初三数学提高班方程的整数根(练习)
中考数学总复习——方程整数根
方程整数根主要讲解方程整数根，掌握带着字母解方程的思想，提高解题能力.1. 根的判别式为完全平方【练习1】已知关于x 的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．【练习2】已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m 取何实数，此函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m ＞0时，如果此函数的图象与x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数m 的值．【练习3】关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数.【练习4】已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x .（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围；【练习5】已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的 横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．2.根的判别式为非完全平方【练习1】已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根.（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数.【练习2】已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0.（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整数根（a为正整数）【练习3】已知：关于x的一元二次方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8＝0．(1)若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．【练习4】已知关于x的一元二次方程x2−ax+a+5=0．（1）无论a取任何值，该方程的根不可能为x=x0，写出x0的值，并证明．（2）若a为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a的值．【练习5】已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+l=0有有理根，则k的值是________．。
中考试题一元二次方程的整数根.docx
学科：数学专题：一元二次方程整数根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。
题一题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值.金题精讲题一题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．判别式，整数根题二题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，，综上，a 的整数值为10123-，，，，.金题精讲题一答案：(1)52k <；(2)k =2. 满分冲刺题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>.∴方程有两个不相等的实数根． ⑵2(23)84=(23)212m m x m m -±+-±+= ∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数．又∵1240m <<，∴252181.m <+< ∴521<9m <+．21m +∵为奇数，217m +=∴∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2-4(m +1)=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=(m +1)2+4∵(m +1)2≥0∴(m +1)2+4≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得23(1)42m m x --±++= 要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4/ησ≠π−(m +1)2+4=a 2则(a +m -1)(a -m -1)=4∵a +m -1a -m -1的奇偶性相同⎪{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=- 解得{=21a m =-或{21a m =-=-将1m =-代入23(1)42m m x --±++=得1220x x =-=，符合题意； ∴当1m =-时，原方程的根是整数.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
一元二次方程的整数根问题专题练习 (学生版)
一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k为正整数，且关于k的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个相异正整数根，k的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题2、已知k为整数，且关于x的方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的正整数根，则k的值为______．3、已知12＜m＜40，且关于x的二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．4、当关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两根都是整数，则整数m的值为______．三、解答题5、当整数m取何值时，关于x的方程（m-1）x2-（2m+1）x+1=0有整数根．6、已知方程（a2-1）x2-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，求整数a的值．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．9、已知：关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0（m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？10、已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-（m+2）x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长．12、已知关于x的方程（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求证：无论常数m取何值，方程总有实数根．（2）当整数m取何值时，方程有两个整数根．13、已知：关于x的一元二次方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．