甘肃省武威市2019年中考数学试卷及参考答案
七年级 八年级
应用数据：
1
0
a
0
0
7
平均数
众数
78
75
78
7
1
b
2
中位数
80.5
（1） 由上表填空：a=，b=，c=，d=.
（2） 估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3） 你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由.
24. 如图，已知反比例函数
三、解答题
19. 计算： 20. 小甘到文具超市去买文具.请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
21. 如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂
，灯罩
，灯臂与底座构
成的
. 可以绕点 上下调节一定的角度.使用发现：当 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳.现
A . 180° B . 360° C . 540° D . 720°
7. 不等式
的解集是( ).
A. B.
C. D.
8. 下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( ).
A. ① B . ② C . ③ D . ④
9. 如图，点
在圆上，若弦
的长度等于圆半径的
倍，则
的度数是( ).
A . 22.5° B . 30° C . 45° D . 60°
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.Байду номын сангаас98
0.501
0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为________(精确到0.1).
17. 因式分解：
=________．
18. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰
中，
，则它的特征值 ________.
的图象与一次函数
的图象在第一象限交于
两点
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式；
（2） 已知点
，过点 作平行于 轴的直线，在第一象限内交一次函数
比例函数
上的图象于点 .若
，结合函数图象直接写出 的取值范围.
的图象于点 ，交反
25. 如图，在
中，
.
，点 在 边上， 经过点 和点 且与 边相交于点
（1） 求证： （2） 若
得以
为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3） 过点 作
，垂足为点 .请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时 有最大值
，最大值是多少？
28. 已知：在
中，
.
（1） 求作： （2） 若
的外接圆.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
的外接圆的圆心 到 边的距离为4，
，则
=.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
20.
21.
22. 23. 24.
25. 26.
27.
28.
甘肃省武威市临夏市、陇南市、庆阳市、平凉市、白银市、酒泉市、张掖市、
临夏自治州2019年中考数学试卷
一、单选题 1. 下列四个几何体中，是三棱柱的为( ).
A.
B.
C.
D.
2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点 表示的数是-1，那么点 表示的数是( ).
A.0B.1C.2D.3 3. 下列整数中，与
中， 是 边上一点(不含端点
.求证：
.
)， 是正方形
.易证：
；由 ，即：
的外角
27. 如图，抛物线
交 轴于
抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 .
两点，与 轴交于点 ，连接
.点 是第一象限内
（1） 求此抛物线的表达式；
（2） 过点 作
轴，垂足为点 ， 交 于点 .试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 ，使
测得点D到桌面的距离为
.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据： 取1.73).
22. 2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的 游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是： .“解密世园会”、 .“爱我家，爱园艺”、 .“园艺小清新之旅” 和 .“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择 的可能性相同.
位于点
，“马”位于点
，则“兵”位于点________.
12. 关于 的一元二次方
有两个相等的实数根，则 的取值为________.
13. 将二次函数
化成
的形式为________.
14. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积 等于________.
是 的切线；
，求 的半径.
26. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边
中， 是
点，且
.求证：
.
边上一点(不含端点
)， 是
的外角
的平分线上一
点拨：如图②，作
，与
，可得
，进一步可得
.
的延长线相交于点 ，得等边
；又
，则
又因为
，连接 ，可得 ，所以
问题：如图③，在正方形 的平分线上一点，且
： 收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77.
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41.
整理数据：
七年级
0
八年级
1
分析数据：
最接近的整数是( ).
A.3B.4C.5D.6
4. 华为
手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示
为( ).
A.
B.
C.
D.
5. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( ).
A . 平移变换 B . 相似变换 C . 旋转变换 D . 对称变换 6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( ).
（1） 李欣选择线路 .“园艺小清新之旅”的概率是多少？ （2） 用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率. 23. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动.为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学 生)的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下
15. 已知一列数
，按照这个规律写下去，第9个数是________.
16. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者
德·摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
10. 如图①，在矩形
中，
，对角线
相交于点 ，动点 由点 出发，沿
向
点 运动.设点 的运动路程为 ，
的面积为 ， 与 的函数关系图象如图②所示，则 边的长为( ).
A.3B.4C.5D.6
二、填空题
11. 中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”
【附20套名校中考真题】甘肃省武威市(凉州区)2019年中考数学试题及答案解析(Word版)
甘肃省武威市（凉州区）2019年中考数学真题试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项.1. -2018的相反数是（）A. -2018B. 2018C.D.【答案】B【解析】分析：直接利用倒数的定义进而分析得出答案．详解：-2018的倒数是：-．故选B．点睛：此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2. 下列计算结果等于的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算.B、不是同类项，不能合并.C、不是同类项，不能合并.D、根据同底数幂的乘法法则计算；【点评】考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟记它们的运算法则是解题的关键.3. 若一个角为，则它的补角的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】两个角的和等于则这两个角互为补角.【解答】一个角为，则它的补角的度数为故选C.【点评】考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键.4. 已知，下列变形错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故本选项错误；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故本选项正确；C. 由可得，所以变形正确，故本选项错误；D.3a=2b变形正确，故本选项错误.故选B.【点评】考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.5. 若分式的值为0，则的值是（）A. 2或-2B. 2C. -2D. 0【答案】A【解析】【分析】分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.【解答】根据分式有意义的条件得：解得：故选A.【点评】考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.6. 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差如下表：平均数方差若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据平均数和方差的意义解答．【解答】从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，从方差看，甲、乙中，甲方差小，甲发挥稳定.故选A.【点评】考查平均数和方差的意义，方差越小，乘积越稳定.7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得解得：故选C.【点评】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出正方形边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中,故选D.【点评】考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.9. 如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接CD，根据圆周角定理可知∠OBD=∠OCD,根据锐角三角形函数即可求出∠OCD的度数.【解答】连接CD，∵∠OBD与∠OCD是同弧所对的圆周角，∴∠OBD=∠OCD.∵∴故选B.【点评】考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等是解题的关键.10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=3时可判断③；根据函数在时取得最大值，可以判断④，由-1<x<3时，函数图象位于x轴上方可判断⑤．【解答】∵抛物线的开口向下，∴a<0，抛物线的对称轴可知：∵抛物线的对称轴∴b=−2a，即2a+b=0，故②正确；由图象知当x=3时，把b=−2a代入得：故③错误；故④正确；由图象可知，当−1<x<3时，函数图象有些部分位于x轴上方，故⑤错误.故选A.【点评】考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，不等式等知识点，难度适中，属于高频考点.二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11. 计算：__________．【答案】0【解析】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【解答】原式故答案为：0.【点评】本题考查实数的运算，主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.12. 使得代数式有意义的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式进行计算即可. 【解答】代数式有意义的条件是：解得：故答案为：【点评】考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零,分式有意义的条件是分母不为零.13. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是__________．【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.【解答】设正多边形的边数是根据题意得：解得：故答案为：8.14. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为__________．【答案】108【解析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。
2019年甘肃省武威市中考数学试卷[真题试卷]
![2019年甘肃省武威市中考数学试卷[真题试卷]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/80a75956cc7931b764ce1520.webp)
