中考数学复习 专题三 圆的证明与计算课件.ppt
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2020年江西省赣州市赣州三中中考数学专题复习课件：圆的有关证明与计算(共60张PPT)
∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径．
又∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，
∴∠BDE ＋ ∠ FDE ＝
∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝
∠ACB＝90°.
∴DF⊥BD.
又BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
图3
数学(江西)
第2部分 专题突破
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8. ∴AC＝ AB2－BC2＝ 82－42＝4 3. ∵点 D 是 AC 的中点，∴AD＝CD＝12AC＝2 3. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB＝90°. ∴∠DEA＝180°－∠DEB＝90°. ∴DE＝12AD＝12×2 3＝ 3.
∴△PAO≌△PBO(SSS)．∴∠PAO＝∠PBO. ∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°. ∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA.∴PA是⊙O的切线．
数学(江西)
第2部分 专题突破
(2)如图2，连接BE. 在Rt△AOC中， tan∠BAD＝tan∠CAO＝OACC＝23，且OC＝4， ∴AC＝6.∴BC＝6.
数学(江西)
第2部分 专题突破
(2)解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.∴∠DCF＝90°. 在Rt△DCF中，∠DCE＋∠ECF＝90°， ∠CDE＋∠F＝90°， ∠DCE＝∠CDE，∴∠ECF＝∠F.∴EC＝EF. ∵EF＝3，∴EC＝ED＝3. ∴OE＝ OC2＋EC2＝ 42＋32＝5.
数学(江西)
第2部分 专题突破
(3)解：在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝5， ∴sin∠OAB＝OOBA＝35.∴OA＝235. ∴AB＝ OA2－OB2＝230. ∵AC，AB是⊙O的切线，∴AC＝AB＝230. 又OC＝OB，∴OA垂直平分BC. ∴CD＝BD＝4，BC＝8.
圆的证明与计算PPT
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和 计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形 式由原来的单图题演变成双图题;
第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中 简单性质进行计算和证明; 第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查 学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线 段比、三角函数的有关问题的能力。
圆的证明与计算
（双图题）专题探究
华科附中初三备课组 主讲人：常静
一、圆中的有关知识点：
1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明— —弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
原创例题2：
来源：课本九年级上册86页例2
第一问考查：
利用弦切角 找特殊直角三 角形
构题的出发点：
以切割线为背景合理 运用圆的有关性质和 勾股定理建立方程进 行计算。
第二问考查：（基本策略）
看见等弧找等弦；看见直径找直角； 看见三角函数找直角三角形； 看见切割线找相似 目标线段旁有特殊角的情况下，作垂 线构造直角三角形。
（3）如图（3）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE； 1 CK= 2 BE=DC；AE+AB=2AK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB
2018年中考数学复习 滨州专版 课件 专题三圆的证明与计算
2014年中考试题第21题考查了切线的判定和阴影面积的计
算；2013年中考试题第22题考查了切线的判定．
类型一 切线的判定 判定某直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线
与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与
切点，构造半径证垂直．
例1 (2016•黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上 (异于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定 理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得 ∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论
得证．
【自主解答】 (1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，
∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E是⊙O上一点， ∴DE是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知∠BEC＝90°. 在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角， ∴△BEC∽△BCA，
即BC2＝BE·BA. ∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x. 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.