（1）求证：不论实数m取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m的取值范围．（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值．14、已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m-4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．15、已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．16、已知：关于x的一元二次方程x2-（2m-3）x+m2-5m+2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若10＜m＜21，是否存在整数m，使方程有两个整数根，若存在求出m的值；若不存在请说明理由．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k的值．20、已知一元二次方程（2k-3）x2+4kx+2k-5=0，且4k+1是边长为7的菱形对角线的长，求k取什么整数值时，方程（2k-3）x2+4kx+2k-5=0的根都是整数？。
专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)
一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满足条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c=2√3，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8.当k为何整数时，方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解．11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．15.已知一元二次方程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，一元二次方程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的方程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x 1•x 2=c a =18m 2−1，∴18m 2−1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18， 又m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代入两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2−√2)＜2√3，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三角形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的面积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3用求根公式可得：x 1=6k−1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原方程变形得(x −2n)(x −n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原方程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠−2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2⩾1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代入a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．又∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，方程至少有一个整数解. 11.解：原方程可化为[(k −4)x ＋(k −2)][(k −2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2−6k ＋8=(k −4)(k −2)≠0，∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4，x 2=−k ＋2k−2=−1−4k−2， ∴k −4=−2x 1＋1，k −2=−4x 2＋1(x 1≠−1,x 2≠−1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=−2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=−2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=−2或{x 1=2,x 2＋3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4． ∴k =6或3或103.经检验均满足题意．12.解：设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2， 其中(x 1−1)(x 2−1)，m −1，n −1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1，∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵方程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设方程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中 α，β为整数，且α≤β，则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得 αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2， 或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6， ∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵方程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥，{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦，{p +2=1−4x p −2=x2⑧，{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨， 由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代入③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6， 把x 2=1代入③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2， 对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。
