高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1
高考数学讲义排列与组合.版块六.排列组合问题的常见模型2.教师版
1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型 2⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．分堆问题【例1】 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有16C 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有25C 种取法，再后从余下三本取三作作为一堆，有33C 种取法，故共有分法12365360=C C C 种．⑵ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为12365360=C C C 种．⑶ 由⑴知，分成三堆的方法有123653C C C ，但每一种分组方法又有33A 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533360=C C C A （种）典例分析⑷ 3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有22264290=C C C 种方法． ⑸ 把6本不同的书分成三堆，每堆二本和把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应33x ⋅A 种，由⑷知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有222642C C C 种． 所以32223642x =A C C C ，则2226423315x ==C C C A （种） 点评：本问题的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中⑴属非均匀分组问题．⑵属非均匀定向分配问题．⑶属非均匀不定向分配问题．⑷属均匀不定向分配问题．⑸属均匀分组问题．一般地，n 个元素中有1n 个元素（1n n ≤）均分成m 堆一定要除以m m A ． 例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法一共有1422222217161210864266C C C C C C C C A 种不同分法．【例2】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C 90⋅⋅=（种）．这是均匀编号分组问题⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了33Α倍，故共有226433C C 15⋅=Α（种）．这是均匀分组问题．⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有123653C C C 60⋅⋅=（种）． 这是非均匀分组问题 ⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有12336533C C C 360⋅⋅⋅=Α（种）． 这是非均匀编号分组问题．⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有1165C C 30=（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有116522C C 15⋅=Α（种）．这是部分均匀分组问题．⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有66720=Α（种）．【例3】 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人； ⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人； ⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴可直接从7人中选出2人的方法有27C 种，再由余下的5个人中选3人的方法有35C种，所以依分步计数原理，分组的方法有：2375C C 210=种． 也可先选取5人，再分为两组有523753C C C 210=种．⑵选3人为一组有37C 种，再选3人为另一组有34C 种，依分步计数原理，又每22Α种分法只能算一种，所以不同的分法有337422C C 70=Α种．也可以先选再分组为63376322C C C 70=Α种． ⑶由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可，分组的方法有232752C C 420=Α种．【例4】 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2009年，重庆高考【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按211，，分成三组，其分法有24C 种；第二步将分好的三组分配到3个乡镇，有33Α种．所以满足条件的分配方案有2343C 36Α=种．【答案】36；【例5】 把一同排6张座位编号为123456，，，，，的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2005年，湖北高考【解析】易知4个人获得电影票的张数只有1122，，，这种可能，分情况讨论：⑴编号12，的票发给同一个人，则有3和4、4和5、5和6发给同一个人3种情况； ⑵编号23，的票发给同一个人，则有4和5、5和6发给同一个人2种情况； ⑶排除⑴⑵的情况只有1种可能：3和4、5和6分别发给同一个人．所以6张电影票分成1122，，，有6种可能，故题目要求的不同分法数为446144=Α种，选D ．【答案】D【例6】 现有3辆公交车、3 位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】解答【关键字】无【解析】分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：□□□，然后把3名司机和3名售票员分别填入，因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．解析：分两步完成，第一步，把3名司机安排到3辆车中，有336=A 种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有336=A 种安排方法．故搭配方案共有333336⋅=A A 种．【答案】36；【例7】 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】首先3名医生分配到3所学校有3!种方法；6名护士分配到3所学校，每所2名，属于均匀编号分组问题，共2264C C 90=种．由乘法原理共有690540⋅=种分配方法．选D ．【答案】D ；【例8】 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ． 540B ． 300C ． 180D ． 150【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2008年，湖北高考【解析】依题意，5个人分成3部分只有两种可能：113，，或122，，．这是部分均匀编号分组问题，分别有1133543322C C C 60=ΑΑ和1223542322C C C 90=ΑΑ种方案，因此总方案数为6090150+=种，选D ．