人教新课标版数学高二选修2-1课堂达标 空间向量与垂直关系
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课堂达标·效果检测
1.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与
平面α的法向量不垂直的是( )
A. B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2) D.(-1,1,4)
【解析】选D.=( 2,1,1),=(3,-1,-1),
设平面α的法向量为n=(x,y, z).
得
取y=1,则n=(0,1,-1).
D选项中(-1,1,4)·(0,1,-1)=1-4=-3≠0.
2.在空间直角坐标系中与平面yOz垂直的向量是( )
A.(1,0,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(0,1,1)
【解析】选A.因为向量(1,0,0)为x轴所在直线的方向向量,又x轴与
平面yOz垂直,所以与平面yOz垂直的向量为(1,0,0).
3.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(2,1,-1),v=(3,2,8),则
( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交不垂直 D.以上均不正确
【解析】选B.因为u·v=6+2-8=0,所以u⊥v.故α⊥β.
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4.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,
则y+z的值为 .
【解析】α⊥β⇒u·v=0⇒-6+y+z=0,即y+z=6.
答案:6
5.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,
如果BC⊥PB,求证四边形ABCD是矩形.
【证明】由条件知⊥,⊥,=,
因为BC⊥PB,所以·=0,
即·(-)=0,
所以·-·=0,
因为·=0,所以·=0,
所以AD⊥AB,因为四边形ABCD为平行四边形,
所以四边形ABCD为矩形.
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高中数学人教A版选修2-1练习课件：3.2.2 空间向量与垂直关系
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明 空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别 为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位 置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点 二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1教师用书：3-2
第2课时空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间中垂直关系的向量表示阅读教材P103～P104练习以上部分，完成下列问题.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交【解析】 ∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B[小组合作型]111BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .图3-2-8【精彩点拨】 (1)若选AB →，AC →，AA 1→为基向量，你能用基向量表示AB 1→与MN →吗？怎样证明AB 1→与MN →垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB 1→与MN →并证明它们垂直吗？【自主解答】 设AB 的中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.[再练一题]1.如图3-2-9，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点.在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由.【导学号：37792133】图3-2-9【解】 如图所示，建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴的坐标系，则C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0).设N (0,0，h )，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ，DC 1→＝(0,2,3)，由MN →·DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h .∴当h ＝43时，MN →·DC 1→＝0，此时MN →⊥DC 1→. ∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.1111F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-10【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE →与法向量共线.【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z . 令z ＝1，则n ＝(0,2,1). 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →.∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1.坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决.[再练一题]2.如图3-2-11，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .【导学号：37792134】图3-2-11【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0，1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .[探究共研型]探究 【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可.如图3-2-12所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-12【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直.以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝－2,0，12. 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎨⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4). ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.[再练一题]3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .【导学号：37792135】【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2).同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .1.若直线l 的方向向量a ＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.l ∥αB.l ⊥αC.直线l 与平面α相交但不垂直D.无法确定【解析】 ∵μ＝14a . ∴μ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B2.已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2).由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23. 【答案】 B3.已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5. 【答案】 －54.如图3-2-13，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1⊥CD?【导学号：37792136】图3-2-13【解】 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4).(1)证明：∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC →⊥BC 1→. ∴AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ， 设AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0,1]， 则D (3－3λ，4λ，0)， 于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)， ∵AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ， ∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在AB 上存在点D ， 使得AC 1⊥CD ， 且这时点D 与点B 重合.。
人教版高中数学选修2-1课件 3.2.2利用向量解决平行与垂直问题
B1
A1
C1
MY
作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1BZ1B的
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM
A
则CD A1B 0, CD DM 0.
D C
CD A1B,CD DM .
0 AB ' A'C 3 1 h2, h2 2.
AB ' BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
线线垂直
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
2
au
面面夹角 ， 的夹角为 （ 0 ）， cos u v .
2
uv
2．这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照
相关定义给出的，即 0 。
2
(BE BC) BE ( 1)BE BC.
