江苏省南京市东大附中2010届高三期中调研考试(数学)
江苏省南京市2010届高三数学综合训练 练习4 苏教版
南京市2010届高三数学综合训练4班级_________学号________姓名___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分． 1．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}AB =，则实数a = ．2．已知虚数z 满足等式： i z z 612+=-，则=z ． 3．函数)3(sin 12π+-=x y 的最小正周期是 ． 4．某算法的伪代码如右：则输出的结果是 ． 5．已知条件p :x ≤1，条件q ：11<x，则⌝p 是q 的 条件．6．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A 和点C 到直线BD的距离之比约为 ．7．在等差数列{}n a 中，若392712a a a ++=，则13a = ． 8．在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC=a ，则正三棱锥A-BCD 的体积为________________.9．若不等式31322>-axax对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．当228x x -<时,函数252x x y x --=+的最小值是____ ___．11．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．12．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）与圆222=+y x 的位置关系是 ．13． 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”． 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”． 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．14．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3，图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f mn .D则下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号） ①0)21(=f ； ②()f x 是偶函数； ③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称． 二、解答题：解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2024届南京市六校高三数学上学期期中调研考试卷附答案解析
2024届南京市六校高三数学上学期期中调研考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(],4∞-D ．(]1,4-2．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+ 与32a b -+ 垂直，则λ=（）A ．18B ．14C ．78D ．743．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A ．2BC ．4D．4．已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（）x0134ya4.34.86.7A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.65．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos α=，则πtan()4α+＝（）A ．3-B ．13C ．13-D ．36．已知数列{}n a 通项公式为2322,7494,7n n tn n a n n ⎧-+≤=⎨+>⎩，若对任意*n ∈N ，都有1n n a a +>，则实数t 的取值范围是（）A ．[3,)t ∈+∞B ．239[,142t ∈C ．239(,142t ∈D ．23[,)14t ∈+∞7．已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π3APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．(D．)+∞8．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（）A ．6B ．12C ．14D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知复数2i z =+，1i z x y =+(,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为i -B ．z 对应的点在第一象限C ．1z z=D ．若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图形的面积为2π10．已知0,0a b >>，21a b +=，则（）A ．21a b +的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．22a b +的最小值为15D ．24a b+的最小值为11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22-上为单调函数，图象关于直线2π3x =对称，则（）A ．34ω=B ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,99-D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3-12．已知椭圆C ：()222104x y b b +=>的左右焦点分别为1F 、2F，点)P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e的取值范围为⎛ ⎝⎭B．当e =时，1QF QP +的最大值为4+C ．存在点Q ，使得210QF QF ⋅= D ．1211QF QF +的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．14．设6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=．（用数字作答）15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n a n n b a =⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.(1)若π4B =，求c a 的值；(2)若ABC22cos B C +的取值范围．19．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．(1)若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；(2)若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．20．已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，AC BC ⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC．(1)证明：EF ⊥平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点()4,6P ，且离心率为2.(1)求C 的方程；(2)过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MABNAB S S .22．已知函数23()e 232xa x f x x ax=---．(1)当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．(2)若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(3)若()f x 的最小值为1，求a ．1．D【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2．B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅ 的值，然后将“a b λ+ 与32a b -+ 垂直”等价转换为()()32a b a b λ-⋅=++ ，从而即可求解.【详解】由题意有2222111,1,cos601122a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=⨯⨯=，又因为a b λ+ 与32a b -+垂直，所以()()()()221323232320322a a b a a b b b λλλλλ+⋅=-+-⋅+=-+⨯=--++ ，整理得1202λ-+=，解得14λ=.故选：B.3．D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得π(12)3πl l +==，所以l =设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则2l l ''=+l '=，所以原圆锥的母线长l l '+=+=故选：D .4．A【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：013424x +++==， 4.3 4.8 6.715.844a a y ++++==，所以样本中心()x y 为15.82,4a +⎛⎫⎝⎭，代入回归方程有：15.80.952 2.64a +=⨯+，解得 2.2a =.故选：A .5．C【分析】先根据任意角的三角函数求出t ，再求出tan α的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知cosα=，解得12t=，所以tan2yxα==-，所以()πtan tanπ2114tanπ412131tan tan4ααα+-+⎛⎫+==-⎪--⨯⎝⎭-，故选：C6．C【分析】根据数列的单调性，即可根据263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，以及87a a>求解.【详解】当{}1,2,3,4,5,6n∈时，()()221312123226320n na a n t n n tn n t+-+-++--+-=+=>恒成立，所以263t n<+对{}1,2,3,4,5,6n∈恒成立，故9292t t<⇒<，又当7,Nn n>∈时，494na n=+为单调递增的数列，故要使对任意*n∈N，都有1n na a+>，则87a a>，即2489437142t⨯+>⨯-+，解得2314t>，综上可得239(,)142t∈，故选:C7．B【分析】连接OA、OB、OP，则OA AP⊥，OB BP⊥，设点(),P x y，则22222b xy ba=-，分析可得2OP b a=≥，可得出ba的取值范围，由e可求得e的取值范围.【详解】连接OA、OB、OP，则OA AP⊥，OB BP⊥，由切线长定理可知，PA PB=，又因为OA OB=，OP OP=，所以，AOP BOP ≌，所以，1π26APO BPO APB ∠=∠=∠=，则22OP OA b ==，设点(),P x y ，则22222b x y b a =-，且x a ≥，所以，2OP b a ==，所以，12b a ≥，故52c e a ==，故选：B.8．D【分析】根据题意可得()f x 为奇函数，其图象关于直线1x =对称且一个周期为4，再根据当[]0,1x ∈时，()32f x x x x=-+，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵()()0f x f x -+=，∴()f x 为奇函数，又∵()()2f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线1x =对称．当[]0,1x ∈时，()23210f x x x '=-+>，()f x 单调递增．由()()()2f x f x f x -=+=-，即有()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4，由()()0f x f x -+=可得，()()40f x f x -++=，所以()f x 的图象关于()2,0中心对称．函数()f x的简图如下：其中32x =，由1()(2)4f x x =-，∴所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：D ．【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；9．BC【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A ：2i z =-，所以z 的虚部为1-，A 错误；对于B ：z 对应的点为()2,1，位于第一象限，所以B 正确；对于C ：z =z =1zz=，C 正确；对于D ：在复平面内11z z -£表示到点()2,1距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以()2,1为圆心1为半径的圆，所以面积为πS =，D 错误，故选：BC 10．BCD【分析】根据基本不等式即可求解BD ，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.【详解】对于A ，0,0a b >>，()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==取等号，故A 错误，1218a b ab +=≥≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==取等号，故B 正确，()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当25b =时，取到最小值15，此时15a =，满足题意，故C 正确，24a b+≥==24a b =，即11,24a b ==时等号成立，所以D 正确故选：BCD11．ABD【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A ，由函数的平移变换可以判断选项B ，根据函数图象的零点和最值即可判断C ，D.【详解】选项A ：根据题意函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,22-上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则ππ22ω-≤-，ππ22ω≤，解得01ω<≤又因为图象关于直线2π3x =，则2πππ23k ω=+，Z k ∈，解得3342k ω=+，Z k ∈当0k =时，34ω=符合条件.则A 正确；选项B ：由A 可知3()sin4f x x=向右平移2π3个单位长度后，解析式变成3π3()sin cos 424g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则图象关于y 轴对称.B 正确；选项C ：函数()f x 在区间14π(,)9a 没有最小值，则令34t x =，14π(,)9x a ∈，则37π(,)46t a ∈，当π37π246a -≤<，即2π14π39a -≤<时，没有最小值.C 错误；选项D ：函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，因为πt =时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.所以3π04a -≤<，即4π03a -≤<，D 正确.故选：ABD.12．