学而思初三数学暑假班第10讲阶段测试.提高班.教师版

合集下载

学而思暑期班考试题目

学而思暑期班考试题目11119．若2xm ＋n －1－3y m －n －3＝0是关于x ，y 的二元一次方程，则m ＝_____，n ＝_____10．电子跳蚤在数轴上的某点K 0，第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步有K 2向左跳3个单位到K 3，第四部由K 3向右跳4个单位到K 4，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是19.94，则电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数是 _____。

11．已知310x y -⎧⎨=⎩=是方程组410ax by y ⎧⎨=⎩－＝的解，则(a ＋b )6＝_____。

12．计算2222222222222_____3557799111113131515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=13．a ，b ，c 都是质数，且满足a ＋b ＋c ＋abc ＝99，则111111||||||=_____a b b c c a-+-+-14．比较以下分数的大小，填＞，＜号 ⑴711( )1115 ⑵94( ) 127⑶1927( )111515．已知11:34a c =：，11=23b c ：：，则a ∶b ∶c ＝_____16．杨浦大桥主桥长1176米，主桥比引桥长148，则引桥长_____米(精确到整数)17．甲、乙两个车间的人数相等，已知两个车间共有女工98人，甲车间男工人数是乙车间女工人数的15，乙车间男工人数是甲车间女工人数的16，那么甲车间有女工_____人。

18．小王看一本故事书，第一天看了全书的15多5页，第二天看了全书的18少8页，最后还剩下138页，求这本故事书总共有_____页19．计算 ⑴116418.430.9425153⨯÷⨯－＋ ⑵323(1.5)1.2434⨯⨯－＋ ⑶315.2 4.625515.685⨯⨯＋－20．解方程组：35724310413x y y x x y x y -+⎧⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩＋＝－（）（）21．2353355|3|1|0.61|||2014423⎧⎫⎡⎤-÷-+-⨯-÷---⨯-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（）（）（）（）（）22．若两个正整数的和是667，最小公倍数和最大公约数的商是120，求这两个数？23．求如图中的阴影部分的面积(圆周率取3.14)24．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。

学而思初二数学暑假班第10讲.综合测试.尖子班.教师版

初二数学测试卷班次______________ 姓名________________ 成绩________________考生须知1．本试卷共6页，共六道大题，27道小题（第六大题为附加题），满分120分。

考试时间100分钟。

2．在试卷上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律书写在试卷上。

4．在试卷上，试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷交回。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案1.下列计算中，正确的是（）A．1052a a a÷=B．32a a a-=C．331a a-=D．()325a a=2.下列图形中，轴对称图形的个数．．是（）A．1 B．2 C．3 D．43.下列变形正确的是（）A．11a ab b+=+B．11a ab b--=--C．221m nm n m n-=--D．()21m nm nm n--=-++4.如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的AOB∠的两边上分别取点M、N，使OM ON=，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得POM PON△≌△，OP平分AOB∠．以上依画法证明POM PON△≌△根据的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL5.使代数式21x-有意义的x的取值范围是（）A．1x≠B．12x≥C．112x x≥≠且D．12x>6.如图，OA OB=，OC OD=，50O∠=°，35D∠=°，则AEC∠等于（）A．60°B．50°C．45°D．30°7.如图，AB = AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下EB AD CO1初二暑期·第10讲·尖子班·教师版2初二暑期·第10讲·尖子班·教师版列结论中不正确的是．．．．．( ) A ．△ABE ≌△ACF B ．点D 在∠BAC 的平分线上 C ．△BDF ≌△CDE D ．点D 是BE 的中点8. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（）① 236a a a ⋅=；② ()333ab a b -=-；③3332a a a +=； ④ ()2212366x x x -+=-；⑤()()212152n m x y x y +--⋅-=52120n m x y +-- ⑥()()()2x x y y x y x y ---=-A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本题共12分，每小题3分）题号 910 11 12 答案9. 如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是．10. 2x -的平方根为2±，31x y ++的立方根为3，则22x y +平方根为．11. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒, 那么这个等腰三角形的底角为 .12. 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =______．三、解答题（本题共16分，每小题4分） 13. 因式分解：()()222m a a -+-14. 因式分解：()222416x x +-FED C BAO P B A3初二暑期·第10讲·尖子班·教师版15. 化简求值：()()()()222222x y x y x y x x y -+-+--，其中5x =，6y =-16. 解分式方程：6122x x x +=-+四、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 先化简，再求值：21123369aa a a a +÷-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中4a =-18. 已知36m =，92n =，求2413m n ++的值．19. 如图ABC △中，CD 平分ACB ∠，AE DC ∥交BC 的延长线于E ，求证：ACE △为等腰三角形．20. 已知：如图，点D 、E 在ABC △的边BC 上，AB AC =，AD AE =，求证：BD CE =.21. 在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴，如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2-，0），B （1-，0），C （1-，2），△ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2，在右面的坐标系中画出△A 2B 2C 2，并写出它的三个顶点的ED CBAE D CB A4初二暑期·第10讲·尖子班·教师版坐标．lMOyx22. 已知：如图，AB ED ∥，点F 、点C 在AD 上，AB DE =，AF DC =. 求证：BC EF =.五、解答题（本题共18分，每小题6分）23. 在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，请将其分成三个三角形，使之符合： ⑴ 三个三角形是全等的直角三角形． ⑵ 三个三角形均为等腰三角形．分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．图1图2ABCCBA24. 已知在△ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长）．求证：2a c b +=．25. 如图，Rt ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠，交AD 于E ，EF AC ∥．求证：AB BF =．DFECBA FED C B A5初二暑期·第10讲·尖子班·教师版六、附加题：绞尽脑汁研一研（本题共20分，每题10分） 26. 若2310x x -+=2213x x +-= ．27. 如图，已知ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠并交BD 于M ，过M 作MF AC ∥交BC 于点F ，求证：⑴ BME △为等腰三角形．⑵ BE FC =．MFE DCBA6初二暑期·第10讲·尖子班·教师版参考答案及评分标准一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDDCADD题号 9101112答案AO BO =等 10± 30︒或60︒ 2±备注：多种答案题目教师酌情给分.三、解答题（本题共16分，每小题4分） 13. 原式()()222m a a =---()()221a m =--()()()211a m m =-+-14. 原式()()224444x x x x =+-++()()2222x x =-+15. 原式()()()()222222x y x y x y x x y =-++---2222244442x y x xy y x xy =-+-+-+ 222x xy =--当5x =，6y =-时原式()()225256=-⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦5060=-+10=16. 1x =，经检验是原方程的解四、解答题（本题共30分，每小题5分）17. 原式=()()()232332a aa a a-⨯+-=33a a -+当4a =- 时，原式=43743--=-+18. 241243333m n m n ++=⨯⨯()()222333m n =⨯⨯92n =，232n =，当36m =，232n =时原式22623=⨯⨯ 432=7初二暑期·第10讲·尖子班·教师版19. 证明：∵CD 平分ACB ∠∴12∠=∠ ∵AE DC ∥∵13∠=∠，2E ∠=∠又∵12∠=∠，∴3E ∠=∠，∴AC EC =，∴ACE △是等腰三角形20. 证明：∵AD AE =∴ADE AED ∠=∠∴180180ADE AED -∠=-∠°° ∴ADB AEC ∠=∠ ∵AB AC = ∴B C ∠=∠∴180180ADB B AEC C -∠-∠=-∠-∠°° ∴BAD CAE ∠=∠ 在ABD △与ACE △中 ∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()SAS ABD ACE △≌△，∴BD CE = 21. ()240A ，,()250B ，,()252C ，CB AC 1B 1A 1B 2C 2A 2O yx22. ∵AB ED ∥ ∴A D ∠=∠ 又∵AF DC = ∴AC DF =在ABC △与DEF △中， AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△ ∴BC =EF321A B CD EEDCBA8初二暑期·第10讲·尖子班·教师版五、解答题（本题共18分，每小题6分） 23. ⑴ 如下图1 ⑵ 如下图230°30°60°60°30°或30°15°45°C B A图2图1AB CC B A24. 1:4l y x =-+()()()()2222222221661069251035a b c ab bc a ab b b bc c a b b c --++=++--+=+--()()()()()()353582a b b c a b b c a b c a b c =++-+--=+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵a 、b 、c 为三角形三边长， ∴08()70.a b c a b c a b c b +->+-=+-+>， ∴由条件只有20a b c -+=，故a +c =2b ．25. ∵AB AC ⊥，∴90BAD CAD ∠+∠=︒ ∵AD BC ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒ ∴ACD BAD ∠=∠ 又∵EF AC ∥， ∴BFE ACD ∠=∠ ∴BAE BFE ∠=∠ ∵BE 平分ABC ∠∴ABE FBE ∠=∠ 在ABE △和FBE △中 ABE FBE BAE BFE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FBE △≌△， ∴AB BF =．六、附加题26. 由2310x x -+=可知0x ≠ 方程两边同时除以x 得130x x -+= 即13x x+= 两边平方得2217x x += ∴原式7342-27.⑴如图，∵90C BAC∠+∠=︒，90BAD ABD∠+∠=︒∴C ABD∠=∠又12ABD BAE C EAC∠=∠+∠∠=∠+∠，∵BAE EAC∠=∠∴12∠=∠，∴BM BE=∴BME△为等腰三角形⑵过E作EN AC⊥于点N，∵AE平分BAC∠∴EN BE=又BM BE=∴EN BM=∵MF AC∥∴90BMF ENC∠=∠=︒，MFB C∠=∠∴MBF NEC△≌△∴BF EC=∴BE FC=21NAB CDFM9初二暑期·第10讲·尖子班·教师版。

