2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高三下学期5月联考数学(理)试题及答案
sin x cos x
sin x cos x 0, 即 sin x cos x
0 x 2
x 5
4
4
故选：C
点评：
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据 sin x, cos x 的关系即可求解，属于简单题目.
5．设 x、y、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z 均为直线；②x、y 是直
即 f (x 1) f (x 1) f (x 1)
即 f x f x 2
则 f x 4 f x 2 f x 即 f x 是周期为 4 的周期函数。
若 f 2 2 ，则 f 2019 f 2020 1 f 1 g 0 0
故选：B
点评：
此题考查函数的奇偶性与周期性结合化简求值，熟练掌握奇偶性和周期性的表达式，属于简单题目.
f x1 f x2
x1 x2
8，
即 f x1 f x2 8 x1 x2 ，
f x1 f x2 8 x2 x1 ， f x1 8x1 f x2 8x2 ，
AE 7 ， AC 3 3 ， cos AEC 7 16 27 1 ， 2 74 2 7
sin AEC 3
3
， 2R
AC sin AEC
3 3
3 3
2
7 ，R
7 ， S 28 .
27
27
故选：A
点评：
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于
解：
如图，取 BD 的中点 M，CBD 和 ABD 的外接圆半径为 r1 r2 2 ，CBD 和 ABD 的外心O1 ，
O2 到弦 BD 的距离（弦心距）为 d1 d2 1.
法一：四边形 OO1MO2 的外接圆直径 OM 2 ， R 7 ， S 28 ；
法二： OO1 3 ， R 7 ， S 28 ； 法三：作出 CBD 的外接圆直径 CE ，则 AM CM 3 ， CE 4， ME 1，
先根据向量坐标运算求出 u v 3, 3 和 cos u,u v ，进而求出 sin u,u v ，代入题中给的
定义即可求解.
解：
由题意 v u u v
1,
3
，则 u v 3,
3
，cos u,u v
3 ，得 sin u,u v 2
1， 2
由定义知 u u v u u v sin u,u v 2 2 3 1 2 3 ， 2
6
2
解：
依题意得，
f
3
2 sin
3
1
0
，即 sin
3
1 2
，
解得 3
2k1
6
或 3
2k2
5 6
（其中 k1 ， k2 Z ）.①
又
sin
6
1 ，
即 6
k3
2
（其中
k3
Z
）.②
由① ②得 2
2k1
k3
3
或 2
2k2
k3
3
，
即
2 2k1
绝密★启用前
2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高三 下学期5月联考数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写
在答题卡上
一、单选题
1．a 为正实数，i 为虚数单位， A．2B． C． D．1 答案：B 略
，则 a=（）
2．已知集合
7．若
3x
x
1
x
n
n N*
a
的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 a ，则
a
a2 x2 dx （）
A． 36
B． 81 2
C． 25 2
D． 25
答案：C
3x
1
n
n N* 展开式的通项为
xx
Tr1 Cnr
3x
nr
1 xx
r
3nr
Cnr
n
x
5 2
r
,
r
0,1,
k3
2 3
或
2 2k2
k3
2 3
（其中
k1
，
k2
，
k3
Z
），因此
的最小值为
2 3
.
因为
sin
6
sin
9
1
，所以
9
2
k
（
k
Z
）.
又
0
，所以
2
9
，所以
f
x
2 sin
2 3
x
2
9
1
2 cos
2 3
x
9
1，
令 2k 2 x 2k （ k Z ），则 3k 5 x 3k （ k Z ）.
线，z 是平面；③z 是直线，x、y 是平面；④x、y、z 均为平面.其中使“ x z 且 y z x∥y ”
为真命题的是（）
A．③④
B．①③
C．②③
D．①②
答案：C
①举反例，如直线 x、y、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③
用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如 x、y、z 位于正方体的三个共点侧面时. 解： ①当直线 x、y、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；
A
x Z
12 3 x
N ，
B
x x2 4x 5 0
，则 A
B （）
A． 1, 0,1, 3
B． 1,0,1, 2
C． 1, 0,1
D．0,1, 2,3
答案：A 解出集合 A,B，然后根据交集运算即可. 解：
A 15, 9, 7,6,5,4,2,1,0,1,3,9
B {x | 1 x 5}
较易题目.
12．已知函数 f x 2a 2ln x 2ax2 5 .设 a 1，若对任意不相等的正数 x1 ， x2 ，恒有
f x1 f x2 8 ，则实数 a 的取值范围是（）
x1 x2
A． 3,1
B． 2, 1
C． , 3
D． , 2
答案：D
求解 f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数 x1, x2 ，构造新函数，讨论其单调性即可
6
A．
3k
3
, 3k
6
（
k
Z
）
B．
3k
5 3
, 3k
6
（
k
Z）
C．
2k
2 3
, 2k
6
（
k
Z
）
答案：B
D．
2k
3
, 2k
6
（k
Z
）
根据函数
f
x 的一个零点是
x 3
，得出
f
3
0
，再根据
x 6
是对称轴，得出
k , k Z ，求出 w 的最小值与对应的 ，写出 f x 即可求出其单调增区间.
所以 b 2a ，因此渐近线的方程为 y 2x .
故选 B
点评：
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
10．已知函数 f x 2sin x 1（ 0 ，0 ）的一个零点是 ，函数 y f x 图 3
象的一条对称轴是直线 x ，则当 取得最小值时，函数 f x 的单调递增区间是（）
则 f 2019 的值为（）
A．2
B．0
C． 2
D． 2
答案：B
根据函数的奇偶性，建立方程关系求出 f x 是周期为 4 的周期函数，结合函数的周期性进行转化
求解即可. 解：
f x 是 R 上的偶函数， g x 是 R 上的奇函数，且 g x f x 1
g(x) g(x) 即 f (x 1) f (x 1) f (x 1)
y2
b2 16
相切于点
M
，
因为 PF1F2 是以圆 O 的直径 F1F2 为斜边的圆内接三角形，所以 F1PF2 90 ，
又因为圆 E 与直线 PF2 的切点为 M ，所以 EM / / PF1 ，
又
F2 E F2 F1
1 4
，所以
PF1
4b 4
b，
因此 PF2 2a b ，
因此有 b2 (2a b)2 4c2 ，
渐近线方程是（）
A． y x
B． y 2x
C． y 3x
D． y 2x
答案：B
先设直线
PF2
与圆
E
:
x
c
2
2
y2
b2 16
相切于点
M
，根据题意，得到
EM
/
/ PF1
，再由
F2 E F2 F1
1 4
，根据勾股定理求出 b
2a ，从而可得渐近线方程.