ABD【分析】A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QF QP-+的最大值，从而进而判断；C 项中先求出点Q 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D 项中根据椭圆定义得1224QF QF a +==，并结合基本不等式判断.【详解】对于A项：因为点)P在椭圆内部，所以22114b +<，得224b <<，所以得：0,c e a⎛==⎝⎭，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知124QF QP QF QP+=-+，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，2F 三点共线时，1QF QP +有最大值24PF +，由242c e ==，得22c =，2F ⎫⎪⎪⎝⎭，所以得2PF =，所以1QF QP+最大值4，故B 项正确；对于C 项：设(),Q x y ，若210QF QF ⋅= ，即：()(),,0c x y c x y ---⋅--=，则得222x y c +=，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，又由A 项知：22c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，得(c ea ==∈，又因为224b <<，得)2b ∈，所以得：c b <，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误；对于D 项：由椭圆定义得1224QF QF a +==，所以()121212111114QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭21121122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当122QF QF ==时取等号，故D 项正确.故选：ABD.13．12【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214．364-【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为6656510(21)x a x a x a x a -=++++ ，令=1x ，则01561a a a a =++++ ①，令1x =-，则01456729a a a a a --=+++ ②，∴①－②得()1352++=728a a a -，所以135364a a a ++=-，故答案为：364-15．28【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果．【详解】设没剪之前正方形的边数为1a ，即14a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a =+⨯=．故答案为：2816．44π【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面11ACC A 与侧面11ABB A 沿着1A A 展开到同一平面内，如下：则11C E EF FB ++长度最小值转化为11C F FB +的最小值，作点1C 关于直线BC 的对称点H ，连接1HB ，交BC 于点F ，则1HB 即为11C F FB +的最小值，也即11C E EF FB ++的最小值，其中1128C C H C ==，11628B C AB AC =+=+=，所以1B H ==此时可求出4,2BF AF ==，且145B FB ∠=︒，45AFE ∠=︒，故12,2AE AF A E ===，由勾股定理得11EF B F B E =====所以22211EF B F B E +=，由勾股定理逆定理可知，1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，连接1A Q ，由于四边形11A B FE 的外接圆圆心为1B E 的中点Q ，半径为112B E =1AQ 故OQ ⊥平面11A B FE ，所以OQ 平行于11C A ，取11A C 的中点W ，连接1,OW OC ，则1OW A Q=，且1OC 即为外接球半径，且1OC =，外接球的表面积为4π44π=.故答案为：44π【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径17．(1)1n a n =+(2)2219344n n n T ++=⋅-【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，求解通项公式;（2）利用错位相减法求解数列的前n 项和.【详解】（1）当1n =时，211122a a S +=+，即21120a a --=，12a =或11a =-（舍）当2n ≥时，211122n n n a a S ---+=+，又因为222n n n a a S +=+，两式相减得22110n n n n a a a a -----=，整理得()()1110n n n n a a a a --+--= {}n a 为正项数列，∴11n n a a --=数列{an}为等差数列，公差为1.()1111n a a n n ∴=+-⨯=+（2）()1313n a n n n b a n +=⋅=+，()()123423334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()()2345323334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()()()122345223333313n n n T n ++-=⨯+++++⨯-+⨯ 291322n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭2219344n n n T ++=⋅-.18．1(2)1,3)【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2B C =，即可由三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，π4B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c =+-=+又2()b c a c =+，故2a ac =，由于0a >，故)1a c=+，得1ca =.（2）在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，又2()b c a c =+，故22cos a ac B ac -=，又0a >，故2cos a c B c-=据正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，sin 2i [πs n cos )si (]n B C C B C =--+，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C +-=，sin si (n )B C C =-,因为,,(0,π)A B C ∈，所以)π,π(B C -∈-，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）2π2cos 2cos 212sin(2)16B C C C C +=++=++,)ππ3(A B C C +==--,因为ABC 是锐角三角形，所以π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得ππC 64<<，2ππ2πC 263<+<,故π3sin(2),162C ⎫+∈⎪⎪⎝⎭,)π2sin(211,36C ++∈)22cos 1,3B C +∈+,19．(1)分布列见解析，()21E X =(2)1990【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.【详解】（1）{}0102030X ∈，，，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 217(10)C 12040P X ====，2173310C C 6321(10)C 12040P X ====，37310C 357(30)C 12024P X ====所以X 的分布为X 0102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.()2127131219()C 103103390P M =⨯+⨯⋅=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990.20．(1)证明见解析；【分析】（1）通过证明,EF AB EF AC ⊥⊥来证得EF ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角B AD C --的余弦值.【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，∵//DE 平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，∴//DE AB ，又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴1//,2OF AB OF AB =∵2AB DE =∴//,OF DE OF DE =，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵,AB AC ⊂平面ABC ，∴⊥DO AB ，DO AC ⊥，∵//EF DO ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥，∵AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===o，∴(0,0,D .平面ADC 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-uuu r ，则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =∴()n =，∴cos ,4m n m n m n⋅<>==，由图可知二面角B AD C --为锐角，∴二面角B AD C --的余弦值为.21．(1)221412x y -=(2)32【分析】（1）根据题意求出22,a b 即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB 方程为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据122k k +=求出,k m 的关系，从而可得直线AB过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，再根据122k k +=求出m ，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.【详解】（1）由题意得22222163612a b c a a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的方程为221412x y -=；（2）由题意，点M 坐标为()1,6，点N 坐标为()0,6，设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，221412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22232120k x kmx m ----=，230k -≠且()22Δ124120m k =-+>，且2121222212,33km m x x x x k k ++==---，()()()()()()12211212121264646624444kx m x kx m x y y k k x x x x +--++----+=+==----，整理可得()()()121242228160m k x x k x x m -+++--+=，()()2222124222816033kmm m k k m k k ⎛⎫+-+⋅+-⋅--+= ⎪--⎝⎭，化简得22128122360m m k k km ---++=，即()()26460m k m k --+-=，因为直线AB 不过点()4,6P ，所以460m k +-≠，所以260m k --=，即26m k =+，所以直线AB 的方程为()26y k x =++，恒过定点()2,6Q -，②若直线AB 斜率不存在，则1212,0x x y y =+=，121212121166121224444y y y y k k x x x x --+--+=+===----，解得122x x ==-，所以直线AB 的方程为2x =-，过定点()2,6Q -，综上，直线AB 恒过定点()2,6Q -，设点M 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，1122132122MAB NABAB d S d MQ S d NQ AB d ⋅⋅====⋅⋅ .方法二：因为直线AB 不过点()4,6P ，所以可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()2244661412x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，即()()22(6)3(4)1262440y x y x ---+---=，()()][()()22(6)3(4)126244460y x y x m x n y ⎡⎤---+---⋅-+-=⎣⎦，得()()()()()22121(6)122446243(4)0n y m n x y m x +-+----+-=，等式左右两边同时除以2(4)x -，得()()()2661211224243044y y n m n m x x --⎛⎫++--+= ⎪--⎝⎭，()()2Δ(1224)41212430m n n m =-+++>，121212661224244121y y m n k k x x n ---+=+=-=--+，解得16m =-，所以直线AB 方程为()()14616x n y -⋅-+-=，即()()2660x n y -++-=，恒过定点()2,6Q -，下同法一.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22．(1)2(e 1)210x y --+=(2)12a ≤(3)12a =【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；（2）参变分离，构造2e ()2x xg x x -=+，求导，得到其最小值，求出a 的取值范围；（3）注意到(0)1f =，多次求导得到()e 2xl x a '=-，从而分12a =，12a >，0a ≤与102a <<，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案【详解】（1）21()e ,(1)e 22xx f x f =-=-，()e ,(1)e 1xf x x f ''=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1e (e 1)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即2(e 1)210x y --+=．（2）因为2()e 20x f x ax x a =---≥'在区间[0,)+∞上恒成立，所以2min e 2x x a x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭，令2e ()2xxg x x -=+，则()()()()222e 12e 2()2xx x x xg x x⋅'-+--=+，令()()()2()e 12e 2x x h x x x x=-+--⋅，则2()e 2x h x x x '=+，当0x ≥时，()0,()h x h x '≥单调递增，()(0)0h x h ≥=，所以()0g x '≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，故min 1()(0)2g x g ==，所以12a ≤．