学而思提高班之整式的加减含答案

第四讲整式的加减代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

单项式：像2a -，2πr ，213x y -，abc -，237x yz ，…，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式。

单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项。

多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

整式：单项式和多项式统称为整式整式运算合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。

板块一单项式与多项式【例1】下列说法正确的是( )A ．单项式23x -的系数是3- B ．单项式3242π2ab -的指数是7 C ．1x是单项式 D ．单项式可能不含有字母例题精讲【例2】多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式，关于字母y 的最高次数项是，关于字母x 的最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列。

【例3】已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同，求m 的值。

【例4】若A 和B 都是五次多项式，则( )A ．AB +一定是多项式 B ．A B -一定是单项式C ．A B -是次数不高于5的整式D ．A B +是次数不低于5的整式【例5】若m 、n 都是自然数，多项式222m n m n a b ++-的次数是( )A ．mB ．2nC ．2m n +D ．m 、2n 中较大的数【例6】同时都含有字母a 、b 、c ，且系数为1的7次单项式共有( )个。

A ．1B ．3C ．15D ．36板块二整式的加减【例7】(2010西城区期末考试A 卷第15题2分)若2222m a b +与3334m n a b +--是同类项，则m n += 。

学而思初一数学暑假班第9讲.不等式和不等式组.教师版

“ “ “ “ 9不等式和不等式组模块一不等式的定义和性质定义示例剖析不等式的概念：用不等号连接的式子叫不 -5 < -2 ， a + 3 > -1 + 4 ， x + 1≤ 0 ，等式．不等号包括： > ”、 < ”、 ≥ ”、 ≤ ”、 x ≥ 0 ， 3a ≠ 5a ， 3≥ 3 等“ ≠ ”．基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．若 a > b ，则 a ± c > b ± c 若 a b ，且 c > 0 ，则ac > bc 或若 a 0 ，则ac < bc 或若 a > b ，且 c < 0 ，则ac < bc 或若 a bc 或 a c a c a c a c ><<>bc bc bc bc不等式具有互逆性不等式具有传递性若 a > b ，则 b < a ；若 b < a ，则 a > b ．若 a > b ， b > c ，则 a > c ．注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵ 在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.以不等式 3 > 2 为例，在不等式 3 > 2 两边都乘同一个数 a 时，有下面三种情形：① 如果 a > 0 ，那么 3a > 2a ； ② 如果 a = 0 时，那么 3a = 2a ； ③ 如果 a < 0 时，那么 3a < 2a ．不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一第 9 讲·尖端预备班·教师版1子，所得结果仍是等式.个式子，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个正数，不两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能等号的方向不变.是０），所得结果，仍是等式．两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不在不等式两边都乘以０，不等式变为等能除以０.式.夯实基础【例1】⑴用不等式表示数量的不等关系．①a是正数②a是非负数③a不比0大④x与y的差是负数⑤a的相反数不大于1⑥q的相反数与q的一半的差不是正数⑵例：如果a>b，则2a>a+b，是根据不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；①如果a>b，则3a>3b，是根据；②如果a>b，则-a<-b，是根据；③如果a>1，则a2>a，是根据；④如果a<-1，则a2>-a，是根据．【解析】⑴①a>0；②a≥0；③a≤0；④x-y<0；⑤-a≤1；⑥-q-1q≤0；2⑵①不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；③不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；④不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．能力提升【例2】⑴设a，b，c都是实数，且满足：用a去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b去除不等式的两边，不等号方向改变；用c去乘不等式的两边，不等号要变成等号．2第9讲·尖端预备班·教师版D 2x > 5 ，3m - 4 < 0 ，- y + 3 y - 23≥0形式）→系数化为1 （化成 x > 或 x < 的形式）．则 a 、 b 、 c 的大小关系是（） A ． a > b > c B ． a > c > bC ． b > c > aD ． c > a > b ⑵ 如果 a > b ，则下列各式不成立的是（）A. a + 4 > b + 4B. 2 + 3a > 2 + 3bC. a - 6 > b - 6D.4 - 3a > 4 - 3b（北京五中期中）⑶ 若 a > b ，则下列不等式成立的是（）A ． b - a < 0B ． ac < bcC ． a > 1D ． -b < -ab（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】⑴ 根据题意可得 a > 0 、 b < 0 、 c = 0 ，所以选择 B ；⑵ D ；⑶ A. 其中 B 选项中 c 的值不确定，当 c > 0 时，ac > bc ；当 c < 0 时，ac < bc ；当 c = 0时，ac = bc . C 选项中当 b > 0 时成立，当 b ≤ 0 时不成立；选项中应为 -b > -a .【巩固】根据 a > b ，则下面哪个不等式不一定成立（）A ． a + c 2 > b + c 2B ． a - c 2 > b - c 2C ． ac 2 > bc 2D ．【解析】C ，正确应为 ac 2 ≥ bc 2 ．a b>c 2 + 1 c 2 + 1模块二一元一次不等式定义一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫作一元一次不等式.示例剖析37一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为5 3 x >6 ， 3x ≤7 等都是一元一次不等 ax b 的形式（其中 a ≠ 0 ）.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值式的标准形式-4 ，-2 ，0 ，1 ，2 都是不等式 x ≤ 2 的解，当然它的解还有许多．x ≥ 3 是 2x - 6 ≥ 0 的解集； x < 2 是 - x > -2 的解集都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 ax bb ba a第 9 讲·尖端预备班·教师版3不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集（示意图）：不等式的解集x>a 在数轴上表示的示意图a不等式的解集x<a在数轴上表示的示意图ax≥a a x≤a a夯实基础【例3】⑴下列说法中，正确的是（）A．