解：
设直线
PF2
与圆
E
:
x
c 2
2
的四面体 ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（）
A． 28 C．14
答案：A
B． 7
D． 21
画图取 BD 的中点 M，法一：四边形 OO1MO2 的外接圆直径为 OM，即可求半径从而求外接球表面
积；法二：根据 OO1 3 ，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出 CBD 的外接圆直径 CE ， 求出 AC 和 sin AEC ，即可求半径从而求外接球表面积；
答案：C
B． x 7
4
4
C． x 5
4
4
D． x 3
2
2
湖南省师大附中2019届高三数学月考试题五理
湖南省师大附中2019届高三数学月考试题（五）理时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z·(－1＋3i)＝1＋7i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】易得z ＝2－i ，则z 对应的点为(2，1)．故选A.2．设m 为给定的一个实常数，命题p ：x ∈R ，x 2－4x ＋2m≥0，则“m≥3”是“命题p 为真命题”的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若命题p 为真，则对任意x∈R ，x 2－4x ＋2m≥0恒成立，所以Δ＝16－8m≤0，即m≥2.因为m≥3m ≥2，则“m≥3”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件．选A. 3．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝(B) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15【解析】由S 5＝5a 3＝25a 3＝5，所以公差d ＝a 3－a 2＝2， 所以a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13，故选B.4．已知某7个数的平均数为3，方差为s 2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x ，方差为72，则(B)A ．x ＝3，s 2＝2 B ．x ＝3，s 2＝4 C ．x ＝3，s 2＝28 D ．x ＝6，s 2＝72【解析】∵这7个数的平均数为3，方差为s 2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x ，方差为72，∴x ＝7×3＋38＝3，又由72×8×17＝4，得s 2＝4.故选B.5．若正整数N 除以正整数m 后的余数为r ，则记为N ＝r(mod m)，例如13＝3(mod 5)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i 等于(C)A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】第一次执行循环体，得i ＝2，N ＝18，此时18＝0(mod 3)，不满足第一条件； 第二次执行循环体，得i ＝4，N ＝22，此时22＝1(mod 3)，但22＜25，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i ＝8，N ＝30，此时30＝0(mod 3)，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i ＝16，N ＝46，此时46＝1(mod 3)，且46＞25，退出循环．所以输出i 的值为16.选C.6．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论正确的是(D)A ．PB ⊥ADB ．平面PAB⊥平面PBC C ．直线BC∥平面PAED ．直线CD⊥平面PAC【解析】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确． 过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB⊥平面PBC ，则AH⊥平面PBC ，所以AH⊥BC. 又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB ，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确．若直线BC∥平面PAE ，则BC∥AE，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确．故选D.7．在(x ＋3y)(x －2y)5的展开式中，x 2y 4的系数为(B) A ．－320 B ．－160 C ．160 D ．320【解析】(x －2y)5的展开式中第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·(－2y)r， 令5－r ＝1，得r ＝4；令5－r ＝2，得r ＝3.∴在(x ＋3y)(x －2y)5展开式中x 2y 4的系数为C 45×(－2)4＋3×C 35×(－2)3＝－160.故选B.8．若函数f(x)＝asin ωx ＋bcos ωx(0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则f(x)的最小正周期是(B) A ．π B ．2π C.π2 D.π4【解析】由题设，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b)＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b ，又f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以a ω⎝⎛⎭⎪⎫cos ωπ4－sin ωπ4＝0，从而tan ωπ4＝1，ωπ4＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝4k ＋1，k ∈Z ，而0<ω<5，所以ω＝1，于是f ()x ＝2asin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f(x)的最小正周期是2π.选B.9．已知点(x ，y)是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤4，ax ＋by ＋2≥0表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则ab＝(B)A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】由z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4得A(3，1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＝1得B(1，－1)，由题意知A ，B 两点在直线ax ＋by ＋2＝0上，故a ＝－1，b＝1.选B.10．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则BD →·AC →的取值范围是(D)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－212，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，212C.[]0，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－212，52【解析】∵D 是边AC 上的一点(包括端点)，∴设BD →＝λBA →＋(1－λ)BC →(0≤λ≤1)， ∵∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，∴BA →·BC →＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴BD →·AC →＝[λBA →＋(1－λ)BC →]·(BC →－BA →)＝λBA →·BC →－λBA →2＋(1－λ)BC →2－(1－λ)BC →·BA →＝－13λ＋52，∵0≤λ≤1，∴－212≤－13λ＋52≤52.∴BD →·AC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－212，52.故选D.11．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>0，b>0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围是(A)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，63【解析】已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>0，b>0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：||AF ＋||AN ＝2a ，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以2a ＝2ccos α＋2csin α，利用e ＝2c 2a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴π3≤α＋π4≤π2，22≤12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤63，即椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63，故选A. 12．设平行于x 轴的直线l 分别与函数y ＝2x和y ＝2x ＋1的图象相交于点A ，B ，若在函数y ＝2x的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l(C)A ．至少一条B ．至多一条C ．有且只有一条D ．无数条【解析】设直线l 的方程为y ＝a(a ＞0)，由2x＝a ，得x ＝log 2a ，所以点A(log 2a ，a)．由2x ＋1＝a ，得x ＝log 2a －1，所以点B(log 2a －1，a)，从而|AB|＝1. 如图，取AB 的中点D ，连接CD.因为△ABC 为等边三角形，则CD⊥AB，且|AD|＝12，|CD|＝32，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a －12，a －32.因为点C 在函数y ＝2x的图象上，则a －32＝2log 2a －12＝a2， 解得a ＝32－2，所以直线l 有且只有一条，选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为__2＋π2__．【解析】由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V 1＝2×1×1＝2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则14圆柱体的体积V 2＝14×π×12×1＝π4，则该几何体的体积V ＝V 1＋2V 2＝2＋π2.14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2＋x ＋a ），x ≥0，1－x 2，x<0的值域为R ，则实数a 的最大值是__2__． 【解析】当x ＜0时，f(x)＝1－x 2＜1.因为f(x)的值域为R ，则当x≥0时，f(x)min ≤1.因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(0)≤1，即log 2a ≤1，所以0＜a≤2.a 的最大值为2.15．