（3）23()e 2,(0)132xa x f x x ax f =---=，2()e 2,(0)12,x f x ax x a f a =---=-''令()2()e 2x k x f x ax x a -'==--，则()e 21xk x ax '=--，令()()e 21x l x k x ax '==--，则()e 2xl x a '=-，当12a =时，2231()e ,()e 1622x x x x f x x x f x x =-----'=-，则()e 1x k x x '=--，()e 1xl x '=-，当0x <时，()0,()l x k x ''<在(,0)-∞上单调递减，当0x ≥时，()0,()l x k x ''≥在[0,)+∞上单调递增，()(0)0,()k x k k x ''≥=在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0k =，所以，当0x <时，()0,()0,()k x f x f x '<<在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0,()0,()k x f x f x '>>在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1f x f ==．所以12a =适合，当12a >时，当0ln 2x a <<时，()0l x '<，()l x 在(0,ln 2)a 上单调递减，()(0)0l x l <=，()2()e 2x k x f x ax x a-'==--在(0,ln 2)a 上单调递减，因为()(0)120f x f a '<='-<，所以()f x 在(0,ln 2)a 上单调递减，此时()(0)1f x f <=，舍去．当0a ≤时，当0x <时，()e 210xk x ax '=--<，()f x '在(,0)-∞上单调递减，()(0)120f x f a >=-'>'，()f x 在(,0)-∞上单调递增，()(0)1f x f <=，舍去；当102a <<时，当ln 20a x <<时，()e 20,()xl x a k x ''=->在(ln 2,0)a 上单调递增，()(0)0,()k x k f x ''<='在(ln 2,0)a 上单调递减，()(0)120,()f x f a f x >=->''在(ln 2,0)a 上单调递增，此时，()(0)1f x f <=，舍去．综上，12a =．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
江苏省南京市东大附中高三数学考前模拟训练 苏教版 新课标
南京市东大附中2010届考前模拟训练 数 学 I 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．否则不得分 1.双曲线1322=-x y 的焦点坐标是______★_______. 2.已知复数z 满足1iz －＝3，则复数z 的虚部为_____★_______. 3.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =， 则10S 等于__★____.4.如图伪代码的输出结果为 ★ .5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ★ ．6.ABC ∆中，若30B ∠=，AB =AC =BC = ★ . 7.函数y =x x -的单调增区间是____★_____.8.直线 y =m 与函数 y =A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）有交点，其中三个相邻交点的横坐标分别为 2，4，14，则ω的值为____★_____.9.已知集合A ={x|log 0.5（x +1）≥-2}，B ={x|x 2-（a 2-1）x +5a ≤0}，若A B ⊆，则a 的取值范围是____★_____.10.椭圆的右焦点F 所对应的准线l 与对称轴的交点为A ，B 是线段FA 的中点，若以椭圆上的一点M 为圆心，线段OF （O 为坐标系原点）为半径的圆恰好经过F ，B两点，则椭圆的离第4题第5题心率为______★_____.11.已知函数f （x ）=-x 2+cos x ，x ∈[-2，2]，若f （2x -1）＜f (1)，则x 的取值范围是_____★_____.12.在△ABC 中，A =60o，a =2，记△ABC 的周长为s 1，面积为s 2，则21s s 的最小值是____★_____. 13.定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，， 当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ， 则式子90n a n+最小时n 的值为____★ __. 14.下列四种说法：①命题“∃x ∈R ，使得x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋1≤3x ”；②“m =－2”是“直线(m ＋2)x ＋my ＋1=0与直线（m －2）x ＋(m ＋2)y －3=0相互垂直”的必要不充分条件；③将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程02=++c bx x 有实根的概率为1936； ④过点（12，1）且与函数y =1x图象相切的直线方程是4x ＋y －3=0. 其中所有正确说法的序号是_____★_____.二、解答题（本大题共6小题，计90分）15.（本小题14分）已知a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），a ∥b . （I ）若sin β=53，β是钝角，求tan α的值； （II ）求证：tan （α+β）=3tan β.16.（本小题14分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，,2,2==CD BC AB AC =.（I ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：FG ∥面ABC ； （II ）证明：AD CE ⊥.17.（本小题14分）如图，吊车的车身高为m 米（包括车轮的高度），吊臂长n 米，现要把一个直径为6米，高为3米的圆柱形屋顶水平地吊到屋基上安装，在安装过程中屋顶不能倾斜（注：在吊臂的旋转过程中可以靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态）. （I ）设吊臂与水平面的倾斜角为α，屋顶底部与地面间的距离最大为h 米，此时如图所示，屋顶上部与吊臂有公共点，试将h 表示为α函数，并写出定义域；（II ）若某吊车的车身高为2.5米，吊臂长24米，使用该吊车将屋顶吊到14米的屋基上，能否吊装成功？第16题 BCD E AF G第17题18.（本小题16分）已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆ 的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34. （I ）求圆C 的方程及直线l 的方程； （II ）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值.19.（本小题16分）已知各项均为实数的数列{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和 为S n ，且满足S 4＝2S 2＋8. （I ）求公差d 的值；（II ）若数列{a n }的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项； （III ）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）.20.（本小题16分）已知a >0，函数f （x ）=ax －bx 2. （I ）当b >0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2b ；（II ）当b >1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；（III ）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件.南京市东大附中2010届考前模拟训练数学Ⅱ（附加题）1．(本小题满分10分)给定矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－13 23，N=⎣⎡⎦⎤2112 及向量e 1=⎣⎡⎦⎤11，e 2=⎣⎡⎦⎤1－1 . （I ）证明M 和N 互为逆矩阵；（II ）证明e 1和e 2都是M 的特征向量．2．(本小题满分10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2)．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径. （I ）求直线l 关于t 的参数方程（其中t 表示有向线段PQ 的数量,Q 为直线l 上任意一点）和圆C 的极坐标方程； （II ）试判定直线l 和圆C 的位置关系.3． (本小题满分10分)如图所示在直角梯形OABC 中,,1,2====∠=∠AB OS OA OAB COA π4=OC , 点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON ：NC =1：3，以OC ,OA ,OS 所在直线建立空间直角坐标系xyz O -. （I ） 求异面直线MN 与BC 所成角的余弦值； （II ）求MN 与面SAB 所成的角的正弦值．4．(本小题满分10分)已知a n =4n +5，b n =3n，求证：对任意正整数n ，都存在正整数p ，使得a p = b 2n .数学试卷参考答案及评分标准一、填空题 1.（0，±2）；2.31 ； 3. 60 ；4.26；5. 48； 6. 3；7.（0，41）；8. 6π；9.[-5，-34]；10.3132+-；11. ]23,1()0,21[⋃-；12. 23；13. 13；14.①③. 二、解答题（本大题共6小题，计90分）15. 解答：因为a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），且a ∥b所以sin （α+2β）=2 sin α……………………………………………………………………2分 （1）sin β=53,β是钝角，所以cos β=-54，可得sin2β=-2524， cos β=257， (4)分代入sin αcos2β+cos αsin2β=2sin α化得tan α=-4324；………………………………………7分（2）因为sin （α+2β）=2 sin α，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]得sin （α+β）cos β+ cos （α+β）sin β=2[sin （α+β）cos β- cos （α+β）sin β] ……………11分移项得sin （α+β）cos β=3 cos （α+β）sin β，等式两边同时除以cos （α+β）cos β 得 tan （α+β）=3tan β………………………………………14分 16. 解答（I ）证明：取AB 中点H ，连接GH ，CH 因为G 是AE 中点，所以HG ∥＝21BE ，又因为矩形BCDE ，所以BE ∥=CD ，且F 是CD 中点， 所以HG ∥＝CF ，所以四边形FGHC 是平行四边形，所以FG ∥CH ，………………………………4分又因为FG ⊄平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，所以FG ∥面ABC ；………………………………7分 （II ）取BC 中点Q ，连接AQ ，DQ 因为AC=AB ，所以AQ ⊥BC ，因为侧面ABC ⊥底面BCDE ，AQ ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCDE =BC ， 所以AQ ⊥平面BCDE ，……………………………………………………………………………………8分因为CE ⊂平面BCD ，所以 CE ⊥AQ ……………………………………………………………9分 又在矩形BCDE 中，,2,2==CD BC ，BE=2,CQ=1, 所以2==CQBECD BC 所以Rt △CDQ ∽Rt △BCE ，所以∠DQC=∠CEB, ………………………………………………10分所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90o ，所以CE ⊥BQ …………………………12分（其他方法参照给分）因为AQ ∩BQ=Q ，所以CE ⊥平面ADQ ，………………………………………………13分AD ⊂平面ADQ ，所以AD CE ⊥………………………………………………………………14分 17.解：（1）由已知得nsin α+m=h+3+3tan α得h=nsin α-3tan α+m-3（0＜α＜2π）——————————————————（6分） （2）由已知得124sin 3tan (0).22h πααα∴=--<<┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（7分）求导得3'22124(cos )38()24cos 0.cos cos h ααααα-=-==┈┈┈┈┈┈┈┈┈（10分） 1cos .2α∴=,3πα∴=且'()h α在3πα=处左正右负，┈┈┈┈┈┈┈┈┈（12分）∴()max11()9 1.714.814.322h h πα==>⨯-=>⎡⎤⎣⎦————————（15分） 答：可以吊装成功.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┄┄┄┈┈┈┈（16分） 18. 解：因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ∆为以OB 为斜边的直角三角形，所以圆C ：16)4(22=+-y x ……………………………………………………………3分 （2）1）斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合………………4分2）斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2所以212642=+-+kk k34-=∴k ………7分2634),2(346:=-+--=-∴y x x y l 即，纵上，l：2=x 或02634=-+y x …………………8分（3）解：设2EC F a∠=，则2||||co s 216C E C F C E C F ααα===-.…………10分 在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，…………………………………………12分 由圆的几何性质得||||1716PC MC -=-=≥，所以32cos ≤α，……………………………………14分 由此可得916-≤⋅CF CE ，则⋅的最大值为169-…………………………………………16分19.解答（1）d ＝2；……………………………………………………………………………………………4分（2）考虑到d ＝2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究.①当a 1＝0时， 02＋d ＋2d ＝0＋2＋4≤10，而02＋d ＋2d ＋3d ＝0＋2＋4＋6＞10，此时，数列至多3项；………………………………………………………………………………6分 ②当a 1＞0时，可得数列至多3项；…………………………………………………………9分③当a 1＜0时，a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ≤10，即a 12＋3a 1＋2≤0，此时a 1有解.