2019年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．33．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣38．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？2019年甘肃省武威市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3．故选：D．【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB ＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝11，b＝10，c＝78，d＝81．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为K（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；。
2019年甘肃省中考数学试题(含解析)
2019年甘肃省中考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2019甘肃省，1，3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )【答案】A【解析】解：A ．此图案是中心对称图形，符合题意； B ．此图案不是中心对称图形，不合题意； C ．此图案不是中心对称图形，不合题意； D ．此图案不是中心对称图形，不合题意； 故选A ．【知识点】中心对称图形2. （2019甘肃省，2，3分）在0，2，3-，12-这四个数中，最小的数是( )A ．0B ．2C ．3-D ．12-【答案】C【解析】解：∵13022-<-<<，∴最小的数是3-，故选C ．【知识点】有理数大小比较3. （2019甘肃省，3，3分）有意义的x 的取值范围是( ) A ．4x B ．4x >C ．4xD ．4x <【答案】D【解析】有意义，则40x ->，解得4x <，即x 的取值范围是：4x <，故选D ．【知识点】二次根式有意义的条件4. （2019甘肃省，4，3分）计算24(2)a a -的结果是( ) A ．64a - B ．64aC ．62a -D ．84a -【答案】B【解析】解：24246(2)44a a a a a -==，故选B ． 【知识点】单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方5. （2019甘肃省，5，3分）如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒，那么2∠的度数是( )A ．48︒B ．78︒C ．92︒D ．102︒【答案】D【解析】解：将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒， 231804830102∴∠=∠=︒-︒-︒=︒，故选D ．【知识点】平行线的性质6.（2019甘肃省，6，3分）已知点(2,24)P m m +-在x 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4,0)- D ．(0,4)-【答案】A【解析】解：∵点(2,24)P m m +-在x 轴上， 240m ∴-=，解得2m =， 24m ∴+=，∴点P 的坐标是(4,0)． 故选A ．【知识点】点的坐标7. （2019甘肃省，7，3分）若一元二次方程2220x kx k -+=的一根为1x =-，则k 的值为( ) A ．1- B ．0C ．1或1-D ．2或0【答案】A【解析】解：把1x =-代入方程得2120k k ++=，解得：1k =-，故选A ． 【知识点】一元二次方程的解8. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠=)A ．54︒B ．64︒C ．27︒D ．37︒【答案】C【解析】解：∵126AOC ∠=︒，∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒，∴1272CDB BOC ∠=∠=︒，故选C ．【知识点】圆的有关概念及性质9.（2019甘肃省，9，3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是( )A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多 【答案】A【解析】解：A 、甲、乙两班的平均水平相同；正确； B 、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确； C 、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确； D 、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确； 故选A ．【知识点】平均数，众数，中位数，方差10. （2019甘肃省，10，3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【答案】C【解析】解：①由图象可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误； ②由于对称轴可知：12ba-<，20a b ∴+>，故②正确； ③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，故③正确； ④由图象可知：1x =时，0y a b c =++<，故④正确； ⑤当2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选C ．【知识点】二次函数图象与系数的关系二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. （2019甘肃省，11，3分）分解因式：34x y xy -= ． 【答案】(2)(2)xy x x +-【解析】解：34x y xy -2(4)xy x =-(2)(2)xy x x =+-． 【知识点】分解因式12. （2019甘肃省，12，3分）不等式组2021x x x -⎧⎨>-⎩的最小整数解是 ．【答案】0【解析】解：不等式组整理得21x x ⎧⎨>-⎩，∴不等式组的解集为12x -<，则最小的整数解为0，故答案为0.【知识点】一元一次不等式组的整数解13. （2019甘肃省，13，3分）分式方程3512x x =++的解为 ． 【答案】12【解析】解：去分母，得3655x x +=+， 解得12x =， 经检验12x =是分式方程的解．故答案为12． 【知识点】解分式方程14. （2019甘肃省，14，3分）在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A ，则cos B = ． 【答案】12【解析】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，设a =，3b x =，则c =， 1cos 2a B c ∴==． 故答案为12． 【知识点】特殊角的三角函数值15. （2019甘肃省，15，3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．【答案】2(18cm +【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，三棱柱的高为3，所以，其表面积为213232218)2cm ⨯⨯+⨯⨯+．故答案为2(18cm +．【知识点】三视图16.（2019甘肃省，16，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】24π-【解析】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，AB ∴=45A B ∠=∠=︒，D 是AB 的中点，AD DB ∴=12222224ABC ADES S S π∆∴=-⋅=⨯⨯-=-阴扇形， 故答案为：24π-【知识点】扇形面积17. （2019甘肃省，17，3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为 ．【答案】103【解析】解：设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===， 在Rt DAF ∆中，6AD =，10DF =， 8AF ∴=，1082BF AB AF ∴=-=-=，在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，即222(6)2x x -+=， 解得103x =， 故答案为103． 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）18. （2019甘肃省，18，3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n = ．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个． 第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个． 当图中有2019个菱形时， 212019n -=， 1010n =，故答案为1010．【知识点】图形变化规律三、解答题（本大题共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019甘肃省，19，4分）计算：201()(2019)60|3|2π--+-︒--．【思路分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解题过程】解：原式413=+1=． 【知识点】实数的运算20. （2019甘肃省，20，4分）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【思路分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可． 【解题过程】解：如图，点M 即为所求，【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质21. （2019甘肃省，21，6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【思路分析】设共有x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可【解题过程】解：设共有x 人， 根据题意，得9232x x -+=， 去分母，得212327x x +=-， 解得39x =， ∴399152-=， ∴共有39人，15辆车． 【知识点】一元一次方程的应用22. （2019甘肃省，22，6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260~300mm mm 含(300)mm ，高度的范围是120~150mm mm （含150)mm ．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB CD =，900AC mm =，65ACD ∠=︒，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin650.906︒≈，cos650.423)︒≈【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM 和DM 的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题． 【解题过程】解：连接BD ，作DM AB ⊥于点M ， AB CD =，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， //AB CD ∴，AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，C ABD ∴∠=∠，AC BD =， 65C ∠=︒，900AC =， 65ABD ∴∠=︒，900BD =，cos659000.423381BM BD ∴=︒=⨯≈，sin659000.906815DM BD =︒=⨯≈， 3813127÷=，120127150<<，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，8153272÷≈，260272300<<，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题23. （2019甘肃省，23，6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(,)m n 可能的结果；（2）若m ，n 都是方程2560x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程2560x x -+=的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【思路分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解． 【解题过程】解：（1）树状图如图所示：（2）m ，n 都是方程2560x x -+=的解，2m ∴=，3n =，或3m =，2n =，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程2560x x -+=的解的结果有2个，m ，n 都不是方程2560x x -+=的解的结果有2个，小明获胜的概率为21126=，小利获胜的概率为21126=， ∴小明、小利获胜的概率一样大．【知识点】概率24. （2019甘肃省，24，4分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：6080x<8090x<90100x1041581（说明：90分及以上为优秀，80~90分（不含90分）为良好，60~80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【思路分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解题过程】解：（1）七年级的平均数为1(748175767075757981707480916982)76.815++++++++++++++=，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数13002015=⨯=（人)．