已知点A(1－m ，0)，B(1＋m ，0)，若圆C ：x 2＋y 2－8x －8y ＋31＝0上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则正实数m 的取值范围是__[4，6]__．【解析】圆C 的方程化为：(x －4)2＋(y －4)2＝1. ∴设P(4＋cos θ，4＋sin θ)，如图，线段AB 的中点坐标为(1，0)，|AB|＝2|m|， ∴P 点到线段AB 中点的距离为|m|，∴(3＋cos θ)2＋(4＋sin θ)2＝m 2，∴26＋6cos θ＋8sin θ＝m 2，∴26＋10sin(θ＋φ)＝m 2，其中tan φ＝34，∴16≤m 2≤36，又m>0，∴4≤m ≤6.16．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n∈N *)．b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23__．【解析】因为a n ＋1＝a n a n ＋21a n ＋1＝2a n＋11a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋11a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n， 所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{}b n 是单调递增数列，所以当n≥2时，b n ＋1>b n (n －2λ)·2n >(n －1－2λ)·2n －1n>2λ－12>2λ－1λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1(1－2λ)·2>－λλ<23，因此λ<23.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，3sin B ＋C2－cos A ＝1.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求cos B ＋cos C 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由已知，3sin B ＋C 2－cos A ＝1，即3cos A 2＝2cos 2A2.(2分)在△ABC 中，因为0<A<π，则0<A 2<π2，所以cos A 2≠0，从而cos A 2＝32.(5分)所以A 2＝π6，即A ＝π3.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC 中，B ＋C ＝2π3，则π6<B<π2，cos B ＋cos C ＝cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，(9分) 由π6<B<π2知π3<B ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，即cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，1.(12分)18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P －ABC 的顶点P 在圆柱轴线O 1O 上，底面△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，且∠ABC＝60°，O 1O ＝AB ＝4，⊙O 1上一点D 在平面ABC 上的射影E 恰为劣弧AC 的中点．(Ⅰ)设|OP|＝12，求证：DO⊥平面PAC ；(Ⅱ)设|OP|＝1，求二面角D －AC －P 的余弦值．【解析】解法一：(Ⅰ)连结DE ，OE ，设OE 与AC 的交点为G ，连结PG ，DG ，DO ， 因为△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，又∠ABC ＝60°，AB ＝4， 故BC ＝2，AC ＝23，因为E 是弧AC 中点，所以OE⊥AC，OG ＝12BC ＝1.又因为DE⊥平面ABC ，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO 1， 故DO⊥AC.又OP ＝12，所以在矩形DEOO 1中，tan ∠PGO ＝PO OG ＝12，tan ∠DOO 1＝DO 1OO 1＝12，故∠PGO＝∠DOO 1，又∠DOO 1＋∠DOG＝90°，所以∠P GO ＋∠DOG＝90°，所以DO⊥PG， 所以DO⊥平面PAC.(6分)(Ⅱ)在轴截面内有PO ＝OG ＝1，所以PG ＝2，DG ＝17，DP ＝13，由AC⊥平面DEOO 1，得∠DGP 即为二面角D －AC －P 的平面角，(10分) 在△DGP 中由余弦定理可求得cos ∠DGP ＝33434.(12分)解法二：(Ⅰ)在平面ABC 中，过点O 作AB 的垂线，交弧EC 于H ，如图建立空间直角坐标系，因为△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB ＝4，故BC ＝2，AC ＝23，又OP ＝12，所以A(0，－2，0)，C(3，1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，D(3，－1，4)， 所以AC →＝(3，3，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，12，OD →＝(3，－1，4)，所以AC →·OD →＝0，AP →·OD →＝0，故AC⊥OD，AP ⊥OD ，从而DO⊥平面PAC.(6分)(Ⅱ)由OP ＝1知P(0，0，1)，设平面PAC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧AP →·m ＝0，AC →·m ＝0，即⎩⎨⎧2y 1＋z 1＝0，3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(－3，1，－2)， 设平面DAC 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧3x 2＋y 2＋4z 2＝0，3x 2＋3y 2＝0，取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1，12，(10分) 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33434，所以二面角D －AC －P 的余弦值为33434.(12分)19．(本小题满分12分)某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，求f(p)取最大值时p 的值p 0； (Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的p 0作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(a∈N *)．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则f(p)＝C 210p 2(1－p)8，∴f ′(p)＝C 210[]2p （1－p ）8－8p 2（1－p ）7＝90p(1－p)7(1－5p)， 由f′(p)＝0，得p ＝0.2.(3分)且当p∈(0，0.2)时，f ′(p)>0；当p∈(0.2，1)时，f ′(p)<0.(6分) ∴f(p)的最大值点p 0＝0.2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知p ＝0.2，(ⅰ)令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知Y ～B ()70，0.2，X ＝10×1.5＋aY ＝15＋aY.∴E(X)＝E(15＋aY)＝15＋aE(Y)＝15＋70×0.2a＝15＋14a.(9分)(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由15＋14a>120，得a>10514＝7.5，且a∈N *，∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．(12分)20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，AB 的中点为O ，点D 在AB 的延长线上，且BD ＝2－1.固定边AB ，在平面内移动顶点C ，使得圆M 与边BC ，边AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线相切于点D ，记顶点C 的轨迹为曲线Γ.以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点P(－2，0)的直线l 与曲线Γ交于不同的两点S ，R ，直线SB ，RB 分别交曲线Γ于点E ，F.设SB →＝λBE →，RB →＝μBF →，求λ＋μ的取值范围．【解析】(Ⅰ)依题意得AB ＝2，BD ＝2－1，设动圆M 与边AC 的延长线相切于T 1，与边BC 相切于T 2，则AD ＝AT 1，BD ＝BT 2，CT 1＝CT 2.所以AD ＋BD ＝AT 1＋BT 2＝AC ＋CT 1＋BT 2＝AC ＋CT 2＋BT 2＝AC ＋BC ＝AB ＋2BD ＝22>AB ＝2， 所以点C 的轨迹Γ是以A ，B 为焦点，长轴长为22的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1()y≠0.(4分)(Ⅱ)设S(x 1，y 1)，R(x 2，y 2)，E(x 3，y 3)，由题意得B(1，0)， 则SB →＝(1－x 1，－y 1)，BE →＝(x 3－1，y 3)． 由SB →＝λBE →，得－y 1＝λy 3，即λ＝－y 1y 3.当直线SB 与x 轴不垂直时，直线SB 的方程为y ＝y 1x 1－1(x －1)，即x ＝（x 1－1）y ＋y 1y 1，代入椭圆Γ方程并整理得(3－2x 1)y 2＋2y 1(x 1－1)y －y 21＝0， 则有y 1·y 3＝－y 213－2x 1，即－y 1y 3＝3－2x 1，于是λ＝3－2x 1.当SB 与x 轴垂直时，点S 的横坐标为1，λ＝1，显然λ＝3－2x 1成立．同理可得μ＝3－2x 2.(8分) 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，代入椭圆方程并整理，得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝（8k 2）2－4（2k 2＋1）（8k 2－2）>0，解得0<k 2<12.又x 1＋x 2＝－8k22k 2＋1，则λ＋μ＝3－2x 1＋3－2x 2＝6－2(x 1＋x 2)＝6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 22k 2＋1＝14－82k 2＋1.由0<k 2<12，得6<14－82k 2＋1<10，即λ＋μ∈(6，10)．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x －a 2x 2有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)．(Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设g(x)＝f(x)－x 22，讨论函数g(x)的零点个数．【解析】(Ⅰ)f′(x)＝ln x ＋1－ax ，因为f(x)有两个不同的极值点，则f′(x)有两个不同的零点．令f′(x)＝0，则ln x ＋1－ax ＝0，即a ＝ln x ＋1x.(2分)设h(x)＝ln x ＋1x，则直线y ＝a 与函数y ＝h(x)的图象有两个不同的交点．因为h′(x)＝1－（ln x ＋1）x 2＝－ln xx 2，由h′(x)>0，得ln x ＜0，即0＜x ＜1，所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)max ＝h(1)＝1.(4分)因为当0<x<1e 时，h(x)＜0；当x>1e时，h(x)＞0；当x→＋∞时，h (x)→0，所以a 的取值范围是(0，1)．