学而思初三数学暑假班第4讲.相似三角形的性质与判定.提高班.教师版

黄金比例？？漫画释义满分晋级4相似三角形的 性质与判定三角形11级 特殊三角形 之直角三角形三角形12级 相似三角形的 性质与判定 三角形13级 相似三角形的 简单模型秋季班 第十二讲暑期班 第四讲暑期班 第五讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。

年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网一、比例的性质比例的性质 示例剖析（1）基本性质：(0)a cad bc bd b d =⇔=≠3223a ba b =⇔= （2）反比性质：(0)a c b dabcd b d a c =⇔=≠()23023a b ab a b =⇔=≠ （3）更比性质：a c a b b d c d =⇔=、(0)d cabcd b a =≠2233a b a b =⇔=或()302b ab a =≠※（4）合比性质：(0)a c a b c dbd b d b d ++=⇔=≠22555a a b b b ++=⇔=()0b ≠ （5）分比性质：(0)a c a b c dbd b d b d --=⇔=≠44333a a b b b --=⇔=()0b ≠ （6）合分比性质：()a c a b c d c d a b b d a b c d++=⇔=≠≠-- 443343a ab b a b ++=⇔=--()0,0b a b ≠-≠ ※（7）等比性质：312123k ka a a ab b b b ====121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ （其中k 为正整数，且1230k b b b b ++++≠）①12345123451a b c d e a b c d e a ++++====⇒=++++ ②345a b c==，当0a b c ++≠时 345345a b c a b c++===++ 二、成比例线段及相关概念概 念1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．2．成比例线段：如果线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a ，b ，c ，d 叫模块一 成比例线段知识导航做成比例线段，记作a cb d =或ab c d =∶∶． 3．比例中项：若a bb c=，则称b 是a ，c 的比例中项．4．黄金分割点：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），若AC BCAB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即512AC AB -=．CBA注意：线段的黄金分割点有两个．三、平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB ECAB AC =． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BCDE CE CD==． l 3l 2l 1ED FCA BEDCABED CB A图⑴ 图⑵ 图⑶建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话）【例1】 ⑴ 若(0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．83 C ．73 D ．72⑵ 已知(0)a cabcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ）A ．b d a c =B ．a b c d b d --=C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠)D ．a d a b c b+=+⑶ 已知457x y z==，则x y y z +=+ ．⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm .【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ∵457x y z ==，∴4557x y y z++=++，∴93124x y y z +==+．⑷ 100；⑸32. 【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ）A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB=⑵ 如图，已知32AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE= ； ②若10cm BD =，则AD = cm ，③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =，则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论：①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ⑴ D ；⑵ 52；4；24cm ；⑶ 23；⑷ B.模块二 相似的相关知识点夯实基础F E D CB AP NMC B AE D A B C定 义示例剖析相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．放大后的图形和放大前的图形是相似多边形．相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的 比等于相似比；（需要证明）⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．若ABC DEF △∽△， 则AB BC AC k DE EF DF ===（k 为相似比） ABC DEF C k C =△△，2ABC DEFSk S =△△【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花 边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 （ ）A B C D⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△， 则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AD AD CD ⋅=⋅ B ．2AB AC BD =⋅ C ．2AB BC BD =⋅ D ．AB AD BD BC ⋅=⋅⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△， 则BF 的长是（ ） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8夯实基础知识导航D CB ACBF DEA⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上， 且∠ABC =∠AED ．