哈尔滨工程大学 自动控制原理 第0章 现代控制理论的数学基础

9．对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵） ．对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）
1）对称矩阵：如果方阵 的元素相对于主对角线对称， ）对称矩阵：如果方阵A的元素相对于主对角线对称 的元素相对于主对角线对称， 则称A为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵A等于它的 则称 为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵 等于它的 为对称矩阵 转置矩阵， 为对称矩阵） 转置矩阵，即A=AT，则A为对称矩阵）。 为对称矩阵 2）斜对称矩阵：如果方阵 等于它的转置矩阵的负值， ）斜对称矩阵：如果方阵A等于它的转置矩阵的负值 等于它的转置矩阵的负值， 则方阵A称为斜对称矩阵 反号对称矩阵） 称为斜对称矩阵（ 即A= -AT，则方阵 称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）.
a11 a12 a 21 a22 A= ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ a1m ⋯ a2 m ⋱ ⋮ ⋯ anm
1
矩阵。 称为 n × m 矩阵。
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4．对角线矩阵 ．
如果除方阵A的主对角线元素外， 如果除方阵 的主对角线元素外，其余的元素均 的主对角线元素外 为零，则称矩阵A为对角线矩阵 为对角线矩阵， 为零，则称矩阵 为对角线矩阵，写成
a11 a22 = diag[a , a ,⋯, a ] A= 11 22 nn ⋱ ann
a11 a AT = 12 ⋮ a1m a21 a22 ⋮ a2 m ⋯ an1 ⋯ an 2 ⋱ ⋮ ⋯ anm
矩阵转置的规律： 矩阵转置的规律： 1）(AT )T = A ） 3）(AB )T = BT AT ） 2）(A+B )T = AT+ BT ） 4）(kA )T = kAT ）
5
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
二．矩阵的代数运算
1．矩阵的加减法 ． 如果两个矩阵A和 具有相等数量的行和列 具有相等数量的行和列， 如果两个矩阵 和B具有相等数量的行和列，则这 两个矩阵可以相加和相减。 两个矩阵可以相加和相减。若 A = (a ij ) 及 B = (bij ) ， 则有
ka12 ka 22 ⋮ ka n 2
⋯ ka1m ⋯ ka 2 m ⋱ ⋮ ⋯ ka nm
7
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
A11 A adjA = 12 ⋮ A1n A21 ⋯ An1 A22 ⋯ An 2 ⋮ ⋱ ⋮ A2 n ⋯ Ann
4．矩阵的逆矩阵：若方阵A的行列式 不等于零，即 ．矩阵的逆矩阵：若方阵 的行列式 不等于零， 的行列式|A|不等于零 A为非奇异，则矩阵A有逆矩阵存在，其计算式为 为非奇异，则矩阵 有逆矩阵存在 有逆矩阵存在， 为非奇异
5．单位矩阵 ．
主对角线上元素全为1的对角线矩阵称为单位矩阵， 主对角线上元素全为 的对角线矩阵称为单位矩阵，即 的对角线矩阵称为单位矩阵
1 1 = diag[1,1,⋯,1] I = ⋱ 1
3
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
8．奇异矩阵与非奇异矩阵 ． 设方阵A的行列式为 ，如果|A|=0，则称 为奇 设方阵 的行列式为|A|，如果 的行列式为 ，则称A为奇 异矩阵；如果 为非奇异矩阵。 异矩阵；如果|A|≠0，则称 为非奇异矩阵。 ，则称A为非奇异矩阵
A + B = (aij + bij ) A − B = (aij − bij )
即矩阵的加减法就是把两个矩阵同行同列的元素相 相减。 加、相减。
6
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
矩阵与矩阵乘法的性质： 矩阵与矩阵乘法的性质： 1）(AB)C=A(BC) ） 2）(A+B)C=AC+BC ） 3）C (A+B) =CA+CB ） 4）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即AB ≠ BA。 ）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律， 5） 一个 阶方阵 与一个 阶单位矩阵 相乘时 ， 可互换位 阶方阵A与一个 阶单位矩阵I相乘时 ） 一个n阶方阵 与一个n阶单位矩阵 相乘时， 置顺序，其乘积相同， 置顺序，其乘积相同，即IA=AI=A。 。 6）如果两个方阵 和B的乘积等于零 不能推论 的乘积等于零,不能推论 ）如果两个方阵A和 的乘积等于零 不能推论A=0或B = 0 或 8