(5分)(Ⅱ)因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，则x 1，x 2为直线y ＝a 与曲线y ＝h(x)的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，1e <x 1<1<x 2，且ln x 1＋1x 1＝ln x 2＋1x 2＝a ，(6分)因为当0<x<x 1或x>x 2时，a>ln x ＋1x ，即f′(x)<0；当x 1<x<x 2时，a<ln x ＋1x ，即f′(x)>0，则f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，所以f(x)的极小值点为x 1，极大值点为x 2.(7分)当0＜x≤1时，因为ln x ≤0，0＜a ＜1，x 2＞1，则g(x)＝xln x －a 2x 2－x 22<0，所以g(x)在区间(0，1]内无零点．(8分)因为g(x 2)＝x 2ln x 2－a 2x 22－x 22＝x 2ln x 2－（ln x 2＋1）x 22－x 22＝x 2（ln x 2－2）2，a ＝h(x 2)，则①当ln x 2＞2，即x 2＞e 2时，g(x 2)＞0.又0＜a ＜1，则e a 2>1，所以g(e a 2)＝e a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ln e a 2－a 2·e a 2－x 22＝a 2·e a 2(1－e a 2)－x 22<0.此时g(x)在(1，x 2)和(x 2，＋∞)内各有1个零点，且a<h(e 2)＝3e2.(10分)②当ln x 2＝2，即x 2＝e 2时，g(x 2)＝0，此时g(x)在(1，＋∞)内有1个零点，且a ＝h(e 2)＝3e2.③当0＜ln x 2＜2，即1＜x 2＜e 2时，g(x 2)＜0，此时g(x)在(1，＋∞)内无零点，且a>h(e 2)＝3e2.(11分) 综上分析，当0<a<3e 2时，g(x)有2个零点；当a ＝3e 2时，g(x)有1个零点；当3e 2<a<1时，g(x)没有零点．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋tcos α，y ＝3＋tsin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B. (Ⅰ)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(Ⅱ)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l 的斜率．【解析】(Ⅰ)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，(3分)设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(5分)(Ⅱ)将⎩⎨⎧x ＝2＋tcos α，y ＝3＋tsin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP|2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.(8分)由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋2|，g(x)＝|x ＋1|－|x －a|＋a. (Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f(x)＋g(x)＜6的解集；(Ⅱ)若对任意实数x 1，x 2，不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)当a ＝1时，不等式化为|x ＋2|＋|x ＋1|＜5.(1分)则⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，2x ＋3<5或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x<－1，1<5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－2，－2x －3<5，(3分) 即－1≤x＜1或－2≤x＜－1或－4＜x ＜－2，即－4＜x ＜1， 所以不等式的解集是(－4，1)．(5分)(Ⅱ)因为f(x)＝|x －1|＋|x ＋2|≥|(x－1)－(x ＋2)|＝3，当(x －1)(x ＋2)≤0，即－2≤x≤1时取等号，所以f(x)min ＝3.(6分)因为g(x)＝|x ＋1|－|x －a|＋a≤|( x＋1)－(x －a)|＋a ＝|a ＋1|＋a ，当x≥max{a ，－1}时取等号，所以g(x)max ＝|a ＋1|＋a.(7分)据题意，f(x)min ≥g(x)max ，则3≥|a ＋1|＋a ，即|a ＋1|≤3－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a≥0，（a ＋1）2≤（3－a ）2， 解得a≤1，所以a 的取值范围是(－∞，1]．(10分)。
湖南师大附中第五次月考数学试题目5.docx
湖南师大附中高三数学第五次月考试卷(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合 A = {x|log 2x>l,x>0},fi = {y|y = 2'r ,x>0} J'J A B= ()A.0B. {x|x 〉2}C.{x|l<x<2}D. {x|l<x<2}解析：由题设知，集合人={工|工〉2},3 = {乂>21},故选B. 2、 在二项式(f 尸的展开式中，含J 的项的系数是()XA. -10B. 10C. -5D. 5解析：对于7；+1 = C ；(x 2)5-r (--)r = (-l)r C ；x 10-3r ,对于 10-3r = 4,.'.r = 2，则 J 的项 X 的系数是C*—1)2=10x>03、 已知平面区域O = {(x,y)|x2 + y2 Ml}w = {(x,y )心0 "若在区域。
上随机找一x+y<l点P ,则点P 落在区域M 的概率为()1 1 1 1 1 1A, 一 B. ---------------------- C. ---------------------- D, 一4 4〃 4 2〃 2n解析：平面区域心为等腰直角三角形，其直角边的长为1,其面积为!，则在。
区域上随1 71机找一个点P ,则点P 落在区域必的概率为〃=」~才=—,故应选D.7TX12 1712Xx <0 4、 设函数/(x)= < ''若/'(X )是奇函数，则g(2)的值是()、g(x),x > 0. A. --B. -4C. -D. 4 44解析：由题设知，当x > OHf,-x < 0, g(x) = f(x) = -f(-x) = -2^,g(2) = - i 故选 A.45、 不等式\x + 3\-\x-l\<a 2-3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为()D. (-oo, 1] [2, +co)A. (-oo, -1] [4, +oo)B. (-oo,-2] [5, +oo)C. [1, 2]解析：由题设知，设f(x)=\x+3\-\x-l\ ,易知/⑴的最大值为4,所以a 2 -3a >4-对任 意实数x 恒成立，解得a 的范围是( — 00, —1] [4,+8),选入.已知"4 = 1,|彼卜 J5,OA.QB = 0,点 C 在 ZAO8 内，且 ZAOC = 30°,设解析：如图，设\oc\ = r, OAOB = 0,:.OALOB ，过点。
2019届湖南省名校联盟高三下学期5月大联考数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省名校联盟高三下学期5月大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|23}A x a x a =-<<+，{|(1)(4)0}B x x x =-->，若A B R =U ，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(1,3)C ．[1,3]D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据A B R =U 建立集合A 两端点与集合B 的两端点的不等式，即可求解 【详解】{|(1)(4)0}{|41}B x x x B x x x =-->⇒=><或，又A B R =U ，故2134a a -<⎧⎨+>⎩，解得(1,3)a ∈ 故选：B 【点睛】本题考查根据并集结果求参数，属于基础题 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3618S S +=，则5S =( ) A ．5 B ．9C ．10D ．14【答案】C【解析】根据等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的通项公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d .36111311183326651822222S S a d a d a d a +=⇒+⨯⨯++⨯⨯=⇒+=⇒=，因此1535()5251022a a a S +⋅⋅⋅===. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.4．已知x ，y 满足约束条件31021010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++⎩…，则z y x =-的最大值为( )A ．1-B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】在平面直角坐标系内，画出约束条件表示的可行解域，平移直线y =x+z ，在可行解域内，找到当直线y =x+z 在纵轴上的截距最大时所经过的点，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】约束条件所表示的可行解域如下图所示：平移直线y =x+z ，当直线y =x+z 经过点A 时，在纵轴上的截距最大，点A 的坐标是方程组310210x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解，解得25x y =⎧⎨=⎩，即(2,5)A ，所以z y x =-的最大值为523-=.故选：D 【点睛】本题考查了线性目标函数的最大值问题，考查了数形结合能力和数学运算能力.5．已知双曲线()222102y x a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的焦点坐标为（ ）A ．()2,0B ．()6,0C ．(0,2D ．(0,6【答案】D【解析】根据解析式可知双曲线的焦点在y 轴上,结合渐近线方程及b 的值,可得a 的值.由双曲线中a b c 、、的关系即可求得c ,得焦点坐标.【详解】由双曲线()222102y x a a -=>可知双曲线的焦点在y 轴上,所以渐近线方程可表示为ay x b=±由22b =及渐近线方程y ==解得2a =双曲线中a b c 、、满足222+=a b c则22226c =+=解得c 则焦点坐标为(0, 故选:D 【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的简单应用,双曲线中a b c 、、的关系,属于基础题. 6．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数.在区间[2,5]上任取实数x ，则[]x =的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】根据定义，分类讨论求出方程的解，然后根据几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】当[2,3)x ∈时，由[]x =可得：423323233x x x ≤<⇒≤<≤<∴≤<Q ；当[3,4)x ∈时，由[]x =可得：1634334343x x x ≤<⇒≤<≤<∴≤<Q ；当[4,5)x ∈时，由[]x =可得：1625454533x x x ≤⇒≤<≤<∴∈∅Q当5x =时，显然[]x =不成立，因此在区间[2,5]上任取实数x ，则[][3]x x =的概率为(32)(43)2523-+-=-.