而a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ≤10，即a 12＋4a 1＋10≤0，此时a 1无解. 所以a 1＜0时，数列至多有4项. ………………………………………………………………………12分 （3）a 1＝－1时，数列为：－1，1，3，5；或a 1＝－2时，数列为：－2，0，2，4. …………………16分20. 解答：（1）证明：根据题设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1.又f （x ）=－b （x －b a 2）2+ba 42.∴f （ba2）=ba 42≤1，∵a >0，b >0，∴a ≤2b .…………………………………………………………………………4分（2）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≥－1.据此可推出 f （1）≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1. ………………………………………………………6分对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b >1，可得0<b 1<1，可推出f （b1）≤1，即a ·b1－1≤1，∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .………………………………………………………8分充分性：因为b >1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，可以推出ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1，因为b >1，a ≤2b ，.………………………………………………………10分对任意x ∈［0，1］，可以推出：ax －bx 2≤2b x －bx 2－b （x －b1）2+1≤1，即ax －bx 2≤1，∴－1≤f （x ）≤1. ……………………12分综上，当b >1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .（3）解：因为a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］有f （x ）=ax －bx 2≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1；f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b +1，又a ≤b +1⇒f （x ）≤（b +1）x －bx 2≤1，即f （x ）≤1.所以，当a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b +1. …………………16分数学Ⅱ（附加题）1 (1)因为MN =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，NM =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，所以M 和N 互为逆矩阵．.………………………………………………………5分 （法二：求逆矩阵，参照给分）(2)向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，所以e 1和e 2是M 的特征向量．………………………………………………………10分 （法二：求特征向量，参照给分） 2．3解：如图建系，则S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0)所以N (1,0,0) M()21,21,21…………………………………………2分 (1) )21,21,21(--= )0,1,3(-=3015210232||,cos -=-=⋅>=<CB MN CB MN …………………………………………5分 30152所成角的余弦值为与直线BC MN ∴…………………………………………6分(2)设平面SAB 的一个法向量为),,(c b a n =则0)1,1,1(),,(=-+=-⋅=⋅c b a c b a SB n 0)1,1,0(),,(=-=-⋅=⋅c b c b a SA n令)1,1,0(1==n b 可得法向量…………………………………………8分 362231,cos -=-=>=<…………………………………………9分 36所成角的正弦值为与面直线SAB MN ∴…………………………………………10分 4．。
江苏省南京市高三数学上学期期中试卷 文(解析版)苏教版
2012-2013学年江苏省南京市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．（5分）已知U=R，A={x|﹣1≤x＜0}，则∁U A= （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）．2．（5分）“x2=x+2”是“”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）．”“3．（5分）函数的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．解：∵函数4．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω= 2 ．=﹣=（=5．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则= 2 ．由题意可得解：由题意可得：=2d≠0，故=6．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．﹣﹣cosx=2sinx cosx﹣≤x﹣＜=，．故答案为：．﹣）7．（5分）已知实数x，y满足x+y=1，则x2+y2的最小值是．的距离的平方为故答案为8．（5分）设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O的体积为．PB=，V=故答案为：9．（5分）已知函数是奇函数，且f（a2﹣2a）＞f（3），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．=1在10．（5分）（2010•如皋市模拟）已知= ．x+与与是互余关系，故答案为：11．（5分）正项等比数列{a n}中，若1≤a2≤2，2≤a3≤3，则a5的取值范围是[2，27] ．，≤2，∴，≤3，∴，∴，12．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若，则= ．=+、的线（==，+，可得=故答案为：线性表示式，着重考查了余弦定理、直角三角形内切圆13．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为．由已知整理可得，a+c≥c=即c≥c故答案为：定义数列{c n}：，并规定数列{a n}，{b n}的“并和”为S ab=a1+a2+…+a5+c5，若S ab=15，则y的最小值为 3 ．由已知中二、解答题15．（14分）在锐角三角形ABC中，，（1）求tanB的值；（2）若，求实数m的值．中，cosA=tanA=，；）因为，即16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，（1）设点M是棱BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面AA1C1C；（2）设点E是B1C1的中点，过A1E作平面α交平面ADC1于l，求证：A1E∥l．17．（14分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．++1≥218．（16分）已知函数f（x）=2（x2﹣2ax）lnx﹣x2+4ax+1，（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e是自然对数的底数）；（2）求函数f（x）的单调区间．19．（16分）已知数列{a n}满足，且a2=6．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）设，c为非零常数，若数列{u n}是等差数列，记，S n=c1+c2+…+c n，求S n．）根据，可将）∵时，﹣（n≥2）==3﹣﹣（n≥3），数列，，=2×+4+…+2n×=2×+…+2n×两式作差得S=2×+2×+ (2)20．（16分）设f（x）=e x﹣a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n 都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．=﹣a≥2=m＜+．﹣a≥2=m＜•（。
江苏省南京市2010届高三数学综合训练 练习5 苏教版
南京市2010届高三数学综合训练5班级_________学号________姓名___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21z z =_________。
2. 已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为3. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是6. 在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 8. 某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10. 在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 . 11. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
2010届南京市江东中学高三数学数列检测卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则 a12 的值是
.
答案 15
2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4=18-a5,则 S8=
.
答案 72
3.设
Sn
（2）求数列
n
的前
n
项和
Sn.
kn
解 （1）由已知得(a1+d)2=a1·(a1+3d),解得 a1=d 或 d=0（舍去），所以数列{an}
的 通 项 是 an=nd,因 为 数 列 a1,a3,ak 1 ,ak 2 ,… ,ak n ,… 成 等 比 数 列 ， 即 数 列
d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列，其公比
2n
14
=-
2 3
(-1)n·(an-3n+21)=-
2 3
bn.
又 ≠-18，所以 b1=-( +18)≠0.
由上式知 bn≠0,所以 bn1 =- 2 (n∈N*).
bn
3
故当
≠-18
时，数列{bn}是以-(
+18)为首项，-
2 3
为公比的等比数列.
（3）解 当 ≠-18 时，由（2）得：
么 an=
.
答案 2n-1
9.等比数列{an}中，a20+a21=10,a22+a23=20,则 a24+a25=
.
答案 40
10.（2009·东海高级中学高三调研）等差数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，a1=-2
江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,6 B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,62．已知复数1i1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（ ） A ．34B ．18C ．12D ．74．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架BC 的高度h ，点1234,,,B B B B 是屋宽AB 的五等分点，连接AC ，在1B 处下“折”10h安置第一榑1C ，连接1AC ，在2B 处下“折”20h安置第一榑2C ，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑4C 的高度44B C 为（ ）A ．5hB ．8hC ．320h D ．215h 5．已如,,A B C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点，且1,120AC AB BAC ∠===o ，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．112B C ．14D 6．若直线l 与曲线3y x =和圆2225+=x y 都相切，则l 的方程可能为（ ）A ．21y x =+B ．32y x =-C ．1y x =+D ．1133y x =+7．已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35 D 8．已知函数()()ππsin 2,64f x x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对任意的[],π,a b m m ∈-，当a b >时，()()()()f a f b g a g b -<-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．π19π,224⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π17π,224⎛⎤⎥⎝⎦C ．7π19π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π17π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A ．若“*1,n n a a n +>∈N ”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B ．“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“{}n a 为等差数列”的必要不充分条件C ．若{}n a 为等比数列，则36396,,S S S S S --成等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}n S 可能是等差数列10．已知函数()()πsin 0,0π2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极值点11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．△PFQ 面积的最小值为212．已知点A ，B 是函数()()232f x x x ax a =-+∈R 图象上不同的两点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线AB 与y 轴垂直，则a 的取值范围是4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．若点A ，B 分别在第二与第四象限，则a 的取值范围是(),0∞-C ．若直线AB 的斜率恒大于1，则a 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．不存在实数a ，使得A ，B 关于原点对称三、填空题13．在ABC V 中，已知点D 满足BC CD λ=u u u r u u u r ，若32AD AC AB =-u u u r u u u r u u u r，则λ=.14．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.若222225a b c +=，则cos C 的最小值为.15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为 16．