一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD. (1)求证：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝ 1时，求MN的长．
【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB ＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋ ∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三
类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合， 一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半
圆 初三 ppt课件ppt课件ppt
圆的性质
01
圆的直径是半径的两倍 ，半径是直径的一半。
02
圆内接正多边形的所有 边都相等，所有内角也 都相等。
03
圆的外切正多边形的所 有边都相等，所有内角 也都相等。
04
圆的周长和面积都随着 半径的增加而增加。
圆的度量
圆的周长公式
C = 2πr，其中r是圆的半径。
圆的面积公式
A = πr^2，其中r是圆的半径。
圆弧的长度公式
圆内接多边形的周长和面积公式
L = θ/360° × 2πr，其中θ是圆心角的大小 ，r是圆的半径。
P = nπr/180，A = nr^2/4，其中n是多边 形的边数，r是圆的半径。
02 圆的对称性
圆的中心对称性
总结词
圆关于其圆心对称
详细描述
圆关于其圆心具有中心对称性 ，即任意一点关于圆心的对称 点也在圆上。
• 总结词：掌握圆的综合问题需要理解圆的性质和定理，以 及与其他几何知识的结合。
圆的综合问题 圆的综合问题
圆的综合题解题思路 利用圆的性质和定理解决实际问题。
结合其他几何知识，如三角形、四边形等，进行解题。
圆的综合问题 圆的综合问题
运用代数、方程等数学方法进行求解。 圆的综合题解题方法
观察题目，分析已知条件和未知量。
C = 2πr，其中r是圆的半 径，π是一个常数约等于 3.14159。
周长计算方法
使用圆的半径计算出周长 ，可以通过公式直接计算 ，也可以使用计算器或图 形计算软件进行计算。
周长计算实例
假设一个圆的半径为5厘 米，那它的周长就是 31.4厘米。
圆在几何作图中的应用
圆规作图
圆规是用来画圆的工具，通过固定半径长度，可以在纸上 画出标准的圆形。
初中数学 圆 ppt课件ppt课件ppt
圆上两点之间的最短距离
圆上两点之间的最短距离是经过这两 点的直径。
圆的性质
圆的对称性
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆的直径与半径的关系
在一个圆中，直径是半径的两倍。
圆的周长与面积的关系
圆的周长与半径成正比，与面积成正比。
圆的分类
01
02
03
按照半径分类
根据半径的大小，可以将 圆分为大圆和小圆。
初中数学 圆 ppt课件
目录
• 圆的基本概念 • 圆的性质和定理 • 圆的计算 • 圆的实际应用 • 圆的复习与巩固
01
圆的基本概念
圆的基本定义
圆上三点确定，三个不共线的点可以 确定一个圆，其中任意两点为直径的 两个端点，第三个点为圆心。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段，所有半径都相等 。
圆心到圆上任一点的距离相等，即半径。
圆的重点知识回顾
圆心在圆内、圆上、圆外的性质。 圆的周长与面积
周长公式：$C = 2pi r$
圆的重点知识回顾
面积公式：$S = pi r^{2}$
圆与直线的位置关系
圆周率$pi$是一个无 限不循环小数，近似 值为3.14159。
圆的重点知识回顾
相交
有且仅有一个公共点。
无处不在，形状完美
详细描述
生活中随处可见圆形的物体，如车轮、餐具、建筑物的窗户等，这是因为圆具 有完美的对称性和连续性，给人以舒适和完美的视觉感受。
圆在几何图形中的应用
总结词
基础图形，构建其他图形
详细描述
圆是几何学中的基础图形之一，它可以与其他图形结合，形成更复杂的图形，如 椭圆、圆弧等。这些复杂的图形在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。
中考数学 第二部分 专题综合强化 专题三 圆的相关证明与计算实用课件
4
(3)利用相似三角形求解：圆的综合题中往往会涉及切线的性质与圆周角定理推 论的结合，因此利用等角之间的等量代换找出与要求线段相关的两个三角形相似是 解题关键，另外对圆周角定理的灵活运用也非常重要；
(4)运用等面积公式，也可求解点到直线距离类题．
5
例1 (2018·泰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交 ⊙O于点D，DE⊥BC于点E.
12
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
思路点拨 设⊙O的半径为R，则OE＝R＋1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求
解即可． 【解答】 设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°， ∴ED2＋OD2＝OE2，∴32＋R2＝(R＋1)2， 解得R＝4，∴⊙O的半径为4.
13
类型3 与圆有关的弦切角问题
例3 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于
点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
14
思路点拨
连 接 EO ， 由 ∠ EOG ＝ 2∠C ， ∠ ABG ＝ 2∠C 知 ∠ EOG ＝ ∠ ABG ， 从 而 得 AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证．
2
(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的 长等于圆的半径，可简述为：“无切点，作垂直，证半径”．证明垂线段的长等于 半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．圆中求角度或证明角相等的几种思路 (1)利用切线的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90°进行角度转化求 解； (2)利用圆周角定理及其推论，通常圆中相等的角代换可得角的大小； (3)利用圆周角定理的推论、勾股定理等得到一组平行线，通常圆中相等的角代 换可得角的大小．
中考复习(圆与证明)课件
总结词
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
中考数学专题复习 圆的证明和计算 课件
并说明理由；
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D， 点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
四、达标测评 查漏补缺
第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结合。抓住 让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样依次被 你的重要线头给连接起来了。
第四步：干净利索的写出解题思路与步骤，就完美得分。
二、典例分析 规律总结
类型三：与相似三角形（三角函数）有关
（2017宣城）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上， 且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线；
解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
二、典例分析 规律总结
（2016 云南模拟） 如图,AB是⊙O 的直径,点P在BA的延长 线上,弦 CD⊥AB 于点E, ∠POC=∠PCE . (1)求证:PC是⊙O 的切线.
