(复习指导)1.2 简单不等式的解法含解析

1.2 简单不等式的解法必备知识预案自诊知识梳理1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a b ,a -b =0⇔a b ,a -b <0⇔a b .(2)作商法{ ab >1⇔a b (a ∈R ,b >0),ab =1⇔a b (a ∈R ,b ≠0),ab<1⇔a b (a ∈R ,b >0).2.不等式的性质(1)对称性:a>b ⇔b<a. (2)传递性:a>b ,b>c ⇒a>c.(3)可加性:a>b ⇔a+c>b+c ;a>b ,c>d ⇒a+c>b+d.(4)可乘性:a>b ,c>0⇒ac>bc ;a>b ,c<0⇒ac<bc ;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ,n ≥2). (6)可开方:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ,n ≥2). 3.三个“二次”之间的关系续 表判别式Δ>0Δ=0Δ<01.若a>b>0,m>0,则ba <b+m a+m ;b a>b -m a -m(b-m>0);a b>a+m b+m ;ab<a -mb -m(b-m>0).2.(x-a )(x-b )>0或(x-a )(x-b )<0型不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.3.恒成立问题的转化:a>f (x )恒成立⇒a>f (x )max ;a ≤f (x )恒成立⇒a ≤f (x )min .4.能成立问题的转化:a>f (x )能成立⇒a>f (x )min ;a ≤f (x )能成立⇒a ≤f (x )max .5.恰成立问题的转化:a>f (x )在M 上恰成立⇔a>f (x )的解集为M ⇔{a >f (x )在M 上恒成立,a ≤f (x )在∁R M 上恒成立.另一转化方法:若x ∈D ,f (x )≥A 在D 上恰成立,等价于f (x )在D 上的最小值f (x )min =A ;若x ∈D ,f (x )≤B 在D 上恰成立,则等价于f (x )在D 上的最大值f (x )max =B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)a>b ⇔ac 2>bc2. ( ) (2)a>b>0,c>d>0⇒a d>b c.( ) (3)若关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0. ( ) (4)不等式x -2x+1≤0的解集是[-1,2].( )(5)若关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有实数根,则关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( )2.设a ,b ,c ,d ∈R ,且a>b ,c>d ,则下列结论中正确的是( ) A.ad >bcB.a-c>b-dC.ac>bdD.a+c>b+d3.实数x ,y 满足x>y ,则下列不等式恒成立的是( ) A.y x<1B .2-x <2-yC .lg(x-y )>0D .x 2>y 24.(2020安徽马鞍山二模,理1)已知集合A={x|x 2-2x-3≤0,x ∈Z },B={x||x|≤2,x ∈Z },则A ∩B=( )A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}5.设a ,b ,c 是任意实数,能够说明“若c<b<a 且ac<0,则ab<ac ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .关键能力学案突破考点比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知a 1,a 2∈(0,1),若M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 (2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则( )A.a<b<cB.c<b<a D.b<a<c(式)大小常用的方法有哪些?解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.对点训练1(1)已知实数a ,b ,c 满足b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c ≥b>aB.a>c ≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)已知a ,b 是实数,且e <a<b ,其中e 是自然对数的底数,则a b 与b a 的大小关系是 .考点不等式的性质及应用【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a ,b ,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A.b-a<c+aB.c 2<abC.cb >caD.|b|c<|a|c(2)(2020山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则 ( )A.c a<c bB.c a <c bc c D.log a (b-c )>log b (a-c ),求由这些量组成的代数式的范围常用不等式的哪些性质?解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;3.当ab>0时,对不等式a>b 两边取倒数,或两边同乘以1ab ,化简得1b >1a.对点训练2(1)(2020海南高三期末,4)已知实数a ,b 满足a>b>0,则下列不等式一定成立的有( )A.a 2<b 2B.