第4章功和能

一、力对空间的累积效应 1、功 作用于质点的力与质点沿力的方向所作的位移的乘积 或：力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。 B
一般情况下，力F的大小和方向都随时间变 化,故用微积分方法（微元法）求力的功：
dA F dr F dr cos
如图，
dr F
dA F dr Ft dr mat dr
力F在dr 方向上的分量
位移dr 方向上的加速度
dv , dr vdt dA mvdv d 1 mv2 at 2 dt ①动能：定义质点的质量与其运动速率平方的 动能 乘积的一半为质点在速度 v 时的动能
· 例：
PB +Pe = 0
·但 衰变云室照片表明，B、e的径迹并不在一条直
线上。
·问题何在? 是动量守恒有问题? 还是有其它未
知粒子参与?
物理学家坚信动量守恒。1930年泡利 (W.Pauli)提出中微子假说以解释 衰变各 种现象。1956年(26年后)终于在实验上直接找 到中微子。
(3)在有些看来原有守恒定律“失效”的情况
保守力，不存在相应的势能？
*势能概念小结： ①势、势能：以物体平衡状态为运动的相对参考点， 势是物体运动趋势强弱的重要表示；势能即是相对参考 点的运动能力的度量。 ② 只有保守力才存在相应的势能； 保守力的功等于相 应的势能的减小， E E E A
AB P PA PB
(具体的势能值在选定作为参考的势能零点后才能确定) ③ 势能属于有保守力相互作用的系统整体；共有性。 ④ 系统的势能与零势面选择有关（相对性），而与 参 考系无关（位臵函数）。（动能与参考系有关） ⑤ 可由势能求保守力
联立求解得：
1 mv2 GMm 1 mv2 GMm 2 1 r1 2 2 r2
r2 v1 2GM 5.9 10 4 m / s r2 (r1 r2 ) r1 v2 v1 3.88 10 4 m / s r2
1 2
四、守恒定律的意义
1、自然界中守恒定律： 动量守恒定律，角动量守恒定律，能量守恒定律 质量守恒定律，电荷守恒定律，粒子反应中的重子 数、轻子数、奇异数、宇称等守恒定律。
r1=4.59×107 km，远日点到太阳的距离r2=6.98×107 km。求水星越过近日点和远日点时的速率v1和v2。 m水
m水 r m水
m水 r
m水
r r
r2=6.98×107 km
r
m水 m水
r m水
r
r
m水 m水
分析：有2个未知数要求，需两个方程。并且运动 形式为转动，所以同时考虑机械能和角动量两个 方面。
二、 势能
功 A F dr
线积分
势能
m
1、重力势能 2、弹性势能 3、引力势能
EP EP
代数运算 mgh （选择零势面) 1 kx2（原长处 EP 0 ） 2 x——形变量
Gm1m2 r
h
EP
( EP 0)
*以上三个力都是保守力，只有对保守力才能引入 势能概念。 为什么只有对保守力才引入势能；而对非
2、守恒定律的特点： 不追究过程的细节而对系统的状态下结论。
3、守恒定律在方法论上的意义： 物理学家特别重视守恒量和守恒定律的研究：
(1)遇到问题，首先从已有的守恒定律去思 考、去研究。(可以简化研究) (2)如发现矛盾，一般是坚信守恒定律，而 去探寻问题中的未知因素(如中微子的发现)
衰变： 核A 核B + e 如果核A静止，则由动量守恒应有
A外 A非保内 EB E A
——功能关系
功能关系：
A外 A非保内 EB E A
外力和系统非保守内力对系统做功之和等于 系统机械能的增量。
若A外 A内非 0 若A外 A内非 0 若A外 A内非 0
系统的机械能增加 系统的机械能减少 系统的机械能保持不变
作用下宇称(parity)不守恒) 宇称概念1924年提出，其本质是物理规律的空间反演 不变性（和空间反演对称性相对应的守恒量叫宇称）。 1956年杨振宁、李政道经分析发现，在电磁相互作用和强 相互作用下，宇称守恒已被实验证实，但在有关+(+)等 介子衰变和衰变等一类弱相互作用问题中，并无实验证 实宇称是否守恒。
dEP F dl F cos dl Fl dl dEP Fl F EP dl
例：一质量为m的陨石从距地面高为h处由静止开始
落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有 引力的功是多少？ a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b 解法一：利用功的定义直接求功 R
l1
h
l2
y
解： ①泥球下落至盘上 分析：选泥球为研究对象。
l1
h
l2
y
它只受重力作用。这是一自由落体问 题，只有重力作功。可利用牛顿第二 定律直接求解。
当泥球落到盘上时，它的速度应为：
1 gt 2 h 2 v 2 gt v gt
② 泥球与盘发生碰撞
l1
分析：选取泥球和盘作为质点系。 系统所受外力： 弹簧的拉力，球与盘的重力 系统所受内力： 球与盘之间的冲力
弹簧的劲度系数可通过最初盘的平衡态求出，即：
gh 将V , l1 10cm代入, 化简可得 : 2
2
1 kl k mg mg 1 2 l1
2 l2
解得：
l2 30， 10舍
20l2 300 0
盘向下运动的最大距离为30cm。
例：水星绕太阳运行轨道的近日点到太阳的距离为
2 2 系统(小球 与盘) 2 盘与泥球动能为零，只 1 k 小球与盘的动能 系统(弹簧)的 的重力势能 l1 l2 末态机械能：EB 有弹簧的弹性势能 弹性势能 2