【知识点】统计表，众数，中位数，方差，，25.（2019甘肃省，25，7分）如图，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象相交于(1,)A n-、(2,1)B-两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；（3）若1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数m y x=上的两点，当120x x <<时，比较2y 与1y 的大小关系．【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．（2）根据对称性求出点D 坐标，发现//BD x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．【解题过程】解：（1）反比例函数m y x=经过点(2,1)B -， 2m ∴=-， 点(1,)A n -在2y x-=上， 2n ∴=， (1,2)A ∴-，把A ，B 坐标代入y kx b =+，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得11k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为1y x =-+，反比例函数的解析式为2y x=-． （2）直线1y x =-+交y 轴于C ，(0,1)C ∴， D ，C 关于x 轴对称，(0,1)D ∴-，(2,1)B -//BD x ∴轴，12332ABD S ∆∴=⨯⨯=． （3）1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数2y x=-上的两点，且120x x <<， 12y y ∴<．【知识点】反比例函数与一次函数的交点26.（2019甘肃省，26，8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG ED⊥交DE 于点F，交CD于点G．（1）证明：ADG DCE∆≅∆；（2）连接BF，证明：AB FB=．【思路分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到90ADG C∠=∠=︒，AD DC=，DAG CDE∠=∠，即可得出ADG DCE∆≅∆；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据DCE HBE∆≅∆，即可得出B是AH的中点，进而得到AB FB=．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是正方形，90ADG C∴∠=∠=︒，AD DC=，又AG DE⊥，90DAG ADF CDE ADF∴∠+∠=︒=∠+∠，DAG CDE∴∠=∠，()ADG DCE ASA∴∆≅∆；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，E是BC的中点，BE CE∴=，又90C HBE∠=∠=︒，DEC HEB∠=∠，()DCE HBE ASA∴∆≅∆，BH DC AB∴==，即B是AH的中点，又90AFH∠=︒，Rt AFH∴∆中，12BF AH AB==．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质27. （2019甘肃省，27，8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：A ADE ∠=∠；（2）若8AD =，5DE =，求BC 的长．【思路分析】（1）只要证明90A B ∠+∠=︒，90ADE B ∠+∠=︒即可解决问题；（2）首先证明210AC DE ==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，可得22226(8)10x x +=+-，解方程即可解决问题．【解题过程】解：（1）证明：连接OD ， DE 是切线，90ODE ∴∠=︒，90ADE BDO ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OD OB =，B BDO ∴∠=∠，ADE A ∴∠=∠．（2）解：连接CD ．ADE A ∠=∠，AE DE ∴=， BC 是O 的直径，90ACB ∠=︒，EC ∴是O 的切线，ED EC ∴=，AE EC ∴=，5DE =，210AC DE ∴==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-， 22226(8)10x x ∴+=+-， 解得92x =，152BC ∴==．【知识点】圆周角定理；切线的性质28. （2019甘肃省，28，10分）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【思路分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用()12D E AEBD S AB y y =-四边形，即可求解． 【解题过程】解：（1）用交点式函数表达式得：2(1)(3)43y x x x x =--=-+； 故二次函数表达式为：243y x x =-+；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则2AB PE ==，则点P 坐标为(4,3)，当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∴点(4,3)P 或(0,3)；②当AB 是四边形的对角线时，如图2，AB 中点坐标为(2,0)设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：22m +， 即：222m +=，解得：2m =， 故点(2,1)P -；故：点(4,3)P 或(0,3)或(2,1)-；（3）直线BC 的表达式为：3y x =-+，设点E 坐标为2(,43)x x x -+，则点(,3)D x x -+， ()22134332D E AEBD S AB y y x x x x x =-=-+-+-=-+四边形， 10-<，故四边形AEBD 面积有最大值， 当32x =，其最大值为94，此时点3(2E ，3)4-． 【知识点】二次函数的解析式；平行四边形的性质。
2019年甘肃省武威市中考数学试卷-答案
甘肃省武威市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】解：A .该几何体为四棱柱，不符合题意； B .该几何体为四棱锥，不符合题意； C .该几何体为三棱柱，符合题意； D .该几何体为圆柱，不符合题意. 故选：C . 【考点】立体图形 2.【答案】D【解析】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是1-， ∴点B 表示的数是：3. 故选：D . 【考点】实数轴 3.【答案】A【解析】解：239=∵，2416=，34∴，10与9的距离小于16与10的距离，3. 故选：A .【考点】无理数的估算 4.【答案】D【解析】解：90.00000007710-=⨯； 故选：D .【考点】科学记数法 5.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换. 故选：B .【考点】相似形的识别 6.【答案】C【解析】解：黑色正五边形的内角和为：(52)180540-⨯︒=︒，故选：C .【考点】多边形的内角和公式 7.【答案】A【解析】解：去括号，得2936x x ++≥， 移项，合并得3x --≥， 系数化为1，得3x ≤； 故选：A .【考点】解简单不等式. 8.【答案】B 【解析】解：x y x y x y--+ ()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y +-=--+-+22()()x xy xy y x y x y +-+=-+2222x y x y+=- 故从第②步开始出现错误. 故选：B .【考点】分式的加减运算. 9.【答案】C【解析】解：设圆心为O ，连接OA 、OB ，如图，∵弦AB 倍，即AB ，222OA OB AB +=∴，OAB ∴△为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，1452ASB AOB ∠=∠=︒∴.故选：C .【考点】圆周角定理 10.【答案】B【解析】解：当P 点在AB 上运动时，AOP △面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，AOP △面积最大为3.11322AB =g ∴，即12AB BC =g . 当P 点在BC 上运动时，AOP △面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，AOP △面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，7AB BC +=∴.则7BC AB =-，代入12AB BC =g ，得27120AB AB -+=，解得4AB =或3， 因为AB AD ＜，即AB BC ＜， 所以3AB =，4BC =. 故选：B .【考点】动点问题的函数图象 二.填空题 11.【答案】(1,1)-【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(1,1)-.故答案为：(1,1)-.【考点】直角坐标系，点的坐标 12.【答案】0.5【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5. 故答案为0.5.【考点】利用频率估计概率 13.【答案】(2)(2)x y y +- 【解析】解：24xy x -，()24x y =-， ( 2 )(2)x y y =+-.【考点】提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式 14.【答案】4【解析】解：由题意，22440b ac ∆=-=-= 得4m =. 故答案为4.【考点】一元二次方程的根的判别式 15.【答案】2(2)1y x =-+【解析】解：22245441(2)1y x x x x x =-+=-++=-+， 所以，2(2)1y x =-+. 故答案为：2(2)1y x =-+.【考点】二次函数的三种形式解析式（一般式，顶点式，交点式） 16.【答案】4π- 【解析】解：如图：新的正方形的边长为1 + 1 = 2， ∴恒星的面积22π4π=⨯-=-. 故答案为4π-.【考点】扇形面积的计算17.【答案】58或14【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502︒-︒=︒， ∴特征值808505k ︒==︒.②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020︒-︒-︒=︒，∴特征值201804k ︒==︒. 综上所述，特征值k 为58或14.故答案为58或14.【考点】等腰三角形的性质 18.【答案】1321a b +【解析】解：由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +， 故答案为：1321a b +. 【考点】数字的变化规律 三、解答题(一) 19.【答案】3【解析】解：20(2)|2|2cos 45(3π)---︒+-，4(221=--，421=-+， = 3.【考点】实数的运算.20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：12201121220144y x x y +=⎧⎨+=⎩，解得：26x y =⎧⎨=⎩，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元. 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案. 【考点】二元一次方程组的应用 21.【答案】解：(1)如图O ⊙即为所求.(2)设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E . 由题意4OE =，3BR EC ==，在Rt OBE △中，5OB ==，2π525πO S =⋅=圆∴.【解析】(1)作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作O ⊙，O ⊙即为所求.(2)在Rt OBE △中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题. 【考点】作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心22.【答案】解：如图，作CE AB ⊥于E ，DH AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F .90CEH CFH FHE ∠=∠=∠=︒∵，∴四边形CEHF 是矩形，CE FH =∴，在Rt ACE △中，40cm AC =∵，60A ∠=︒，sin6034.6(cm)CE AC =︒=g ∴， 34.6(cm)FH CE ==∴ 49.6cm DH =∵，49.634.615(cm)DF DH FH =-=-=∴，在Rt CDF △中，151sin 302DF DCF CD ∠===， 30DCF ∠=︒∴，∴此时台灯光线为最佳.【解析】如图，作CE AB ⊥于E ，DE AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F .解直角三角形求出DCF ∠即可判断. 【考点】解直角三角形的应用23.【答案】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C .“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41164=.【解析】(1)由概率公式即可得出结果；(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果.【考点】用列表法或画树状图法求概率 四、解答题(二)24.