x=2是不等式3x>-1的解B．x=2是不等式3x>-1的唯一解C．x=2不是不等式3x>-1的解D．x=2是不等式3x>-1的解集⑵利用数轴表示下面未知数的取值范围：①x>-2②x≤1.5③-1<x<2⑶求不等式-3<x≤2的所有整数解的和．⑷如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（）（北京二中期中）【解析】⑴A；⑵需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．-3-2-1(1)01-2-10(2)11.524-2-101234(3)⑶不等式-3<x≤2的所有整数解为-2、-1、0、1、2，故所有整数解的和为0；第9讲·尖端预备班·教师版6≤1．3-4≥3-1，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．⑷A.能力提升【例4】⑴不等式3x+2≥5的解集是__________．（北京中考）⑵解不等式5x-12≤2(4x-3)，并把它的解集在数轴上表示出来．-3-2-10123（北京中考）⑶解不等式2x-15x-4【解析】⑴x≥1；⑵解：去括号，得5x-12≤8x-6．移项，得5x-8x≤-6+12．合并，得-3x≤6．系数化为1，得x≥-2．不等式的解集在数轴上表示如下：-3-2-10123⑶x≥-4；【例5】⑴不等式3x-5<3+x的正整数解是．⑵解不等式x-3x-22(1+x)（人大附中期中）（北京五中期中）【解析】⑴1，2，3；⑵x≤2，正整数解1，2.【巩固】求不等式3x-2-9-2x≤x-1的非负整数解．342【解析】解不等式得x≤29，所以其非负整数解为0，1，2．12【例6】⑴当x为何值时，代数式-2x-3的值总不大于x-15的值．⑵当x取何值时，代数式5(x-1)-2(x-2)的值大于x+2的相反数．【解析】⑴根据题意，列不等式得：-2x-3≤x-15，解得：x≥4；第9讲·尖端预备班·教师版5⎪ x - 3≥ 0 和 ⎨- x < 6y < 4．（⎩ x > b ⎩ x b⎩ x < b⑵ 由题意可列不等式为： 5(x - 1) - 2( x - 2) > -( x + 2) ，解得 x > -【点评】本题要求自己根据题意列出不等式，进而求解1 4【拓展】 m 为何正整数时，关于 x 的方程 x - 2x - m 2 - x =3 2的解是非负数？【解析】解方程得 x = 6 - 2m ，根据题意：得 x ≥ 0 ，∴ 6 - 2m ≥ 0 ，解得 m ≤ 3 ．满足题意的5 5正整数 m 的值是 1，2，3．模块三一元一次不等式组定义示例剖析⎧一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．⎧ 1⎨ 2 ⎪⎩ x + 8 < 4x - 1 ⎪2 x - 6 ≥ 0⎪ ⎪1⎪ x - 5 > 0 ⎩ 3都是一元一次不等式组；⎧ x > 2⎨⎩ 不是一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：表中 a > b ）不等式⎧ x > a ⎨图示b a解集x > a（同大取大）⎧ x < a ⎨a x <b⎧ x < a ⎨⎧ x > a ⎨6第 9 讲·尖端预备班·教师版b ab ab < x < a（大小交叉中间找）无解（大大小小无解了）⎩ x - 1≤ 0 的解集是（2 B. x < - 2C. x ≤1D. - < x ≤1⑵ 将不等式 ⎨ 1⎪⎩ 2 x ≤ 8 - 3 的解集在数轴上表示出来，正确的是（【例8】解不等式组：⑴ ⎨ 2x + 1⑵ ⎨1 ⎪⎩2 x - 1≤ 7 - ⎩2 < x ≤ 4 ．夯实基础⎧2x > -1【例7】 ⑴ 不等式组 ⎨）.A. x > - 1112【解析】⑴ D ；⑵ C ．⎧ x + 8 < 4x - 1 ⎪ 2 x0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5A B0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5C D）（北京五中期中）能力提升⎧2x < 6 ⎪ ⎪ 3 < x + 1 ⎧ 5x - 2 > 3(x + 1) ⎪ 32 x（人大附中期中）【解析】⑴ -2 < x < 3 ；⑵ 5第 9 讲·尖端预备班·教师版7则：⎨-1≤y≤2；⎪-1≤z≤3【例10】已知x满足不等式3x-1探索创新【例9】已知(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)=36，求x+2y+3z的最大值和最小值．【解析】根据绝对值的几何意义的相关结论，可知：x+1+x-2的最小值为3（当-1≤x≤2时取得最小值）；y-2+y+1的最小值为3（当-1≤y≤2时取得最小值）；z-3+z+1的最小值为4（当-1≤z≤3时取得最小值）；所以(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)≥3⨯3⨯4=36；而根据题意，(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)=36，所以x+1+x-2、y-2+y+1及z-3+z+1均取最小值，⎧-1≤x≤2⎪⎩于是x+2y+3z≤2+2⨯2+3⨯3=15，x+2y+3z≥-1+2⨯(-1)+3⨯(-1)=-6，因此x+2y+3z的最大值为15，最小值为-6．75+2x-≥x-233，并且x-3-x+2的最大值为p，最小值为q，求pq之值．【解析】解不等式3x-1-7≥x-5+2x，得x≥1；233根据绝对值的相关知识，可知当x≥1时，x-3-x+2最大值为-1（当x=1时取得），最小值为-5（当x≥3时取得），所以p=-1，q=-5，pq=(-1)⨯(-5)=58第9讲·尖端预备班·教师版2与3的差是负数（A．12y-3>0B．(y-3)<02y-3<0D．3-实战演练知识模块一不等式的定义和性质课后演练【演练1】⑴利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．①若a<b，则2a_______2b；②若a>b，则-4a______-4b；③若a>b，c>0，则ac______bc；④若x<0，y>0，z<0，则(x-y)z_______0．⑵如果b<a<0，则下列哪个不等式是正确的（）A．b2<ab B．a2>ab C．2b>2a D．-2b>-2a⑶用不等式表示：①y的112）C．112y<0（北京师范大学附属实验中学期中）②x与5的和的30%不大于-2．【解析】⑴①<；②<；③>；④>；⑵D；⑶①C；②30%(x+5)≤-2．知识模块二一元一次不等式课后演练【演练2】⑴不等式x-3<0的解集是．⑵使不等式x-5>4x-1成立的值中最大的整数是（）A．0B．-2C．-1D．2（北京五中期中）⑶不等式5x-2≤8的所有正整数解的和是_______.【解析】⑴x<3；⑵B；⑶3；【演练3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．⑴3-7x<12-5(x-1)⑵0.5x+2(1-0.3x)>0.4x-0.6第9讲·尖端预备班·教师版9⑵ x < ，图略．【演练4】 ⑴ 不等式组 ⎨的解集是．x + 1≥ 0⑵ 解不等式组 ⎨ 5x + 1 2x - 1 ，并把解集在数轴上表示出来． ⎪⎩ 2 ⑴ ⎨5x + 3 ⎪⎩ 2 ⑵ 不等式组 ⎨ 3 + x 的整数解是．⎪⎩ 2 【解析】⑴ x > -7 ，图略；265知识模块三一元一次不等式组课后演练⎧ x - 3 < 0 ⎩⎧2 - x > 0 ⎪ + 1≥3【解析】⑴ -1≤ x < 3 ；⑵ -1≤ x < 2 ，图略．【演练5】解下列不等式组：⎧3x - 2 ≤ x + 6 ， ⎪ > x.（北京市西城区期末）⎧2x - 7 < 5 - 2x ⎪ x + 1 >【解析】⑴ -1 < x ≤ 4 ；⑵ 不等式组的解集为：1 < x < 3 ，整数解为 2 .【演练6】已知 x + 2 + 1 - x = 9 - y - 5 - 1 + y ，求 x + y 的最大值与最小值．【解析】等式可化为： ( x + 2 + x - 1 )+ ( y - 5 + y + 1 ) = 9 ；由绝对的几何意义知：当 -2 ≤ x ≤ 1且 -1 ≤ y ≤ 5 时，上式成立，所以当 x = 1 ， y = 5 时， x + y 取最大值 6；当 x = -2 ， y = -1 时， x + y 取最小值 -3 ．10第 9 讲·尖端预备班·教师版。