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为.四、解答题17．已知ABC V 的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 分别为，()cos 2cos C b A =. (1)求A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值.18．如图，矩形BCDE 所在平面与ABC V 所在平面垂直，90ACB ∠=o ，2BE =(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 4AE =，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值.19．已知等比数列{}n a 公比为2，数列{}n b 满足112b =，若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12n n +⋅. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数(),,2p q p q ≠，使得2,,p q b b b 成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数,p q ，如不存在，请说明理由.20．随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第i 天抽取1张奖券”的概率为i P ，写出i P 与1i P +的关系式并求出i P .21．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线l 过抛物线28y x =的焦点和点()0,b .已知C 的焦距为6且一条渐近线与l 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线m 过双曲线C 上的右焦点，若m 与C 交于点,A B （其中点A 在第一象限），与直线43x =交于点T ，过T 作平行于OA 的直线分别交直线,OB x 轴于点,P Q ，求TP PQ . 22．已知函数()()()322e ,23x f x x g x x x =-=-.(1)求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； (2)已知实数0a >，设()()()h x af x g x =-. （i ）若3a =，求()h x 的极值； （ii ）若()h x 有3个零点，求a 的值.。
数学_2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷(含答案)
2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知集合A ={3, m 2}，B ={−1, 3, 2m −1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．2. 若复数z =(2−i)(a −i)，（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为________4. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(−3)+f(2)=________．5. 已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，则l 1 // l 2的充要条件是a =________．6. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．7. 在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．8. 设方程2x +x =4的根为x 0，若x 0∈(k −12, k +12)，则整数k =________．9. 已知函数f(x)=alog 2x −blog 3x +2，若f(12009)=4．则f(2009)的值为________． 10. 已知平面区域U ={(x, y)|x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}，A ={(x, y)|x ≤4, y ≥0, x −2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．11. 已知抛物线y 2=2pxp >0上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，双曲线x 2−y 2a=1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =________．12. 已知平面向量a →，b →，c →满足a →+b →+c →=0→，且a →与b →的夹角为135∘，c →与b →的夹角为120∘，|c →|=2，则|a →|=________． 13. 函数y =x −2sinx 在区间[−2π3, 2π3]上的最大值为________．14. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点(1, 0)处标1，点(1, −1)处标2，点(0, −1)处标3，点(−1, −1)处标4，点(−1, 0)标5，点(−1, 1)处标6，点(0, 1)处标7，以此类推，则标签20092的格点的坐标为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2−a2−c2ac =cos(A+C)sinAcosA．(1)求角A；(2)若sinBcosC>√2，求角C的取值范围．16. 在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA 的中点，F为BC的中点，求证：（1）平面BDO⊥平面ACO；（2）EF // 平面OCD．17. 已知圆O的方程为x2+y2＝1，直线l1过点A(3, 0)，且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．18. 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d(m)与车速v(km/ℎ)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+12l（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60(km/ℎ)时，车距为2.66个车身长．（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？19. 已知函数f(x)=ax−3，g(x)=bx−1+cx−2(a, b∈R)且g(−12)−g(1)=f(0)．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f(x)=g(x)在(0, +∞)有唯一解，求a的取值范围；（3）若b=1，集合A={x|f(x)>g(x), g(x)<0}，试求集合A；20. 已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d>0)，在a，b之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a n}是等比数列，其公比为q．（1）若a=1，m=1，求公差d；（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．2010年江苏省某校高三第三次调研数学试卷答案1. 12. 123. 6π4. −85. −16. 207. 7108. 19. 010. 2911. 1412. √613. √3−π314. (1004, 1005)15. 解：(1)∵ b2−a2−c2ac =−2cosB，cos(A+C)sinAcosA=−2cosBsin2A，，又∵ b 2−a2−c2ac=cos(A+C)sinAcosA，∴ −2cosB=−2cosBsin2A，而△ABC为斜三角形，∵ cosB≠0，∴ sin2A=1．∵ A∈(0, π)，∴ 2A=π2，A=π4．(2)∵ B+C=3π4，∴ sinBcosC =sin(3π4−C)cosC=sin3π4cosC−cos3π4sinCcosC=√22+√22tanC>√2即tanC>1，∵ 0<C<3π4，∴ π4<C<π2．16. 证明：（1）∵ OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD，∵ ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，又OA∩AC=A，∴ BD⊥平面OAC，又∵ BD⊂平面OBD，∴ 平面BD0⊥平面ACO．（2）取OD中点M，连接KM、CM，则ME // AD，ME=12AD，∵ ABCD是菱形，∴ AD // BC，AD=BC，∵ F为BC的中点，∴ CF // AD，CF=12AD，∴ ME // CF，ME=CF．∴ 四边形EFCM是平行四边形，∴ EF // CM，∴ EF // 平面OCD17. 由题意，可设直线l1的方程为y＝k(x−3)，即kx−y−3k＝0又点O(0, 0)到直线l1的距离为d=√k2+1=1，解得k=±√24，所以直线l1的方程为y=±√24(x−3)，即√2x−4y−3√2=0或√2x+4y−3√2=0⋯对于圆O的方程x2+y2＝1，令x＝±1，即P(−1, 0)，Q(1, 0)．又直线l2方程为x＝3，设M(s, t)，则直线PM方程为y=ts+1(x+1)．解方程组{x=3y=ts+1(x+1)，得P/(3,4ts+1)，同理可得：Q/(3,2ts−1)．所以圆C的圆心C的坐标为(3,3st−ts2−1)，半径长为|st−3ts2−1|，又点M(s, t)在圆上，又s2+t2＝1．故圆心C为(3,1−3st )，半径长|3−st|．所以圆C的方程为(x−3)2+(y−1−3st )2=(3−st)2，即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +(1−3s)2t2−(3−s)2t2=0即(x−3)2+y2−2(1−3s)yt +8(s2−1)t2=0，又s2+t2＝1故圆C的方程为(x−3)2+y2−2(1−3s)yt−8=0，令y＝0，则(x−3)2＝8，所以圆C经过定点，y＝0，则x=3±2√2，所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2√2,0)18. 当v=50(km/ℎ)时，大桥每小时通过的车辆最多．…19. 解：（1）由g(−12)−g(1)=f(0)，得(−2b+4c)−(b+c)=−3，∴ b，c所满足的关系式为b−c−1=0．（2）由b=0，b−c−1=0，可得c=−1，因为方程f(x)=g(x)，即ax−3=−x−2，可化为a=3x−1−x−3，令x−1=t则由题意可得，a=3t−t3在(0, +∞)上有唯一解．令ℎ(t)=3t−t3(t>0)，由ℎ′(t)=3−3t2=0，可得t=1，当0<t<1时，由ℎ′(t)>0，可知ℎ(t)是增函数；当t>1时，由ℎ′(t)<0，可知ℎ(t)是减函数，故当t=1时，ℎ(t)取极大值2；由函数ℎ(t)的图象可在，当a=2或a≤0时，方程f(x)=g(x)有且仅有一个正实数解．故所求a的取值范围为{a|a=2或a≤0}．（3）由b=1，b−c−1=0，可得c=0，A={x|f(x)>g(x)且g(x)<0}={x|ax−3> 1x且x<0}={x|ax2−3x−1<0且x<0}，当a>0时，A=(3−√9+4a2a，0)；当a=0时，A=(−13，0)；当a<−94时，(△=9+4a<0)，A=(−∞, 0)；当a=−94时，A={x|x<0且x≠−23}；当−94<a<0时，A=(−∞,3+√9+4a2a)∪(3−√9+4a2a,0)．20. 解：（1）由a=1，且等差数列a，b，c的公差为d，可知b=1+d，c=1+2d，若插入的一个数在a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，消去q可得(1+2d)2=(1+d)3，其正根为d=1+√52．若插入的一个数在b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，消去q可得1+2d=(1+d)3，此方程无正根．故所求公差d=1+√52．…（2）设在a，b之间插入l个数，在b，c之间插入t个数，则l+t=m，在等比数列{a n}中，∵ a1=a，a l+2=b=a+c2，a m+3=c，a k⋅a m+4−k=a1⋅a m+3…，∴ (a 2⋅a 3...a m+2)2=(a 2⋅a m+2 )⋅( a 3⋅a m+1)…(a m+1⋅a 3 )(a m+2⋅a 2)=(ac)m+1， 又∵ q l+1=b a >0，q t+1=cb >0，l ，t 都为奇数，∴ q 可以为正数，也可以为负数． ①若q 为正数，则 a 2⋅a 3...a m+2=(ac)m+12，所插入 m 个数的积为a 2⋅a 3…a m+2b=2a+c⋅(ac)m+12；②若q 为负数，a 2，a 3，…，a m+2 中共有 m2+1 个负数，当 m2 是奇数，即 m =4k −2，k ∈N + 时，所插入m 个数的积为 b ˙=2a+c (ac)m+12；当m2是偶数，即m =4k ，k ∈N +时，所插入m 个数的积为b ˙=−2a+c⋅(ac)m+12．综上所述，所插入m 个数的积为 b ˙=±2a+c ⋅(ac)m+12．（3）∵ 在等比数列{a n }，由q l+1=ba =a+d a，可得 q l+1−1=da ，同理可得 q m+2−1=2d a，∴ q m+2−1=2(q l+1−1)，即q m+2=2 q l+1−1，m ≥l ，假设q 是有理数，若q 为整数，∵ a ，b ，c 是正数，且d >0，∴ |q|>1，在 2 q l+1−q m+2=1中，∵ 2 q l+1−q m+2 是q 的倍数，故1也是q 的倍数，矛盾． 若q 不是整数，可设q =yx （其中x ，y 为互素的整数，x >1 ），则有 (y x)m+2=2(yx)l+1−1，即 y m+2=x m−l+1(2y l+1−x l+1)，∵ m ≥l ，可得 m −l +1≥1，∴ y m+2 是x 的倍数，即y 是x 的倍数，矛盾． ∴ q 是无理数．。
南京市东大附中2010届考前模拟训练(数学)