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
MN、BE、BC共面.
A
D
M 平面EBC,MN // 平面EBC
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
E
求证：A' F 平面BDE.
2019人教A版高中数学选修2-1课件：第三章3-2第2课时空间向量与垂直关系
[变式训练]如图，△ABC 中，AC＝BC，D 为 AB 边 中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 在 CD 上，求证：AB⊥ PC. → → → 证明：设CA＝a，CB＝b，OP＝v. 由条件知，v 是平面 ABC 的法向量， 所以 v· a＝0，v· b＝0，
因为 D 为 AB 的中点， → 1 所以CD＝ (a＋b)， 2 因为 O 在 CD 上， → → λ 所以存在实数 λ，使CO＝λCD＝ (a＋b)， 2 因为 CA＝CB，所以|a|＝|b|，
1 1 1 → － a＋ b＋ c＝ 所以 AB1·MN＝(a＋c)· 2 2 4
1 1 1 － ＋ cos 60°＋ ＝0. 2 2 4 → ⊥MN → ，所以 AB ⊥MN. 所以AB 1 1
法二(坐标法)． 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，
1 M ， 4
3 ，0. 4
1 3 1 → → ＝(1，0，1)， 所以MN＝－ ， ， ，AB 1 4 4 4
→ ·AB → ＝－1＋0＋1＝0. 所以MN 1 4 4 → ⊥AB → ，所以 AB ⊥用空间向量判断空间两直线垂直的方法 1． 基向量法： (1)取三个不共线的已知向量(通常是它 们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； (2)把两直线的方向向量用基底表示；
2．空间中直线、平面垂直关系的证明方法 (1)线线垂直．
(2)线面垂直． 方法一：根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直； 方法二：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直． 方法一：根据判定定理证明线面垂直； 方法二：证明两个平面的法向量垂直．
1．若平面α，β 的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b ＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( A．10 B．－10 1 C. 2 ) 1 D．－ 2
导学设计高中数学人教A版选修2-1配套课件3.2.2空间向量与垂直关系
本 专 题 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
→ → 而EF· AB1＝(－1，－1,1)· (0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. → → EF· AC＝(－1，－1,1)· (－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又 AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面 B1AC.
探究点一 证明线线垂直 问题 怎样证明两条直线互相垂直？
本 专 题 栏 目 开 关
答案 一般有以下三种思路证明两条直线垂直 (1)转化为向量垂直问题，即证明两直线的方向向量垂 直；
(2)证明两条直线所成的角为 90° ； (3)转化为证明线面垂直，既先证线面垂直，再运用线 面垂直的性质．
研一研· 问题探究、课堂更高效
空间直角坐标系， 则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设 AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． → ∴A1F＝(－x，a，－a)， → C1E＝(a，x－a，－a)． → → ∵A1F· C1E＝(－x，a，－a)· (a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， → → ∴A1F⊥C1E，即 A1F⊥C1E.
例 1 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证： AC⊥BC1.
本 专 题 栏 目 开 关
证明 ∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC＝3， BC ＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系． 则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 若平面 α 的法向 量为 u＝ (a1， b1， c1)，平面 β 的法 向量为 v＝ (a2，
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用
∴A→C＝(－1,1,0)， 又 E、F 分别为 AB、BC 的中点， ∴E→F＝12A→C＝－12，12，0.
又∵B→1E＝0，－12，－1，D→1M＝(1,1，m－1)， ∵D1M⊥平面 FEB1， ∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. 即D→1M·E→F＝0，且D→1M·B→1E＝0.