初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练2(附答案详解)
初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练2（附答案详解）1．若a 为整数，关于x 的不等式组22340x x x a ≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，且关于x 的分式方程1122ax x x-=--有负整数解，则整数a 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1 2．若a 为整数，关于x 的不等式组2(1)4340x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个非正整数解，且关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有负整数解，则整数a 的个数为（ ）个． A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=-- 有正整数解，且方程2420ax x --=有解,则满足条件的所有整数a 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若数a 使关于x 的不等式组111(1){3223(1)x x x a x -≤--≤-，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y++--=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣18 5．若关于x 的分式方程21133x m x x --=--的解为正数，且关于y 的不等式组212625y y y m +⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩至少两个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为( )A ．﹣7B ．﹣9C ．﹣12D ．﹣14 6．关于x 的分式方程2322x m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是( )A ．6m <-且2m ≠B ．6m >且2m ≠C ．6m <且2m ≠-D ．6m <且2m ≠ 7．若数a 使关于x 的分式方程41332a x x +=--的解为正数，使关于y 的不等式组12255(2)34y y a y y --⎧⎪⎨⎪+-⎩＞＜无解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．360B ．90C ．60D ．15 8．若关于x 的方程x a c b x d -=-有解，则必须满足条件( ) A ．a ≠b ，c ≠d B ．a ≠b ，c ≠-d C ．a ≠-b ， c ≠d D ．a ≠-b ， c ≠-d 9．从7-，5-，1-，0，4，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组()x m 02x 43x 2-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为x 1>，且关于x 的分式方程1x m 32x x 2-+=--有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若数a 使关于x 的不等式组112352x x x x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．3- B ．2- C ．1 D ．211．如果关于x 的分式方程2ax x 3+--2=43x -有正整数解，且关于x 的不等式组()4x 3x 3x a 0<-⎧-≥⎨⎩无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．16-B ．15-C ．6-D ．4-12．若关于x 的分式方程21x a x --=1的解为正数，则字母a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2B ．a≠2C ．a ＞1D ．a ＞1且a≠213．已知关于x 的方程33+3a x x -+=1的解为负数，且关于x 、y 的二元一次方程组27358x y x y a -=⎧⎨+=+⎩的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a 的值的是（ ） A ．23，2，5 B ．0，3，5 C ．3，4，5 D ．4，5，614．若关于x 的分式方程412a x x -=-的解为正整数，且关于x 的不等式组1282{630x x a x -+-≤＞有解且恰有6个整数解，则满足条件的所有整数a 的值之和是（ ）A ．4B ．0C ．-1D ．-315．（山东省济南市槐荫区2018届九年级下学期学业水平阶段性调研测试（一模）数学试题）若关于x 的分式方程m 1x 1--＝2的解为非负数，则m 的取值范围是 A ．m ＞−1B ．m≥−1C ．m ＞−1且m≠1D ．m≥−1且m≠1 16．若关于x 的方程2622x a x x--=--1的解为正数，则所有符合条件的正整数a 的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 17．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组()()321262234y y y y a ++⎧>⎪⎨⎪-≥-+⎩至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2 18．若关于x 的方程3344x m m x x ++=--的解为正数，则m 的取值范围是（ ）． A ．92m < B ．94m >-且34m ≠- C ．6m < D ．6m <且2m ≠ 19．已知关于x 的分式方程6111m x x+=--的解是非负数，则m 的取值范圈是（ ） A ．5m > B ．5m ≥C ．5m ≥且6m ≠D ．5m >或6m ≠ 20．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠ 21．若关于 x 的分式方程3111m x x-=-- 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ）A ．m ≥-4B ．m ≥-4 且 m ≠-3C ．m ≥2 且 m ≠3D ．m ≥2 22．关于x 的方程2211x m m x x -+=--的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．23m < B ．23m > C ．23m <且13m ≠ D ．23m <且0m ≠ 23．若关于x 的方程232x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．6m >- B ．6m >-且2m ≠ C ．6m >-且4m ≠- D ．6m <-且4m ≠- 24．已知关于x 的分式方程11m x －－－1＝21x －的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4 且m ≠3B ．