【答案】D ；【例9】 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常见模型【难度】2星 【题型】填空【关键字】2007年，海南高考【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有123453240C C A ⋅⋅=种安排方法． 答案为240．【答案】240染色问题【例10】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，西城高三【解析】有1种颜色只有一个点涂，剩下的2种颜色涂4个点只有2种方法，故共有153C 230⋅⋅=种．选A ．【答案】A ；【例11】 将123，，填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．321321321【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】第一行的填法有33Α种，填好后，第二行只有2种填法，第三行只有1种方法，故共有332112⨯⨯=Α种方法． 或者第一行的填法有33Α种，填好后，第一列剩下的2格有2种方法， 第一行、第一列填好后，其它的格子就确定了，只有1种方法， 故共有33212=Α种方法．【答案】12；【例12】 将1,2,3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，全国高考【解析】若第一行填123，，，下面填法有2种，第一行有33A 6=种填法，故总共的填法有2612⨯=种．【答案】B ；【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DCB AA ．24B ．36C ．72D ．84【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】5星 【题型】选择【关键字】2007年，江苏联赛【解析】如果四个小方格内只有两种颜色，则先选两色有24C 种，相同颜色必须放在对角线上，一色选择对角有2种选法，共计242C 12=种； 如果四个小方格内有三种颜色，选三色有34C 种，其中哪一色重复用2次有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种； 四色全用有4!24=种（因A 、B 、C 、D 为固定位置）， 合计84种．【答案】D ；【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】5星 【题型】填空【关键字】2007年，全国联赛【解析】使2个a 既不同行也不同列的填法有2244C A 72=种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2244C A 72=种，故由乘法原理，这样的填法共有272种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有12169C A 种．所以，符合题设条件的填法共有2121697272C A 3960--=种．【答案】3960；【例15】 如图所示A 、B 、C 、D 、E 为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？EDC BA【考点】排列组合问题的常见模型【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】显然A处于中央，与其他区域都相接，因此它的地位比较特殊，应优先考虑．本题可分解为三类涂法：用5颜色涂；用4种颜色涂；用3种颜色涂．显然用2种颜色涂不可能．解析：本题有三类涂法．第一类：用5种颜色涂，显然有55120 =A种涂法．第二类：用4种颜色涂，显然有2类涂法：B与D涂同一色，其余三区各涂一色；C与E涂同一色，其余三区各涂一色，故涂法种数是413 5432240⋅⋅⋅=C C C（45C是指先选出4种颜色）．第三类：用3种颜色涂，那么B与D、C与E、A三部分区域各涂一色，故有33 5360⋅=C A种涂法（35C是指先选出3种颜色）．综上，涂法总数是：12024060420++=种．【答案】420【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型【难度】3星【题型】填空【关键字】2007年，天津高考【解析】分为三类：①只用两种颜色则为：226230C A=种；②用三种颜色，两端的格子不同色，选2种颜色，有26C种选法；中间的两个格子之一从剩下的4种颜色里挑一种，另一个格子的颜色则是确定的．因此有2211 6242240C A C C=种，；③用四种颜色则为：4464360C A=种故共计有630种．【答案】630【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2007年，天津高考【解析】①用2种颜色涂格子有26230C ⨯=种方法；②用3种颜色涂格子：最左边的格子有3种，第二格有2种（与第一格不同），第三格有2种（与第二格不同），第四格有2种（与第三格不同），共有36C 3222⋅⋅⋅⋅种．但是这种方法可能只涂了2种颜色，只涂了2色的共有3263C C 2⋅⋅种．综合知共有()326330382390C C +⨯-⨯=种方法．【答案】390；错位排列【例18】 编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】109；问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一个对号；有且仅有两个对号．这三种情况都较难处理．而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）；有且仅有3个对号．而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人（有35C 种），其余两人不对号即可，此时只有1种情况，由加法、乘法原理得反面情况共有351C 111+⋅=种．五人全排有55A 种．所以满足要求的种数为()5355A 1C 1109-+⋅=．【答案】109；【例19】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙两人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有55Α种； ⑵甲、乙只有一人去不想去的地方旅游，有12C 种选择，2人中剩下的那个人有5种选择，其余无条件的人的旅游方法有55Α种，共1525C 5⋅⋅Α种 所以满足题目条件的方案有75157525C 53720--⋅⋅=ΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是12||||I A A -U ，易知77||I =Α，而121212||||||||A A A A A A =+-U I ．65126125||||||A A A A ===I Α，Α，所以所求的方案总数为76576523720-=ΑΑ+Α种．【答案】3720【例20】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．⑴甲、乙、丙三人同时都去各自不想去的地方旅游，其余的人去剩下的地方有44Α种；⑵甲、乙、丙有两人去各自不想去的地方旅游，有23C 种选择，剩下的那个人有4种选择，其余无条件限制的4个人有44Α种方案，共有2434C 4⋅⋅Α种； ⑶甲、乙、丙只有一人去不想去的地方旅游，有13C 种，剩下的6个人有66Α种，其中包括了有条件限制的两人同时去各自不想去的地方共44Α种，以及这两人中有一人去了不想去的地方有14442C Α种，所以共有1641436444C 2C --ΑΑΑ种． 