若DE =4，AE =5，BC =8；则AB 的长 为 ．(2012湖北随州)【解析】 ⑴ D. ⑵ C. ⑶ D. ⑷10．相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶三边对应成比例的两个三角形相似.由⑴得到① 任何两个等边三角形都相似;② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; ④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ） A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABC C ．CD CB BD AB = D ．ACABAB AD =(2012海南)⑵ 给出以下条件：①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，A B C '''△的两边长分别为4cm 3和1cm 2，夹角为40°. ③ABC △的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5cm 2、3cm 、4cm . 夯实基础知识导航模块三 相似三角形的判定DCBAE D B AADECB④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=.其中能判定ABC △和A B C '''△相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个（北京三帆中学期中试题）【解析】 ⑴ ADC ACB ∠=∠或ACD B ∠=∠或AB ACAC AD=（答案不唯一）； ⑵ D .【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， ABC △是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ．⑶ ︒=∠=∠90E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，则=AD ．(2012新疆)【解析】 ⑴ B ；⑵()114P ，、()234P ，. ⑶310．【例6】 如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． (1) 求证：△ABE ∽△ECF ；(2) 找出与△ABH 相似的三角形，并证明；(3) 若E 是BC 中点，AB BC 2=，2=AB ，求EM 的长．（2012山东泰安）能力提升4321CB A xK H GF EDCBA ⑥⑤④③②①C BEH MG FD ARCB EHM G FD A【解析】(1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE =∠ECF =90°．∵AE ⊥EF ，∠AEB +∠FEC =90°．∴∠AEB +∠BEA =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ． (2) △ABH ∽△ECM ．证明：∵BG ⊥AC ，∴∠ABG +∠BAG =90°，∴∠ABH =∠ECM ，由(1)知，∠BAH =∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM ． (3) 解：作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB =BE =EC =2，∴AB ：BC =MR ：RC =2，∠AEB =45°，∴∠MER =45°，CR =2MR ，∴21==ER MR ，32=RC ，∴3222==MR EM ．【备选1】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ．(1) 求证：△ABG ∽△BFE ；(2) 设AD =4，AB =3，当四边形EFCD 为平行四边形时，求BC 的长度．（2012湖北宜昌）【解析】 (1) 证明：∵AD ∥BC ；∴∠AEB =∠EBF ；∵由折叠知△EAB ≌△EGB ， ∴∠AEB =∠BEG ，∠EBF =∠BEF ； ∴FE =FB ，△FEB 为等腰三角形；∵∠ABG +∠GBF =90°，∠GBF +∠EFB =90°；EGDCFBA∴∠ABG =∠EFB ； 在等腰△ABG 和△FEB 中，()2180÷∠-︒=∠ABG BAG ，()2180÷∠-︒=∠EFB FBE ；∴∠BAG =∠FBE ； ∴△ABG ∽△BFE ；(2) ∵四边形EFCD 为平行四边形， EF ∥DC ；∵由折叠知，∠DAB =∠EGB =90°，∠DAB =∠BDC =90°； 又∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ； ∴△ABD ∽△DCB ； ∴CBDBDB AD =； ∵AD =4，AB =3， ∴BD =5；∴BC554=； 即BC=425.【备选2】 如图，直角梯形ABCD 中，90ADC =︒∠，AD BC ∥，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB =∠∠．⑴求证：ADF CAE △∽△．⑵当8AD =，6DC =，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．【解析】 ⑴ 在梯形ABCD 中，AD BC ∥∴DAF ACE =∠∠∵DFC AEB =∠∠ ∴DFA AEC ∠=∠ ∴ADF CAE △∽△⑵ ∵8AD =，6DC =，90ADC =︒∠∴10AC =又∵F 是AC 的中点，∴5AF =FEDCBA11初三暑期·第4讲·提高班·教师版 ∵ADF CAE △∽△ ∴AD AF CA CE= ∴8510CE =，∴254CE = ∵E 是BC 的中点∴252BC =∴直角梯形ABCD 的面积12512386222⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭.【例7】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若m EF AF =，求CGCD的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若a CD AB =，b BE BC =()0 0＞，＞b a ，则EFAF的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ． （2012河南）【解析】 (1)2m作EH ∥AB 交BG 于点H ，则EFH ∆∽AFB ∆∴,AB AF m AB mEH EH EF=== ∵AB =CD ，∴CD mEH = EH ∥AB ∥CD ，∴BEH ∆∽BCG ∆∴2CG BCEH BE==，∴CG =2EH ∴.22CD mEH mCG EH == (2) ab ，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ．探索创新图1D GF CE A图2BAFCE D H图3D GF C E BAH图4BA FCE D12初三暑期·第4讲·提高班·教师版FA BCDE MMECB A【备选3】⑴ 如图所示，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 的延长线与AC 的交点．① 如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；② 由①知，当E 是AD 的中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（如图所示，E 与A 、D 不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．CDEFBAABFEDC⑵ 如图所示，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于点D ，求BCCD 的值． （北京师范大学附属中学期中测试）【解析】 ⑴过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题．①如图所示，过点D 作BF 的平行线，交AC 于点H ． 由BD DC =可得FH HC =，由AE ED =可得AF FH =，则12AF FC =； ②结论依然成立，解法同上．⑵ 如图所示，过点C 作DE 的平行线交AB 于点F ．因为AM MC =，CF DE ∥， 则AE EF =．而14AE AB =，故2BF EF=． 又因为CF DE ∥，H A BCDE F13初三暑期·第4讲·提高班·教师版则2BC BFCD EF==.下列命题中，假命题是 （ ）A ．若两个直角三角形中，各有一个角是50°，则两三角形相似B ．若两个等腰三角形中，各有一个角是60°，则两三角形相似C ．若两个等腰三角形中，各有一个角是70°，则两三角形相似D ．若两个等腰三角形中，各有一个角是110°，则两三角形相似（北京八中期中试题）【解析】 C ._____________________如图，F 是ABC △的AB 边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）A ．若AFC ACB ∠=∠，则ACF ABC △∽△B ．若ACF B ∠=∠，则ACF ABC △∽△ C ．若2AC AF AB =⋅，则ACF ABC △∽△D ．若::AC CF AB BC =，则ACF ABC △∽△【解析】 D ._____________________F CBA14初三暑期·第4讲·提高班·教师版第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究 引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：已知线段AB ，在直线AB 上有一点C ，若AC 与BC 之间具有特殊的比例关系，则将点A 、B 、C 称为线段AB 的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点； 过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；基本相似模型为“A 字型”和“8字型”.【探究1】如图，一条直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线交于D 、E 、F 三点.若CFBFEC AE =，试说明：D 是AB 的中点.【分析】结论AD =BD ，我们可视A 、B 、D 为线段AB 的三个不同的分点；条件CFBFEC AE =，我们可视A 、E 、C 为线段AC 的三个不同的分点.两者结合可得：A 为公共分点，过A 作BF 的平行线交FD 的延长线于点G .图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；GBE DAGBE DA类似地：过点A 作DF 的平行线交BF 的延长线于点H ，我们可以得到两个“A 字型”的基本构图，如下图所示；BE DABE DAFCBE DA15初三暑期·第4讲·提高班·教师版【探究2】已知：如图，在△ABC 中，3:2:=DB AD ，E 为CD的中点，AE 的延长线交BC 于点F .求BFFC.【分析】由3:2:=DB AD 可知：A 、D 、B 为线段AB 的三个分点；由CE =DE 可知：C 、D 、E 为线段CD 的三个分点； 由BFFC可知：B 、C 、F 为线段BC 的三个分点， 故此共有三个公共分点：点D 、点B 、点C .过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联系的基本构图， 因此本题至少共有六种不同的求法. 辅助线如下图所示；方法一：过点D 作AC 的平行线交BC 与点G ； 方法二：过点D 作BC 的平行线交AF 与点G ； 方法三：过点B 作AF 的平行线交CD 的延长线于点G ； 方法四：过点B 作DC 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法五：过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法六：过点C 作AF 的平行线交BA 的延长线于点G .G FEDA GFEDA GFEDAFEDCBA16初三暑期·第4讲·提高班·教师版GFEDCBAGFEDCBAG FE DCBA17初三暑期·第4讲·提高班·教师版训练1. ⑴ 已知243a b c b c a c a b+-+-+-==，则4::2a b c = ． ⑵ 已知：a b b c c ax c a b+++===，求x 的值．【解析】 ⑴ 设243a b c b c a c a bk +-+-+-===，∴243a b c k b c a k c a b k +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③ ∴①+②+③:9a b c k ++= ∴52372a k b k c k⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴4::210:3:7a b c =. ⑵因为等比性质的条件是“0b d n +++>”，所以要分“0c a b ++=”和“0c a b ++≠”两种情况讨论．当0c a b ++≠时，()22c a b a b b c c a x c a b c a b+++++=====++；当0c a b ++=时，有a b c +=-，所以1a b cx c c+-===-.点评：在运用等比性质时，要注意“0b d n +++=”，否则会造成错误．训练2. 