南京市东大附中2010届考前模拟训练数 学 I 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．否则不得分 1.双曲线1322=-x y 的焦点坐标是______★_______. 2.已知复数z 满足1iz －＝3，则复数z 的虚部为_____★_______. 3.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =， 则10S 等于__★____.4.如图伪代码的输出结果为 ★ .5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ★ ．6.ABC ∆中，若30B ∠=， 23AB =，3AC =，则BC = ★ .7.函数y =x x -的单调增区间是____★_____.8.直线 y =m 与函数 y =A sin （ωx +ϕ）（ω＞0）有交点，其中三个相邻交点的横坐标分别为 2，4，14，则ω的值为____★_____.9.已知集合A ={x|log 0.5（x +1）≥-2}，B ={x|x 2-（a 2-1）x +5a ≤0}，若A B ⊆，则a 的取值范围 是____★_____.S ← 1For I from 1 to 9 step 2 S ←S + I End For Print S第4题第5题10.椭圆的右焦点F 所对应的准线l 与对称轴的交点为A ，B 是线段FA 的中点，若以椭圆上的一点M 为圆心，线段OF （O 为坐标系原点）为半径的圆恰好经过F ，B 两点，则椭圆的离心率 为______★_____.11.已知函数f （x ）=-x 2+cos x ，x ∈[-2，2]，若f （2x -1）＜f (1)，则x 的取值范围是_____★_____. 12.在△ABC 中，A =60o ，a =2，记△ABC 的周长为s 1，面积为s 2，则21s s 的最小值是____★_____. 13.定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，， 当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ， 则式子90n a n+最小时n 的值为____★ __. 14.下列四种说法：①命题“∃x ∈R ，使得x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋1≤3x ”；②“m =－2”是“直线(m ＋2)x ＋my ＋1=0与直线（m －2）x ＋(m ＋2)y －3=0相互垂直”的必要不充分条件；③将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程02=++c bx x 有实根的概率为1936； ④过点（12，1）且与函数y =1x图象相切的直线方程是4x ＋y －3=0. 其中所有正确说法的序号是_____★_____.二、解答题（本大题共6小题，计90分）15.（本小题14分）已知a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），a ∥b . （I ）若sin β=53，β是钝角，求tan α的值； （II ）求证：tan （α+β）=3tan β.16.（本小题14分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，,2,2==CD BC AB AC =.（I ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：FG ∥面ABC ； （II ）证明：AD CE ⊥.17.（本小题14分）如图，吊车的车身高为m 米（包括车轮的高度），吊臂长n 米，现要把一个直径为6米，高为3米的圆柱形屋顶水平地吊到屋基上安装，在安装过程中屋顶不能倾斜（注：在吊臂的旋转过程中可以靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态）. （I ）设吊臂与水平面的倾斜角为α，屋顶底部与地面间的距离最大为h 米，此时如图所示，屋顶上部与吊臂有公共点，试将h 表示为α函数，并写出定义域；（II ）若某吊车的车身高为2.5米，吊臂长24米，使用该吊车将屋顶吊到14米的屋基上，能否吊装成功？第16题 B CDEAF Gα3 3 第17题 m h18.（本小题16分）已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆ 的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34. （I ）求圆C 的方程及直线l 的方程；（II ）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一点P作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值.19.（本小题16分）已知各项均为实数的数列{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和 为S n ，且满足S 4＝2S 2＋8. （I ）求公差d 的值；（II ）若数列{a n }的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项； （III ）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）.20.（本小题16分）已知a >0，函数f （x ）=ax －bx 2. （I ）当b >0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2b ；（II ）当b >1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；（III ）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件.南京市东大附中2010届考前模拟训练数学Ⅱ（附加题）1．(本小题满分10分)给定矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－13 23，N=⎣⎡⎦⎤2112 及向量e 1=⎣⎡⎦⎤11，e 2=⎣⎡⎦⎤1－1 .（I ）证明M 和N 互为逆矩阵；（II ）证明e 1和e 2都是M 的特征向量．2．(本小题满分10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2 )．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径. （I ）求直线l 关于t 的参数方程（其中t 表示有向线段PQ 的数量,Q 为直线l 上任意一点）和圆C 的极坐标方程； （II ）试判定直线l 和圆C 的位置关系.3． (本小题满分10分)如图所示在直角梯形OABC 中,,1,2====∠=∠AB OS OA OAB COA π4=OC , 点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON ：NC =1：3，以OC ,OA ,OS 所在直线 建立空间直角坐标系xyz O -. （I ） 求异面直线MN 与BC 所成角的余弦值； （II ）求MN 与面SAB 所成的角的正弦值．4．(本小题满分10分)已知a n =4n +5，b n =3n ，求证：对任意正整数n ，都存在正整数p ，使得a p = b 2n .数学试卷参考答案及评分标准一、填空题 1.（0，±2）；2.31 ； 3. 60 ；4.26；5. 48； 6. 3；7.（0，41）；8. 6π；9.[-5，-34]；10. 3132+-；11. ]23,1()0,21[⋃-；12. 23；13. 13；14.①③.二、解答题（本大题共6小题，计90分）C B A O S N M x yz15. 解答：因为a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），且a ∥b所以sin （α+2β）=2 sin α……………………………………………………………………2分（1）sin β=53,β是钝角，所以cos β=-54，可得sin2β=-2524， cos β=257，……………4分代入sin αcos2β+cos αsin2β=2sin α化得tan α=-4324；………………………………………7分 （2）因为sin （α+2β）=2 sin α，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]得sin （α+β）cos β+ cos （α+β）sin β=2[sin （α+β）cos β- cos （α+β）sin β] ……………11分 移项得sin （α+β）cos β=3 cos （α+β）sin β，等式两边同时除以cos （α+β）cos β 得 tan （α+β）=3tan β………………………………………14分 16. 解答（I ）证明：取AB 中点H ，连接GH ，CH 因为G 是AE 中点，所以HG ∥＝21BE ，又因为矩形BCDE ，所以BE ∥=CD ，且F 是CD 中点， 所以HG ∥＝CF ，所以四边形FGHC 是平行四边形，所以FG ∥CH ，………………………………4分 又因为FG ⊄平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，所以FG ∥面ABC ；………………………………7分 （II ）取BC 中点Q ，连接AQ ，DQ 因为AC=AB ，所以AQ ⊥BC ，因为侧面ABC ⊥底面BCDE ，AQ ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCDE =BC ， 所以AQ ⊥平面BCDE ，……………………………………………………………………………………8分 因为CE ⊂平面BCD ，所以 CE ⊥AQ ……………………………………………………………9分 又在矩形BCDE 中，,2,2==CD BC ，BE=2,CQ=1, 所以2==CQBECD BC 所以Rt △CDQ ∽Rt △BCE ，所以∠DQC=∠CEB, ………………………………………………10分所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90o ，所以CE ⊥BQ …………………………12分（其他方法参照给分）因为AQ ∩BQ=Q ，所以CE ⊥平面ADQ ，………………………………………………13分 AD ⊂平面ADQ ，所以AD CE ⊥………………………………………………………………14分 17.解：（1）由已知得nsin α+m=h+3+3tan α得h=nsin α-3tan α+m-3（0＜α＜2π）——————————————————（6分） （2）由已知得124sin 3tan (0).22h πααα∴=--<<┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（7分）求导得3'22124(cos )38()24cos 0.cos cos h ααααα-=-==┈┈┈┈┈┈┈┈┈（10分） 1cos .2α∴=,3πα∴=且'()h α在3πα=处左正右负，┈┈┈┈┈┈┈┈┈（12分）∴()max11()939 1.714.814.322h h πα==->⨯-=>⎡⎤⎣⎦————————（15分） 答：可以吊装成功.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┄┄┄┈┈┈┈（16分） 18. 解：因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ∆为以OB 为斜边的直角三角形，所以圆C ：16)4(22=+-y x ……………………………………………………………3分（2）1）斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合………………4分2）斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx 因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2所以212642=+-+kk k34-=∴k ………7分2634),2(346:=-+--=-∴y x x y l 即，纵上，l：2=x 或02634=-+y x …………………8分（3）解：设2ECF a∠=，则2||||co s 216cC E C F C E C F ααα===-.…………10分 在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，…………………………………………12分 由圆的几何性质得||||1716PC MC -=-=≥，所以32cos ≤α，……………………………………14分由此可得916-≤⋅CF CE ，则CF CE ⋅的最大值为169-…………………………………………16分 19.解答（1）d ＝2；……………………………………………………………………………………………4分（2）考虑到d ＝2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究.①当a 1＝0时， 02＋d ＋2d ＝0＋2＋4≤10，而02＋d ＋2d ＋3d ＝0＋2＋4＋6＞10，此时，数列至多3项；………………………………………………………………………………6分②当a 1＞0时，可得数列至多3项；…………………………………………………………9分③当a 1＜0时，a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ≤10，即a 12＋3a 1＋2≤0，此时a 1有解.而a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ≤10，即a 12＋4a 1＋10≤0，此时a 1无解. 所以a 1＜0时，数列至多有4项. ………………………………………………………………………12分 （3）a 1＝－1时，数列为：－1，1，3，5；或a 1＝－2时，数列为：－2，0，2，4. …………………16分20. 解答：（1）证明：根据题设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1.又f （x ）=－b （x －b a 2）2+b a 42.∴f（b a 2）=ba 42≤1，∵a >0，b >0，∴a ≤2b .…………………………………………………………………………4分（2）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≥－1.据此可推出 f （1）≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1. ………………………………………………………6分对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b >1，可得0<b 1<1，可推出f （b1）≤1，即a ·b1－1≤1，∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .………………………………………………………8分 充分性：因为b >1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，可以推出ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1，因为b >1，a ≤2b ，.………………………………………………………10分对任意x ∈［0，1］，可以推出： ax －bx 2≤2b x －bx 2－b（x －b1）2+1≤1，即ax －bx 2≤1，∴－1≤f （x ）≤1. ……………………12分综上，当b >1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .（3）解：因为a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］有f （x ）=ax －bx 2≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1；f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b +1，又a ≤b +1⇒f （x ）≤（b +1）x －bx 2≤1，即f （x ）≤1.所以，当a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b +1. …………………16分数学Ⅱ（附加题）1 (1)因为MN =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01⎥⎦⎤10，NM =⎢⎣⎡12⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，所以M 和N 互为逆矩阵．.………………………………………………………5分 （法二：求逆矩阵，参照给分）(2)向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，所以e 1和e 2是M 的特征向量．………………………………………………………10分 （法二：求特征向量，参照给分） 2．3解：如图建系，则S(0,0,1) C(2,0,0) A(0,1,0) B(1,1,0)所以N (1,0,0) M()21,21,21…………………………………………2分 (1) )21,21,21(--=MN )0,1,3(-=CB3015210232||,cos -=-=⋅⋅>=<CB MN CB MN CB MN (5)分30152所成角的余弦值为与直线BC MN ∴…………………………………………6分 (2)设平面SAB 的一个法向量为),,(c b a n = 则0)1,1,1(),,(=-+=-⋅=⋅c b a c b a SB n 0)1,1,0(),,(=-=-⋅=⋅c b c b a SA n令)1,1,0(1==n b 可得法向量…………………………………………8分 362231||,cos -=-=⋅⋅>=<n MN n MN n MN …………………………………………9分 36所成角的正弦值为与面直线SAB MN ∴…………………………………………10分4．11。