m ＜4C ．m ≤3且m ≠3D ．m ＞5且m ≠625．已知二次函数y ＝（a+2）x 2+2ax+a ﹣1的图象与x 轴有交点，且关于x 的分式方程1ax x ++1＝71x +的解为整数，则所有满足条件的整数a 之和为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．3 26．若关于x 的分式方程121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是( ) A ．3m >- B ．3m ≥-C ．3m >-且1m ≠-D ．3m ≥-且1m ≠- 27．对于二次函数y ＝2x 2﹣（a ﹣2）x +1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；且关于x 的分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ） A ．5 B ．6 C ．10 D ．1728．若关于y 的不等式组122y-k 46y k k -⎧≥⎪⎨⎪≤+⎩有解，且关于x 的分式方程32222kx x x x +=---有非负整数解，则符合条件的所有整数k 的和为（ ）A ．-5B ．-9C ．-10D ．-16 29．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =( ) A ．1 B ．3 C ．-1 D ．-330．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．431．若关于x 的分式方程1322m x x x ++=--有增根，则m 的值是( ) A ．m ＝－1 B ．m ＝2C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝3 32．（2017龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a ≥且9a ≠D ．1a ≤ 33．已知分式方程312(1)(2)x k x x x +=++-+的解为非负数，求k 的取值范围（ ） A ．5k ≥ B ．1k ≥- C ．5k ≥且6k ≠ D ．1k ≥-且0k ≠ 34．已知关于x 的一次函数()210y a x a =--+的图象过一、三、四象限，且关于y 的分式方程93322ay a y y--=--有整数解，求所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．11 B ．15 C ．21 D ．2435．若关于x 的方程3133x ax x x ++=--有正整数解，且关于y 的不等式组252510y a y -⎧<⎪⎨⎪--≤⎩至少有两个奇数解，则满足条件的整数a 有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案1．C【解析】【分析】先解出不等式组，然后由不等式组有且只有3个整数解可得a 的范围；再解分式方程可得x=31a-，根据分式方程有负整数解可得a 的值，两者结合最终确定a 的值. 【详解】解：解不等式223x x ≤+，得：x≥-2，解不等式4x-a ＜0，得：x ＜4a ， ∵不等式组有且只有3个整数解，∴0＜4a ≤1， 解得：0＜a ≤4， 由方程1122ax x x -=--得：x=31a- ∵方程有负整数解，∴a=2，4又∵0＜a ≤4，∴a=2，4故选：C ．【点睛】本题主要考查解不等式组和分式方程的能力，根据不等式组的解集情况和分式方程的解得出关于a 的范围是解题的关键．2．C【解析】【分析】由不等式组有且只有3个非正整数解可得014a <≤，即0＜a ≤4，再求分式方程可得x 22a=-，根据分式方程有负整数解可得a 的值． 【详解】解不等式2（x +1）≤4+3x ，得：x ≥﹣2，解不等式4x ﹣a ＜0，得：x 4a ＜， ∵不等式组有且只有3个非正整数解， ∴014a <≤， 解得：0＜a ≤4， 由方程得：x 22a =-且是负整数，∴2-a=-1或-2， ∴a =3，4．故选C ．【点睛】本题考查了解不等式组和分式方程的能力，根据不等式组的解集情况和分式方程的解得出关于a 的范围是解题的关键．3．D【解析】【分析】先解分式方程，求得a 的值，再由方程2420ax x --=有解得a 的取值范围，则可求得a 的值，可求得答案．【详解】 解分式方程21224a x x -=--可得x=4-2a ，x≠2， ∵a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=--有正整数解， ∴a 的值为0、2、6，方程2420ax x --=，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a≠0时，则有△≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，∴满足条件的a 的值为-2，0、2、6，共4个，故选：D ．【点睛】本题主要考查方程的解，求得a 的整数值是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据不等式的解集，可得a 的范围，根据方程的解，可得a 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】()()111132231x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩①②， 解①得x≥-3，解②得x≤35a +， 不等式组的解集是-3≤x≤35a +． ∵仅有三个整数解，∴-1≤35a +＜0 ∴-8≤a ＜-3，31222y a y y++--=1， 3y-a-12=y-2．∴y=102a +， ∵y≠2，∴a≠-6，又y=102a +有整数解， ∴a=-8或-4，所有满足条件的整数a 的值之和是-8-4=-12，故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a 的值是解题关键． 5．A【解析】【分析】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题.【详解】 解：由方程21133x m x x--=--，解得：x ＝﹣2﹣m ， 则2023m m -->⎧⎨--≠⎩ 可得：m ＜﹣2且m≠﹣5，212625y y y m +⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩①②， 由①知，y ＞﹣2，由②知，y≤52m +， ∵关于y 的不等式组212625y y y m +⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩至少两个整数解，∴y ＝﹣1和0∴5+m≥0，解得：m≥﹣5，又m ＜﹣2且m≠﹣5，∴-5<m ＜﹣2，∴m 的整数值为﹣4，﹣3，∴符合条件的所有整数m 的值之和=﹣4+(﹣3)＝﹣7，故选：A.【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式(组)、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答.6．D【解析】【分析】先根据分式方程的解法，求出用m 表示x 的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.