因此满足题意的方案总数为7241641473436444C 4(C 2C )3240-⋅⋅---=ΑΑΑΑΑ种．方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}．则原题要求的就是123||||I A A A -U U ，而123123121323123||||||||||||||||A A A A A A A A A A A A A A A =++---+U U I I I I I ，易知61236||||||A A A ===Α，51223135||||||A A A A A A ===I I I Α，41234||A A A A =I I ，所以满足题意的方案总数为76547654333240-+-=ΑΑΑΑ种．【答案】3240【例21】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D地，问：共有多少种旅游方案?【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一：用排除法，7个人分赴7个地方共有77Α种可能．（1）若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有336=Α种；（2）若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有34C 种，而4人中剩下1人旅游的地方是13C 种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是33Α种，所以共有313433C C 72=Α种； （3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有24C 种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有55Α种，但是其中又包括了有条件限制的四人中的两人同时去各自不想去的地方共33Α种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有13332C Α种，所以共有2531345333C (2C )468--=ΑΑΑ种；（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有14C 种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与（3）想法一致，共有1632431531346334335333C [C ()C (2C )]1704------=ΑΑΑΑΑΑΑ种．所以满足题目情况的不同旅游方案共有77(6724681704)2790-+++=Α种． 方法二：设集合I ={7个人旅游的总方案}，1A ={甲去不想去的地方的旅游方案}，2A ={乙去不想去的地方的旅游方案}，3A ={丙去不想去的地方的旅游方案}，4A ={丁去不想去的地方的旅游方案}，则原题要求的就是1234||||I A A A -U U U Α，而4123412341||||||||||i i j ij k i i ji j kA A A A A A A A A A A A A A =≠≠≠=-+-∑∑∑U U U I II I I I ，同样的易知612346||||||||A A A A ====Α，55||i j A A =I Α（14i j i j ≠，≤，≤）， 44||i j k A A A =I I Α，312343||A A A A =I I I Α，所以要求的方案总数是： 762534376454434C C 2790-+-+=ΑΑΑΑΑ种．【答案】2790。
高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1
1思维的开掘 能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型12 思维的开掘 能力的飞跃⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．〔规定0C 1n =〕⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题〔分成几堆，无序〕．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n ！，如果有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？3思维的开掘能力的飞跃【例3】7名同学排队照相．⑴假设分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵假设排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷假设排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴假设甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶假设甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法〔用数字作答〕．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个〔用数字作答〕．4 思维的开掘能力的飞跃5思维的开掘 能力的飞跃【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是〔 〕A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．6 思维的开掘 能力的飞跃【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法〔用数字作答〕．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种〔结果用数值表示〕．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有〔 〕种．A ．288B ．576C ．864D ．11527思维的开掘 能力的飞跃【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例19】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．968 思维的开掘 能力的飞跃【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有〔 〕A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9思维的开掘 能力的飞跃【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个〔用数学作答〕．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这810 思维的开掘 能力的飞跃 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种．432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有〔 〕 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种〔用数字作答〕．