如图所示，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． ⑴当12AE AC =时，求AO AD的值； ⑵当13AE AC =、14时，求AO AD的值； ⑶试猜想11AE AC n =+时AOAD的值，并证明你的猜想．【解析】 ⑴ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF ==当12AE AC =时，∴1AE EC =，∴23AE AF =，23AO AD =． ⑵ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF== 当13AE AC =时，∴12AE EC =，∴1AE EF =，12AO AD =． 当14AE AC =时，∴13AE EC =，∴11.5AE EF =，25AO AD =． 思维拓展训练(选讲)E D C BAO F ED C B AO18初三暑期·第4讲·提高班·教师版BE CA D⑶ 当11AE AC n =+时，22AO AD n=+， 如图所示，过点D 作DF BE ∥交AC 于点F ．因为DF BE ∥，BD CD =，则EF FC =．因为11AE AC n =+，故CE nAE =，122n EF CE AE ==． 因为DF BE ∥，故222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+．训练3. 已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ． ⑴ 当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； ⑵ 当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长． 【解析】 ⑴ ;22 ⑵ ⋅724训练4. 已知：AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅．EFC D B AAB DC FE【解析】 连接AF ．∵EF 为AD 的中垂线 ∴AF DF =，ADF DAF =∠∠又∵BAD ABD ADF +=∠∠∠，DAC FAC DAF +=∠∠∠ 又∵AD 平分BAC ∠ ∴ABD CAF =∠∠ 在ACF △和BAF △中AFC BFA CAF ABF=⎧⎨=⎩∠∠∠∠∴ACF BAF △∽△∴CF AF AF BF=，即2AF BF CF =⋅ ∴2FD FB FC =⋅．19初三暑期·第4讲·提高班·教师版知识模块一 成比例线段 课后演练【演练1】 如图，在ABC △中，AB AC <，延长AB 到D ，在AC 上取CE BD =，连结DE 与BC交于F ，求证：AB EFAC FD=． AB CEDFF DH E CBA【解析】 过E 作EH BC ∥交AD 于H ．在DHE △中，有EF BH FD BD =， EC BD =，∴EF BHFD EC=①． 在ABC △中，∵EH BC ∥，∴BH ABEC AC=②． 由①②得AB EFAC FD=．知识模块二 相似的相关知识点 课后演练【演练2】 如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥．若23DE BC =∶∶，则ADE ABC S S △△∶为（ ）A ．49∶B ．94∶C ．23∶D ．32∶【解析】 A .知识模块三 相似三角形的判定 课后演练【演练3】 如图，D 、E 是ABC △的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.【解析】 ∵AD AC AE AB ⋅=⋅，∴AD AEAB AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE △∽BAC △，∴ADE B ∠=∠.【演练4】 梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB DC =，E 、F 分别为AB实战演练E DCBAMF D CBE AED CBA20初三暑期·第4讲·提高班·教师版与BC 中点．求证：⑴ EDM FBM △∽△； ⑵ 9BD =，求BM 的长．【解析】 ⑴ ∵E 为AB 的中点，且2AB DC =∴CD BE = 又∵CD BE ∥∴四边形BCDE 是平行四边形 ∴BC DE ∥ ∴DEM MFB =∠∠ 又∵DME BMF =∠∠ ∴EDM FBM △∽△; ⑵ 由⑴知2DE BC BF ==由∵EDM FBM △∽△∴12BF BM DE DM == ∵9BD =，∴133BM BD ==.【演练5】 直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE △与ABC △相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C.21初三暑期·第4讲·提高班·教师版测试1. 已知：()20a c e b d f b d f ===++≠，则a c eb d f ++++= ；⑵2323ac eb d f -+-+= . 【解析】 ∵2ac eb d f===，∴2a b =，2c d =，2e f =∴⑴()22222b d f a c e b d f b d f b d f b d f++++++===++++++ ⑵()223232462232323b d f a c e b d f b d f b d f b d f-+-+-+===-+-+-+.测试2. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连接DE ，交BC 于F ，交AC 于G ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【解析】 B .测试3. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B =∠∠． ⑴ 求证：ADF DEC △∽△．⑵ 若4AB =，33AD =，3AE =，求AF 的长． 【解析】 ⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，AB CD ∥∴ADF CED =∠∠，180B C +=︒∠∠ ∵180AFE AFD +=︒∠∠，AFE B =∠∠ ∴AFD C =∠∠∴ADF DEC △∽△; ⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，4CD AB == 又∵AE BC ⊥ ∴AE AD ⊥在Rt ADE △中，()22223336DE AD AE =+=+=∵ADF DEC △∽△ ∴AD AF DE CD = ∴3364AF =∴23AF =.课后测F EDCBAGFEDC B A第十七种品格：成就奥伦索•辛浦森与他的橄榄球梦一个生长于旧金山贫民区的小男孩，从小因为营养不良而患有软骨症，在6岁时双腿变成“弓”字型，小腿严重萎缩。