数学建模组合优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
数学建模模型案例
数学建模模型案例一、旅行商问题(TSP)旅行商问题是一个典型的数学优化问题，在旅行商问题中，旅行商需要在给定的一系列城市之间找到一条最短路径，使得他能够只经过每个城市一次并最终回到起点城市。
这个问题可以用图论和线性规划等方法来进行建模和求解，可以应用于物流配送、路径规划等领域。
二、股票价格预测模型股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。
可以使用时间序列分析、机器学习等方法来建立股票价格预测模型。
模型需要考虑多个因素，如历史股价、经济指标、市场情绪等，以预测未来股票价格的趋势和波动。
三、疫情传播模型疫情传播模型是在流行病学领域中使用的一种数学模型，用于研究疾病在人群中的传播规律。
常见的疫情传播模型有SIR模型、SEIR 模型等，这些模型可以用来预测疫情的传播速度、感染人数以及制定相应的防控策略。
四、能源优化调度模型能源优化调度模型用于优化电力系统、能源系统等中的能源调度问题。
这种模型需要考虑电力需求、能源供应、能源转换效率等因素，以最小化成本或最大化效益，并且满足各种约束条件。
五、机器学习分类模型机器学习分类模型用于将数据集中的样本分为不同的类别。
这种模型可以使用各种机器学习算法，如逻辑回归、决策树、支持向量机等，以根据样本的特征来预测其所属的类别。
六、交通拥堵预测模型交通拥堵预测模型用于预测城市交通网络中的拥堵情况。
这种模型可以使用历史交通数据、天气数据、道路网络数据等进行建模，以预测未来某个时刻某个路段的交通状况，并提供相应的交通管理建议。
七、供应链优化模型供应链优化模型用于优化供应链中的物流和库存管理等问题。
这种模型需要考虑供应商、生产商、分销商之间的关系，以最小化库存成本、运输成本等，并满足客户需求。
八、排课调度模型排课调度模型用于学校或大学的课程安排问题。
这种模型需要考虑教室、教师、学生、课程等因素，以最大化教学效果、减少冲突，并满足各种约束条件。
九、旅行路线规划模型旅行路线规划模型用于帮助旅行者规划旅行路线。
优化模型
优化模型一般来说，大学生数学建模竞赛用到的优化模型包括数学规划（线性与非线性规划）、组合优化、网络优化、动态规划、随机规划等，竞赛题目涉及这方面的内容还是比较多的，请看表9.1。
本节重点讨论数学规划和动态规划。
即在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题。
我们所说的数学规划通常是指单目标规划问题，还有一类应用更广泛的多目标规划问题，即目标函数至少两个以上。
线性规划：若目标函数厂和约束函数hi（i-l，2，…，Z）、9i (j=1，2，…，77z) 都是线性函数。
整数规划：若决策变量z的分量部分或全体都是整数的线性规划。
非线性规划：若目标函数，和约束函数hi（i-l，2，…，Z）、9i (j=l，2，…，优) 中至少有一个函数是非线性函数。
数学规划问题举例9.2.1 下料问题制造某种产品，需要A、B、C三种轴件，其规模和数量如表9.2所示。
各类轴件都用5. 5m长的同一种圆钢下料。
若计划生产100台机床，最少要用多少根圆钢？(1)问题分析首先，应当确定哪种切割模式是可行的。
所谓一个切割模式是指按照需要在圆钢上安排切割的一种组合。
例如我们可以将5. 5m长的圆钢切割成一个B种轴件和一个C种轴件，余料为2. 2m;或者将5.5m长的圆钢切割成一个A种轴件和一个B种轴件，余料为0. 3m。
显然，可行的切割模式是很多的。
其次，应当确定哪种切割模式是合理的。
通常假设一个合理的切割模式的余料不应当大于或等于任何一种轴件的长度。
例如：将5. 5m长的圆钢切割成一个B种轴件和一个C种轴件，余料为2. 2m，显然，余料还可以切割成一个B种轴件或者一个C种轴件，因此这种切割模式是不合理的；再如将5. 5m长的圆钢切割成一个A种轴件和一个B种轴件，余料为o．3m，显然余料不可能再切割成任何一种轴件，因此这种切割模式是合理的。
在这种合理性假设下，切割模式一共有五种，如表9.3所示。
①决策变量用z：表示按照第z种模式(i-l，2，3，4，5)切割圆锕的根数，显然它们应当是非负整数。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
2023年数学建模c题目
2023年数学建模c题目
2023年数学建模竞赛C题是“多阶段投资组合优化问题”。
问题描述：
假设你是一位投资者，在多阶段投资环境中，需要确定在每个阶段应该如何分配你的投资金额。
为了简化问题，我们假设你只有一个投资目标，即在每个阶段最大化预期收益，并且你的投资金额为100万元。
具体来说，你需要确定在每个阶段应该投资多少金额，以及应该选择哪些资产进行投资。
投资环境包括股票、债券和现金等三种资产，每种资产的预期收益率和风险水平不同。
在每个阶段，你都需要考虑过去的历史数据和当前的市场情况来制定投资策略。
例如，在第一阶段，你需要基于过去10年的数据来确定股票、债券和现金的权重。