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________〔用数字作答〕．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有〔 〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？高中数学讲义 11思维的开掘 能力的飞跃【例36】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个〔用数学作答〕．【例38】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？高中数学讲义 12 思维的开掘 能力的飞跃⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种〔用数字作答〕．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有〔 〕个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430高中数学讲义 13 思维的开掘 能力的飞跃【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
高中数学中的排列与组合
高中数学中的排列与组合在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧。
它们在不同领域中都有着广泛的应用，尤其是在概率论、统计学和计算机科学中。
本文将介绍排列与组合的基本概念、原理和应用。
一、排列在数学中，排列是指从给定的元素中选取一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。
下面我们来介绍排列的几个常见概念和公式。
1. 基本概念首先，我们引入排列的基本概念。
（1）全排列：从给定的n个元素中选取n个，按照一定的顺序进行排列，叫做全排列。
（2）k排列：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），按照一定的顺序进行排列，叫做k排列。
2. 公式接下来，我们介绍排列的计算公式。
（1）全排列的计算公式：全排列的个数为n!（n的阶乘）。
（2）k排列的计算公式：k排列的个数为A(n,k) = n!/(n-k)!二、组合在数学中，组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序的方式。
下面我们来介绍组合的几个常见概念和公式。
1. 基本概念首先，我们引入组合的基本概念。
（1）全组合：从给定的n个元素中选取0个、1个、2个...直到n个元素的所有情况，叫做全组合。
（2）k组合：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），不考虑顺序的所有情况，叫做k组合。
2. 公式接下来，我们介绍组合的计算公式。
（1）全组合的计算公式：全组合的个数为2^n。
（2）k组合的计算公式：k组合的个数为C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
三、排列与组合的应用排列与组合有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用领域。
1. 概率论与统计学在概率论和统计学中，排列与组合是计算事件的可能性的重要工具。
通过排列与组合的计算，我们可以确定事件的样本空间、计算事件的概率和进行统计推断等。
2. 计算机科学在计算机科学中，排列与组合是算法设计和分析的基础。
例如，在密码学中，排列与组合被用于生成和破解密码。
在图论和网络分析中，排列与组合是解决路径问题和网络优化问题的重要手段。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。
接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。
一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。
例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。
第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。
所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。
一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。
比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。
在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。
只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。
二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。
还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。
所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。
如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。
高中数学中的排列与组合
高中数学中的排列与组合排列与组合是高中数学中的重要内容，它们是数学中的一种数学技巧和思维方法，用于解决问题和计算方案的数目。
在这篇文章中，我们将详细介绍排列与组合的概念、性质和应用。
一、排列的概念与性质排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，即确定元素的顺序。
在高中数学中，我们经常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行排列，有多少种不同的排列方式？”这种情况下，可以使用排列数来计算。
排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。
排列数的性质包括以下几点：1. 排列数存在一个特殊情况，即全排列，它表示从n个元素中取出n个进行排列，全排列的计算公式为P(n, n) = n!。
2. 排列数满足交换律，即P(n, m) = P(m, n)。
3. 当m > n时，P(n, m) = 0。
二、组合的概念与性质组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，即不考虑元素的顺序。
与排列相比，组合更加注重元素的选择而非顺序。
在高中数学中，我们常常遇到这样的问题：“从n个不同的元素中取出m个进行组合，有多少种不同的组合方式？”这时，可以使用组合数进行计算。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!]组合数的性质包括以下几点：1. 组合数存在一个特殊情况，即全组合，它表示从n个元素中取出n个进行组合，全组合的计算公式为C(n, n) = 1。
2. 组合数满足对称性，即C(n, m) = C(n, n - m)。
3. 当m > n时，C(n, m) = 0。
三、排列与组合的应用排列与组合在高中数学中的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用场景：1. 利用排列与组合计算概率：在概率问题中，我们常常需要计算事件发生的概率。