江苏省南京市2010届高三数学综合训练 练习2 苏教版
南京市 2010届高三数学综合训练2班级_________学号________姓名___________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B =，则a 的值为______ _______.2.若函数2sin()4y a ax π=+的最小正周期为π，则正实数a =______ _______.3.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)(2)2f f +-=，则(2)(3)f f -=______ _______.4.3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______ _______. 5.已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是______ _______.6.右边的流程图最后输出的n 的值是______ _______.7.已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若)3()2(f f <，则实数a 的取值范围是_________.8.若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当2n n b a =时，数列{}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =____ ____时，数列{}n d 也是等差数列. 9.i 是虚数单位，若32()4a bii a b R i+=+∈-、，则a b +的值是______ ______. 10.通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____ _______. 11.正三棱锥S ABC-中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______ _______.12.点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为______ _______.13.等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-时，AMMB=______ ___ _. 14.已知实数x s t 、、满足：89x t s +=，且x s >-，则2()1x s t x st x t+++++的最小值为____.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ；（2）求证：EG ∥平面11AA D D .16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、.（1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =，向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b .ABCD A 1B 1C 1D 1EGF17.（本小题满分14分）甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：()2sin ,[0,12]f t t t =+∈，乙水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：]12,0[,65)(∈--=t t t g .问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin60.279≈-）.18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；若直线:3l y x =-被圆A 和圆B截得的弦长之比为6. （1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P 点坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数m p 、使得：11m m m p m m m p a a a a a a +++++++=，请找出所有的有序数对(,)m p ，并证明你的结论.20.（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.21.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --.（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标.22.已知边长为6的正方体1111ABCD A B C D -，,E F 为AD CD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点.（1）求1A H 与平面EFH 所成角的余弦值； （2）设点P 在线段GH 上，且GPGHλ=，试确定λ的值，使得1C P 的长度最短.FE EG 1B 1A CDAB 1C 1D PH参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1.02.23.2-4.2π5.(2,0)±6.97.),1(+∞8.12nc c c n++⋅⋅⋅+ 9. 1910.11(,)917--12.5 13.3 14.6 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.）15.（本小题满分14分）证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF A C ， 因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥，所以11EF B D ⊥，（3分）因为直四棱柱1111ABCD A B C D -，所以11111DD A B C D ⊥平面，又因为1111EF A B C D ⊂平面，所以1DD EF ⊥； 又1111B D DD D =，所以EF ⊥平面11B BDD .（7分）（2）延长FE 交11D A 的延长线于点H ，连接DH ， 因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点， 所以11EFB EHA ∆≅∆，所以HE EF =， 在FDH ∆中，因为G F 、分别为DF 、HF 的中点， 所以//GE DH ， （10分）又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂， 故EG ∥平面11AA D D .（14分）16. （本小题满分14分）解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B y x ++=+，由)//(y x z +，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=， （4分）即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=-CAB A 1B 1C 1D 1EGFH D所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos B C B C B CB C B C B C++=+==-； （7分） （2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-，则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，（10分）化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =， 解得40()b b ==或舍，所以4b =.（14分）17.（本小题满分14分）解：设甲、乙两水池蓄水量之和为()()()H t f t g t =+，（1分） 当[0,6]t ∈时，()()()2sin 5(6)sin 1H t f t g t t t t t =+=++--=++，（3分）'()cos 10H t t =+≥，所以()H t 在[0,6]t ∈上单调递增，所以max [()](6)7sin 6H t H ==+；（7分）当]12,6(∈t 时，()()()2sin 5(6)sin 13H t f t g t t t t t =+=++--=-+， （9分）'()cos 10H t t =-≤，所以()H t 在]12,6(∈t 上单调递减，所以6sin 7)(+<t H ；（13分）故当t =6h 时，甲、乙两水池蓄水量之和()H t 达到最大值， 最大值为7+sin6百吨.（14分）（注：取最大值为6.721也算对） 18.（本小题满分16分）解：（1）由3l k =-，得直线l 的倾斜角为150︒， 则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=，故直线l 被圆A 截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B 截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=，（3分）据题意有：126L L ==（5分）化简得：2163270e e -+=，解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈； 故椭圆C 的离心率为14e =.（7分）（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ； 当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截； 故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421， 故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =， （9分）则点)0,7(B 到直线L 的距离2217kn km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =，（11分）据题意有：1234L L =，即有22221216()9()AB r D r D -=-，整理得1243D D =， 即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，（13分）关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）.（16分）（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分） 19. （本小题满分16分）解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由421)31(21121213=+-+-==d d a a a 可得21q d =⎧⎨=⎩或659q d =⎧⎪⎨=⎪⎩，（3分）又数列{}n a 各项均为整数，故21q d =⎧⎨=⎩；所以1110,122,13n n n n a n N n *--≤⎧=∈⎨≥⎩； （6分）（2）数列{}n a 为：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,4,8,16,---------当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为负数时，显然10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+<，所以10m m m p a a a ++⋅⋅⋅<，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以8p ≤，2p =时，经验算只有(3)(2)(1)(3)(2)(1)-+-+-=-⋅-⋅-符合，此时7m =； 4,6,8p =时，经验算没有一个符合；故当1,,,m m m p a a a ++均为负数时，存在有序数对(7,2)符合要求.（8分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，11m m N *≥∈且，1110111222m m m p m m m p a a a --+-++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+111112(122)2(21)m p m p --+=++⋅⋅⋅+=- (1)11101111121121222(2)2(2)2p pm m m p m ppm pm m m p a a a +--+--++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅因为121p +-是比1大的奇数，所以1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+能被某个大于1的奇数（121p +-）整除，而(1)112(2)2p p m p+-⋅不存在大于1的奇约数，故1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+1m m m p a a a ++≠；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，不存在符合要求有序数对；（11分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中含有0时， 有10m m m p a a a ++⋅⋅⋅=，所以10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+=，（方法一）设负数项有(9)k k N k *∈≤,且，正数项有()l l N *∈， 则1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅应是1,(1),(2),,2,1,0,1,2,,2l k k k ------⋅⋅⋅--，故有(1)212l k k +=-；经验算： 1k =时，1l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为1,0,1-，9,2m p ==； 2k =时，2l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为2,1,0,1,2--，8,4m p ==；5k =时，4l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，5,9m p ==；3,4,6,7,8,9k =时，均不存在符合要求的正整数l ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类： 含1个负数项时，1,0,1-，符合，此时9,2m p ==； 含2个负数项时，2,1,0,1,2--，符合，此时8,4m p ==； 含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时， 5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，符合，此时5,9m p ==； 含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；综上，存在四组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)，(7,2)符合要求. （16分）（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）20.