【答案】解：(1)由题意知11a =，10b =，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数7779782c +==， 八年级成绩的众数81d =， 故答案为：11，10，78，81；(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1212009040+⨯=(人)； (3)八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好(答案不唯一，合理即可). 【解析】(1)根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得； (2)利用样本估计总体思想求解可得； (3)答案不唯一，合理均可. 【考点】众数，中位数，平均数 25.【答案】解：(1)∵反比例函数k(0)xy k =≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3)A ，(3,1)B 两点， 31k=∴，31b =-+， 3,4k b ==∴，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为3y x=，4y x =-+； (2)由图象可得：当1a 3＜＜时，PM PN ＞. 【解析】(1)利用待定系数法即可求得； (2)根据图象可解.【考点】一次函数与反比例函数的交点问题 26.【答案】(1)证明：连接AD ，AB AC =∵，AE CE ==， 30B C ∠=∠=︒∴，AD BD =∵，30BAD B ∠=∠=︒∴， 60ADC ∠=︒∴，180603090DAC ∠=︒-︒-︒=︒∴，∴AC 是D ⊙的切线； (2)解：连接AE ，AD DE =∵，60ADE ∠=︒，ADE ∴△是等边三角形，AE DE =∴，60AED ∠=︒，30EAC AED C ∠=∠-∠=︒∴， EAC C ∠=∠∴，AE CE ==∴∴D ⊙的半径AD =【解析】(1)连接AD ，根据等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，30BAD B ∠=∠=︒，求得60ADC ∠=︒，根据三角形的内角和得到180603090DAC ∠=︒-︒-︒=︒，于是得到AC 是D ⊙的切线；(2)连接AE ，推出ADE △是等边三角形，得到AE DE =，60AED ∠=︒，求得30EAC AED C ∠=∠-∠=︒，得到AE CE ==，于是得到结论.【考点】切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质 27.【答案】解：延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，如图所示： 则111EB B C =，1111190EB M A B M ∠=︒=∠， ∴11EB C △是等腰直角三角形，111145B EC B E C ∠=∠=︒∴，∵1N 是正方形1111A B C D 的外角111D C H ∠的平分线上一点，1119045135M C N ∠=︒+︒=︒∴， 11111180B C E M C N ∠+∠=︒∴，∴E 、1C 、1N ，三点共线，在111A B M △和11EB M △中，111111111111A B EB A B M EB M B M B M=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，11111()A B M EB M SAS ∴△≌△， 111A M EM =∴，12∠=∠，1111A M M N =∵， 111EM M N =∴， 34∠=∠∴，2345∠+∠=︒∵，4545∠+∠=︒， 125∠=∠=∠∴， 1690∠+∠=︒∵，5690∠+∠=︒∴，1111809090A M N ∠=︒-︒=︒∴.【解析】延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，则111EB B C =，1111190EB M A B M ∠=︒=∠，得出11EB C △是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出111145B EC B C E ∠=∠=︒，证出11111180B C E M C N ∠+∠=︒，得出E 、1C 、1N ，三点共线，由SAS 证明11111A B M EB M ≌△△得出111A M EM =，12∠=∠，得出111EM M N =，由等腰三角形的性质得出34∠=∠，证出125∠=∠=∠，得出5690∠+∠=︒，即可得出结论.【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质28.【答案】解：(1)由二次函数交点式表达式得：()2(3)(4)12y a x x a x x =+-=--，即：12 4a -=，解得：13a =-，则抛物线的表达式为211433y x x =-++；(2)存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)-、 (4,0)、(0,4)，则5AC =，7AB =，BC =45OAB OBA ∠=∠=︒，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+…①， 同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， 设直线AC 的中点为3,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34-，同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：3748y x =-+…②，①当AC AQ =时，如图1，则5AC AQ ==，设：QM MB n ==，则7AM n =-，由勾股定理得：22(7)25n n -+=，解得：3n =或4(舍去4)， 故点(1,3)Q ；②当AC CQ =时，如图1，5CQ =，则5BQ BC CQ =-=，则QM MB ==，故点822Q ⎛- ⎝⎭；③当CQ AQ =时， 联立①②并解得：252x =(舍去)；故点Q 的坐标为：(1,3)Q 或⎝⎭；(3)设点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点(,4)Q m m -+， OB BC =∵，45ABC OCB PQN ∠=∠=︒=∠∴，2211sin 4433PN PO PQN m m m ⎫=∠=-+++-=+⎪⎝⎭，0-∵， ∴PN 有最大值，当72m =时，PN . 【解析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；(2)分AC AQ =、AC CQ =、CQ AQ =三种情况，分别求解即可；(3)由211sin 4433PN PQ PQN m m m ⎫=∠-+++-⎪⎝⎭即可求解. 【考点】二次函数的解析式的求法，与几何图形结合的综合能力。
2019年甘肃省武威市中考数学试卷
2019年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）（2019•金昌）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．2．（3分）（2019•金昌）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1（）A．0B．1C．2D．33．（3分）（2019•金昌）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）（2019•金昌）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．（3分）（2019•金昌）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．（3分）（2019•金昌）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．（3分）（2019•金昌）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣38．（3分）（2019•金昌）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）（2019•金昌）如图，点A，B，S在圆上倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．（3分）（2019•金昌）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，BD相交于点O，动点P由点A出发，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）（2019•金昌）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2）．12．（4分）（2019•金昌）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的试验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．（4分）（2019•金昌）因式分解：xy2﹣4x＝．14．（4分）（2019•金昌）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．（4分）（2019•金昌）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．（4分）（2019•金昌）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．（4分）（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．（4分）（2019•金昌）已知一列数a，b，a+b，a+2b，3a+5b，……，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）（2019•金昌）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）（2019•金昌）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）（2019•金昌）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）（2019•金昌）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）（2019•金昌）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）（2019•金昌）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生），该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析收集数据：七年级：79，85，73，75，76，70，75，75，79，71，75，86，59，77．八年级：92，74，87，72，81，83，77，80，81，81，72，82，80，41．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）（2019•金昌）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26．（10分）（2019•金昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）（2019•金昌）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM；又AM＝MN，则EM＝MN；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）（2019•金昌）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值。
2019年甘肃省武威市中考数学真题试题和答案解析
2019年甘肃省武威市中考数学真题试题和答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣38．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A 出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数3109 2048 4979 18031 39699 频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级0 1 0 a7 1八年级 1 0 0 7 b 2 分析数据：平均数众数中位数七年级78 75 c八年级78 d80.5 应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？2019年甘肃省武威市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3．故选：D．【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A 出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6140 4040 10000 36000 806403109 2048 4979 18031 39699 出现“正面朝上”的次数频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5 （精确到0.1）．【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 4 ．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1 ．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级0 1 0 a7 1八年级 1 0 0 7 b 2 分析数据：平均数众数中位数七年级78 75 c八年级78 d80.5 应用数据：（1）由上表填空：a＝11 ，b＝10 ，c＝78 ，d＝81 ．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED ﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，。