高中数学排列与组合的解题思路与应用
高中数学排列与组合的解题思路与应用在高中数学中，排列与组合是一个非常重要的概念和技巧，它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在现实生活中也有很多实际的应用。
掌握排列与组合的解题思路和应用方法，对于高中学生来说是非常有益的。
本文将通过具体的题目举例，详细介绍排列与组合的解题思路和应用。
一、排列问题排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的问题。
在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。
1.1 排列的基本概念考虑一个简单的排列问题：有5个人要排队，问有多少种不同的排队方式？这个问题可以用排列的概念来解决。
对于这个问题，我们可以先考虑第一个位置，有5种选择；然后考虑第二个位置，有4种选择；以此类推，直到考虑第五个位置，有1种选择。
根据乘法原理，总的排队方式数为5×4×3×2×1=120种。
1.2 排列问题的应用排列问题在实际生活中有很多应用，比如在组织活动时，需要确定参与活动的人员的座位安排；在密码学中，需要确定密码的不同排列方式以提高密码的安全性。
通过解决排列问题，我们可以提高思维的灵活性和逻辑推理能力。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的组合方式进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面的内容。
2.1 组合的基本概念考虑一个简单的组合问题：有7个人中选取3个人组成一个委员会，问有多少种不同的选取方式？这个问题可以用组合的概念来解决。
对于这个问题，我们可以先考虑选取的第一个人，有7种选择；然后考虑选取的第二个人，有6种选择；最后考虑选取的第三个人，有5种选择。
由于选取的人员顺序不重要，所以需要除以选取人数的阶乘。
根据组合的定义，总的选取方式数为7×6×5/(3×2×1)=35种。
2.2 组合问题的应用组合问题在实际生活中也有很多应用，比如在购买彩票时，需要从指定的数字中选取若干个数字进行投注；在统计学中，需要确定不同样本的组合方式以进行数据分析。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
高中数学讲义排列组合——选择合适的数学模型
x 1, y 1, z 1, w 1这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：
C133 286 种
答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种
二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施
6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或
最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（
A. 484
B. 472
C. 252
D. 232
16、集合 S 1,2,3, L ,20 的 4 元子集 T a1, a2, a3 , a4 中，任意两个元素差的绝对值都不
为 1，这样的 4 元子集 T 的个数有 _____个
习题答案： 1、答案： B
解析： B ,C 相邻则考虑使用整体法，程序 A 有要求所以先确定 A 的位置，共有 2 种选法，然
例 7：设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k A ，如果 k 1 A 且 k 1 A ，那么称 k 是
集合 A 的一个“孤立元” ，给定 S 1,2,3,4,5,6,7,8 ，则 S 的 3 个元素构成的所有集合中，
其元素都是“孤立元”的集合个数是（
）
A. 6
B. 15
C. 20
D. 25
思路：首先要理解“ k A ，则 k 1 A 且 k 1 A ”，意味着“独立元”不含相邻的数，元
思路：可将组成子集的过程视为 A 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，
所以第一步从 a1 开始，有两种选择，同样后面的 N 21 442 2 L4 432 2n 个
n个
答案： 2n
a2, a3,L ,a n 都有两种选择，所以总数
例 2：已知 S 1,2,3,L ,40 ， A S且 A 中有三个元素，若 A 中的元素可构成等差数列，
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1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n知识内容排列组合问题的常见模型1个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例3】7名同学排队照相．⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】 ABCDE 五个字母排成一排，若ABC 的位置关系必须按A 在前、B 居中、C 在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种．A ．288B ．576C ．864D ．1152【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．（用数字作答）【例19】 6个人坐在一排10个座位上，问⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360B ．288C ．216D ．96【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种 B．108种 C．216种 D．432种数字问题【例24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例25】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例26】在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种． 432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种（用数字作答）．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？【例36】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字【例37】用数字0123456之和为偶数的四位数共有个（用数学作答）．，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例38】从012345个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的【例39】从012345个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162【例40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种（用数字作答）．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。