-a<-bC.b a+a b≥2D.a+b>ab(2)(2020山东青岛5月模拟,9改编)设a ,b ,c 为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是( )A.log 2(ab )<log 2b 2B.ac 2>bc 2C.b a <1<a bD.(12)a >(12)b考点一元二次不等式的解法 (多考向探究)考向1 常系数一元二次不等式的解法【例3】解下列不等式: (1)2x 2-3x-2>0; (2)-3x 2+6x-2>0; (3)4x 2-4x+1≤0; 2x+2>0.?解题心得对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法求解,即把不等式分解成(x-a )(x-b )>0或(x-a )·(x-b )<0型不等式,再依据“大于取两边,小于取中间”的口诀写出解集;对难于因式分解的不等式可采用判别式法求解,先计算对应方程的判别式,若判别式不小于零,求出相应的一元二次方程的根,画出对应函数的简图,由图象得出不等式的解集,若判别式小于零,直接根据对应函数的图象确定不等式的解集.对点训练3解下列不等式: (1)x 2-3x+2<0; (2)3x 2+5x-2>0; (3)-2x 2+3x+2≤0.考向2 含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x 的不等式ax 2+2x+1<0.?解题心得含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.对点训练4解关于x 的不等式x 2-ax-2a 2<0.考点分式不等式的解法【例5】已知全集U=R ,集合A={x||x-1|<1},B={x |2x -5x -1≥1},则A ∩(∁U B )=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|1<x ≤2} ≤x<2} D.{x|1≤x<4}思考解分式不等式的基本思路是什么?解题心得解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简如化为f (x )g (x )>0或f (x )g (x )<0,再等价转化为整式不等式的形式(如化为{f (x )g (x )>0,g (x )≠0或{f (x )g (x )<0,g (x )≠0),即转化为一次、二次或高次不等式. 对点训练5不等式2x -33x -4≤2的解集为 .考点 一元二次不等式恒成立问题 (多考向探究)考向1 主元x 在R 上恒成立求参数范围【例6】若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ) A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)考向2 主元x 在给定区间上恒成立求参数范围【例7】设对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.a>0B.a>12C.a>0或a<-12D.a>14?考向3 给定参数范围的恒成立问题【例8】已知对任意的k ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零,则x 的取值范围是 .解题心得1.ax 2+bx+c ≥0(a ≠0)对任意实数x 恒成立的条件是{a >0,Δ≤0;ax 2+bx+c ≤0(a ≠0)对任意实数x 恒成立的条件是{a <0,Δ≤0.2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.对点训练6(1)已知a 为常数,∀x ∈R ,ax 2+ax+1>0,则a 的取值范围是( ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0,+∞) D.(-∞,4)(2)已知函数f (x )=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是 .(3)已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 .1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情形转化为a>0的情形.5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.一含有绝对值的不等式1.绝对值的属性:非负性2.式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方去掉绝对值.3.若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解: (1)|f (x )|>g (x )的解集与f (x )>g (x )或f (x )<-g (x )的解集相同; (2)|f (x )|<g (x )的解集与-g (x )<f (x )<g (x )的解集相同.4.对于其他含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理.【例1】解下列不等式: (1)|x 2+x|≤3x ; (2)|x-1|+|x+2|<5; 2x-1|-|x-2|<0.方法1)原不等式可转化为-3x ≤x 2+x ≤3x ,即{x 2+x ≥-3x ,x 2+x ≤3x ,解得{x ≥0或x ≤-4,0≤x ≤2.∴0≤x ≤2.(方法2)观察到若要使得不等式|x 2+x|≤3x 成立,则3x ≥0,即x ≥0,进而|x 2+x|内部恒为正数,绝对值直接去掉,即只需解x 2+x ≤3x 即可,解得0≤x ≤2,∴不等式的解集为[0,2].(2)含多个绝对值的问题,可通过“零点分段法”来进行分类讨论.