2019年甘肃省白银(定西、武威、张掖、陇南)市(凉州区)中考数学试题(解析版)
2019年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．33．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣95．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣38．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝．22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？2019年甘肃省武威市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A．B．C．D．【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为四棱锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选：C．【点评】考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：3．故选：D．【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【解答】解：∵32＝9，42＝16，∴3＜＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与最接近的是3．故选：A．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7B．0.7×10﹣8C．7×10﹣8D．7×10﹣9【分析】由科学记数法知0.000000007＝7×10﹣9；【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11．（4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．13．（4分）因式分解：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣4x，＝x（y2﹣4），＝x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．14．（4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．15．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19．（6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，＝4﹣2+﹣+1，＝3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝25π．【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），∴FH＝CE＝34.6（cm）∵DH＝49.6cm，∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：分析数据：应用数据：（1）由上表填空：a＝11，b＝10，c＝78，d＝81．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）由题意知a＝11，b＝10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c＝＝78，八年级成绩的众数d＝81，故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×＝90（人）；（3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B （3，1）两点，∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．【分析】延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1＝EM1，∠1＝∠2，得出EM1＝M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．【点评】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为M（﹣，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQ sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝时，PN的最大值为：．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2019年甘肃省中考数学试卷(后附答案)
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题号一二三四总分得分一、选择题(本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个图案中，是中心对称图形的是（)A. B. C。
D.2.在0，2，—3,—这四个数中,最小的数是(）A。
0 B. 2 C。
D.3.使得式子有意义的x的取值范围是（）A. B。
C. D.4.计算（—2a)2•a4的结果是（)A. B。
C。
D。
5.如图,将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是（）A. B. C. D.6.已知点P（m+2，2m-4）在x轴上，则点P的坐标是（)A. B. C。
D.7.若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1，则k的值为（)A. B。
0 C. 1或 D. 2或08.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=（）A.B。
C。
D。
9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异,则下列说法正确的参加人数平均数中位数方差甲459493 5.3乙4594954。
8甲、乙两班的平均水平相同甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定D。
甲班成绩优异的人数比乙班多10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法:①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小,其中正确的是（）A.B。
2019甘肃省武威市中考试题解析
2019年甘肃省武威市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（2019甘肃武威，1，3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为( )【答案】C【解析】解：A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意． 故选C ．【知识点】立体图形2. （2019甘肃武威，2，3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是1-，那么点B 表示的数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用数轴结合A ，B 点位置,得若点A 表示的数是1-，则B 表示的数是3． 故选D ．【知识点】数轴3. （2019甘肃武威，3，3分）下列整数中，与10最接近的整数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】∵239=，2416=，∴3104<<，∵10与9的距离小于16与10的距离， ∴与10最接近的是3．故选A ． 【知识点】无理数大小的估算4. （2019甘肃武威，4，3分）华为20Mate 手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( ) A ．7710-⨯ B ．80.710-⨯C ．8710-⨯D ．9710-⨯【答案】D【解析】由科学记数法知的定义，得90.000000007710-=⨯，故选D ． 【知识点】科学记数法-表示较小的数5. （2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B.【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B ．【知识点】几何变换6.（2019甘肃武威，6，3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒【答案】C【解析】根据多边形内角和公式(2)180n -⨯︒，得黑色正五边形的内角和为：(52)180540-⨯︒=︒，故选C ． 【知识点】多边形内角和与外角和7. （2019甘肃武威，7，3分）不等式293(2)x x ++…的解集是( ) A ．3x „ B ．3x -„C ．3x …D ．3x -…【答案】A【解析】解：去括号，得2936x x ++…， 移项，合并得3x --… 系数化为1，得3x „， 故选A ．【知识点】解一元一次不等式8. （2019甘肃武威，8，3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B 【解析】解：x yx y x y--+ ()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y +-=--+-+ 22()()x xy xy y x y x y +-+=-+ 2222x y x y +=-． 故从第②步开始出现错误， 故选B ．【知识点】分式的加减9.（2019甘肃武威，9，3分）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB ∠的度数是( )A ．22.5︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【解析】解：设圆心为O ，连接OA 、OB ，如图， ∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍， 即2AB OA =， ∴222OA OB AB +=，∴OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，∴1452ASB AOB ∠=∠=︒，故选C ．【知识点】圆周角定理10. （2019甘肃武威，10，3分）如图①，在矩形ABCD 中，AB AD <，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB BC CD →→向点D 运动．设点P 的运动路程为x ，AOP ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AD 边的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】解：当P 点在AB 上运动时，AOP ∆面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，AOP ∆面积最大为3．∴11322AB =g ，即12AB BC =g． 当P 点在BC 上运动时，AOP ∆面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，AOP ∆面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7， 7AB BC ∴+=．则7BC AB =-，代入12AB BC =g ，得27120AB AB -+=，解得4AB =或3， 因为AB AD <，即AB BC <， 所以3AB =，4BC =．故选B ．【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. （2019甘肃武威，11，4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0,2)-，“马”位于点(4,2)-，则“兵”位于点 ．【答案】(1,1)-．【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(1,1)-．故答案为：(1,1)-． 【知识点】点的坐标12. （2019甘肃武威，12，4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者 德g 摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 ．（精确到0.1) 【答案】【解析】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5． 故答案为0.5．【知识点】利用频率估计概率13. （2019甘肃武威，13，4分）因式分解：24xy x -= ． 【答案】(2)(2)x y y +-【解析】解：24xy x -2(4)x y =-(2)(2)x y y =+-． 【知识点】因式分解14. （2019甘肃武威，14，4分）关于x 的一元二次方程210x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的取值为 ． 【答案】4【解析】解：由△224()40b ac m =-=-=得4m =,故答案为4． 【知识点】根的判别式15. （2019甘肃武威，15，4分）将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 ． 【答案】2(2)1y x =-+【解析】解：22245441(2)1y x x x x x =-+=-++=-+， 所以2(2)1y x =-+． 故答案为2(2)1y x =-+．【知识点】二次函数的三种形式16.（2019甘肃武威，16，4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．【答案】42π-． 【解析】解：如图：新的正方形的边长为112+=，∴恒星的面积22242ππ=⨯-=-． 