空白演示
成才之路·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
3．2 立体几何中的向量方法
第三章
第 3 课时 向量法在空间垂直关系中的应用
课前自主预习 课堂典例讲练 方法规律总结
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线方向向量和平面的法向量判定并证明空间中 的垂直关系．
重点难点展示
重点：用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中的 垂直关系．
难点：向量共线、垂直与空间线、面垂直的联系．
学习要点点拨
空间中垂直关系的证明方法 1．线线垂直：(1)可以证明两直线的方向向量的数量积为 0. (2)可以证明两直线所成角为直角． 2．线面垂直：(1)根据判定定理转化为线线垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 3．面面垂直：(1)根据判定定理证明线面垂直． (2)证明两个平面的法向量垂直．
∵n1∥n2，∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
(2)∵D→A·D→1G＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0， ∴D→A⊥D→1G. ∵A→E·D→1G＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴A→E⊥D→1G. ∵D→A、A→E不共线，∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G⊂平面 A1D1G， ∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.
数学选修2-1学案 空间向量与垂直关系(教师案)
课
题
课型 新课型
教学目标：1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系 教学重、难点：平面的法向量
利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题 教学方法：讲练结合
学习内容及过程：
认真阅读教材104页，回答下列问答：
1设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，1b ， 1c )，直线m
的方向向量为b ＝(b 1， b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b
＝0⇔
2设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法
向量是v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔
（ ）
3设平面β的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的
法向量是v ＝ (a 2，b 2，c 2)，则β⊥α⇔
（ ）
【例题精讲】
例1 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是
底面上BC 边的中点，N 是侧
CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN . 教学流程：
【目标检测】
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.。
2018版高中数学人教版A版选修2-1课件：3-2 第2课时 空间向量与垂直关系
解析答案
1 2 3 4 5
4. 若直线 l 的方向向量为 a ＝ (2,0,1) ，平面 α 的法向量为 n ＝ ( － 4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为 ( D A.l与α斜交 B.l⊂α )
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)， ∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
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题型探究
重点突破
题型一 证明线线垂直问题 例1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB ＝ BC ＝ BD ＝ 2 ， ∠ABC ＝ ∠DBC ＝ 120°， E ， F分别为 AC ， DC 的
中点.求证：EF⊥BC.
反思与感
解析答案
跟踪训练1
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
解析答案
1 2 3 4 5
5. 已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a ＝ (1,1,2) ， b ＝ (x ，－
2,3)，且α⊥－ β，则x＝_____. 4 解析 ∵α⊥β，∴a· b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
解析答案
课堂小 结 1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
空间中的垂直关 系线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向 设直线l的方向向 设平面α的法向量
量为a＝(a1，a2， 量为a＝(a1，b1， 为u＝(a1，b1，c1)，
a3)，直线m的方 b2，b3)，则
c1)，平面α的法向 平面β的法向量为 c2)，则 则
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向向量为b＝(b1， 量为u＝(a2，b2， v＝(a2，b2，c2)， l⊥m⇔a⊥b⇔a· b l⊥α⇔a∥u⇔a＝ α⊥β⇔u⊥v⇔u· v
高中数学人教A版选修2-1配套课件：3.2.3向量法在空间垂直关系中的应用
空间线面垂直关系的向量表示 思维导航 1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？ 2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？
3 ．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂
直关系？
新知导学 1 ．线线垂直：设直线 l 的方向向量为 a ＝ (a1 ， a2 ， a3) ，直 a⊥b ． 线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________
2 ．线面垂直：设直线 l 的方向向量是 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ，平 a∥u ． 面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________
3．面面垂直：若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的 法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v．
牛刀小试
1．在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F分别为 棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M ，使得 D1M⊥平面 EFB1．
③证明平面 α 与 β 垂直时，取 α 、 β 的法向量 n1 、 n2 ，证明 n1·n2 ＝ 0 ．或取一个平面 α 的法向量 n ，在另一个平面 β 内取基 向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2．
2．三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右 图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90° ，A1A⊥平面 ABC，A1A ＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2， D 为 BC 的中点． 证明： 平面 A1AD ⊥平面 BCC1B1．
→ n2· BC＝0， －2x2＋2y2＝0， 由 得 → －y2＋ 3z2＝0. CC1＝0， n2· 3 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 3 ， 3 ∴n2＝(1,1， 3 )． ∵n1· n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2． ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1．
人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系
探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
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【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
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(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.