开学综合验收卷-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程(北师大版)(解析版)

开学综合验收卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．用配方法解一元二次方程2870x x -+=，方程可变形为（） A ．2(4)9x += B ．C ．2(8)16x -=D ．2(8)57x +=【答案】B 【详解】解：x 2-8x +7=0， x 2-8x =-7， x 2-8x +16=-7+16，（x -4）2=9．故选：B ．2．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（） A ．59B ．49C ．45D ．1【答案】B 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的49，则它最终停留在黑色方砖上的概率是49；故选B ．3．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为2200m 的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m ，另外三面用49m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边AB 的长为m x ，则下列所列方程正确的是（）A ．(491)200x x +-=B ．(492)200x x -=C ．D ．(4912)200x x --=【答案】C【详解】解：已知设试验田垂直于墙的一边AB 的长为xm ，BC=49-2x+1 ，所以 S 矩形ABCD =AB×BC ，所以方程为： x(49+1-2x)=200 ，故选 C.4．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D 【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ; 又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ⊥AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ⊥EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D5．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况：移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 3691335 3203 6335 8073 12628 成活的频率m n0.9230.8900.9150.9050.8970.902根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（）A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95【答案】C【详解】由表格估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9故选：CAB CD EF，那么下列结论正确的是（）6．如图，已知////A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D错误；故选：A．7．根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（）A．B．C．D．【答案】B盈盈和同学们做“抛掷质地均匀的硬币”试验，获得的数据如下表：若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．100 B．500 C．800 D．1000【答案】D【详解】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近2000×0.5＝1000次，故选：D ．9．求证：有三个角是直角的四边形是矩形已知：如图，求证：四边形ABCD 是矩形证明：∵∴，180C B ∠+∠=︒ ∴//AD BC ，//AB DC （①） ∵90B ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形（②）在证明过程中，依据①、②分别表示（）A ．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示对角线相等的平行四边形是矩形B ．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．①表示同旁内角互补，两直线平行，②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D ．①表示同旁内角互补，两直线平行：②表示对角线相等的平行四边形是矩形【答案】C 【详解】①根据，180C B ∠+∠=︒，推导出直线平行，利用了同旁内角互补，两直线平行；②根据平行四边形和直角推导出矩形，利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形的定理；故选：C ．10．在平面直角坐标系中，已知点()4,2A和点，以O 为位似中心，相似比为12，将ABO 缩小得到11A BO ，则点A 的对应点1A 的坐标为（） A ．B ．或C ．D ．或【答案】B 【详解】解：如图点A 为（4，2），B （5,0），以O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，得到△A 1B 1O ，或△A 1′B 1′O 则点A 的对应点A 1的坐标为（4×12，2×12）即（2,1），则点A 的对应点A 1′的坐标为（﹣4×12，﹣2×12）即（-2，-1），点A 的对应点1A 的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1），故选择：B ．11．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k 的值可以是（） A ．12-B ．14-C ．12D ．13-【答案】C 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴0k ≠且240b ac ->，即()222140k k ⎡⎤⎣⎦-+->，解得14k >-且0k ≠．故选项C 正确．12．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边16cm DE =，12cm EF =，测得眼睛D 离地面的高度为1.8m ，他与“步云图”的水平距离CD 为104m ，则“步云图”的高度AB 是（）m ． A ．75.5 B ．77.1C ．79.8D ．82.5【答案】C 【详解】在DEF ∆和DBC △中，， ∴DEF DBC ∆∽， ∴，即，解得：78BC =， ∵ 1.8m AC =， ∴，即“步云图”的高度为79.8m ．故选：C ．二、填空题（每小题3分，共18分）13．方程2x 2x m 0-+=有一根为1，则m =__________．【答案】1 【详解】解：∵方程2x 2x m 0-+=有一根为1， ∴将x=1代入得1-2+m=0，解得m=1，故答案为：1．14．若关于x 的一元二次方程x 2-4x -k =0有两个不相等的实数根，则k 的值可以为__．（写出一个即可）【答案】k =1（答案不唯一，只需要k ＞-4即可）【详解】根据题意可知2(4)41()0k ∆=--⨯⨯->，解得：4k >-．故答案可为k =1（答案不唯一，只需要k ＞-4即可）15．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，他们只有颜色上的区别，其中有3个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是________．【答案】15 【详解】解：由题意，得：3n＝0.2，解得：n ＝15．故答案为15．16．如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，对角线AC 与BD 相交于点O ，且.从图中找出2对相似三角形，它们是__________________；____________________.【答案】AEB ADC ∆∆∽ ADE ACB ∆∆∽【解析】【详解】∵∠BAC ＝∠BDC ，而∠1＝∠2， ∴∠ABD ＝∠ACD ， ∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠3＝∠DAE ＋∠3，即∠CAD ＝∠BAE ， ∴△AEB ∽△ADC ， ∴， ∴，而∠BAC ＝∠DAE ， ∴△ADE ～△ACB ．故答案为△AEB ∽△ADC ；△ADE ～△ACB ．17．四边形ABCD 和四边形A B C D ''''是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与点、B '、C '、D 对应，已知3BC =，2.4CD =，2B C ''=，那么的长是______．【答案】1.6 【详解】四边形ABCD 和四边形A B C D ''''是相似图形，且点,,,A B C D 分别与点,,,A B C D ''''对应，，又3BC =， 2.4CD =，2B C ''=，，解得 1.6C D ''=，故答案为：1.6．18．在矩形ABCD 中，3AB =，ABC ∠的平分线BE 交AD 所在的直线于点E ，若2DE =，则AD 的长为__________．【答案】5或1 【详解】解：如图1，当点E 在AD 上时，四边形ABCD 是矩形，，//AD BC ，，BE 平分ABC ∠，，，，2DE =，；如图2，当点E 在AD 的延长线上时，同理3AE =，．故答案为：5或1．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分） 19．解方程：（1）2440x x -+=；（2）．【答案】（1）122x x ==；（2）13x =-，22x =．【详解】解：（1）2440x x -+=， ∴2(2)0x -=，122x x ==；（2），∴260x x +-=， ∴(3)(2)0x x +-=，13x ∴=-，22x =．20．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形ABEF （点E 在BC 上，点F 在AD 上）．作法：①以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ； ②以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交BC 于点E ； ③连接EF ．所以四边形ABEF 为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：AF AB =，BE AB =，．在ABCD 中，AD BC ∥，即AFBE ．四边形ABEF 为平行四边形．（）（填推理的依据）AF AB =，四边形ABEF 为菱形．（）（填推理的依据）【答案】（1）见解析；（2）AF=BE ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】（1）解：如图所示，菱形ABEF 即为所求．（2）证明：∵AF=AB ，BE=AB ， ∴AF=BE ，在▱ABCD 中，AD ∥BC ，即AF ∥BE ．∴四边形ABEF 为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依据） ∵AF=AB ，∴四边形ABEF 为菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：AF=BE ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 21．2020年初新冠疫情袭击全国，永州市教育局出台《永州市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，我县率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生15000人次，第三批公益课受益学生21600人次．（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少人次？【答案】（1）这个增长率为20％；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到25920人次．【详解】解：（1）设增长率为x ，由题意得：()2150********x +=，解得：120.2, 2.2x x ==-（不符合题意，舍去）答：这个增长率为20％（2）由（1）可得增长率为20％，∴第四批受益学生人数为()2160012025920⨯+=％（人）；答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到25920人次．22．某班组织学生进行交通安全知识竞赛活动，竞赛成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，根据竞赛成绩分别制作了条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）求该班的学生总人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）求出扇形统计图中C 等级所对应的扇形圆心角度数；（3）已知A 等的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中抽取两名同学参加校级竞赛，用树状图或列表法求出被抽到的两名学生恰好是一名男生，一名女生的概率．【答案】（1）50人，见解析；（2）108°；（3）35【详解】（1）总人数：510%50÷=人；C ：505201015---=，如图．（2）1550360108÷⨯=︒︒．（3）树状图如下总共有20种情况，其中一男一女的情况有12种 ∴123205P ==． 23．如图所示，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，cosA ＝3︰5，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CA 向点A 以1cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发，过多少秒时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似？【答案】当运动时间为s 或s 时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似【详解】解：∵∠C ＝90°，cosA ＝3︰5， ∴4sin 5A ∠=， ∵BC ＝8cm ， ∴5810sin 4BC AB cm A ==⨯=∠，， ∵点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CA 向点A 以1cm /s 的速度移动，设运动时间为t 秒，则有：2cm,cm BP t CQ t ==，∴()82PC t cm =-，①当PQC A ∠=∠时，则PQC BAC ∽， ∴，即8268t t -=，解得：125t =， ②当PQC B ∠=∠时，则PQC ABC ∽，∴，即82 86t t-=，解得：3211t=；综上所述：当运动时间为s或s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．24．如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16【详解】（1）证明：∵四边形APCD为正方形∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP和△CEP中，∴△AEP≌△CEP(SAS)（2）CF⊥AB．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN ∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB 又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16。