（本小题满分16分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-. （4分）（2）假设存在，即存在(1,)3ax ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（6分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； 2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >.（9分）（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； （ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3ax =处取得极大值，()13a f a >⇒>a >因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >；（注：343>a 也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立； 若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（）， 得20000(1)0x a x ax x --++=（）， 当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①； 又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当2a >()y H x =有5个不同的零点.（16分）21.解：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,3311d c b a d c b a ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=+=+1133d c b a d c b a 解得1,2,2,1-=-===d c b a ，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦. （5分）（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33111221知，)3,3('-C ， 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131323231知，)1,1(-D . （10分）22.解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,(6,6,4)H ,1(6,0,0)A . （1）设(1,,)n x y =，(2,2,0)EF =-,(4,6,2)EH =-则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n =；1(0,6,4)A H =，111cos ,27n A H n A H nA H⋅===设1A H 与平面EFH 所成角为θ，则cos θ=. （5分）（2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)GH =-,设(5,5,2)GP GH λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，()()2222215155(26)546458C P λλλλλ=++-+-=-+，当1627λ=时，1C P 的长度取得最小值. （10分） 26.（必做题）（本小题满分10分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2分） （2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y=++++=+，3334322a C m m ==⇒=， 4402(1)811ii a==+=∑； （5分）（3）由(,1)(,)nf n m f n t =可得2(1)(1)()nnn nm m m m m t t+=+=+，即21m m m m t +=+⇒=⇒201020101(1(1)1000f =+=+. 2341234201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---tt m t f ，所以原不等式成立. （10分）。
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江苏省南京市东大附中2010届高三期中调研考试（数学）注意事项：1.本试卷共160分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸. 一,填空题1.已知集合11{1,1},{24,}2x M N xx Z +=-=<<∈，则M N = ▲ ．2．已知向量(1,2),(2,3),a b ==若()()a b a b λ+⊥- ，则λ＝ ▲ ．3．在等差数列132{},8,3,n a a a a d ⋅===中则公差 ▲4．已知xx x 2sin ),20(53cos 则π<<=的值为 ▲ ．5.1)cos (sin 2-+=x x y 的最小正周期是 ▲ ．6.（2009安徽卷文）不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 ▲ ．7.（2009全国卷Ⅰ文）不等式111<-+x x 的解集为 ▲ ．8.设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ,则12nx x x ⋅⋅⋅ 的值为 ▲ ．9．函数xax x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．10．已知)(x f y =是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递增。
则不等式)1()2(+≤x f x f 上的解集为 ▲ ．11．已知数列n a a n n ++++=3211:}{满足，则数列}{n a 的前100项的和是 ▲ ．12．存在tt x xx 则实数成立使得不等式,||202--<<的取值范围是 ▲ ．ABDCP13. 函数()sin 2|sin |f x x x =+，[0,2]x π∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ▲ ．14．若42x ππ<<，则函数3ta n 2ta n y x x =的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请给出必要的文字说明与解答过程） 15、（本题满分12分） 已知,,A B C是三角形A B C ∆三内角，向量((),c o s ,s in m n A A =-=，且1m n ⋅=．（1）求角A ；（2）若1ta n 2B =，求221sin 2c o s sin BB B +-的值。
16.如图，梯形ABCD中，3,2,1,,//===⊥AB BC AD AB AD BC AD ，P 是AB 上的一个动点，βα=∠=∠DPA CPB ,(Ⅰ)当PCPD⋅最小时，求DPC∠tan的值。
(Ⅱ)当β=∠DPC 时，求PCPD⋅的值。
17．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45 +θ(其中sin θ=26，090θ<<)且与点A 相距海里的位置C.（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.18、（本题满分12分） 开口向下的抛物线2(0,0)y a x b x a b =+<>在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为326bS a=．（1）求a 与b 的关系式，并用b 表示()S b 的表达式； （2）求使()S b 达到最大值的a 、b 值，并求m a xS19、（本题满分12分）已知函数()21xf x x =+,数列{}n a 满足111,()()n n a a f a n N *+==∈．(Ⅰ)求证：数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,试比较2nS 与1的大小.20．（本小题满分16分）已知函数()()0≠++=xbxaxxf，其中Rba∈,.（Ⅰ）若曲线()xfy=在点()()2,2fP处的切线方程为13+=xy，求函数()xf的解析式；（Ⅱ）讨论函数()xf的单调性；（Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a，不等式()10≤xf在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b的取值范围.参考答案一,填空题1．M N = {1}- 2． λ＝53- 。
3． 1± 4． 25245. π6. 43 7.}{0xx 〈 8. 11n + 9． 2 。
10．]1,31[- 11． 10120012．)2,49(- 13. (1,3) 14． -8 。
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请给出必要的文字说明与解答过程） 15、（本题满分12分）15、解（1）∵1m n ⋅=∴(()c o s ,s in 1A A -⋅=in c o s 1A A -=12s in c o s 122A A ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,1s in 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=．（2）由题知222221sin 2(sin c o s )sin c o s 1ta n 3c o s sin c o s sin c o s sin 1ta n BB B B B B B BB BB BB++++====----，16、【解析】：(Ⅰ)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
则()()()()1,0,2,3,0,3,0,0D C B A ,令()0,0,≤≤x x P 有()()2,3,1,x PC x PD -=-=所以41)23(2322--=+-=⋅x x xPC PD ，当23=x 时，PCPD⋅最小此时)0,23(P ，在CPB ∆中，34232tan ==α, 在DPA ∆中，32231tan ==β所以()181323432341tan tan tan tan tan tan -=-⋅+=-+=+-=∠βαβαβαDPC----7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()23,0,2+-=⋅x xPC PDx P ，xx1tan ,32tan =-=βα----10分βαβπαβ2tan tan ,2,-=-=∴=∠DPC 2111232xx x-⋅-=-∴整理得：31=x此时91021)31(2=+-=⋅PC PD ----14分 17．解 （I ）如图，，,s in 26B AC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ26=由余弦定理得BC=.510cos 222=⋅-+θAC AB ACAB所以船的行驶速度为13=（海里/小时）.（II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐 标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x1，y2）, C （x1，y2）, BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x1=y1= 2AB=40, x2=ACcos1o s (45)30C AD θ∠=-=,y2=ACsin1in (45)20.C AD θ∠=-=所以过点B 、C 的直线l 的斜率k=20210=,直线l 的方程为y=2x-40.又点E （0，-55）到直线l 的距离7.=<所以船会进入警戒水域.解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，222c o s 2A BB CA CA B C A B B C+-∠=⋅222=10.从而s in 10A B C ∠===在A B Q ∆中，由正弦定理得，AQ=4s in 40.s in (45)210A B A B C A B C ∠==-∠由于AE=55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离. 在RtQ P E∆中，PE=QE·sins in s in (45)P Q E Q E A Q C Q E A B C ∠=⋅∠=⋅-∠=157.5⨯=<所以船会进入警戒水域.18、解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且0,0a b <>，直线x ＋y=4与抛物线y=ax2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24得ax2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0．把,)1(1612+-=b a 代入3216S ba=得：34128(),(0)3(1)bS b b b =>+（2）52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ；令S '(b)=0；在b ＞0时得b=3，且当0＜b ＜3时，S '(b)＞0；当b ＞3时，S '(b)＜0． 故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且29max =S 。
19、解：（Ⅰ）由已知得，121n n n a a a +=+， ∴1112n na a +=+，即1112n na a +-=．∴数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项11=a ,公差2d =的等差数列.(Ⅱ) 由（Ⅰ）知11(1)221n n n a =+-⨯=-, ∴1()21n a n N n *=∈-，∴11111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+，∴13221++++=n n n a a a a a a S 1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111[(1)()()]23352121n n =-+-++--+11(1)22121nn n =-=++．∴2121102121n n S n n --=-=<++()n N *∈， ∴21n S <．20（Ⅰ）解：2()1a f x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-．由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =．所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x =-+． 5分（Ⅱ）解：2()1a f x x'=-．当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数．当0a >时，令()0f x '=，解得x =±当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x在(,-∞，)+∞内是增函数，在(0)-，(0,)+∞内是减函数．10分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b a b ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞． 16分。