【数学】1.6.1 垂直关系的判定----直线与平面垂直的判定 课件 (北师大版必修2)
合集下载
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
垂直关系的判定-课件ppt
北师大版必修二第一章第六节第一课时
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
1.6.1 第1课时 直线与平面垂直的判定
观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系? 观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?
观察图中的晾衣架与墙面之间是怎样的位置关系呢？ 观察图中的晾衣架与墙面之间是怎样的位置关系呢？
图中的旗杆与地面之间是怎样的位置关系? 图中的旗杆与地面之间是怎样的位置关系? 如何定义一条直线与一个平面垂直？ 如何定义一条直线与一个平面垂直？
l
α
P
m
n
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
你能用符号表示判定定理吗？ 你能用符号表示判定定理吗？
符号表示： 符号表示：
l
mI n = P ⇒l ⊥α l ⊥ m, l ⊥ n
m
α, n α
α
P
m
n
练一练
判断下列命题是否正确？ 判断下列命题是否正确？ 1.
m α, l ⊥ m ⇒l ⊥ α×
A
α
C
B
D
解:如图, 旗杆AB = 8m,两绳长AC = AD = 10m CB = DB = 6m QC,B,D三点不共线 ∴C,B,P三点确定平面α QAB ⊥ CB,AB ⊥ BD ∴CB ∩ DB = O ∴AB ⊥ α 因此, 旗杆OP与地面垂直.
A
α
C
B
D
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理 3.“平面化” 3.“平面化”是解决立体几何问题的一般思路 平面化
0
所在平面外一点， 所在平面外一点， PA ⊥ 平面 ABC ．问四面体 PABC 共有 几个直角三角形？ 几个直角三角形？
解：因为 PA ⊥ 平面 ABC ,所以
PA ⊥ AB, PA ⊥ AC, PA ⊥ BC ．
1.6.1 垂直关系的判定 课件(北师大必修2)
的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
垂直关系课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两
个半平面称为二面角的面.如图，以直线（）为棱、半平面，为面的二面角，记作二
面角 − − 或 − − .
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线
的夹角称为二面角的平面角，如图中的∠就是二面角 − − 的平面角.平面角是直角
⊄平面1， ⊂平面1，所以∥平面1.
高中数学
必修第二册
北师大版
二 直线与平面垂直的性质及应用
例3
如图，已知正方体 − 1111，，分别为和1上的点，且 ⊥ ， ⊥ 1.
求证：（1）∥1；（2），1，三条直线交于一点.
根据等腰三角形三线合一、菱形对角线互相垂直等得到线线垂直；③条件中给定一些数据信息，解题的
关键是从这些数据中发掘隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理.
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线.（3）根据判定定理得出结论.
2.异面直线垂直的证明主要是通过证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，然后通过线面垂直
， ⊂平面，所以⊥平面.又因为 ⊂平面，所以 ⊥ .
（2）因为∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为
∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为 ∩ ＝，
， ⊂平面，所以平面∥平面.又因为 ⊂平面，所以∥平
二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱是否垂直.
（3）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角的范围是0°≤≤180°.
高中数学
必修第二册
北师大版
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作： ⊥ .
个半平面称为二面角的面.如图，以直线（）为棱、半平面，为面的二面角，记作二
面角 − − 或 − − .
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线
的夹角称为二面角的平面角，如图中的∠就是二面角 − − 的平面角.平面角是直角
⊄平面1， ⊂平面1，所以∥平面1.
高中数学
必修第二册
北师大版
二 直线与平面垂直的性质及应用
例3
如图，已知正方体 − 1111，，分别为和1上的点，且 ⊥ ， ⊥ 1.
求证：（1）∥1；（2），1，三条直线交于一点.
根据等腰三角形三线合一、菱形对角线互相垂直等得到线线垂直；③条件中给定一些数据信息，解题的
关键是从这些数据中发掘隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理.
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线.（3）根据判定定理得出结论.
2.异面直线垂直的证明主要是通过证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，然后通过线面垂直
， ⊂平面，所以⊥平面.又因为 ⊂平面，所以 ⊥ .
（2）因为∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为
∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为 ∩ ＝，
， ⊂平面，所以平面∥平面.又因为 ⊂平面，所以∥平
二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱是否垂直.
（3）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角的范围是0°≤≤180°.
高中数学
必修第二册
北师大版
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作： ⊥ .
直线和平面垂直的判定课件
直线与平面垂直的判定
1．两直线垂直，则它们的位置关系可能是 相交 或 异面 ． 2．直线与平面的位置关系有 平行、相交或在平面内 ．
[知识点一] 直线与平面垂直的概念 1．定义 如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 垂直，记作 l⊥α ，直线 l 叫做平面 α 的 垂线 ，平面 α 叫做直线 l 的垂面．它们唯一的公共点 P 叫做垂足．
二、直线与平面垂直的判定定理 对直线与平面垂直的判定定理的理解 1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键词，这 里两条直线必须相交，若不相交(即平行)，即使直线垂直平面内的无 数条直线，也不能判定直线垂直平面． 2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面 内找出两条相交直线与已知直线垂直即可，而不必关心这两条直线的 交点是不是在已知直线上．
[规律方法] (1)利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平 面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结 论．
(2)解决线面垂直问题，常转化为证明线线垂直，而证明线线垂 直常见的方法有：
①利用勾股定理的逆定理，即在△ABC 中，若 AB2＋BC2＝AC2， 则∠B＝90°，即 AB⊥BC；
[思考] 2．a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则 l⊥α 对吗？ 提示：不一定．只有当 a 与 b 相交时，才有 l⊥α.