学而思2022暑假班考试卷九年级数学

学而思2022暑假班考试卷九年级数学这份学童暑期班考试卷，其实也是为了让孩子们更好的掌握教材内容及学习方法，所以这份试题还是比较全面的，内容包括：考试题型（单选题、填空题、计算题);知识点与例题；考察学生理解与掌握、运用知识与方法、分析问题与解决问题能力；多项式问题、集合、统计、概率与统计图、立体几何等。

题型特点：这份试卷有四个题型，第一个是“函数”这一知识点；第二个是“面积”；第三个是“平面几何”这一知识点；第四个是“分类讨论”这一知识点。

考试题目内容有简单、中档、中等难度、难题四种类型。

1、基础知识这份试卷考的知识内容非常全面，而且都是课本上的基础知识点。

所以学习这份试卷的时候一定要将课本上的基础知识掌握的非常牢固，并且要进行理解和巩固。

比如这次学而思数学9年级暑假班考试卷的“面积”和“面积计算”一课是非常全面、扎实的内容，而且这两个知识是九年制义务教育和小学阶段学习时间最长的。

因此在学习这两个知识的时候，一定要理解这两个知识之间的关系以及一些解题技巧。

学而思九年级暑假班考试卷中就涉及到“长方形面积”和“正方形面积”这两个知识点了，在解题过程中一定要认真、仔细审题、独立思考、正确解答以及不做任何的选择、不画符号。

