二次函数典型例题——特殊四边形

二次函数典型例题——特殊四边形

1、已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1)

=-+与直线y kx

y ax a x

=的一个公共点为

A.

(4,8)

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；

（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

（1）抛物线的解析式22

=-；直线的解析式2

y x x

=;

y x

（2）线段PQ长度的最大值是4；

（3）点N的坐标（3,3），梯形AOMN的面积=9.

2、已知：二次函数y = x 2 + bx + 8的图象与x轴交于点A（– 2，0）．

（1）求二次函数y = x 2 + bx + 8的图象与x轴的另一个交点B及顶点M的坐标；

（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿水平方向向右运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位的速度沿竖直方向向下运动，当点P运动到原点O时，

P、Q同时停止运动. 点C、点D分别为点P、点Q关于原点的对称点，设四边

形PQCD的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系表达式（不必写出t

的取值范围）；

（3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

解：（1）∵y = x 2 + b x + 8的图象与x轴交于点A（-2，0）

∴b = 6

∴二次函数的表达式为：y = x 2 + 6x + 8

令y = 0，得x2 + 6x + 8 = 0，

解，得x1 = – 2，x 2 = – 4

∴B（– 4，0）

y = x 2 + 6x + 8 =（x + 3）2 – 1 ，

∴顶点M （–3，–1） （2）∵点C 、点D 分别为点P 、点Q 关于原点的对称点

∴ OP = OC ，OD = OQ ∴四边形PQCD 是平行四边形 BP = t ，OP = 4 – t ，PC = 2OP = 8 – 2t 作QN ⊥x 轴于点N ，

∵点Q 从点M 出发，沿竖直向下方向运动 ∴点M 必在QN 上

MN = 1，MQ = 2t ，QN = 1+2t S = 2S △PCQ = ( 8 – 2t ) ( 1 + 2t )

= – 4 t 2 + 14t + 8 （3）在（2）的运动过程中，四边形PQCD 能形成矩形

由（2）知四边形PQCD 是平行四边形，当对角线PC = DQ 时，四边形PQCD 是矩形

∴ OP = OQ ，OP 2 = OQ 2 = ON 2 + QN 2 ∴ ( 4 – t ) 2 = 3 2 + ( 1 + 2t ) 2

∴ t 2 + 4t – 2 = 0 解得1222t t ==，（舍）．

∴ 在运动过程中四边形PQCD 可以形成矩形，此时t 的值为2)秒-

在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1：212.y x x =-+

（1）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及它的解析式．

（2）如果x 轴上有一动点M ，那么在两条抛物线C 1、C 2上是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分

∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），

∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分

∴2)3(2

2+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分

∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ．

当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ； ∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;

当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2

-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）．

∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．

已知：抛物线1C ：622

-+-=bx x y 与抛物线2C 关于原点对称，抛物线1C 与x 轴分别

交于A （1,0），B （m,0）,顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ． （1）求m 的值；

（2）求抛物线2C 的解析式；

（3）若抛物线1C 与抛物线2C 同时以每秒1个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向

右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为

'''''',,,,,N M D C B A ，当点'A 与点'D 重合时运动停止．在运动过程中，四边

形'

'''N C M B 能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t （秒）的值，若不能，说明理由．

（东城）27．在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+()0≠a 与x 轴交于点A

（-3,0）、B （1,0）两点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点F 和点D 关于x 轴对称,点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.