故选：D 【点睛】本题考查了几何概型计算公式的应用，考查了数学阅读能力和分类讨论思想，考查了数学运算能力. 7．函数()ln x xe e y x-+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除B 、D ，再由当0x ＞时，0x e ->，则有()()ln ln x x x e e e x -+>=可排除A ，得到答案.【详解】解：根据题意，()1x xn e e y x-+=，其定义域为{|0}x x ≠，有()x x1n e e ()()xf x f x -+-=-=-，即函数()f x 为奇函数，排除B 、D ； 当0x ＞时，0xe ->，则有()()ln ln xxxe ee x -+>=，必有()ln 1x xe e x-+>，排除A ；故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式结合函数的性质选择函数图像，属于中档题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20213ππ+B ．16213ππ+C ．1613ππ+D ．1213ππ+【答案】A【解析】根据三视图可以判断该几何体是圆柱和圆锥的组合体，再根据圆锥和圆柱的表面积公式进行求解即可. 【详解】根据三视图可知该几何体是左边是圆锥，右边是圆柱，如下图所示：由三视图可知：圆锥的底面半径为2222313+=2，母线为2，所以该几何体的表面积为2221322222220213ππππππ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=+. 故选：A 【点睛】本题考查由三视图求空间几何体的表面积，考查了圆锥和圆柱的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力. 9．设3log 24a =，9log 64b =，512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据指数的运算性质把三个数变成底数为2的形式，结合对数的运算性质、对数的单调性、指数的单调性进行判断即可. 【详解】3333log 2log 22log 2g 4lo 2(2)242a ====，9939log 6log 62log 6log 62(2)242b ====，55122c -⎛⎫ ⎪⎭==⎝.因为3335log 9log 6log 4>>>，2xy =是实数集上的增函数， 所以c b a >>. 故选：D 【点睛】本题考查了指数式和对数式的比较大小，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用，考查了指数运算和对数运算，考查了数学运算能力. 10．执行如图所示程序框图，输出的结果是( )A ．1213-B ．1011-C ．1011D ．1213【答案】A【解析】按照程序框图的流程执行程序，当进入循环体时，先执行后判断，直到当5k >成立时，退出循环结构，输出S 的值. 【详解】初始条件；1,0k S ==，进入循环体：124140(1)4113S ⨯=+-=-⨯-，15k =>不成立，因此2k =，进入循环体：224424(1)34215S ⨯=-+-=-⨯-，25k =>不成立，因此3k =，进入循环体：324438(1)54317S ⨯=-+-=-⨯-，35k =>不成立，因此4k =，进入循环体：428448(1)74419S ⨯=-+-=-⨯-，45k =>不成立，因此5k =，进入循环体：5284512(1)945111S ⨯=-+-=-⨯-，55k =>不成立，因此6k =，进入循环体： 62124612(1)1146113S ⨯=-+-=-⨯-，65k =>成立，退出循环体，输出1213S =-. 故选：A 【点睛】本题考查了程序框图输出问题，考查了数学运算能力.11．已知三棱锥P ABC -的顶点都在半径为53的球面上，1AB =，BC =，2AC =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A ．2B ．1C D ．2【答案】A【解析】先判断三角形ABC 的形状，然后根据球的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】设球心为O ，因为1AB =，BC =，2AC =，所以有222AC AB BC =+，因此三角形ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，所以斜边AC 的中点'O 是三角形ABC 的外接圆的圆心，连接',OO OA ，显然有'OO ⊥平面ABC ，显然'43OO ====，当',,P O O 在同一条直线上时，三棱锥的高最大，因此此时三棱锥的体积最大，最大值为：11541()32332⨯⨯+=. 故选：A【点睛】本题考查了三棱锥体积最大值问题，考查了球的性质，考查了三棱锥的体积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.12．已知函数()()2333xf x ae x x a Z =-+-∈在区间(]0,2上有零点，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由在给定区间上()0f x =有解，可得23330x ae x x -+-=，即23(1)x a x x e -=-+，构造新函数2()3(1)x g x x x e -=-+，求导可得其值域，()g x 的取值范围即是a 的取值范围，再根据a Z ∈即可 【详解】由题函数()f x 在区间(0,2]上有零点，可得23330x ae x x -+-=，即有23(1)x a x x e -=-+，令2()3(1)x g x x x e -=-+，2'()3(32)x g x e x x -=--+，当(0,1)x ∈时)'(0g x <，当(1,2)x ∈时'()0g x >，即(1)g 为函数极小值，计算得(0)3g =，3(1)g e =，29(2)g e =，故3()[,3)g x e ∈，即3[,3)a e∈，又因为a Z ∈，所以2a =，故选B. 【点睛】本题考查函数在定义区间上有零点的条件下求参数值问题，将求参数问题转化为求新的函数的值域问题，运用了求导的方法，有一定的综合性．二、填空题13．已知向量(2,1)a =-r，(0,1)b =r ，()3a kb b +⋅=r r r ，则k =________.【答案】4【解析】根据平面向量共线和加法运算以及数量积运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为(0,1)b =r ，所以(0,)kb k =r ，又因为(2,1)a =-r，所以(2,1)a kb k +=-r r ，而()3a kb b +⋅=r r r，所以20(1)134k k ⨯+-⋅=⇒=.故答案为：4 【点睛】本题考查了共线向量、平面向量加法和平面向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.14．将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则ϕ=___．【答案】6π 【解析】根据函数平移变换关系求出函数解析式，然后将原点坐标代入解析式得出关于ϕ的表达式，结合条件2πϕ<可得出ϕ的值.【详解】将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()cos 2y x ϕ=+， 再把得到的图象向左平移6π个单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，Q 所得函数图象关于原点对称，()32k k Z ππϕπ∴+=+∈，则()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<Q ，∴当0k =时，6π=ϕ. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S .若数列{}n a 与12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭都是公比为q 的等比数列，则4S =________. 【答案】40【解析】根据公比是不是1进行分类讨论，结合等比数列的定义和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列{}n a 是公比为q 的等比数列，所以1n n a q-=，当1q =时，因为数列{}n a 的首项为1，所以n S n =，1122n S n +=+，因此有： 123131517,,222222S S S +=+=+=，显然231211221122S S S S ++≠++，不符合题意； 当1q ≠时，因此有11n n q S q -=-，因为12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列，所以有14141111113131()()340.22121222n n n n n n q q S q S q q S S q q ++----+=+⇒+=+⇒=⇒=⇒==--故答案为：40 【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.16．已知直线2y x b =+与抛物线24x y =相切于点A ，F 是抛物线的焦点，直线AF 交抛物线于另一点B ，则||BF =________. 【答案】54【解析】设出A 点坐标，利用导数和已知直线方程可以求出点A 坐标，进而求出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，求出B 的纵坐标，最后利用抛物线的定义进行求解即可. 【详解】设2001(,)4A x x ，22'11442x y y x y x =⇒=⇒=，过A 点的切线方程为2y x b =+，所以00124(4,4)2x x A =⇒=∴，因为F 是抛物线的焦点，所以(0,1)F ，因此直线AF 的方程为：4434404140y x x y --=⇒-+=--，则有2234403404x y x x x y-+=⎧⇒--=⎨=⎩ 解得4,x =或1x =-，因此点B 坐标为：1(1,)4-，抛物线的准线方程为：1y =-，由抛物线的定义得：15||(1)44BF =--=. 故答案为：54【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了抛物线的定义的应用，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数学运算能力.三、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且2222cos2a bc B b c +⋅=+. （1）证明：2A B =；（2）若a =1b =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）根据已知结合余弦定理进行证明即可；（2）由（1）结合正弦定理、二倍角的正弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==，∴cos cos2A B =，因此有22()A B k k Z π=+∈或22()A B k k Z π=-+∈， 当22()A B k k Z π=+∈时，因为A ，B 是三角形的内角，故0k =，因此2A B =； 当22()A B k k Z π=-+∈时，即22()A B k k Z π+=∈，因为A ，B 是三角形的内角，显然22()A B k k Z π+=∈不成立，故2A B =；（2）由（1）及正弦定理得sin 2sin a b B B =，∴3cos 2B =，(0,)6B B ππ∈∴=Q ，3A π∴=，∴2C A B ππ=--=，∴ABC ∆的面积为131322⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.18．