例如题1:长方形面积表示方法：画长方形面积公式；求解长方形面积公式答案:5×5=100 （米）。

这道题可能有些同学已经会做了。

所以大家在平常在学习过程中要注意多动手做题、多思考，多积累解题技巧。

这道题比较容易得分；只要掌握了这些基础知识就会比较容易得高分了。

2、知识运用这份试卷中，有三道题考察学生对所学知识的运用，包括：(1)考查基本概念和基本性质：求 x的取值范围以及是否满足 x=0, y=1的判定条件。

(2)考查知识间的联系，尤其是通过观察生活案例或者根据实际计算可以得到答案。

(3)考察学生理解和掌握重要知识点：对基本概念和常用运算进行理解的能力以及灵活运用能力。

(4)考察题目新颖性和多样性：多个类型题中比较多、比较难、难度中等和比较简单之间的差别，但对于学生来说是比较容易学会知识点运用和掌握方法的。

学而思初三数学暑假班第2讲.二次函数的基本解析式与图象变换.提高班.教师版

1初三暑期·第2讲·提高班·教师版大转变漫画释义满分晋级2函数12级二次函数图象及基本性质函数13级二次函数的基本解析式与图象变换函数14级二次函数实际应用暑期班第一讲暑期班第二讲暑期班第三讲二次函数的基本解析式与图象变换中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第2讲·提高班·教师版3初三暑期·第2讲·提高班·教师版三种形式解析式一般式 2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）顶点式 2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）两根式12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）【例1】 ⑴ 把函数22y x x =-化为2()y a x h k =-+的形式为．（房山期末）⑵将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为．（2013昌平期末）⑶ 把函数2243y x x =-++配方成()2y a x h k =-+的形式，得，当x =时，函数y 有最大值．⑷ 把函数245y x x =+-写成12()()y a x x x x =--的形式为，当x = 时，0y =．【解析】 ⑴()211y x =--；⑵2(2)5y x =--；⑶()2215y x =--+，1，5；⑷()()51y x x =+-，1或5-．通过此例题让学生熟练掌握二次函数三种解析式之间的转化．模块一二次函数的解析式知识导航夯实基础4初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 已知二次函数过点()02A -，，()10B -，，()24C ，．求此二次函数的解析式．⑵ 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，其顶点坐标为M ()14-，，求二次函数的解析式．（2013丰台一模）⑶ 已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()04 ，-A 、()0 1，B ，与y 轴交于点()3 0，C ，求抛物线的解析式．（2013朝阳期末）⑷ 当4-=x 时，二次函数的最大值为3，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6，求二次函数的解析式. （2013昌平期末）【解析】 ⑴ 二次函数的图象经过三点，可设其解析式为一般式．设二次函数的解析式为：2y ax bx c =++，∵函数图象经过()02A -，，()10B -，，()24C ，三点， ∴42420a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪-+=⎩，解此方程组得：53132a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴二次函数的解析式为：251233y x x =--．⑵ ∵顶点坐标是()14-，因此，设抛物线的解析式为：2(1)4y a x =-- 由2y x bx c =++可知1=a ；∴抛物线的解析式为：223y x x =--．⑶ 依题意，设抛物线的解析式为()()14-+=x x a y ．∵抛物线与y 轴交于点()30,C ， ∴()()10403-+=a ．解得43-=a ． ∴抛物线的解析式为()()1443-+-=x x y ，即349432+--=x x y ．能力提升5初三暑期·第2讲·提高班·教师版⑷ ∵抛物线的顶点坐标为()34,C -， ∴抛物线的对称轴为直线4x =-.∵抛物线在x 轴上截得的线段AB 的长为6， ∴()01,A -，()07,B -．设抛物线解析式为()243y a x =++，∴()20143a =-++. 解得，39a =-. ∴ 二次函数的解析式为 ()2343y x =-++.【点评】 1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3．已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式．一、二次函数图象的平移二次函数图象的平移平移规律：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象向上（或下）平移k ()0k >个单位得到2y ax bx c k =+++（或2y ax bx c k =++-）；二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象向左（或右）平移k ()0k >个单位得到()()2y a x k b x k c =++++（或()()2y a x k b x k c =-+-+）.简称“左加右减，上加下减”．夯实基础知识导航模块二二次函数的图象变换6初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例3】 ⑴ 将抛物线22x y =的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A ．()3222--=x yB ．()3222+-=x y C ．()3222-+=x y D ．()3222++=x y（2012东城期中）⑵ 将抛物线25x y =经过怎样的平移可得到抛物线()5252+-=x y （）A ．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位（2013海淀期末）⑶ 在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6（2012陕西省）⑶ 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y 22-=，则抛物线C 0的顶点坐标；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为．（2012邵阳）【解析】 ⑴ B ；⑵ C ；⑶B ；⑷()11-,，()n n x n x y 442422+++-=【例4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ． ⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移能力提升xyC 2C 1QAPO xyO…C nC 1C 07初三暑期·第2讲·提高班·教师版54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．（2012广安）【解析】 ⑴ ()06,A -；⑵ 221x y =． ⑶ 易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-29 3，Q ，则27962121=⋅⋅=⋅=PQ AO S APOQ 菱形；抛物线的对称性和平移的性质可知22721===∆APOQ POQ S S S 菱形阴影部分．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称1．关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2．关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3．关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4．关于顶点对称 ※学生版不给 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5．关于点()m n ，对称 ※学生版不给()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-．知识导航xyC 2C 1QAPO8初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例5】 ⑴ 抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称，则抛物线2C 的解析式为（）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =-- （东城期末）⑵ 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++(2013年山东宁阳一模)⑶ 将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．21y x =--D ．21y x =-（密云期末）【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ C ．【例6】如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1． ⑴ 求a 的值；⑵ 如图，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点O 成中心对称时，求抛物线3C 的解析式．（丰台期末）【解析】 ⑴ ∵点B 是抛物线与x 轴的交点，横坐标是1，∴点B 的坐标为()10，．∴当1x =时，20(12)5a =+-．∴59a =．⑵ 设抛物线3C 解析式为2()y a x h k '=-+，∵抛物线2C 与1C 关于x 轴对称，且3C 为2C 向右平移得到，∴59a '=-．∵点P 、M 关于点O 对称，且点P 的坐标为()25--，，能力提升夯实基础yxC 3C 2C 1MPO B A9初三暑期·第2讲·提高班·教师版∴点M 的坐标为()25，． ∴抛物线3C 的解析式为22552025(2)59999y x x x =--+=-++．二次函数2y x bx c =++的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为221y x x =-+，则b 与c 分别等于．相当于将122+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到2y x bx c =++【解析】6-，6．把二次函数()2321+-=x y 的图象经过翻折、平移得到二次函数()2321-=x y 的图象，下列对此过程描述正确的是（）A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位（通州期末）弄错变换规律．【解析】D ．建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．第02讲精讲：二次函数平移问题探究【变式1】342+-=x x y 向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得到的函数图象解析式为 .【解析】322+-=x x y .【变式2】怎样平移1C ：342+-=x x y 的图象，可以得到2C ：322+-=x x y ？