北师大数学八年级上册第五章应用二元一次方程组(提高)

应用二元一次方程组（提高）知识讲解【学习目标】1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.增收节支问题：（1）增长（递减）率公式：原来的量×（1+增长率）=后来的量；原来的量×（1-递减率）=后来的量；（2）利润公式：利润=总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)（3）银行利率公式：利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.要点诠释：增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程．3.行程问题：速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、鸡兔同笼问题1. （2016•济宁一模）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘n （0＜n ＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【思路点拨】（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；（2）设调熟练工m 人，根据一年的安装任务列出方程整理用m 表示出n ，然后根据人数m 是整数讨论求解即可．【答案与解析】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动车，新工人每月分别安装y 辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；（2）设调熟练工m 人，由题意得，12（4m +2n ）=240，整理得，n=10﹣2m ，∵0＜n ＜10，∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2，即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．举一反三：【变式】《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”【答案】解：设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，由题意得：561645x y x y y x+=⎧⎨+=+⎩解方程组得：32192419x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答：每只雀、燕的重量各为3219两和2419两. 类型二、增收节支问题2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【答案与解析】解：设女生x 人，男生y 人，由题意得： 3440232(4)682x y x y +⎧+-=⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩ 解得：2132x y =⎧⎨=⎩答：这个班的男生有32人，女生有21人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可． 举一反三：【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？【答案】解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x 辆，自动型汽车为y 辆，由题意可得：960(130%)(125%)1228x y x y +=⎧⎨+++=⎩解之得：560400x y =⎧⎨=⎩． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．3.（2015•黄冈）已知A ，B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A ，B 两件服装的成本各是多少元？【思路点拨】设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可．【答案与解析】解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得：， 解得：，答：A 服装成本为300元，B 服装成本200元．【总结升华】主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．类型三、里程碑上的数（数字问题）4.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过3小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？【思路点拨】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即第一次注意到路边里程碑上的数的十位数字+个位数字=9；由于是匀速行驶，可以根据3小时所行使的路程相等来列第二个等量关系．【答案与解析】解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得[]9(100)(10)3(10)(10)x y x y y x y x x y +=⎧⎪⎨+-+=+-+⎪⎩ 解得27x y =⎧⎨=⎩， 即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为27，1小时后小明看到的程碑上的数字为72，72﹣27=45（千米/小时），答：小明爸爸骑摩托车的速度是45千米/小时．举一反三：【变式】一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？【答案】解：设两位数是x ，三位数是y,根据题意得:，解得:．答：两位数、三位数各是37、185．类型四、行程问题5. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.解：设规定的时间为x 小时，甲乙两地间的距离为y 千米. 则由题意可得：解得：答：甲乙两地间的距离为140千米.【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．举一反三：【变式】（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？【答案】解：（1）设出租车的起步价是x 元，超过1.5千米后每千米收费y 元．依题意得，，解得．245060247060x y x y ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩125140x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元；（2）+（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）．答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．应用二元一次方程组(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•来宾）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2015•宜州市）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）.A ．19B ．18C ．16D ．153．某中心学校现有学生515人，计划一年后女生在校人数增加135，男生在校人数增加190，这样在校学生人数将增加2103，那么该校现有女生和男生人数分别是( ). A ．245和270 B ．260和255 C ．25.9和256 D ．240和2754．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x 人，挑土的学生y 人，则有 ( ).A ．2592362y x x y ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩ B ．2592362x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ C ．2592236x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ D ．259236x y x y +=⎧⎨+=⎩5.甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x ，乙数为y ，则得方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧=+++=+x 201x y 1001188y x 100y x 100B. ⎩⎨⎧++=+=+1188y x 100x y 100x 201y x 100 C. ⎩⎨⎧=+-+=+y 201x y 1001188y x 100y x 100 D. ⎩⎨⎧-+=+=+1188y x 100x y 100y 201y x 1006. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上数颠倒顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一7.（2016•盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．8．小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为 3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元．9．（2015•江西模拟）如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为12.34，23.45的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于 ．10．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 米/秒和 米/秒.11．一个两位数的两个数位上的数字之和为7，若将这两个数字都加上2，则得到的数是原数的2倍少3，则这个两位数是 .12. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1.8小时后相遇.如果甲比乙先走32小时，那么在乙出发后23小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米和y 千米，则x=________，y=________.三、解答题13.（2015•徐州）某超市为促销，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要54元，买3件A 商品和4件B 商品需要32元；打折后，买50件A 商品和40件B 商品仅需364元，这比打折前少花多少钱？14.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？15. 一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A；2. 【答案】C；【解析】设一个笑脸气球为x元，一个爱心气球为y元，根据图形找出等量关系：3个笑脸+一个爱心=14元，3个爱心+1个笑脸=18元，据此列方程组求出x和y的值，继而可求得第三束气球的价格．3. 【答案】A；4. 【答案】B；【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．5.【答案】D；【解析】把甲数放在乙数的左边，得到的四位数是100x+y；把乙数放在甲数的左边，得到的四位数是100y+x.根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍可得方程100x+y=201y；根据把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，可得方程100y+x=100x+y-1188.6. 【答案】C；【解析】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得：，解得：x=6y，∵xy为1﹣9内的自然数，∴x=6，y=1；即两位数为16．另法：设个位为x，十位为y，根据题意得：（10y+x）﹣（10x+y）=（100x+y）﹣（10y+x），x+y=7，解得：x=1，y=6，即两位数为16．二、填空题7. 【答案】40；【解析】解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，依题意得：，由①+②，得7x +14y=140，所以x +2y=20，则2x +4y=40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．8. 【答案】300，200；【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x 元，第二种为y 元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．9.【答案】23.86；【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=12.34，小矩形的2个宽+一个长=23.45，设出长和宽，列出方程组即可得答案．10．【答案】6， 4；【解析】设甲每秒跑x 米，乙每秒跑y 米，则5510442x y x y y -=⎧⎨-=⎩解此方程组即可. 11.【答案】2512.【答案】4.5；5.5【解析】本题属于相遇问题，等量关系：一、甲1.8小时行驶的路程+乙1.8小 时行驶的路程＝18千米；二、甲（32+23）小时行驶的路程+乙23小时行驶的路程＝18千米，可列方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+1823)2332(188.18.1y x y x ，解此方程组即可． 三、解答题13.【解析】解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元， 根据题意得：， 解得：， 则打折前需要50×8+40×2=480（元），打折后比打折前少花480﹣364=116（元）．答：打折后比打折前少花116元．14.【解析】解：设平均每分钟1道正门可通过x 名学生，1道侧门可通过y 名学生．由题意，得2(2)5604()800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12080x y =⎧⎨=⎩． 答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l 道侧门可通过80名学生．15.【解析】解：设两位数是x ，三位数是y ． 根据题意，得51000(100)1864y x x y y x =⎧⎨+-+=⎩解得：37185x y =⎧⎨=⎩ 答：两位数、三位数各是37、185．。