故答案为42π-．【知识点】扇形面积17. （2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则它的特征值k = ． 【答案】85或14【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502︒-︒=︒， ∴特征值808505k ︒==︒ ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020︒-︒-︒=︒ ∴特征值201804k ︒==︒ 故答案为85或14【知识点】等腰三角形的性质18. （2019甘肃武威，18，4分）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +【解析】解：由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +， 故答案为1321a b +． 【知识点】规律探索三、解答题（本大题共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019甘肃武威，19，6分）计算：20(2)|22|2cos 45(3)π----︒+-【思路分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解题过程】解： 20(2)|22|2cos 45(3)π----︒+-， 24(22)212=---⨯+， 42221=-+-+，3=．【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；绝对值20. （2019甘肃武威，20，6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【思路分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解题过程】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意， 得12201121220144y x x y +=⎧⎨+=⎩， 解得26x y =⎧⎨=⎩，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【知识点】二元一次方程组的应用21. （2019甘肃武威，21，8分）已知：在ABC ∆中，AB AC =．（1）求作：ABC ∆的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若ABC ∆的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，6BC =，则O S =e ．【思路分析】（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作O e ，O e 即为所求．（2）在Rt OBE ∆中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，O e 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意4OE =，3BE EC ==， 在Rt OBE ∆中，22345OB =+=， ∴2525O S ππ=⋅=圆． 故答案为25π．【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心22. （2019甘肃武威，22，8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂40AC cm =，灯罩30CD cm =，灯臂与底座构成的60CAB ∠=︒．CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30︒时，台灯光线最佳．现测得点D 到桌面的距离为49.6cm ．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取1.73)．【思路分析】如图，作CE AB ⊥于E ，DH AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F ．解直角三角形求出DCF ∠即可判断． 【解题过程】解：如图，作CE AB ⊥于E ，DH AB ⊥于H ，CF DH ⊥于F ．∵90CEH CFH FHE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形CEHF 是矩形， ∴CE FH =，在Rt ACE ∆中，∵40AC cm =，60A ∠=︒，sin6034.6CE AC ∴=︒=g .，34.6()FH CE cm ∴==49.6.DH =Q ，49.634.615(cm)DF DH FH ∴=-=-=，在Rt CDF ∆中，151sin 302DF DCF CD ∠===， ∴30DCF ∠=︒， ∴此时台灯光线为最佳．【知识点】解直角三角形及其应用23. （2019甘肃武威，23，10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” )于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A ．“解密世园会”、 B ．“爱我家，爱园艺”、 C ．“园艺小清新之旅”和D ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． （1）李欣选择线路C ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【思路分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解题过程】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C ．“园艺小清新之旅”的概率是14； （2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41=．164【知识点】概率24.（2019甘肃武威，24，8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：剟7079xxx剟剟90100剟8089xx剟50594049x剟6069七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a=，b=，c=，d=．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．【思路分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解题过程】解：（1）由题意知11b=，a=，10将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数7779782c +==， 八年级成绩的众数81d =， 故答案为：11，10，78，81；（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1212009040+⨯=（人)； （3）八年级的总体水平较好，∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）． 【知识点】算术平均数；中位数；众数; 频数（率)分布表25. （2019甘肃武威，25，10分）如图，已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3)A ，(3,1)B 两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点(P a ，0)(0)a >，过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y x b =-+的图象于点M ，交反比例函数ky x=上的图象于点N ．若PM PN >，结合函数图象直接写出a 的取值范围．【思路分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解题过程】解：（1）Q 反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3)A ，(3,1)B 两点， 31k∴=，31b =-+， 3k ∴=，4b =，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为3y x=，4y x =-+； （2）由图象可得：当13a <<时，PM PN >．【知识点】反比例函数与一次函数的交点26.（2019甘肃武威，26，10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，D e 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ． （1）求证：AC 是D e 的切线； （2）若23CE =，求D e 的半径．【思路分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，30BAD B ∠=∠=︒，求得60ADC ∠=︒，根据三角形的内角和得到180603090DAC ∠=︒-︒-︒=︒，于是得到AC 是D e 的切线；（2）连接AE ，推出ADE ∆是等边三角形，得到AE DE =，60AED ∠=︒，求得30EAC AED C ∠=∠-∠=︒，得到23AE CE ==，于是得到结论．【解题过程】解：（1）证明：连接AD ， AB AC =Q ，120BAC ∠=︒， 30B C ∴∠=∠=︒，AD BD =Q ，30BAD B ∴∠=∠=︒， 60ADC ∴∠=︒，180603090DAC ∴∠=︒-︒-︒=︒， AC ∴是D e 的切线；（2）解：连接AE ，AD DE =Q ，60ADE ∠=︒， ADE ∴∆是等边三角形， AE DE ∴=，60AED ∠=︒，30EAC AED C ∴∠=∠-∠=︒， EAC C ∴∠=∠， 23AE CE ∴==，D ∴e 的半径23AD =．【知识点】等腰三角形的性质; 等边三角形的判定和性质; 切线的判定与性质27. （2019甘肃武威，27，10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边ABC ∆中，M 是BC 边上一点（不含端点B ，)C ，N 是ABC ∆的外角ACH ∠的平分线上一点，且AM MN =．求证：60AMN ∠=︒．点拨：如图②，作60CBE ∠=︒，BE 与NC 的延长线相交于点E ，得等边BEC ∆，连接EM ．易证：()ABM EBM SAS ∆≅∆，可得AM EM =，12∠=∠；又AM MN =，则EM MN =，可得34∠=∠；由314560∠+∠=∠+∠=︒，进一步可得125∠=∠=∠，又因为26120∠+∠=︒，所以56120∠+∠=︒，即：60AMN ∠=︒．问题：如图③，在正方形1111A B C D 中，1M 是11B C 边上一点（不含端点1B ，1)C ，1N 是正方形1111A B C D 的外角111D C H ∠的平分线上一点，且1111A M M N =．求证：11190A M N ∠=︒．【思路分析】延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，则111EB B C =，11EB M ∠中11190A B M =︒=∠，得出△11EB C 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出111145B EC B C E ∠=∠=︒，证出11111180B C E M C N ∠+∠=︒，得出E 、1C 、1N ，三点共线，由SAS 证明△111A B M ≅△11EB M 得出111A M EM =，12∠=∠，得出111EM M N =，由等腰三角形的性质得出34∠=∠，证出125∠=∠=∠，得出5690∠+∠=︒，即可得出结论．【解题过程】解：延长11A B 至E ，使111EB A B =，连接1EM C 、1EC ，如图所示：则111EB B C =，11EB M ∠中11190A B M =︒=∠，∴△11EB C 是等腰直角三角形，111145B EC B C E ∴∠=∠=︒，1N Q 是正方形1111A B C D 的外角111D C H ∠的平分线上一点， 1119045135M C N ∴∠=︒+︒=︒， 11111180B C E M C N ∴∠+∠=︒，E ∴、1C 、1N ，三点共线，在△111A B M 和△11EB M 中，111111111111A B EB A B M EB M B M B M=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△111A B M ≅△11()EB M SAS ，111A M EM ∴=，12∠=∠， 1111A M M N =Q ， 111EM M N ∴=，34∴∠=∠，2345∠+∠=︒Q ，4545∠+∠=︒， 125∴∠=∠=∠， 1690∠+∠=︒Q ， 5690∴∠+∠=︒，1111809090A M N ∴∠=︒-︒=︒．【知识点】矩形 菱形 正方形；28. （2019甘肃武威，28，12分）如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【思路分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC AQ =、AC CQ =、CQ AQ =三种情况，分别求解即可； （3）由2211sin (44)233PN PQ PQN m m m =∠=-+++-即可求解． 【解题过程】解：（1）由二次函数交点式表达式得：2(3)(4)(12)y a x x a x x =+-=--， 即：124a -=，解得：13a =-，则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)-、(4,0)、(0,4)， 则5AC =，7AB =，42BC =，45OAB OBA ∠=∠=︒，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+⋯①， 同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， 设直线AC 的中点为3(2M -，4)，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34-，同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：3748y x =-+⋯②，①当AC AQ =时，如图1，则5AC AQ ==，设：QM MB n ==，则7AM n =-，由勾股定理,得22(7)25n n -+=，解得3n =或4（舍去4)， 故点(1,3)Q ；②当AC CQ =时，如图1，5CQ =，则425BQ BC CQ =-=-，则8522QM MB -==， 故点52(2Q ，852)2-； ③当CQ AQ =时， 联立①②并解得：252x =（舍去）； 故点Q 的坐标为：(1,3)Q 或52(2，852)2-； （3）设点211(,4)33P m m m -++，则点(,4)Q m m -+，OB OC =Q ，45ABC OCB PQN ∴∠=∠=︒=∠，22211272sin (44)23366PN PQ PQN m m m m m =∠=-+++-=-+， 206-<Q ，PN ∴有最大值， 当72m =时，PN 的最大值为：49224．【知识点】二次函数的解析式；勾股定理；一元二次方程；分类讨论。