机械能守恒：
1 (2m)V 2 1 kl 2 1 k l l 2 2mgl2 2 2 1 2 1 2
1 2 P EK mv 2 2m
2


②动能定理：由前知，功 dA=dEk
沿从A到B的路径积分，可得：
AAB
B
A
B dA F dr dE K E KB E KA
B A A
即：合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。
——质点的动能定理 注 意 例4.4(例2.2) 功是质点动能变化的量度 过程量 状态量
例：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹
簧伸长了l1=10cm，一个质量和盘相同的泥球，从高 于盘h=30cm处由静止下落到盘上，求此盘向下运动 的最大距离l2。
分析：可分三个过程进行分析：①泥球 下落至盘上；② 泥球与盘发生碰撞；③ 泥球与盘一起下降。 先求出泥球与盘碰撞后引起下落的初 速度，再根据功-能关系求出盘下降的 距离l2。
A 功的微分形式
质点从A到B的过程中 力F对质点所做的总功为 , :
A dA
L
B力是物体运动状态变化的原因，当力的作用引起物体位移时，力要作功(功 是力的空间积累)。那么力对物体作功会对物体的运动状态产生什么效果？
⑴质点的动能与动能定理
将牛顿第二定律公式代入功的定义式中，可得：
GMm ( GMm) rA rB
GMm GMm A Rh R
GMm 1 1 R Rh


说明：求保守力的功时，只要知道其势能公式，就 可以不管路径如何，不必作积分运算，只利 用势能公式就可求得保守力做的功，可简化 计算。
三、机械能守恒定律
1、功能原理 质点系的动能定理：
h
l2
由于外力（冲力）远大于内力（拉力与 重力），而且作用时间很短，故可忽略 外力作用，认为系统动量守恒。
设：盘与泥球的质量均为m，碰撞后共同以速度V 向下运动，则沿y方向的动量守恒分量式为：
y
m球 v v gh 碰撞后球与盘的下落速度为： V m盘 m球 2 2
m球 v m盘 m球 V
几点注意： (1)动能定理、机械能守恒定律仅对惯性系适用 (2)守恒与否与参考系有关 *(3)对保守系统，在质心参考系中
A外 E内B E内A E内 ( Eint EK ,int EP )
即：相对质心参考系，外力对系统所作的功等于系统 内能的增量。 (4)封闭系统历经任何变化，各种能量的总和不变 ---广义能量守恒定律
下，则设法“补救”，扩大守恒量，引进更普 遍的守恒定律。
动量守恒定律本来是针对机械运动的，在电磁学 中，人们发现，两个运动的带电粒子，在它们之间 的电磁相互作用下，二者动量的矢量和看起来似乎 是不守恒的。物理学家把动量的概念推广到电场， 把电磁场的动量也考虑进去，总动量又守恒了。
(4)实在无法“补救”时，物理学家才宣布某 守恒定律有一定的局限，非普遍成立。(如弱相互
2、机械能守恒定律
质点系运动过程中，如果只有保守内力作功，即外力 和非保守内力作的功为零或可以忽略不计，即：
若A外 A非保内 0
即有： EB E A 常量 系统的机械能保持不变
在只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能 保持不变。 具体而言，在外力和非保守内力都不作功或所作 功的代数和为零的情况下，系统内质点的动能和势 能可以相互转换，但它们的总和，即系统的机械能 保持恒定。 ——机械能守恒定律
解：①选取水星作为研究对象。
水星所受外力为太阳引力方向沿两星连线,故有 , F // r , 该力对太阳的力矩M F r为零,角动量守恒
F
m水
由角动量守恒定律： L r mv , mr1v1 mr2v2 这里r v
② 选取水星和太阳作为系统，只有 保守内力(引力)作功，机械能守恒.