令两个绝对值分别为零,解得x=-2,x=1,作出数轴,将数轴分为三部分,分类讨论: ①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2, ∴1<x<2.②当-2<x ≤1时,不等式变为1-x+x+2<5,解得3<5,∴-2<x ≤1时不等式均成立. ③当x ≤-2时,不等式变为1-x-x-2<5,解得x>-3,∴-3<x ≤-2. 综上所述,不等式的解集为(-3,2).(3)思路:本题依然可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观察,所解不等式为|2x-1|<|x-2|,两边均是绝对值(非负数),所以还可以考虑两边平方(所用不等式性质:a>b ≥0⇒a 2>b 2)一次将两个绝对值去掉,再进行求解.∵|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,4x 2-4x+1<x 2-4x+4, ∴3x 2<3,解得-1<x<1, ∴不等式的解集为(-1,1).归纳小结1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在于需要进行分类讨论,对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些细节部分均要做好,才能保证答案的正确性.二简单的高次不等式的解法【例2】解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0.列表法):求得相应方程的根为-2,1,3. 列表如下:由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.小结:此法叫列表法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0(<0)形式(各项x 的系数化为正数),令(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n 个分界点把数轴分成n+1部分……;②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集. 穿根法):①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在数轴上表示这三个数. ②由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点.③若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间; 若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 由图可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}. 小结:此法叫穿根法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; ②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点;④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 检查各因式中x 的符号均正.②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.④∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}. 说明:∵3是三重根,∴在C 处穿三次,2是二重根,∴在B 处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f (x )有相同因式(x-x 1)n 时,n 为奇数时,曲线在x 1点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在x 1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.对点训练解不等式:(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.三无理不等式常见题型及等价转化:(1)√f (x )>√g (x )⇔{g (x )≥0,f (x )>g (x );(2)√f (x )>g (x )⇔{g (x )≥0,f (x )>g 2(x ),或{f (x )≥0,g (x )<0;(3)√f (x )<g (x )⇔{f (x )≥0,g (x )≥0,f (x )<g 2(x ).【例4】解不等式:√2x -1≤x-2. √2x -1≤x-2⇔{2x -1≥0,x -2≥0,2x -1≤(x -2)2,即{x ≥12,x ≥2,x ≤1或x ≥5,所以x ≥5,所以原不等式的解集为[5,+∞).√2x -1=t (t ≥0),则x=t 2+12, 所以原不等式化为t ≤t 2+12-2,所以t 2-2t-3≥0,即t ≤-1或t ≥3. 因为t ≥0,所以t ≥3,所以x ≥5. 【例5】解不等式:√2ax -a 2>a-x (a>0).√2ax -a 2>a-x ⇔①{2ax -a 2≥0,a -x ≥0,2ax -a 2>(a -x )2,或②{2ax -a 2≥0,a -x <0, 而①⇔{a -x ≥0,2ax -a 2>(a -x )2⇔{x ≤a ,x 2-4ax +2a 2<0⇔{x ≤a ,(2-√2)a <x <(2+√2)a⇔(2-√2)a<x ≤a (因为a>0). ②⇔{x ≥a2,x >a⇔x>a (因为a>0).所以原不等式的解集是((2-√2)a ,a ]∪(a ,+∞),即((2-√2)a ,+∞). 