专题03全等三角形及其判定核心知识解读

专题03全等三角形及其判定核心知识解读1.全等形能够完全重合的两个图形叫作全等形.满足两个条件：形状相同、大小相等.得到全等形常用变换：平移、翻折、旋转.2.全等三角形相关概念能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形将两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角•全等符号“也”.3.常用技巧对应边、对应角的找法：（1）有对顶角的，对顶角是对应角；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）全等三角形对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；（5）两个全等三角形中一对最长边（最大角）一定是对应边（角）；两个全等三角形中一对最短边（最小角）一定是对应边（角）.4.对应边（角）与对边（角）的区别对应边（角）是相对于两个三角形而言的，是指两条边（两个角）之间的关系；对边（角）是在同一个三角形中而言的，对边是指三角形中某个内角（顶点）所对的边，对角是指三角形中某个边所对的角.在书写时通常将对应顶点写在相同的位置上.5.全等三角形性质（1）对应边、对应角相等；（2）对应角的平分线，对应边的中线，对应边上的高分别对应相等；（3）全等三角形的面积相等，周长相等.6.几个常用图形中的全等三角形（1）平移型(1)ss 三边分别对应相等的两个三角形全等在驾ABC和BDEF中,AB DEAC DFBC EFB^ABC ^^DEF ( SSS).(2)SAS——两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等在驾ABC和BDEF中，AB DEZ B Z EBC EFB^ABC ^^DEF (SAS)(3)ASA――两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等在驾ABC和BDEF中,Z A Z DAB DEZ B Z E也写ABC B^DEF (ASA).(4)AAS――两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等在BABC和BDEF中，Z A Z DZ B Z EAC DFBBABC BBDEF (AAS).(5)HL ――斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等在RtBABC 和RtBDEF 中,AB DEAC DF5BBABC BBDEF ( HL)一般三角形的全等判断定理( SSS SAS ASA、AAS)同样适用于直角三角形全等的判定，即直角三角形全等的判定定理有5个.二、典型例题精讲例1. (2019 广东期末)圣母大学计算机系的史戈宇教授带一家人去旅行，途中汽车被劫走报警911, 而警察毫无作为，马自达汽车上安装的MMS系统，虽然可以提示汽车与手机APP之间的直线距离，但方位不准确，且不能实时提供数据.史教授利用贪心算法”将被抢车辆定位在了一块区域内，这是芝加哥一个以暴乱和枪击文明的地区如下图所示，当史教授与同伴开车从点E向A点方向行驶时，汽车与手机APP之间直线距离逐渐变小，从A点驶向F点时，距离逐渐变大.当史教授与同伴开车从点F向B点方向行驶时，汽车与手机APP之间直线距离逐渐变小，从B点驶向G点时，距离逐渐变大.史教授再次报警后，警察根据史教授确定的被盗汽车的位置，很快找到了被盗汽车，根据你学的数学知识，在图中画出被盗汽车的位置.仙”弩k【分析】所谓贪心算法”是指仅知道一动点与一不动点之间的直线距离而不知道方位时，怎么找到不动点的方法.也就是先沿着一个方向走，直到距离不再明显变小（这是说明我们前进的方向已经几乎垂直于我们和目标之间连线），就转到垂直方向再继续搜寻.【答案】见解析.【解析】解：如图所示，连接EF, GF，过点A作AN^EF，过点B作BM^GF，直线AN、BM的交点即为P点位置•例2. （2019辽宁期末）在纠BC中，B C=90°, AC=BC, BP是吕ABC的角平分线，过点P作PDBAB于点D，将BEPF绕点P旋转，使辜PF的两边交直线AB于点E,交直线BC于点F，请解答下列问题：当BEPF绕点P旋转到如图1的位置，点E在线段AD上，点F在线段BC上，且满足PE=PF.望请判断CP、CF、AE之间的数量关系，并加以证明•也求出BEPF的度数.A图1 图2【答案】见解析•【解析】解：QP = CF+AE，理由如下：也在纠BC中，换=90 ° AC=BC,^AC=BC, ^A=^ABC=45 ° AC^BC,BPD 纠B,B^APD=45 ° 即PD=AD,BBP 平分BABC , PDBAB, PCBBC,BPC=PD,BPE=PF ,BRtBPED BRtBPFC ,BDE=CF,BCP=PD=AD=AE+ED=AE+CF ;B 由B知：BDPE=BCPF ,BBEPF=BDPC ,BBA BC=45°在四边形DPCB 中，BDPC=360° - 90° —90° —45° =135；即 BEPF=135°.