2019年甘肃省武威市中考数学试卷
2019年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1. 下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A. B.C. D.2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−1，那么点B表示的数是( )A.0B.1C.2D.33. 下列整数中，与√13最接近的整数是()A.2B.3C.4D.54. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )A.7×10−7B.0.7×10−8C.7×10−8D.7×10−95. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )A.180∘B.360∘C.540∘D.720∘7. 不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )A.x≤3B.x≤−3C.x≥3D.x≥−38. 下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )A.①B.②C.③D.④9. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是( )A.22.5∘B.30∘C.45∘D.60∘10. 如图①，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0, −2)，“马”位于点(4, −2)，则“兵”位于点________．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数61404040100003600080640出现“正面朝上”的次数3109204849791803139699频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为________（精确到0.1）．因式分解：xy2−4x=________．关于x的一元二次方程x2+√mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为________．将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________．把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于________．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k=________．已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是________．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤计算：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？已知：在△ABC中，AB=AC．(1)求作△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=________．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60∘．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30∘时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：40≤x ≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：(1)由上表填空：a=________，b=________，c=________，d=________．(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限如图，已知反比例函数y=kx交于A(1, 3)，B(3, 1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)已知点P(a, 0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=−x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图x象直接写出a的取值范围．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE=2√3，求⊙D的半径．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60∘．点拨：如图②，作∠CBE=60∘，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≅△EBM(SAS)，可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60∘，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120∘，所以∠5+∠6=120∘，即：∠AMN=60∘．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90∘．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案与试题解析2019年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【考点】认识立体图形【解析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；B、该几何体为圆锥，不符合题意；C、该几何体为三棱柱，符合题意；D、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C.2.【答案】D【考点】数轴【解析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−1，∴点B表示的数是：3．故选D.3.【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】此题暂无解析【解答】解：∵32=9，42=16，∴3<√13<4，∵13与9的距离大于16与13的距离，∴与√13最接近的整数是4．故选C.4.【答案】D【考点】科学记数法–表示较小的数【解析】由科学记数法知0.000000007＝7×10−9；【解答】解：0.000000007=7×10−9.故选D.5.【答案】B【考点】几何变换的类型【解析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B.6.【答案】C【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形内角和公式(n−2)×180∘即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：(5−2)×180∘=540∘.故选C.7.【答案】A【考点】解一元一次不等式【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得−x≥−3，系数化为1，得x≤3.故选A.8.【答案】B【考点】分式的加减运算【解析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：xx−y −yx+y=x(x+y)(x−y)(x+y)−y(x−y)(x−y)(x+y)=x2+xy−xy+y2 (x−y)(x+y)=x2+y2x2−y2．故从第②步开始出现错误．故选B.9.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90∘，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的√2倍，即AB=√2OA，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90∘，∴∠ASB=12∠AOB=45∘．故选C.10.【答案】B【考点】动点问题函数的图象三角形的面积矩形的性质【解析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP 面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB⋅12BC=3，即AB⋅BC=12，当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC=7，则BC=7−AB，代入AB⋅BC=12，得AB2−7AB+12=0，解得AB=4或3，因为AB<AD，即AB<BC，所以AB=3，AD=BC=4．故选B.二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.【答案】(−1, 1)【考点】位置的确定【解析】直接利用“帅”位于点(0, −2)，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(−1, 1)．故答案为：(−1, 1)．【答案】0.5【考点】利用频率估计概率频数（率）分布表【解析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为：0.5.【答案】x(y+2)(y−2)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2−4x，=x(y2−4)，=x(y+2)(y−2)．故答案为：x(y+2)(y−2).【答案】4【考点】根的判别式【解析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2−4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，Δ=b2−4ac=(√m)2−4=0，得m=4.故答案为：4.【答案】y=(x−2)2+1【考点】二次函数的性质二次函数的三种形式【解析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1，所以y=(x−2)2+1．故答案为：y=(x−2)2+1．【答案】4−π【考点】图形的剪拼扇形面积的计算【解析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1=2，故答案为：4−π. 【答案】85或14【考点】等腰三角形的性质 【解析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解 【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180∘−80∘2=50∘，∴ 特征值k =8050=85；②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180∘−80∘−80∘=20∘， ∴ 特征值k =2080=14. 综上所述，特征值k 为85或14. 故答案为：85或14.【答案】 13a +21b 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【解答】解：由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，故易知第7个数是5a +8b ，第8个数是8a +13b ，第9个数是13a +21b . 故答案为：13a +21b . 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤【答案】解：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0， =4−(2−√2)−2×√22+1，=4−2+√2−√2+1，=3． 【考点】特殊角的三角函数值 零指数幂 实数的运算 绝对值 【解析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解：(−2)2−|√2−2|−2cos45∘+(3−π)0，=4−(2−√2)−2×√22+1，=4−2+√2−√2+1，=3． 【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元，y 元， 根据题意可得：{12y +20x =112,12x +20y =144,解得：{x =2,y =6.所以中性笔和笔记本的单价分别是2元和6元. 【考点】二元一次方程组的应用——其他问题 【解析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案． 【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元，y 元，根据题意可得：{12y +20x =112,12x +20y =144, 解得：{x =2,y =6.所以中性笔和笔记本的单价分别是2元和6元. 【答案】解：(1)如图⊙O 即为所求．