在第二阶段，你需要根据第一阶段的结果和市场情况来调整你的投资策略。
目标是最大化预期收益，同时考虑风险水平。
你需要确定一个多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据和数学方法来解决这个问题。
问题要求：
1. 建立多阶段投资组合优化模型，并使用历史数据来求解该模型。
2. 确定投资策略，包括在每个阶段的投资金额和资产选择。
3. 分析投资结果，包括预期收益和风险水平。
4. 讨论如何根据市场变化调整投资策略。
5. 编写一个Python程序来实现你的模型和算法，并输出结果。
这是一个非常具有挑战性的问题，需要你掌握多阶段投资组合优化、统计分析和Python编程等方面的知识。
希望你能通过解决这个问题，提高自己的数学建模能力和实际应用能力。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模中的模型优化与参数校准
数学建模中的模型优化与参数校准数学建模是解决实际问题的一个重要手段，通过对实际问题进行抽象和建模，可以利用数学方法求解问题并得到结果。
模型的优化和参数校准是数学建模过程中的两个重要的环节，本文将对这两个环节进行详细的探讨。
一、模型优化模型优化是指对已有的模型进行改进，使其更加适合于解决实际问题。
在实际应用中，我们往往会发现原有的模型存在一些缺陷，或者不能满足我们的需求，这时就需要对模型进行优化。
模型优化的方法很多，常用的方法包括参数调整、模型结构调整、数据采集等。
其中，参数调整是最常用的方法之一。
在建立模型时，我们往往需要确定一些参数，这些参数对模型的性能有着重要的影响。
如果模型的参数选择不合适，那么模型的预测结果可能会偏差较大。
因此，在实际应用中，我们需要对模型的参数进行调整，以获得更好的预测效果。
模型参数的调整通常有两种方法，一种是手动调节，另一种是自动调节。
手动调节的方式需要根据实际经验和知识对参数进行调整，这种方法虽然简单，但存在人为主观性较强的问题。
自动调节的方式则通过计算机算法自动调整模型参数，可以较好地解决人为主观性较强的问题，并且可以快速找到最优的参数组合，提高模型的预测精度。
另外，模型结构调整也是模型优化的一个重要方法。
模型的结构可以根据实际问题进行调整，例如，可以增加一些变量来改进模型的预测效果。
此外，数据采集也是模型优化的一个重要环节，通过增加更多的数据可以提高模型的预测精度，但同时也需要保证数据的质量和可靠性。
二、参数校准参数校准是指对模型中的参数进行调整，使得模型更加符合实际情况。
在实际应用中，我们往往需要将模型对实际问题进行预测，而模型中的参数是根据历史数据确定的，这些参数未必完全适用于实际问题。
因此，我们需要对模型中的参数进行校准，以获得更准确的预测结果。
参数校准通常需要依赖于实验数据，通过实验数据对模型中的参数进行调整，以获得更符合实际情况的模型。
参数校准的方法很多，常用的方法包括随机搜索、改进的遗传算法、模拟退火算法等。
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数学建模组合优化模型
数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求
解的技术。
在实际应用中，很多问题都可以使用组合优化模型来描述和解决。
组合优化模型主要研究如何在给定的约束条件下，找到最优的组合方式。
组合优化模型最早出现在20世纪50年代，当时主要应用于军事领域。
随着计算机技术的发展和应用范围的扩大，组合优化模型的研究逐渐扩展
到了经济、交通、电力、通信等各个领域。
组合优化模型的基本思想是将问题抽象为一个图或者网络，通过定义
合适的目标函数和约束条件，寻找使得目标函数最优的节点或者路径。
在
组合优化模型中，最常见的问题包括最短路径问题、旅行商问题、背包问题、任务调度问题等。
在组合优化模型中，最常见的方法是枚举法、贪心法、动态规划法和
分支定界法等。
枚举法是最简单的方法，它逐个考虑每种组合情况，然后
计算出目标函数的值，并找出最优解。
贪心法是一种局部最优的方法，它
每次都选择使得目标函数最优的节点或者路径，然后不断迭代直到找到最
优解。
动态规划法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并通过求解子
问题的最优解得到原问题的最优解的方法。
分支定界法是一种通过将问题
划分成若干个子问题，并剪枝掉不可能成为最优解的子问题，从而找到最
优解的方法。
为了解决组合优化模型，需要建立合适的数学模型，并采用适当的求
解方法。
建立数学模型的过程主要包括以下几步：明确问题目标、确定决
策变量、建立目标函数、建立约束条件。
在建立模型的过程中，需要根据实际问题的特点选择合适的模型和方法。
总之，组合优化模型是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。
组合优化模型已经广泛应用于各个领域，并取得了很多重要的成果。
未来，随着计算机技术的进一步发展和应用需求的不断增加，组合优化模型将会发挥越来越重要的作用。