(2)若 OE：EA=1：2 , PA= 6 , 求⊙O的半径.
典例分析 规律总结
一、粗看图形：看图形，找平行线，垂线，中点，相似三 角形，等腰三角形和直角三角形 二、带问题速审题：三个条件：一是见直径定构直角三角 形： AB是⊙O 的直径，二是弦 CD⊥AB 于点E ，三是： 圆中三类角的数量关系定构切线， ∠POC=∠PCE 。 三、抓常见几何模型：平行线构相似形，共边共角构相似 型（一般和特殊的双垂图），垂径定理。 四、整理思路并书写解题步骤。
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D， 点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.
四、达标测评 查漏补缺
第三步，将已知条件和发散的结论，待求的结论三三结合。抓住 让它们穿针引线的那几个关键线头，其实这个难题就这样依次被 你的重要线头给连接起来了。
第四步：干净利索的写出解题思路与步骤，就完美得分。
二、典例分析 规律总结
类型三：与相似三角形（三角函数）有关
（2017宣城）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上， 且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线；
解决与圆的有关计算题的两大宝剑：解直角三角形，相似三角形
二、典例分析 规律总结
（2016 云南模拟） 如图,AB是⊙O 的直径,点P在BA的延长 线上,弦 CD⊥AB 于点E, ∠POC=∠PCE . (1)求证:PC是⊙O 的切线.
(2)若 OE：EA=1：2 , PA= 6 , 求⊙O的半径.
典例分析 规律总结
一、粗看图形：看图形，找平行线，垂线，中点，相似三 角形，等腰三角形和直角三角形 二、带问题速审题：三个条件：一是见直径定构直角三角 形： AB是⊙O 的直径，二是弦 CD⊥AB 于点E ，三是： 圆中三类角的数量关系定构切线， ∠POC=∠PCE 。 三、抓常见几何模型：平行线构相似形，共边共角构相似 型（一般和特殊的双垂图），垂径定理。 四、整理思路并书写解题步骤。
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径
圆 初三 ppt课件ppt课件
CHAPTER
06
圆的综合题解题思路
圆的综合题解题方法
利用圆的性质
根据圆的性质，如圆周 角定理、垂径定理等， 推导出其他相关条件或
结论。
数形结合
将圆的性质与代数方程 相结合，通过代数运算
解决问题。
构造辅助线
在解题过程中，根据需 要构造辅助线，以连接 圆上的点或与其他图形
建立联系。
运用相似三角形
在解题过程中，通过构 造相似三角形，利用相 似三角形的性质解决问
THANKS
感谢观看
详细描述
圆的一般方程是$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$，其中$D, E, F$是三个系数 。这个方程表示所有满足这个方程的点都在圆上。通过解这个方程，可以得到圆 上三个点的坐标。
圆的参数方程
总结词
圆的参数方程是一种基于三角函数的描述圆的方式，它通过 角度和半径来描述圆上的点。
题。
圆的综合题解题技巧
寻找隐含条件
在题目中寻找隐含条件，这些条件可 能对解题起到关键作用。
化复杂为简单
将复杂的问题分解为多个简单的问题 ，逐一解决，最后再综合起来。
利用特殊到一般的思路
先考虑特殊情况，再推广到一般情况 ，这样有助于找到解题思路。
注意图形的变化
在解题过程中，注意图形的变化，如 角度、长度等的变化，并利用这些变 化解决问题。
VS
详细描述
根据圆的对称性质，我们可以利用已知圆 上的任意一点或直径两端点来作出一个与 已知圆相切或重合的新圆。具体操作包括 通过圆心和已知圆上一点作圆，以及通过 两个已知圆的中心和它们之间的距离作圆 。
利用已知点作圆