Hale Waihona Puke [知识点三] 直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ， 叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)图示：
如图，∠PAQ 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角．
1．两直线垂直，则它们的位置关系可能是 相交 或 异面 ． 2．直线与平面的位置关系有 平行、相交或在平面内 ．
[知识点一] 直线与平面垂直的概念 1．定义 如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 垂直，记作 l⊥α ，直线 l 叫做平面 α 的 垂线 ，平面 α 叫做直线 l 的垂面．它们唯一的公共点 P 叫做垂足．
二、直线与平面垂直的判定定理 对直线与平面垂直的判定定理的理解 1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键词，这 里两条直线必须相交，若不相交(即平行)，即使直线垂直平面内的无 数条直线，也不能判定直线垂直平面． 2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面 内找出两条相交直线与已知直线垂直即可，而不必关心这两条直线的 交点是不是在已知直线上．
[规律方法] (1)利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平 面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结 论．
(2)解决线面垂直问题，常转化为证明线线垂直，而证明线线垂 直常见的方法有：
①利用勾股定理的逆定理，即在△ABC 中，若 AB2＋BC2＝AC2， 则∠B＝90°，即 AB⊥BC；
[思考] 2．a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则 l⊥α 对吗？ 提示：不一定．只有当 a 与 b 相交时，才有 l⊥α.
Hale Waihona Puke [知识点三] 直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ， 叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)图示：
如图，∠PAQ 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角．
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直？
A
C
C
B
B
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
直线与平面垂直
画直线与平面垂直时，通常把直线画成表 示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
线线垂直 线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
课堂小结
直接法
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
直线与平面 垂直的判定
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
第一章 立体几何初步
6.1 垂直关系的判定---直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
引入新课
一条直线与一个平面垂直的含义是什么？
A
B
实例感受
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影 子．你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位 置关系吗？ 随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是 旗杆所在所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直． 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过 点B的直线垂直． 事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过 点B的直线B’C’也是垂直的． A
定义法
此直线垂直于这个平面
2012-12-5
25
练习：如图，空间中直线L和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第 三边AB的位置关系是（ B ） A 平行 L B 垂直 C 相交 C D 不确定
A B
例3 如图，已知 a // b , a ，求证 b .
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n．
因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
P
P
A C
O
B
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥ 底面ABCD,则在这个 四棱锥的四个侧面中有几个直角三角 形呢?
A
D
B
三棱锥中最多有4个直角三角形,四棱锥中最多 也有4个直角三角形.
C
比比谁最棒!!!
如图，直四棱柱 A B C D ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，A C B D ？(只能添加一个合适的条件)
A A
C
D
B
D
C
B
直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
lb a l b ab A
l a
l
b
A
a
线不在多，相交就灵 作用： 判定直线与平面垂直．
思想： 直线与平面垂直
直线与直线垂直
直线与平面垂直判定定理
P
A O B C
D
例2如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB,求证： （1）PA BC A （2）BC 平面PAC
P
O
B
C
归纳: 1.要证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,然后用线面垂直的基本 性质. 2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂 直就行.
直线与平面的一条 边垂直
l
P
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直
呢？
l
P
直线与平面垂直
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A A
C
D
B
D
C
B
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接 触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面 垂直．
P
（3）
（1）
l
P
过空间一点P作 的垂线有且只有 一条；如图(1)(2)
过空间一点P作直线l的垂面有且只有一个, 如图(3)(4)
（4）
探究2：如图PA⊥⊙o 所在平面，AB
是⊙o 的直径，C 是圆周上一点，则图中有 几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多 有几个直角三角形？四棱锥呢？
a m , a n.
a
b
m
n
又因为 b // a 所以 b m , b n . 又 m , n , m , n 是两条相交直线， 所以 b .
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都 垂直，则该直线与此平面垂直．”
l
lb a l b a // b
laAabl三:探究性学习篇
探究1. (1)过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
l
P
l
P
l
（2）
A D
解:底面ABCD可以是菱形, 正方形, 或者是对角线相互 垂直的任意四边形．
B
C
A D
B
C
二:基础理论运用篇
例1:如图，点P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是 对角线AC与BD的交点，且PA =PC PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
证 PA PC , 点 O 是 AC 的 点 明 中 PO AC 又 PB PD , 点 O 是 BD 的 点 中 PO BD 又 AC BD O PO 平 ABCD 面
C
C
B
B
引入新课
一条直线与一个平面垂直的含义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．
A
C
C
B
B
引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．
如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 条直线是否与这个平面垂直？
A
C
C
B
B
引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ 直线垂直于平面内的任意一条直 线．
直线与平面垂直
A
A
C
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面 ，你 同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD BC ，翻折之后垂直关 系不变，即 AD CD ， AD BD ．由此你能得到什 么结论？