某科研单位到某大学的光电信息科学工程专业招聘暑期实习生，该专业一班30名同学全部报名，该科研单位对每个学生的测试是光电实验，这30名学生测试成绩的茎叶图如图所示.（1）求男同学测试成绩的平均数及中位数；（2）从80分以上的女同学中任意选取3人，求恰有2人成绩位于[80,90)的概率； （3）若80分及其以上定为优秀，80分以下定为合格，作出该班男女同学成绩“优秀”、“合格”的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为该次测试是否优秀与性别有关？ 附：()2P K k … 0.150.10 0.05 0.01k2.072 2.7063.841 6.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）84，85；（2）35；（3）列联表见解析，有把握. 【解析】（1）根据茎叶图，结合平均数和中位数的定义进行求解即可；（2）设成绩位于[80,90)的三个女同学为a ，b ，c ，90以上的两个女同学为A ，B .先列举出从中任取3人的情形的个数，然后从中选出符合条件的情形的个数，最后利用古典概型的计算公式进行求解即可；（3）根据公式，计算出2K 的值进行求解即可. 【详解】 （1）1(697476787982838585868891929597)8415x =++++++++++++++=，中位数是85.（2）设成绩位于[80,90)的三个女同学为a ，b ，c ，90以上的两个女同学为A ，B .从中任取3人的情形有：,,,,,,,,,abc abA abB acA acB aAB bcA bcB bAB cAB ，共10种情形，满足条件的,,,,,,abA abB acA acB bcA bcB 有6种，故概率为35. （3）22⨯列联表为2230(101055) 3.333 2.70615151515K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为该次测试成绩是否优秀与性别有关. 【点睛】本题考查了应用茎叶图求平均数和中位数，考查了古典概型的计算公式，考查了2K 的计算，考查了数学运算能力.19．如图，ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24AB CD ==，BC AD ==BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面BDEF ； （2）若D 到平面ACE 23ABCDEF 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）设AC BD O =I ，过C 向AB 作垂线交于H ，根据平行线成比例定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理和判定定理进行证明即可；（2）连接OE ，过D 向OE 作垂线交于P ，由（1）结合面面垂直的判定定理和性质定理可以证明出DP 即为D 到平面ACE 的距离，最后利用体积公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，设AC BD O =I ，过C 向AB 作垂线交于H ， 在等腰梯形ABCD 中，AB CDBH 12-==，所以3AH AB BH =-=， 由勾股定理得：223CH BC BH =-=，2232AC AH CH +=，∵2AB AOCD OC==，22AO BO ==222AO BO AB +=，∴AC BD ⊥. ∵DE BD ⊥，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， ∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE AC ⊥. ∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接OE ，由（1）知平面ACE ⊥平面ODE ，过D 向OE 作垂线交于P ， ∴DP ⊥平面ACE ，∴DP 即为D 到平面ACE 的距离， 设DE a =22322OD DE aOE a⋅==+，解得2a =，∴132232123V =⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了空间几何体的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为22连接其四个顶点构成的四边形的面积为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是C 上关于原点对称的两点，且A ，B 不在x 轴上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得直线MA 与直线MB 的斜率积MA MB k k ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）存在，(3,0)，13-. 【解析】（1）根据焦距的定义，结合对角线互相垂直的四边形面积公式、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出点A 、B 、M 的坐标，根据斜率的公式，结合点在椭圆上进行求解即可. 【详解】（1）根据题意可得2c =1222332a b ab ⋅⋅==，而22222)c a b ==-∴23a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y --，(,0)M m ，则根据题意可得11MA y k x m=-，11MB y k x m-=--，∴211122111MA MBy y y k k x m x m x m -⋅=⋅=----， 又()222111111333y x x =-=-，∴()2211222211131333MA MB x x k k x m x m --⋅==-⋅--， ∴当23m =时，13MA MB k k ⋅=-，此时点M的坐标为(0). 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了点与椭圆的位置关系的应用，考查了直线斜率的公式，考查了数学运算能力.21．已知函数()2()2ln f x ax x x x =-+. （1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，减区间为12,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1e ⎛ ⎝.【解析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断其单调性即可；（2）根据x 和1的大小关系，结合函数的定义域，分类讨论常变量分离，构造新函数，求导，利用新构造函数的单调性进行求解即可. 【详解】 （1）当12a =时，11()(2)ln 21(2)ln 22f x x x x x x ⎛⎫'=-+-+=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得2x >或120x e -<<；由()0f x '<得122e x -<<，∴()f x 的增区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，减区间为12,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由()0f x >得ln 2ln 1ax x x >-，若1x >，则21ln a x x x >-，设21()ln g x x x x=-，2222221ln (2ln 1)(ln 1)()ln ln x x x g x x x x x x++-'=-+=-，∵1x >，∴2ln 10x +>，∴当x e >时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，此时()g x 在x e =处取得最大值1(e)g e =，∴1a e>. 若1x =，不等式恒成立，a R ∈. 若01x <<，则21ln a x x x <-，由上知：21()ln g x x x x=-，2222221ln (2ln 1)(ln 1)()ln ln x x x g x x x x x x++-'=-+=-， 当01x <<时，令12()0g x x e-'=⇒=，当120x e -<<时，()0,()g x g x '<单调递减，当121e x -<<时，()0,()'>g x g x 单调递增，由以上知()g x 在12x e-=处取得最小值12g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时a <综上，a 的取值范围是1e⎛ ⎝. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的增区间，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了常变量分离法，考查了数学运算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a y a θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，0a ≠），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （1）写出1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）若在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1，求a 的取值范围.【答案】（1）222(1)x y a +-=，y =；（2）12a …或12-a „.【解析】（1）利用同角的三角函数关系式进行消参，利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行转化即可；（2）先计算出圆心到直线的距离，然后根据题意列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）1C 的普通方程为222(1)x y a +-=，2C 的直角坐标方程为y =.（2）由（1）知1C 是圆心为(0,1)，半径为||a 的圆，且圆心(0,1)到直线y =的距离为12==， ∵在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1， ∴必须满足1||12a +≥，即1||2a ≥，解得12a …或12-a „.【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程、极坐标方程化成直角坐标方程，考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力. 23．设函数22()f x x a x b =-++.（1）若2a b =，(1)10f <，求a 的取值范围； （2）若3a b +=，证明：9()2f x ….【答案】（1）(-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据2a b =，把不等式(1)10f <中的b 进行消元，然后分类讨论进行求解即可；（2）利用重要不等式，结合绝对值的性质进行证明即可. 【详解】（1）当2a b =时，22()4a f x x a x =-++，由(1)10f <得2211104a a -++<，当21a ≤时，22231121044a a a -++=-<恒成立，此时21a ≤；当21a >时，2225111044a a a -++=<，28a <，此时218a <<，综上可得28a <，(a ∈-.（2）∵222a b ab +…，∴()2222()9a b a b ++=…，2292a b +…， ∴()()2222229()2f x x a x b x a x b ab =-++--+=+厖. 【点睛】本题考查了利用分类讨论法求解绝对值不等式问题，考查了利用重要不等式和绝对值的性质进行证明不等式问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.。
湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题(1
一、单选题二、多选题1. 已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.若，，，则四棱锥的表面积等于（）A．B．C．D．3.在等比数列中，，，则（ ）A．B．C．D ．114. 若复数z 满足，则（ ）A．B ．1C．D ．25. 某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．245683040607080A ．1.6B ．8.4C ．11.6D ．7.46.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C ．2D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学三、填空题9. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，垂足为A，且，O 为坐标原点，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为B ．双曲线C的离心率为C ．三角形的面积为D ．直线l 被以为直径的圆截得的弦长为10. 如图是2010-2019年这十年我国硕士研究生报考人数统计图，则下列说法正确的是（）A ．2010年以来我国硕士研究生报考人数逐年增多B ．这十年中硕士研究生报考人数的极差超过150万人C ．这十年中，2019年硕士研究生报考人数增速最快D ．这十年中硕士研究生报考人数增速最快的三年分别是2019年，2018年，2017年11. 如图，在三棱锥中，⊥，，D 为AB 的中点，且为等边三角形，，，则下列判断正确的是（）A ．平面SBCB ．平面⊥平面SAC C．D．12. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数是奇函数B ．函数的一个对称中心是C ．若，则D ．函数的一个对称中心是13.设复数，满足，，则__________．14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则________；若，，点P 是的中点，点M ，N 分别在线段，上，，，则的面积为________.15. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码四、解答题头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．时刻水深m时刻水深m时刻水深m0：00 5.09：18 2.518：36 5.03：067.512：24 5.021：42 2.56：125.015：307.524：004.016. （本小题满分１2分） 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin ∠A 的值；（２） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围；17. 已知椭圆Γ：的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l 交Γ于B ，C 两点，且与y 轴交于点D .当直线l 经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；(2)若是的垂心，求.18. 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标，，，，，元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的 前提下（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率．19. 已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.20. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值（单位：），其中，．根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic 曲线拟合模型或Logistic 非线性回归模型进行统计分析，其中a ，b ，u 为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明：(2)假定，且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，，，，，其中，，根据（1）的判断结果及给定数据，求关于的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：．21. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表．了解不了解合计男生60200女生110200合计(1)完成列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828附：．。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(理)试题 含解析
湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则A B ⋂等于 ( )A. ()0,2B. (]0,2C. (],2-∞D. R【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ,B ，然后求解其交集即可.【详解】求解函数2,04y log x x =<≤的值域可得{}|2A y y =≤， 求解指数不等式1x e >可得{}|0A x x =>，由交集的定义可得：{}|02A B x x ⋂=<≤，表示为区间形式即(]0,2. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若i 为虚数单位，复数z 满足(1)|1|z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A.1221C.212i - D.221- 【答案】D 【解析】)()2112122i i z -+-=== 故z 12- 故选D3.设()~1,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若()2~,X N μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=）A. 7539B. 6038C. 7028D. 6587【答案】D 【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算. 详解：()1,1X N ~，∴1,1,2μσμσ==+=，()68.26%P X μσμσ-<<+=，∴则()0268.26%P X <<= 则()0134.13%P X <<=，∴阴影部分的面积为：0.6587.∴方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.故选：D.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.4.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A.313升 B.617升 C.199升 D.2512升 【答案】B 【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为129a a a ⋯，，，，公差为d ，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出11372266a d ==，， 由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为129a a a ⋯，，，，，公差为d ，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴1234198714633214a a a a a d a a a a d ++++⎧⎨+++⎩＝＝＝＝ ，解得11372266a d ==，，， ∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：1391397017310.22666a a a a d ++=+=+= （升）． 故选B ．点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5.已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16B.316C. 83D. 8【答案】C 【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为a ，则有33,22aa ==，故该正四面体的体积为33118=242323V -⨯⨯⨯=，选C.6.某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（ ）A. 13B.23C.14 D. 34【答案】B 【解析】 【分析】此人从小区A 前往H 的所有最短路径共3条．记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为共2个．由此能求出经过市中心的概率．【详解】此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3条．记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A→G→O→H，A→E→O→H,共2条．∴()2=3P M ，即他经过市中心的概率为23，故选：B ．【点睛】本题考查古典概型的概率，注意列举法的灵活运用，属于基础题．7.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A c C a B b cos cos cos 2+=，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4【答案】B 【解析】由题意知︒=60B ，由余弦定理，422-+=c a ac ，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选：B8.执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A.2321tan9-B.25tan3922tan9ππ- C.322tan9π--D.25tan 3921tan9ππ- 【答案】A 【解析】 由题可知4354642423tantan tan tan tan tan ......tan tan 99999999S ππππππππ=+++ 4354642423tan -tan tan -tan tan -tan tan -tan 99999999-1-1-1......-1tan tan tan tan 9999S ππππππππππππ=+++21tan9==-即得S=2321tan9-9.已知非空集合,A B 满足以下两个条件：（ⅰ）{}1,2,3,4,5,6A B ⋃=，A B ⋂=∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为 （ ） A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，分别讨论集合A 、B 中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。
