2018版高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质学业分层测评 新人教A版必修

2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知下列函数：①y ＝log 12
(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；
④y ＝log (a 2＋a )x (x >0，a 是常数)．
其中为对数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【解析】 对于①，自变量是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且自变量是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，l n x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2
＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，
故④不是对数函数．故选A .
【答案】 A
2．函数y ＝1＋log 12
(x －1)的图象一定经过点( )
A ．(1,1)
B ．(1,0)
C ．(2,1)
D ．(2,0)
【解析】 ∵函数y ＝log 12x 恒过定点(1,0)，而y ＝1＋log 12
(x －1)的图象是由y ＝log
1
2x 的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y ＝1＋log 12
(x －1)恒过的定点
为(2,1)．故选C.
【答案】 C 3．函数y ＝
1log 2
－
的定义域为( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2>0
log 2x －，
解得x ＞2且x ≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C
4．已知0＜a ＜1，函数y ＝a x
与y ＝log a (－x )的图象可能是( )
【解析】 函数y ＝a x
与y ＝log a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，y ＝log a (－
x )与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又0＜a ＜1，根据函数的单调性即可得D 正确．故选
D.
【答案】 D
5．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 ∵f (x )＝log a (x ＋2)(0＜a ＜1)，∴其图象如下图所示，故选A .
【答案】 A 二、填空题 6．函数f (x )＝
log
1
2
－的定义域是________．
【解析】 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －2>0 log 1
2x －，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3x －2>0
3x －2≤1，
解
得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦
⎥⎤23，1.
【答案】 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤23，1
7．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝1
2
，
∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－3
2
.
【答案】 －3
2
8．已知函数y ＝log 22－x
2＋x
，下列说法：
①关于原点对称；②关于y 轴对称；③过原点．其中正确的是________. 【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f (－x )＝log 2
2＋x
2－x
＝－log 22－x 2＋x ＝－f (x )，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x ＝0时，y
＝0，所以③正确．
【答案】 ①③ 三、解答题
9．已知函数f (x )＝log a x ＋1
x －1
(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．
【解】 (1)要使函数有意义，则有
x ＋1
x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0x －1>0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1<0
x －1<0，
解得x >1或
x <－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x ＋1x －1＝－log a x ＋1
x －1＝
－f (x )．
∴f (x )为奇函数．
10．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．
【解】 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．
又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，
∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋，x >00，x ＝0
－
－x ，x <0，
∴f (x )的大致图象如图所示．
[能力提升]
1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( ) A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝2x
C ．f (x )＝log 2x
D ．f (x )＝e
l n x
【解析】 ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a MN ，∴f (x )＝log 2x ，满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”．故选C.
【答案】 C
2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x
与函数g(x )＝－log b x 的图象可能是( )
【解析】 由lg a ＋lg b ＝0，得lg (ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1
b ，所以当0＜b ＜1
时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1.
又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项
B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．
【答案】 B
3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2017)＝8，则f (x 2
1)＋f (x 2
2)＋…＋f (x 2
2017)的值等于________．
【解析】 ∵f (x 2
1)＋f (x 2
2)＋f (x 2
3)＋…＋f (x 2
2017) ＝log a x 2
1＋log a x 2
2＋log a x 2
3＋…＋log a x 2
2017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2017)2
＝2log a (x 1x 2x 3…x 2017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2017)， ∴原式＝2×8＝16. 【答案】 16
4．若不等式x 2
－log m x <0在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围.
【解】 由x 2
－log m x <0，得x 2
<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2
和y ＝log m x 的草图，如图所示．
要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12内的图象在y ＝x 2
的上方，于
是0<m<1.
∵x ＝12时，y ＝x 2
＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，
∴12≤m 14，即1
16≤m . 又0<m <1，∴1
16
≤m <1，
即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫116，1.。