【解析】1C 的解析式为()123422--=+-=x x x y∴1C 的顶点坐标为()1,2-2C 的解析式为()213222+-=+-=x x x y10初三暑期·第2讲·提高班·教师版∴2C 的顶点坐标为()2,1将二次函数342+-=x x y 图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，就可得到二次函数322+-=x x y 的图象.【变式3】已知：抛物线322+-=x x y 与y 轴交于点A ，顶点是点P ，过点P 作x PB ⊥轴于点B ．平移该抛物线，使其经过B A 、两点．求平移后抛物线的解析式及其与x 轴另一交点C 的坐标；【解析】∵()213222+-=+-=x x x y ；∴()2,1P ，()0,1B ，()3,0A ；设平移后的抛物线解析式为32++=bx x y ；将()0,1B 代入可得4-=b ；∴平移后的抛物线解析式为342+-=x x y .【变式4】抛物线342+-=x x y 的顶点为Q ，作x QE ⊥轴交抛物线322+-=x x y 于点E ，如图所示，求阴影部分面积.【解析】连接PE ，易得()32142=⨯+==BPEQ S S 梯形阴影部分.【变式5】将变式4中的抛物线342+-=x x y 向右平移个单位后，所得的抛物线恰好经过点．【解析】13-【变式6】在变式4的基础上，设点D 是直线OP 上的一个点，如果AOP CDP ∠=∠，求出点D 的坐标．【解析】易得直线OP 解析式为x y 2=；∵D 是直线OP 上的一个点，且AOP CDP ∠=∠，xyQE OAPCBxyOAPCB11初三暑期·第2讲·提高班·教师版① 作x CD ⊥1轴，交直线于OP 点1D ； ∴1CD PB ∥，3=OC ，∴点1D 的横坐标为3，代入x y 2=可得 ∴点()6,31D ；② 由①可得612==CD CD ，设()x x D 2,2；即6)02()3(22=-+-x x∴31=x ，592-=x ；∴点()6,31D 、⎪⎭⎫⎝⎛--518,592D . 【变式7】抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．若a 、b 、c 满足了ac b 22=，探究四边形OABC 的形状，并说明理由．（2009年大连、2012年海淀一模）【解析】抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ，∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）．根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F′的解析式为c x b ax y ++='2．xyBOAPCDxy2D 1OAPCB12初三暑期·第2讲·提高班·教师版又∵抛物线F′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022． ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=． ∴b :b ′=32． ∴抛物线F′为c bx ax y ++=232．令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）．设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x b y 2-=．∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x bc bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x b y 2-=，得c a aca b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ）， ∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 是矩形．13初三暑期·第2讲·提高班·教师版训练1. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过()04B ，，()59C ，．求出抛物线的解析式．（延庆一模）【解析】 ∵抛物线的对称轴为2x =，设抛物线的解析式为2(2)y a x t =-+，根据题意得224(02)9(52)a t a t⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩解得：10a t =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为244y x x =-+．训练2. 二次函数22y x mx m =-+-的图象的顶点到x 轴的距离为2516，求二次函数解析式．【解析】二次函数的顶点为2224m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2252416m m --=，即2252416m m -+=或2252416m m -+=-，2252416m m -+=解得112m =，272m =；2252416m m -+=-（无解）故二次函数的解析式为21322y x x =--或27322y x x =-+．训练3. 如图，抛物线②是由抛物线①平移后得到的．⑴ 分别求出抛物线①和抛物线②的解析式；⑵抛物线①的对称轴与抛物线②交于点A ，求点A 的坐标．（朝阳期末）【解析】 ⑴由图可知，抛物线①经过点()20，，且顶点是()11-，．可设抛物线①的解析式为 ()211y a x =--，∴()22110a --=，解得 1a =． ∴抛物线①的解析式为 ()211y x =--．∵抛物线②是由抛物线①平移后得到的，且顶点为坐标原点，∴抛物线②的解析式为 2y x =．⑵∵抛物线①的对称轴1x =，∴当1x =时，1y =． ∴点A 的坐标为()11A ，．训练4. 已知二次函数245y x x =-+，求二次函数：⑴ 关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵ 关思维拓展训练(选讲)A ②①y x321-1321O -114初三暑期·第2讲·提高班·教师版于y 轴对称的二次函数解析式；⑶ 关于原点对称的二次函数解析式．【解析】 ⑴二次函数解析式转化为顶点式为()221y x =-+，顶点坐标为()21，，关于x 轴对称后顶点坐标为()21-，，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是()221y x =---，即245y x x =-+-；⑵关于y 轴对称后顶点坐标为()21-，，开口大小和方向不变，则对称后的解析式是()221y x =++，即245y x x =++；⑶关于原点对称后顶点坐标为()21--，，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是()221y x =-+-，即245y x x =---．知识模块一二次函数的解析式课后演练【演练1】已知二次函数2y ax bx c =++中的满足下表：x … 2- 1- 0 1 2 … y … 4 0 2- 2- 0 …【解析】依题意，设抛物线的解析式为()()12y a x x =+-．∵抛物线与y 轴交于点()02C -，， ∴()()20102a -=+-．解得 1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--．【演练2】根据条件求二次函数的解析式.⑴ 抛物线过()10-，，()30，，()15-，三点； ⑵ 抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是()32-，. 【解析】 ⑴ 设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，把()15-，代入解析式得54a =，所以所求抛物线的解析式为25515424y x x =--． ⑵ 设抛物线的解析式为()232y a x =--，点()10，在抛物线上，代入得12a =，所以所求抛物线的解析式为215322y x x =-+．实战演练15初三暑期·第2讲·提高班·教师版【演练3】如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OB OC OA ==，求抛物线的解析式．（崇文一模）【解析】 ∵抛物线23y ax bx =+-与y 轴交点()03C -，，且3OB OC OA ==．∴()10A -，，()30B ，．代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--．知识模块二二次函数的图象变换课后演练【演练4】 ⑴ 将抛物线22y x =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）A ．225y x =+B ．225y x =-C ．22(5)y x =+D ．22(5)y x =-（昌平期末）⑵ 已知函数22y x =的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线先后向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（）． A ．22(2)2y x =++ B ．22(2)2y x =+- C ．22(2)2y x =-- D ．22(2)2y x =-+（宣武期末）⑶ 把二次函数22(3)1y x =--+的图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位，就可得到函数的图象．（大兴期末）【解析】 ⑴ A ．⑵ A ．⑶ 22(3)1y x =-+-．【演练5】已知二次函数221y x x =--，求：⑴ 与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为； ⑵ 与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为； ⑶ 与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为．【解析】 ⑴ 221y x x =-++．⑵ 221y x x =+-．⑶ 221y x x =--+．课后测16初三暑期·第2讲·提高班·教师版测试1. 抛物线216y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()20A ，，与y 轴交于点()02C ，．求抛物线的解析式．（房山期末）【解析】 ∵抛物线216y x bx c =++过点()20A ，和()02C ，，则2212206c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得 432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴所求抛物线的解析式为214263y x x =-+．测试2. 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是()12-，，求这个二次函数的解析式．（大兴期末）【解析】 ∵顶点坐标是()12-，∴设这个二次函数的解析式为2(1)2y a x =-- ∵二次函数的图象过坐标原点， ∴20(01)2a =-- ，2a =∴这个二次函数的解析式是22(1)2y x =--，即224y x x =-．测试3. 把抛物线()21y x =-沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点()30Q ，，求平移后的抛物线的解析式．【解析】设平移后所得抛物线的解析式为()21y x k =-+，把()30Q ，代入得 40k +=，∴4k =-．∴平移后的抛物线的解析式为223y x x =--．测试4. 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C 关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．C 先关于y 轴对称，再关于x 轴对称，相当于将C 关于原点对称得到2C ，则2C 的解析式为2y ax bx c =-+-．第十七种品格：成就目标决定成就伯尼•马科斯是新泽西州一个贫穷的俄罗斯人的儿子。