例3. （2019 山东期末）如图，B、E、F、C在同一条直线上，AF BBC于点F, DE BBC于E, AB=DC,BE=CF, 求证：ABBCD.B ________________D【答案】见解析【解析】证明：驾AFBBC, DE BBC,也纭EC=^AFB=90 °BBE=CF,BBE+EF=CF+EF，即BF=CE,在RtBABF 和RtBDCE 中，AB=CD,BF=CE,BRtBABF BRtBDCE ,B^B=BCBAB BDC.例4. ( 2019 淄博月考)已知：如图所示，在BABC、BADE 中，BBAC=BDAE=90° AB=AC, AD=AE, 点D、C、E三点共线，连接BD.求证：(1) BBAD BBCAE; (2) BDBCE.【答案】见解析.【解析】证明：(1) BBBAC=BDAE =90° ,BBBAC +BCAD =BDAE+BCAD,即 BBAD =BCAE,在BBAD和BCAE中，BAB=AC, B3AD=BCAE, AD=AE,BBBAD BBCAE(2)由(1)知,BD=CE,BBBAD BBCAEBBABD=BACE,由BABD+B DBC=45° ,得BACE+B DBC=45° ,也纭BC+^DCB=90 ° 即 BD BCE.例5.已知直线 CD BAB 于点o , BEOF=90° 射线 OP 平分BCOF . (1) 如图1 , BEOF 在直线CD 的右侧，且点 E 在点F 的上方.B 若BCO E=30 ° 求 BBOF 和 BPOE 的度数；B 请判断BPOE 与BBOP 之间存在怎样的数量关系？并说明理由.(2) 如图2, BEOF 在直线CD 的左侧，且点 E 在点F 的下方.B 请直接写出BPOE 与BBOP 之间存在怎样的数量关系 B 请直接写出BPOE 与BDOP 之间存在怎样的数量关系【答案】见解析【解析】(1) BBCDBAB ,BBCOB=9O ° BBEOF =90 °BB DOE +BBOE =BBOE +BBOF , 即 BCOE=BBOF =30° ,BBCOF=12O ° ,又BOP 平分BCOF ,BBCOP=60 ° ° BBPOE=30 °B 由 B 知 , BCOE =BBOF , BCOP =BPOF , BBPOE=90 ° +POF , BBOP=90 ° +BOP ,图1cA/O B/图 2BB°OE=BBO P(2)也由上知，BCOP=^POF ,也纤OE=90 ° +POF ,BBOP=90 ° +OOP,也纤OE=^BOP.望也级OE=^BOP,^DOP+B BOP=27O °,也纤OE+^DOP=27O ° .例6. ( 2019 山东期末)在等腰日ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD 为一边在AD 的右侧作BADE，使得AD=AE, ^DAE=^BAC，连接CE.(1)如图1，当点D在线段BC上，如果BBAC=90° ,求BBCE的度数；(2)如图2，当点D在线段BC上，如果BBAC=60° ,求BBCE的度数；(3)设BBAC= a, BBCE= 3也如图3,当点D在线段BC上移动，则a 3之间有怎么样的数量关系？请说明理由•也当点D在线段BC的反向延长线上移动时， a 3之间有怎么样的数量关系？请说明理由•【答案】见解析•【解析】解：(1) B BBA C=BDAE ,BBBAC — BDAC =BDAE — BDAC ,即BBAD =BCAE,在BADB和BAEC中，BAB=AC, BBAD=BCAE, AD=AE,BBADB BBAEC,BBB=BACE,BBB+BACB=BACE+BACB ,即BBCE=BB+B ACB,又BB BAC=90° ,也令CE=90(2)B£BAC=60°也红)AE=^BAC=60 °^AB=AC, AD=AE,也令=^ACB=60 ° B ADE=^AED=60 °也令=^ACE=60 °也令CE=120 ° .(3)Ba+ 3=180° ,理由如下：也令AC=BDAE ,也令AC +BDAC =^DAE+^DAC ,即BBAD=^CAE,在驾ADB和BAEC中，^AB=AC, BBAD=^CAE, AD=AE,也写ADB也争EC,也令=^ACE,也令+^ACB=^CE+纠CB,即BB+也ACB= 3又^a+^B+^ACB=180o ,◎ a 3=180=a= 3理由如下:在圣ADB和◎AEC中,◎AB=AC, ◎BAD=^CAE, AD=AE,◎◎ADB ◎◎AEC,◎◎ABD=^ACE,◎◎ABD =^BAC+^ACB, ◎ACE=^BCE+^ACB,也令AC=^BCE,即a= 3-例7. (2019 内蒙古月考)已知吕ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F .(1)如图1,若吕ABC为锐角三角形，且纠BC = 45 °过点F作F G//BC，交直线AB于点G 试说明：FG + DC= AD .图1(2) 如图2,若BABC= 135 °,过点F作FG//BC，交直线AB于点G,直接写出FG , DC , AD之间满足的数量关系.图2【答案】见解析•【解析】解：(1)证明：也争DB=90°, BABC=45° ,^^BAD=^ABC=45 °^AD=BD,也令EC=90 °也经BE+换=90 ° °也纭AC+^C=90 °也经BE=BDAC,^GF BBD ,^^AGF=^ABC=45 ° °也写AGF =^BAD ,BFA=FG ,BFG+DC=FA+DF=AD;(2) FG-DC=AD;由(1)知，AF=FG , BBFD=^ACD , AD=BD , ^FDB=^ADC =90°BDC=DF,BFG-DC=AD.。