 ，1，3) ，试求出平面ABC 的一个法向量．
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)． ∵A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)， ∴A→B＝(－2，1，3)，B→C＝(1，－1，0)．
??x2＝0
?
?z2＝－
. 2y2
令 z2＝2，得 y2＝－1，
所以 n2＝(0，－1，2)，因为 n1＝n2，
所以平面 ADE∥平面 B1C1F .
变式训练
2.如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中 ，M 、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN ∥平面A1BD .
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
向量.设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量，
? n ·D→C ＝12x＋y＝ 0
则
，
?? n ·D→S＝－12x＋z＝0
?y＝－12x
即
.
??z＝12x
取 x＝2，则 y＝－1，z＝1， ∴平面 SDC 的一个法向量为 (2，－1，1)．
利用空间向量证明平行关系
例2
已知正方体ABCDA 1B1C1D1的棱
则有?????nn··AB→→CB＝＝00，，即????－x－2xy＝＋0y＋. 3z＝0，
解得??x＝3z， ?x＝y.
令 z＝1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝(3，3， 1)．
【名师点评】 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面的法向量时，要选取两相交向量，如
想一想 直线的方向向量和平面的法向量是惟一的 吗？ 提示：不惟一．
2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ，b ，平面 α,β的法向量分别为u，v ，则 线线平行 l∥m? a∥b? a＝kb ； 线面平行 l∥α? a⊥u? a·u＝0； 面面平行 α∥β ? u∥v ? u＝kv ； 线线垂直 l⊥m? a⊥b? a·b＝0； 线面垂直 l⊥α? a∥u? a＝ku ； 面面垂直 α⊥β ? u⊥v ? u·v ＝0.
3．2 立体几何中的向量方法
第1 课时 空间向量与平行、垂直关 系
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重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1. 法向量
如 图 所 示 , 直 线 l⊥α, 取方直向向线量al 的 ___________ ， 则 向法向量量a 叫 做 平 面 α 的 _________ ，给定一点 A 和一个向量 a，则 过点A，以a为法向量的平面是完全确定的．
因为 F→C 1· n1＝－ 2＋2＝ 0，所以F→C 1⊥ n1. 又因为 FC1?平面 ADE，所以 FC 1∥平面 ADE. (2)∵C→1B1＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥F→C 1，n2⊥C→1B1，得
???n2· F→C 1＝ 2y2＋z2＝0，得 ??n2·C→1B1＝2x2＝0
做一做 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、 平面与平面的位置关系：
(1) 直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1 ，－3 ，－1) ，b＝(8 ，2，2) ； (2) 平面α，β的法向量分别是u＝(1 ，3， 0), v＝(－3，－9，0) ．
解： (1)a ·b＝ 1× 8＋(－ 3)×2＋(－1)× 2＝0， ∴直线 l1，l2 垂直．
长为2，E、F分别是BB 1、DD 1的中点，求证
：
(1) FC1∥平面ADE ； (2) 平面ADE ∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F (0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C 1＝(0，2，1)，
SA＝ AB＝ BC＝1， AD＝12 ，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D??21，0，0??，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝??21，1，0??， D→S＝??－12，0，1??. 易知向量A→D＝??21，0，0??是平面 SAB 的一个法