25π【考点】作图—复杂作图三角形的外接圆与外心 垂径定理 勾股定理 【解析】（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O ，⊙O 即为所求．（2）在Rt △OBE 中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题．解：(1)如图⊙O即为所求．(2)设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意OE=4，BE=EC=3.在Rt△OBE中，OB=√32+42=5，∴S⊙O=π⋅52=25π．故答案为：25π．【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90∘，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH.在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60∘，∴CE=AC⋅sin60∘=34.6(cm)，∴FH=CE=34.6(cm).∵DH=49.6cm，∴DF=DH−FH=49.6−34.6=15(cm).在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30∘，∴此时台灯光线为最佳．【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90∘，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH.在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60∘，∴CE=AC⋅sin60∘=34.6(cm)，∴FH=CE=34.6(cm).∵DH=49.6cm，∴DF=DH−FH=49.6−34.6=15(cm).在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD =1530=12，∴∠DCF=30∘，∴此时台灯光线为最佳．【答案】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．【考点】概率的意义列表法与树状图法【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】11,10,78,81(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×1+240=90（人）.(3)八年级的总体水平较好.∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好．【考点】众数中位数算术平均数频数（率）分布表用样本估计总体【解析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：(1)由题意知a=11，b=10，将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，∴其中位数c=77+792=78，八年级成绩的众数d=81.故答案为：11；10；78；81.(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×1+240=90（人）.(3)八年级的总体水平较好.∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好．【答案】交于A(1, 3)，B(3, 1)两点，∴3=k，3=−1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=−x+4；x(2)由图象可得：当1<a<3时，PM>PN．【考点】反比例函数与一次函数的综合待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式【解析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．【解答】(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限解：(1)∵反比例函数y=kx交于A(1, 3)，B(3, 1)两点，∴3=k，3=−1+b，1∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3，y=−x+4；x(2)由图象可得：当1<a<3时，PM>PN．【答案】(1)证明：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=∠C=30∘.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30∘，∴∠ADC=60∘，∴∠DAC=180∘−60∘−30∘=90∘，∴AC是⊙D的切线；(2)解：连接AE.∵AD=DE，∠ADE=60∘，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60∘，∴∠EAC=∠AED−∠C=30∘，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=2√3，∴⊙D的半径AD=2√3．【考点】等边三角形的性质与判定三角形的外角性质三角形内角和定理切线的判定等腰三角形的性质【解析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30∘，∠BAD＝∠B＝30∘，求得∠ADC＝60∘，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180∘−60∘−30∘＝90∘，于是得到AC 是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60∘，求得∠EAC＝∠AED−∠C＝30∘，得到AE＝CE＝2√3，于是得到结论．【解答】(1)证明：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=∠C=30∘.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=30∘，∴∠ADC=60∘，∴ AC 是⊙D 的切线； (2)解：连接AE .∵ AD =DE ，∠ADE =60∘，∴ △ADE 是等边三角形， ∴ AE =DE ，∠AED =60∘， ∴ ∠EAC =∠AED −∠C =30∘， ∴ ∠EAC =∠C ， ∴ AE =CE =2√3，∴ ⊙D 的半径AD =2√3． 【答案】证明：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1，EC 1.则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1=90∘=∠A 1B 1M 1， ∴ △EB 1C 1是等腰直角三角形， ∴ ∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45∘.∵ N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴ ∠M 1C 1N 1=90∘+45∘=135∘， ∴ ∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180∘， ∴ E ，C 1，N 1，三点共线. 在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中， {A 1B 1=EB 1,∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1,B 1M 1=B 1M 1,∴ △A 1B 1M 1≅△EB 1M 1(SAS)， ∴ A 1M 1=EM 1，∠1=∠2. ∵ A 1M 1=M 1N 1， ∴ EM 1=M 1N 1， ∴ ∠3=∠4.∵ ∠2+∠3=45∘，∠4+∠5=45∘， ∴ ∠1=∠2=∠5. ∵ ∠1+∠6=90∘， ∴ ∠5+∠6=90∘，∴ ∠A 1M 1N 1=180∘−90∘=90∘． 【考点】全等三角形的性质与判定 四边形综合题 【解析】∠A 1B 1M 1，得出△EB 1C 1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B 1EC 1＝∠B 1C 1E ＝45∘，证出∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1＝180∘，得出E 、C 1、N 1，三点共线，由SAS 证明△A 1B 1M 1≅△EB 1M 1得出A 1M 1＝EM 1，∠1＝∠2，得出EM 1＝M 1N 1，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90∘，即可得出结论． 【解答】证明：延长A 1B 1至E ，使EB 1=A 1B 1，连接EM 1，EC 1.则EB 1=B 1C 1，∠EB 1M 1=90∘=∠A 1B 1M 1， ∴ △EB 1C 1是等腰直角三角形， ∴ ∠B 1EC 1=∠B 1C 1E =45∘.∵ N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴ ∠M 1C 1N 1=90∘+45∘=135∘， ∴ ∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180∘， ∴ E ，C 1，N 1，三点共线. 在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中， {A 1B 1=EB 1,∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1,B 1M 1=B 1M 1,∴ △A 1B 1M 1≅△EB 1M 1(SAS)， ∴ A 1M 1=EM 1，∠1=∠2. ∵ A 1M 1=M 1N 1， ∴ EM 1=M 1N 1， ∴ ∠3=∠4.∵ ∠2+∠3=45∘，∠4+∠5=45∘， ∴ ∠1=∠2=∠5. ∵ ∠1+∠6=90∘， ∴ ∠5+∠6=90∘，∴ ∠A 1M 1N 1=180∘−90∘=90∘． 【答案】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y =a(x +3)(x −4) =a(x 2−x −12) =ax 2−ax −12a ，即−12a =4，解得：a =−13，则抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；(2)存在，理由：点A ，B ，C 的坐标分别为(−3, 0)，(4, 0)，(0, 4)，将点B，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=−x+4①，同理可得直线AC的表达式为：y=43x+4.设线段AC的中点为K(−32, 2)，过点M与CA垂直直线的表达式中的斜率为−34.同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y=−34x+78②.①当AC=AQ时，则AC=AQ=5.设QM=MB=n，则AM=7−n.由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q(1, 3)；②当AC=CQ时，CQ=5，则BQ=BC−CQ=4√2−5，则QM=MB=8−5√22，故点Q(5√22, 8−5√22)；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=252（舍去）．故点Q的坐标为：Q(1, 3)或(5√22, 8−5√22)；(3)设点P(m, −13m2+13m+4)，则点Q(m, −m+4).∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45∘=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)=−√26(m−2)2+2√23.∵−√26<0，∴PN有最大值，当m=2时，PN的最大值为2√23．【考点】等腰三角形的性质与判定二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式二次函数的最值【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；（3）由PN＝PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)即可求解．【解答】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x−4)=a(x2−x−12)=ax2−ax−12a，即−12a=4，解得：a=−13，则抛物线的表达式为y=−13x2+13x+4；(2)存在，理由：点A，B，C的坐标分别为(−3, 0)，(4, 0)，(0, 4)，则AC=5，AB=7，BC=4√2，∠OBC=∠OCB=45∘.将点B，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=−x+4①，同理可得直线AC的表达式为：y=43x+4.设线段AC的中点为K(−32, 2)，过点M与CA垂直直线的表达式中的斜率为−34.同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y=−34x+78②.①当AC=AQ时，则AC=AQ=5.设QM=MB=n，则AM=7−n.由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q(1, 3)；②当AC=CQ时，CQ=5，则BQ=BC−CQ=4√2−5，则QM=MB=8−5√22，故点Q(5√22, 8−5√22)；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=252（舍去）．故点Q的坐标为：Q(1, 3)或(5√22, 8−5√22)；(3)设点P(m, −13m2+13m+4)，则点Q(m, −m+4).∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45∘=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=√22(−13m2+13m+4+m−4)=−√26(m−2)2+2√23.∵−√26<0，∴PN有最大值，当m=2时，PN的最大值为2√23．。