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
现代控制理论的数学基础
一．矩阵的定义
1．矩阵 ．
矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、 矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、 复数、函数或算子。一个n行 列的矩阵表示为 复数、函数或算子。一个 行m列的矩阵表示为
矩阵的秩（ 四．矩阵的秩（※）
如果矩阵A的 阶子矩阵存在 阶子矩阵存在， 如果矩阵 的 m阶子矩阵存在，且至少有一 阶子矩阵的行列式不为零， 个m阶子矩阵的行列式不为零，而A的r阶子矩阵 阶子矩阵的行列式不为零 的 阶子矩阵 （ r≥m+1） 构成的行列式均为零 ， 则称矩阵 的 ） 构成的行列式均为零， 则称矩阵A的 秩等于m，记为 秩等于 ，记为rankA = m。 。
3．矩阵与矩阵的乘法 ． 矩阵， 为 × 矩阵 矩阵， 设A为n×m矩阵，B为m×p矩阵，则A和B的乘 为 × 矩阵 和 的乘 积矩阵C为 积矩阵 为： m
Cn× p = An×m ⋅ Bm× p = (cij ) = (∑ aik ⋅ bkj )
k =1
(i = 1, 2,⋯ , n; j = 1, 2,⋯ , p )
2．方阵 ．
方阵是行数和列数相等的矩阵。 方阵是行数和列数相等的矩阵。一个 n × n 矩阵 称为n阶方阵。 称为 阶方阵。 阶方阵
3．向量 ．
1）只有一列的矩阵称为列向量。 ）只有一列的矩阵称为列向量。
x1 x 具有n个元素的列向量 称为n维列向量 维列向量。 具有 个元素的列向量 x = 2 称为 维列向量。 ⋮ xn
11
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
五．矩阵的初等变换（※） 矩阵的初等变换（
如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一， 如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一 ， 就说这个矩阵经过了一次初等变换 初等变换， 就说这个矩阵经过了一次初等变换，即 1）将任意两行（或两列）的元素互换位置； ）将任意两行（或两列）的元素互换位置； 2）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于 的数 ）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的数 的数; 3） 将任意一行 （ 或一列 ） 元素的 倍加到另一行 ） 将任意一行（ 或一列） 元素的c倍加到另一行 或另一列）的元素上去。 （或另一列）的元素上去。 矩阵的初等变换有下述两个重要定理： 矩阵的初等变换有下述两个重要定理： 1）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。 ）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。 2）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后，总能变 ）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后， 成阶梯形矩阵。矩阵与数的乘积（标量积） 一个数量k与矩阵 相乘 就是把矩阵A的每个 一个数量 与矩阵A相乘 ， 就是把矩阵 的每个 与矩阵 相乘， 元素都乘上k， 元素都乘上 ，即
a11 a kA = k 21 ⋮ a n1
a12 a 22 ⋮ an 2
⋯ a1m ka11 ⋯ a 2 m ka 21 = ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ a nm ka n1
6．零矩阵：所有元素都为零的矩阵。 ．零矩阵：所有元素都为零的矩阵。 7．转置矩阵 ．
矩阵A的行和列互相交换 的行和列互相交换， 如果 n × m 矩阵 的行和列互相交换，则由此得 到的 m × n 矩阵称为矩阵A的转置矩阵，用AT表示。 矩阵称为矩阵 的转置矩阵， 表示。 的转置矩阵
a11 a A = 21 ⋮ a n1 a12 a 22 ⋮ an2 ⋯ a1m ⋯ a2m ⋱ ⋮ ⋯ a nm
9
补充 现代控制理论的数学基础
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。