湖南省师大附中2019届高三月考(五)数学(文)试卷(含答案)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2－i D ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C) A ．3 B ．7 C ．－3 D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D)A ．57＋24πB ．57＋15πC ．48＋15πD ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝ba x 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10. 8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a －5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋xy ≥4＋24y x ·xy＝8，所以m 2＋2m <8， 解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为__3__．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝e x ＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__． 【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x ＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t 2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)；(3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41， 所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFF A＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交P A 于点H ，连接HF ， ∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF F A ＝λ，∴PH HA ＝BFF A ，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ，∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵P A ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFF A＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝⎛⎭⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2，∴Rt △F AE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m . 【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分 (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，7分 因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×（1－81m ）1－81－1×（1－9m ）1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M . (1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1， 代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y 212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －ax －1＝2x 2－x －a x ()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分(2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x －1，∴f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3ax 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2lnx 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2，则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋2x 23>k .12分 请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高三下学期5月联考数学(理)试题(带答案解析)
（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线 和 分别交于P、Q两点.当 时，求 （O为坐标原点）面积的取值范围.
20．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（ ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高三下学期5月联考-数学(理)试题
第I卷（选择题)
评卷人
得分
一、单选题
1．a为正实数，i为虚数单位， ，则a=（）
A．2 B． C． D．1
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
3．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
（1）当 时，解关于x的不等式 ；
（2）当 时，若对任意实数 ， 都成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】略
视频
2．A
【解析】
【分析】
解出集合A,B，然后根据交集运算即可.
【详解】
故选：A
【点睛】
此题考查集合的交集运算，特别注意集合A中 是取整数，属于简单题目.3Βιβλιοθήκη CC． （ ）D． （ ）
11．在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角 为 的四面体 （如图），则此四面体的外接球表面积为（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 .设 ，若对任意不相等的正数 ， ，恒有 ，则实数a的取值范围是（）
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考二数学(理)试题含解析
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1.已知集合，则A B＝A. B. (1,2) C. (2, ) D. （，0）【答案】A【解析】【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。
【详解】解集合A可得集合B为}所以A B＝所以选A【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题。
2.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。
【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题。
3.已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则A. n⊥B. n∥C. n∥或nD. n∥或n【答案】D【解析】【分析】根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。
【详解】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D【点睛】本题考查了空间几何垂直平行关系的判断，注意解题方法的选择，属于基础题。
湖南省长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学2019届高三四校联考试卷数学(文科)
定义行列式的计算方法ana21 a12a22 -ana22 - a21 a12,贝U 函数湖南省长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学2019届高三四校联考试卷数学（文科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •已知集合A、B,则"A B 二B"是"A ' B = A"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .数列｛a n｝满足a；=：a n」a n.1（ n_ 2且N*）, a^4，则下列各式等于16的是（）A. a2nB. a1 a2n/ C・a1 a2n -1 D. a1 a2n/2X 23. 直线y =k（x 3）,当k变化时，直线被椭圆y2=1截得的最大弦长是（）4443A. 4B. 2C.D.不能确定34.ABC的三个内角A B、C成等差数列，（AB CB）・AC =0 ,则ABC 一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一正四棱锥的高为2 2，侧棱与底面所成的角为45°,则此正四棱锥的斜高等于（）A. 2 3B. 4、3C. 2 6D. 2 26 .若实数x, y满足条件：3乞x • y乞5,-1岂x - y岂1,则实数x 2y的取值范围为（）A. [2, 8]B. [4, 8]C. [6, 8]D. [3, 6]7.将r x 3x）12的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幕的项互不相邻的排法共有多少种？,3 ,10"10 "3,4 ,9_ 10 _ 3A. A]3 A13B. A10 AnC.A13 A9D. A10 A19•设向量 a =(1,-1),b =(2,5),则 |a b| =10. 若偶函数g(x)的定义域为｛x||x ，3-a|：：：a,a 0｝,则a 的值为 _________________ 11. 某次数学竞赛后，指导老师统计了所有参赛学生的成绩(成绩都为整数，满分 120分)并且绘制了“得分情况分布图”如图，则得分在 70—100分以上的同学所占比 例约为 (用分数形式表示)。
湖南省长郡中学2019届高三5月模拟试卷数学(文科)试题(解析版)
湖南省长郡中学2019届高三5月模拟试卷试题文科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的元素个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】集合中的元素为，得到，可得其元素个数.【详解】，即中的元素个数为3.故选D项.【点睛】考查自然数定义，集合的运算，属于简单题.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，进而得到对应的点坐标.【详解】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为：A.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：故选：A．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．4.函数的部分图像大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性，排除不可能选项，对剩余选项进行取值，通过判断正负得到正确答案.【详解】，定义域为，可得所以是奇函数，排除B、D两项。