《3.1.3 导数的几何意义》PPT课件(山西省市级优课)
合集下载
人教B版选修1-1高中数学3.1.3《导数的几何意义》ppt课件
本 答案 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是
专 题
切点，只要求出 k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；
栏 目
而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定
开 关
在曲线上，
即使在曲线上也不一定是切点.
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
3.1.3
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
(2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)
由(1)知，y′| xx0 ＝2x0， ∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这 说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
填一填 研一研 练一练
小结 导数与函数图象升降的关系：
若函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜
本 由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0)
①
专
题 栏
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x2 上得 y0＝x02
②
目 开
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
关 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)
当切点为(1,1)时，
切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，
＝0，则
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意
为
()
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8)
D.－12，－18
解析：设 P(x0，y0)，则 k＝f′(x0)＝ lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim
Δx→0
x0＋ΔΔxx3－x30＝Δlxim→0
[(Δx)2＋3x20＋3x0·Δx]＝3x20.
求切线方程
[例 1] y＝－1x在点12，－2处的切线方程是 (
)
A．y＝x－2
B．y＝x－12
C．y＝4x－4
D．y＝4x－2
[思路点拨]
求f′x → 求f′12 → 写出直线方程
[精解详析] 先求 y＝－1x的导数：
Δy＝－x＋1Δx＋1x＝xxΔ＋xΔx，ΔΔxy＝xx＋1 Δx，
∵k＝3，∴3x20＝3，∴x0＝1 或 x0＝－1，
∴y0＝1 或 y0＝－1.∴点 P 的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
答案：B
4．若曲线 y＝x2＋2ax 与直线 y＝2x－4 相切，求 a 的值并求切点坐标． 解：设切点坐标为(x0，y0)．∵f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)2＋2a(x0＋Δx)－x02－2ax0＝2x0·Δx＋(Δx)2＋2a·Δx，
3.1.
3
第 3.1
三
导
导数 的几
章 数 何意
义
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
3.1
导数
3．1.3 导数的几何意义
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？
课件12：3.1.3 导数的几何意义
3．函数的导数 对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个确定的数．当 x 变化时，f ′(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 y＝
fx＋Δx－fx
f(x)的导函数(简称为导数)，即 f ′(x)＝y′＝_Δlix_m →_0_______Δ_x_____.
4．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个_常__数____，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x) 在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每 一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根据函数 的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函 数f(x)的导函数___f_′_(x_)的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在 点x＝x0处的__函__数__值____，即f ′(x0)＝__f_′_(x_)_|x_＝__x_0__.
5.导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处 的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的_瞬__时__速__度___．
3.1.3 导数的几何意义
学习目标解读
1.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意 义． 2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程．
重点难点展示
重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
教材新知导学
知识点1：导数的几何意义新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ， 当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定 的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 ___切__线____．
课件14：3.1.3 导数的几何意义
2．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：f′(x0)＝0，说明曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率 为 0，所以与 x 轴平行或重合．
答案：B
3．在曲线 y＝x2 上切线倾斜角为π4的点是(
切线方程． 解：由 y＝13x3，得 y′＝
ΔΔyx＝
13（x＋Δx）3－13x3 Δx
＝13
3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3 Δx
1 =3
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在 P(3，9)处的切线的斜率等于 9.
由直线的点斜式方程可得，
所求切线方程为 y－9＝9(x－3)，
)
A．(0，0)
B．(2，4)
C．41，116
D．21，14
解析：因为 y＝x2，所以 k＝y′＝
ΔΔyx＝
（x＋Δx）2－x2 Δx
＝
(2x＋Δx)＝2x，所以 2x＝tanπ4＝1，
所以 x＝12，则 y＝14.
答案：D
4. 若函数 f(x)在点 A(1，2)处的导数是－1，那么曲线 y＝f(x) 在点 A 处的切线方程是________． 解析：切点为(1，2)，k＝－1， 所以切线方程为 y－2＝－1×(x－1) 即：x＋y－3＝0.
解析：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直 线是曲线切线时，直线可能与曲线有两个以上的交点，正确．(2) 与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线，如直线 x＝1 与抛物线 y＝x2 有且只有一个公共点，但 x＝1 不是抛物 线 y＝x2 的切线，不正确．(3)f′(x0)是一个数值，不是变数，而 f′(x)是关于 x 的一个函数，正确．(4)求 f′(x0)时，可先求 f′(x)， 再求 f′(x0)，故(4)错误． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
(教师用书)高中数学 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
导数几何意义的理解
若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？ 【自主解答】 因为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)在[a， b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[ a，b]上各点处 的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合．
3.1.3
导数的几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 理解导数的几何意义， 初步体会“以直代曲”的辩证思想； 掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．
2．过程与方法 培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生 合作学习、创新能力． 3．情感、态度与价值观 经过 FLASH 动画演示割线“逼近”成切线过程， 让学生感 受函数图象的切线“形成”过程， 获得函数图象的切线的意义； 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信 心．
【问题导思】 导函数 f(x)与函数在 x＝x0 处的导数 f′(x0)相同吗？它们有 什么区别与联系？
【提示】 不相同． (1)两者的区别： 由导数的定义知， f′(x0) 是一个具体的值，f′(x)是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在 导数而定义在 I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是 数值，后者是函数． (2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
●教学流程
Байду номын сангаас 演示结束
课标 解读
1.理解导数的几何意义会求曲线 上某点处的切线方程．(重点) 2．理解在某点处与过某点的切 线方程的区别．(难点、易混点)
数学：3.1.3《导数的几何意义》课件
解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的
变化情况。
(1) 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行
(2)
于x轴所. 以,在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有下降.