【例6】解不等式:(x-1)√x +2≥0.x-1)√x +2≥0⇔(x-1)√x +2>0,或(x-1)√x +2=0 ⇔{x -1>0,x +2>0,或{x -1=0,x +2≥0,或x+2=0 ⇔x>1或x=1或x=-2.所以原不等式的解集是[1,+∞)∪{-2}.归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.1.2 简单不等式的解法必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)> = < (2)> = <3.{x|x>x 2或x<x 1} {x|x 1<x<x 2} ⌀ ⌀考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.D ∵a ,b ,c ,d ∈R ,且a>b ,c>d ,根据同向不等式的可加性,得a+c>b+d ,故选D .3.B 由x>y ,得-x<-y.由y=2t 是增函数,得2-x <2-y .4.C 由题意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B={-1,0,1,2},故选C.5.1,0,-1(答案不唯一) 由c<b<a 且ac<0,可取a 为正数,c 为负数,由命题为假命题,得ab<ac 不成立,即ab ≥0,所以a ,b ,c 可取的一组分别为1,0,-1.关键能力·学案突破例1(1)B (2)B (1)M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)·(a 2-1).∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0.∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M-N>0. ∴M>N.(2)(方法1)易知a ,b ,c 都是正数,b a =3ln44ln3=log 8164<1,所以a>b ;b c =5ln44ln5=log 6251024>1, 所以b>c.故c<b<a.(方法2)对于函数y=f (x )=lnx x ,y'=1-lnx x 2,易知当x>e 时,函数f (x )单调递减.因为e <3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即c<b<a.对点训练1(1)A (2)a b >b a (1)∵c-b=4-4a+a 2=(a-2)2≥0,∴c ≥b.又b+c=6-4a+3a 2,∴2b=2+2a 2. ∴b=a 2+1.∴b-a=a 2-a+1=(a -12)2+34>0,∴b>a.∴c ≥b>a. (2)令f (x )=lnx x ,则f'(x )=1-lnx x 2,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在(e,+∞)上单调递减,因为e <a<b ,所以f (a )>f (b ),即lna a>lnb b⇒b ln a>a ln b ⇒a b >b a. 例2(1)D (2)C (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b ,a<0,所以c+a<c ,b-a>b ,则c+a<c<b<b-a ,即c+a<b-a ,故A 错误;对于B:因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c 2>b 2>a 2,且b 2>ab ,所以c 2>b 2>ab ,即c 2>ab ,故B 错误;对于C:因为b<a<0,所以1b>1a,则c b<c a,故C 错误;对于D:因为|b|>|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c ,故D 正确.(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6<b-a=-3,故A 错误;c 2=25>ab=4,故B 错误;cb =54<ca =5,故C 错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故D 正确.故选D .(2)由于a>b>1,所以0<1a <1b ,又c<0,故ca >cb ,选项A 错误;当c=-2,a=4,b=3时,c a >c b ,故选项B 错误;由于a>b>1,c<0,故a c <b c ,选项C 正确;由于a>b>1,c<0,所以a-c>b-c ,故log a (b-c )<log b (a-c ),选项D 错误,故选C .对点训练2(1)B (2)C (1)因为a>b>0,于是a 2>b 2,故A 不正确;由a>b>0,得-a<-b ,故B 正确;由基本不等式可知ba +ab ≥2√b a ·ab =2,因为a>b ,所以等号取不到,故C 不正确;当a=3,b=2时,3+2<2×3,故D 不正确.故选B.(2)由a>b>0,得ab>b 2,所以log 2(ab )>log 2b 2,故A 不正确; 因为c 2≥0,当c 2=0时,ac 2=bc 2,故B 不正确;由a>b>0,两边同乘1b ,得ab >1,由a>b>0,两边同乘1a ,得ba <1,故C 正确;由a>b ,函数y=(12)x为减函数,得(12)a<12b,故D 不正确.故选C.例3解(1)由2x 2-3x-2=2(x-2)x+12>0,得不等式的解集是x x<-12或x>2.(2)不等式可化为3x 2-6x+2<0.因为3x 2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x 2-6x+2=0的解是x 1=1-√33,x 2=1+√33.因为函数y=3x 2-6x+2是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是x 1-√33<x<1+√33.