学而思初二数学秋季班第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版

1初二秋季·第11讲·提高班·教师版满分晋级漫画释义三角形12级成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级勾股定理与逆定理 11特殊三角形之直角三角形2初二秋季·第11讲·提高班·教师版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定3初二秋季·第11讲·提高班·教师版【引例】如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长．【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =，在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则S △ABC ＝．【解析】 1. 直角典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC4初二秋季·第11讲·提高班·教师版2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴abc h=，代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+， ∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长．例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系5初二秋季·第11讲·提高班·教师版【解析】解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =，设BC x =，则2AB x =，那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置，若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初三数学测试卷（提高班）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.抛物线242y x x =--的顶点坐标是（）A ．()211-，B ．()27-，C ．()26-，D ．()23-，2.Rt ABC △中，90C ∠=°，13AB =，5AC =，则tan A 的值为（）A ．513B ．1213C ．512D ．1253.若如图所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（） A ． 60︒ B ． 75︒ C ． 87︒ D ． 120︒4.如图，O e 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=°，则DCF ∠等于（） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20°5. 如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =⋅．其中不能．．得出△ABC ∽△ACD 的为（） A ．① B ．② C ．③D ．④6.O e 的半径为4R =，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 分别是方程2680x x -+=的两根，则点A 到O e 的位置关系是（） A ．点A 在O e 内部 B ．点A 在O e 上 C ．点A 在O e 外部 D ．不确定7.二次函数()20y ax bx c a =++≠与y ax c =+的图象为下图中的（）Dα60°138°75°60°DCBAA．B．C．D．8.正三角形的边长是a，则其内切圆和外接圆所围成的圆环面积是（）A．2πa B．2π2aC．2π3aD．2π4a二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.抛物线()()15y x x=-+的对称轴是直线．10.如图，阴影部分甲比阴影部分乙的面积大48cm2，BC AB⊥，直径AB长40cm，则BC的长为．11.二次函数21222y x x=--的图像向右平移2个单位后，再向上平移5个单位，平移后的图像的二次函数解析式为．12.若ABC△内接于Oe，Oe半径为6cm，BC=，则A∠=度．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：2sin60tan30cos30tan45-⋅+°°°°14.二次函数20y ax bx c a=++≠中的x，y满足下表：⑵求这个二次函数的解析式.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=12CD，sin∠CBD=23，求AD的长和tan A的值．16.已知：抛物线223y x x=--+⑴用配方法把该函数化为2()y a x h k=-+的形式，并写出它的对称轴和顶点坐标；⑵画出它的图象．17.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ；（2）若CD=，AE =2，求⊙O 的半径．18.已知：如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且35AD AE =，连结DE ，若3AC =，5AB =．求证：⑴ABC AED △∽△ ⑵DE AB ⊥四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.已知二次函数2245y x x =-+，⑴将二次函数的解析式化为2()y a x h k =-+的形式； ⑵将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，直接写出平移后的解析式和平移后的顶点坐标．20.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.（1）B 处距离灯塔P 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．21.已知：二次函数的表达式为x x y 842+-=． ⑴求图象与x 轴的交点坐标； ⑵若点A （－1，y 1）、B （21，y 2）都在该函数图象上，试比较y 1与 y 2的大小． 22.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥AB 交⊙O 于点D ，交BC 于点E ,点F 在DA 的延长线上，且∠ABF ＝∠C ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝4，cos ∠ABF =54，求BC 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题EDCBA8分） 23.如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线1C 的顶点为()14A --，，且过点()30B -，⑴写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点M 的坐标； ⑵将抛物线1C 向右平移2个单位得2C 抛物线，求抛物线2C 的解析式；⑶直接写出阴影部分的面积S ．24.某电器商场将进价为2000元的彩电以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天可多售出4台．⑴假设每台彩电降价x 元，商场每天销售这种彩电的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） ⑵每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？25.如图，在⊙O 中，弦AE ⊥弦 BC 于D ，BC =6，AD =7，∠BAC =45°. ⑴求⊙O 的半径；⑵求DE 的长.参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）备注：多种答案题目教师酌情给分.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.（八中期中）解：原式21=+⎝⎭--------------------------------------------- 3分 31142=-+ -------------------------------------- 4分 15144=+= ------------------------------------------------------ 5分 14.（陈经纶中学期中）⑴m 的值为0 --------------------------------------------- 1分 ⑵∵()10-，，()30，在抛物线上，∴改设抛物线解析式为：()()()130y a x x a =+-≠- ------------------- 2分把()23-，代入，得 ()()32123a -=+-1a = --------------------------------------------- 4分 ∴抛物线解析式为()()13y x x =+-即为223y x x =-- --------------------------------------------- 5分 15.（西城期末）解：如图1.在Rt △DBC 中，∠C =90°，sin ∠CBD =23，DB =6， ∴2sin 643CD DB CBD =⋅∠=⨯=. ………… 1分∴ AD =12CD =1422⨯=. ……………………2分AD BC图1∵CB = .............................................................. 3分 AC = AD +CD =2+4=6，.......................................................................................... 4分在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴tan A=CB AC ==. ...................................................................................... 5分16.（文汇期中）解：⑴∵223y x x =--+()22113x x =-++-+()2113x =-+++∴()214y x =-++∴对称轴为1x =-，顶点坐标为()14-， ……3分17.（西城期末）（1）证明：如图2. ∵OC =OB ，∴∠BCO=∠B . …………………………………………………………1分 ∵∠B =∠D ，∴∠BCO =∠D . …………………………………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ， ∴CE =12CD=12⨯= ………… 3分在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，设⊙O 的半径为r ，则OC =r ，OE =OA -AE =r -2， ∴222(2)r r =+-. ………………… 4分解得3r =.∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 18.（实验期中）解：⑴证明：∵3AC =，5AB =∴35AC AD ABAE== 又∵EAD BAC ∠=∠∴ABC AED △∽△证毕 …………………………….3分 ⑵证明：∵ABC AED △∽△AD 与AC 为对应边，AE 与AB 为对应边 ∴90ADE C ∠=∠=°∴DE AB ⊥，证毕． …………………………….5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）x +319. （八十期中）解：⑴2245y x x =-+，()2225y x x =-+()2213y x =-+ …………………………….3分⑵平移后，()2232y x =-+ 221220y x x =-+顶点坐标为()32， …………………………….5分 20.（西城期末）解：（1）作PC ⊥AB 于C .（如图4）在Rt △P AC 中，∠PCA =90°，∠CP A =90°-45°=45°.∴cos 45100PC PA =⋅==o ................... 2分在Rt △PCB 中，∠PCB =90°，∠PBC =30°.∴2PB PC ==答：B 处距离灯塔P有. ....................... 3分（2）海轮若到达B 处没有触礁的危险. ........................... 4分理由如下：∵200OB OP PB =-=-而150，∴200200150->-.∴50OB >. .................................................................................................... 5分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险. 21.（丰台期中）解：⑴令0=y ，0842=+-x x ，∴ 01=x ，22=x ．∴抛物线与x 轴交点坐标为（0，0），（2，0）．-------------------------------------- 3分⑵∵a =－4＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴1=x 左侧，y 随x 增大而增大．∵1211<<-，∴ 12y y >． ------------------------------------------------------- 5分注：其它解法，只要正确均给分．21．（丰台期末）证明：（1）如图，联结BD∵ AD ⊥AB∴ DB 是⊙O 的直径 ---1分 ︒=∠+∠+∠9021D∵∠D =∠C ，∠ABF =∠C∴∠D=∠ABF ---2分 ∴︒=∠+∠+∠9021ABF即OB ⊥BF∴ BF 是⊙O 的切线 ---3分（2）联结ＯA 交BC 于点G∵AC =AB∴弧AC =弧AB∴∠D =∠2=∠ABF ，OA ⊥BC,BG =CG∴54cos 2cos cos =∠=∠=∠ABF D在Rt △ABD 中，∠DAB =90°，∴5cos ==DADBD ， ∴322=-=AD BD AB ------4分在Rt △ABG 中，∠AGB =90°∴5122cos =∠⋅=AB BG ------5分∴5242==BG BC ------ 6分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 22.（陈经纶中学期中）⑴∵抛物线1C 顶点为()14A --， ∴1x =-为其对称轴又∵M 与B 关于1x =-对称∴()10M ，∵()14A --，为1C 顶点设抛物线1C 为()()2140y a x a =+-≠ 把()10M ，代入得 044a =- 1a =∴抛物线()21:14C y x =+- ---------------------------------------- 3分⑵∵抛物线1C 为()214y x =+- 1C 向右平移2个单位得到2C∴抛物线2C 解析式为： ()2124y x =+--即()214y x =-- ---------------------------------------- 5分 ⑶∵抛物线1C 向右平移2个单位得到2C 又∵()14A --，，()30B -， ∴()14A '-，，()10B '-，∴()1104B AA M S S C ''==--⨯--矩形248=⨯=8S =阴影 ---------------------------------------- 7分23. （大兴期中）解：⑴根据题意，得()240020008450x y x ⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭，即2224320025y x x =-++．…………………………………………………3分⑵对于2224320025y x x =-++，当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，……………………………………………… 5分()150240020001508425020500050y ⎛⎫=--⨯+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值．所以，每台彩电降价150元时，商场每天销售这种彩电的利润最大，最大利润是5000元．…………………………………………………………………………7分 24.（海淀期中）⑴解：连结OB ，OC .∵2,45BOC BAC BAC ∠=∠∠=︒,∴90BOC ∠=︒……………….…………………………….1分在Rt △BOC 中,有222OB OC BC +=,且OC =OB . ∴222OC BC =. ∵BC =6,∴OC =………………….…………………………….3分即⊙O的半径为⑵解：过O 作OM AE ⊥于M ， ON BC ⊥于N ，可得AM =ME ，132ON BC ==, …………………………….5分易知四边形OMDN 是矩形. 得 MD =ON =3 . ∴ AM =AD MD -=7-3=4=ME . ∴431DE ME MD =-=-=. ……………………….8分。