第六页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 (3) h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
解: 因为 s 5(2 t )2 5 22 20t 5t 2
从 s 205t
所以
而
s(2)
t
lim
s
lim (20
5t)
20
t t 0
t 0
第十二页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
例4、已知曲线 y
1 x 3上一点
3
P 2, 8 3
求：点P处的切线的斜率；
点P处的的切线方程．
y y0 f x0 x x0
第十九页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
的函数图象。根据图象，估计t=
0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1)
第八页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
c(mg/mL)
1.1
1.0 0.9 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
t(min)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
变化率分别为0和-1.5.
第十页，编辑于星期日：十二点 二十六分。
求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (1)求函数的增量
导数的几何意义77350-16页PPT资料
( 1 ) 求 函 数 的 增 量 y f( x x ) f( x ) ;
(2)求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值 :
yf(xx)f(x);
x
x
(3 )求 极 限 ， 得 导 函 数 y f(x ) lim y . x 0 x
看一个例子:
例 : 已 知 yx， 求 y.
例2 h(t)4.9t26.5t10. 根据图象, 请描述、比较
曲线h (t ) 在 t0 , t1, t2 附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线 h 刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变
l0
化情况.
(1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0
表明：y 就是割线的斜 . 率 x
请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
曲线h (t ) 在 t0 , t1, t2 附近的变化情况.
人教B版选修1-1高中数学3.1.3《导数的几何意义》ppt课件
f x0＋Δx－f x0 lim Δx Δx→ 0 .
课堂讲练互动 中小学课件
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
(2)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的 斜率 . 也就是说，曲线 y＝ f(x)在点 P(x ，f(x ))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地，切线方程为
本 专 题 栏 目 开 关
课堂讲练互动 中小学课件
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
1.导数的几何意义
本 专 题 栏 目 开 关
(1)割线斜率与切线斜率 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与 Δy 点 B(x0＋Δx， f(x0＋Δx))的一条割线， 此割线的斜率是 ＝ Δx f x0＋ Δx－f x0 . Δx
课堂讲练互动 中小学课件
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
小结
导数与函数图象升 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜 率大于零)，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的图象是上升的；若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数 y＝f(x)在 x＝ x0 附 近的图象是下降的 .导数绝对值的大小反映了曲线上升和下 降的快慢 .
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答案 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和
本 专 题 栏 目 开 关
曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切 .如图，曲线 的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.
课堂讲练互动 中小学课件
课堂讲练互动 中小学课件
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
(2)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的 斜率 . 也就是说，曲线 y＝ f(x)在点 P(x ，f(x ))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地，切线方程为
本 专 题 栏 目 开 关
课堂讲练互动 中小学课件
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
1.导数的几何意义
本 专 题 栏 目 开 关
(1)割线斜率与切线斜率 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与 Δy 点 B(x0＋Δx， f(x0＋Δx))的一条割线， 此割线的斜率是 ＝ Δx f x0＋ Δx－f x0 . Δx
课堂讲练互动 中小学课件
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
小结
导数与函数图象升 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜 率大于零)，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的图象是上升的；若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数 y＝f(x)在 x＝ x0 附 近的图象是下降的 .导数绝对值的大小反映了曲线上升和下 降的快慢 .
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答案 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和
本 专 题 栏 目 开 关
曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切 .如图，曲线 的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.
课堂讲练互动 中小学课件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
已知斜率，求切点
已知曲线 y=f(x)=x2+1上一点P，在点P处 的切线斜率为 2 ，求点P的坐标。
-1
已知点，求斜率
1.若点是切点，直接求该点处的导数，即斜率
2.若点不是切点，先设切点 (x0, f (x0 )) ，求切点处导
数 f (x0)，写出切线方程
将已知点带入，解出 x0
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).
3.1.3导数的几何意义
一、复习
1、导数的定义
函数y＝f x 在x＝x0处的导数，记作：f x0 或y x＝x0
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
k ppn
y x y
f ( x0 x) f ( x0 )
1. 已知函数y=f（x）的图像在点（1，f（1）） 处的切线方程为x-2y+1=0，则 f (1) 2 f '(1) 的 值是
已知点，求斜率
已知曲线f(x)=x2+1。
（1）求曲线在点P（1,2）处的切线斜率及
切线方程
（2,5）
（2）过点A（1，-2）作该曲线的切线， 求该切线方程。
(1 ,-1) 2
。代入切线方程中即可
斜率f (x0) ，
令 k f (x0 ) ，解出 x0 即可
已知曲线 y=f(x)= x3 ，过点A（1,2）作
曲线的切线，求该切线方程。
x0
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义 就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率， 即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜
率是 f ( x0 )
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
x
y=f(x)
割
线 Pn (x0 x, f (x0 x))
T 切线
P (x0, f (x0))
o
x
y k PPn x
f ( x0 x) f ( x0 ) x
y
y f (x)
相交
oP
x 当Δx→0，即点Pn沿着曲线无限接近点P，
k
lim
x0
kPPn lxi m时 定0 ,位割yx置线的Pl直Pxi m n趋线0 近PfT(于称x0确为定点的Px处x)位的置切f，(线x这0.个) 确f