(3)方程4x 2-4x+1=0的解是x 1=x 2=12,函数y=4x 2-4x+1是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是x x=12.(4)因为x 2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x 2-2x+2=0无解.又因为函数y=x 2-2x+2是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R .对点训练3解(1)∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.故原不等式的解集为(1,2).(2)方程3x 2+5x-2=0的两解是x 1=-2,x 2=13.函数y=3x 2+5x-2的图象是开口向上的抛物线,与x 轴有两个交点(-2,0)和13,0.不等式的解集为x x<-2,或x>13.(3)原不等式化为2x 2-3x-2≥0,∵2x 2-3x-2=0的两解为x 1=-12,x 2=2,∴不等式的解集是x x ≤-12,或x ≥2.例4解(1)当a=0时,不等式的解集为x x<-12,(2)当a>0时,Δ=4-4a ,①Δ>0,即0<a<1时,不等式的解集为x -1-√1-a a <x<-1+√1-aa ;②Δ≤0,即a ≥1时,不等式的解集为⌀. (3)当a<0时,Δ=4-4a>0,不等式的解集为x x<-1+√1-aa,或x>-1-√1-a a.对点训练4解原不等式变形为(x-2a )(x+a )<0.①若a>0,则-a<x<2a ,此时不等式的解集为{x|-a<x<2a }; ②若a<0,则2a<x<-a ,此时不等式的解集为{x|2a<x<-a }; ③若a=0,则原不等式即为x 2<0,此时解集为⌀.例5C 由题意得A={x||x-1|<1}={x|-1<x-1<1}={x|0<x<2},B={x|2x -5x -1≥1}={x|x -4x -1≥0}={x|x<1或x ≥4},∴∁U B={x|1≤x<4},∴A ∩(∁U B )={x|1≤x<2}.故选C .对点训练5(-∞,54]∪(43,+∞) 由2x -33x -4≤2,得4x -53x -4≥0,解得x>43或x ≤54. 例6D 2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则必有{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.例7B (方法1)y=x 2+ax-3a 的对称轴是x=-a2.①当-a2≥1,即a ≤-2时,区间[-1,1]是函数y=x 2+ax-3a 的减区间, 当x=-1时,函数有最大值,所以1-4a<0,得a>14,与a ≤-2相矛盾. ②当0<-a 2<1,即-2<a<0时,当x=-1时,函数有最大值. 代入不等式得a>14,与-2<a<0矛盾.③当-1<-a 2≤0,即0≤a<2时,当x=1有最大值时,代入不等式得1-2a<0,即a>12,故12<a<2. 要使不等式x 2+ax-3a<0恒成立, ∴12<a<2.④当-a 2≤-1,即a ≥2时,区间[-1,1]是函数y=x 2+ax-3a 的增区间,x=1时有最大值,代入不等式得1-2a<0,a>12,∴a ≥2.综上所述,a>12.故选B .(方法2)设f (x )=x 2+ax-3a ,∵对任意实数x ∈[-1,1],不等式x 2+ax-3a<0恒成立, ∴{f (-1)=1-a -3a <0,f (1)=1+a -3a <0, 即{1-4a <0,1-2a <0,∴{a >14,a >12,故a>12.故选B .例8{x|x<1或x>3} x 2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g (k )=(x-2)k+(x 2-4x+4)>0在k ∈[-1,1]时恒成立.只需g (-1)>0,且g (1)>0,即{x 2-5x +6>0,x 2-3x +2>0,解得x<1或x>3.对点训练6(1)B (2)(-√22,0) (3)[-1,+∞) (1)因为∀x ∈R ,ax 2+ax+1>0,所以必有{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,即0≤a<4. (2)对于任意x ∈[m ,m+1],都有f (x )<0,则有{f (m )<0,f (m +1)<0,即{m 2+m 2-1<0,(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-√22<m<0.(3)因为不等式xy ≤ax 2+2y 2对任意的x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立, 所以a ≥y x -2(y x )2对任意的x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立.令t=y x ,由x ∈[1,2],y ∈[2,3],可知1≤t ≤3, 所以a ≥t-2t 2在区间[1,3]上恒成立. 令f (t )=-2t 2+t ,则f (t )=-2t 2+t=-2(t -14)2+18.因为f (t )在区间[1,3]上单调递减,所以f (t )max =f (1)=-1,所以a ≥-1.案例探究1 三类不等式的解法对点训练解①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0.②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3. ③在数轴上表示各根并穿线,如图.④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明:注意不等式若带“=”号,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.。