【详解】2322x m m x x++=-- 去分母，得x+m+2m=3（x-2）解得x=62m -+ ∵关于x 的分式方程2322x m m x x ++=--的解为正实数 ∴x-2≠0，x ＞0 即62m -+≠2，62m -+＞0， 解得m≠2且m ＜6故选D.点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m 的式子表示x 解分式方程，构造不等式组是解题关键.7．B【解析】【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到a 的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出a 的范围，进而求出a 的值，得到所有满足条件的整数a 的值之积．【详解】解：分式方程去分母得：2a ﹣8=x ﹣3，解得：x =2a ﹣5，由分式方程的解为正数，得到：2a ﹣5＞0且2a ﹣5≠3，解得：a ＞52且a ≠4． 不等式组整理得：527y a y -⎧⎨-⎩＞＜，由不等式组无解，得到：5﹣2a ≥﹣7，即a ≤6，∴a 的取值范围是：52＜a ≤6且a ≠4，∴满足条件的整数a 的值为3，5，6，∴整数a 的值之积是90．故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 8．B【解析】【分析】把a 、b 、c 、d 都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x 的整式方程，讨论x 的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．【详解】方程两边都乘以d(b-x)，得d(x-a)=c(b-x)，∴dx-da=cb-cx ，即(d+c)x=cb+da ，∴当d+c ≠0，即c ≠-d 时，原方程的解为x=cb da d c ++， 由题意知还要满足b-x ≠0，即cb da d c++≠b ， 所以b ≠a ，当c+d=0时，c=-d ，0x=d(a-b)，∴当a=b 时，方程有无数个解，故选B.【点睛】本题考查了解字母系数的分式方程，解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验． 9．A【解析】【分析】根据分式方程有非负整数解，即可从7-，5-，1-，0，4，3这六个数中找出符合要求的m 的值，综上即可得到答案．【详解】()x m 02x 43x 2-⎧>⎪⎨⎪-<-⎩①②， 解不等式①得：x m >，解不等式②得：x 1>，该不等式组的解集为：x 1>，m 1∴≤，即m 取7-，5-，1-，0；1x m 32x x 2-+=--， 方程两边同时乘以()x 2-得：()x 1m 3x 2-+=-，去括号得：x 1m 3x 6-+=-，移项得：x 3x 16m -=--，合并同类项得：2x 5m -=--，系数化为1得：m 5x 2+=， 该方程有非负整数解，∴即m 502+≥，m 522+≠，且m 52+为整数， m ∴取5-，3，综上：m 取5-，即符合条件的m 的值的个数是1个，故选A ．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确掌握解不等式组的方法，解分式方程的方法是解题的关键．10．C【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a 的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a 的不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，即可最终确定出a 的范围，将范围内的整数相加即可得.【详解】解不等式112352x x x x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩，得524x a x <⎧⎪⎨+≥⎪⎩， 由于不等式组只有四个整数解，即254a a +≤<只有4个整数解， ∴2014a +<≤， ∴22a -<≤； 解分式方程2211y a a y y++=--，得2y a =-， ∵分式方程的解为非负数，∴20210a a -≥⎧⎨--≠⎩， ∴a≤2且a≠1，∴22a -<≤且a≠1，∴符合条件的所有整数a 为：-1，0，2，和为：-1+0+2=1，故选C.【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.11．D【解析】【分析】根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意a 的值，求出之和即可．【详解】分式方程去分母得：2+ax ﹣2x +6=﹣4，整理得：（a ﹣2）x =﹣12（a ﹣2≠0），解得：x =﹣122a -，由分式方程有正整数解，得到：a =1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：9x x a -⎧⎨≥⎩＜，解得：a ≤x ＜﹣9，由不等式组无解，即a ≥﹣9，∴a =1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4．故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．D【解析】去分母得：21,1x a x x a -=-=- ，则10,110a a ->--≠且 ，解得：a ＞1且a≠2.故选D.13．A【解析】【分析】先解分式方程得：x =a ﹣6，根据分式方程的解是负数列不等式求出a 的取值；再解方程组，把方程的解相加得：x +y =a +3+2a ﹣1=3a +2＞0，得出a 的取值．【详解】3a x +﹣33x +=1，去分母得：a ﹣3=x +3，（a ≠3），x =a ﹣6． 由题意得：a ﹣6＜0且x ≠－3，解得：a ＜6且a ≠3．27358x y x y a -=⎧⎨+=+⎩①②，①+②得：5x =5a +15，x =a +3③，把③代入①得：2（a +3）﹣y =7，y =2a ﹣1，∴x +y =a +3+2a ﹣1=3a +2＞0，∴a ＞﹣23，则a 的取值为：﹣23＜a ＜6且a ≠3． 故选A ．【点睛】本题考查了分式方程和二元一次方程组以及不等式，解分式方程时要先去分母，化成整式方程后再求解，注意分母不为0，解二元一次方程组时常运用加减法解方程组，根据已知要求列不等式，最后求其解集即可．14．B【解析】【分析】【详解】分析：根据分式方程的解为正数求a的范围，注意使x=2的a的值；由不等式组有6个整数解求a的范围，综合得到a的范围后，取整数值求解.详解：把分式方程去分母，整理得，(a＋3)x＝8，当a≠－3时，x＝83a＋，所以83a＋＞0，解得a＞－3.因为当x＝2时，a＝1，所以a＞－3且a≠1.解不等式组128263xxa x＋＞-⎧⎪⎨⎪-≤⎩得，a≤x＜5.因为有解且恰有6个整数解，所以－2＜a≤－1.则满足条件的所有整数a的值是－1，0和是－1.故选B.点睛：由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.15．D【解析】去分母得，m−1＝2(x−1)，去括号得，m−1＝2x−2，移项，合并同类项得，2x＝m＋1，系数化为1得，x＝1 2m＋.因为x≥0，所以12m＋≥0，解得m≥−1.把x＝1代入m−1＝2x−2，得m＝1，所以m≥−1且m≠1.故选D.16．B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．【详解】2622x a x x--=-- 1 去分母得：2x +a ﹣6=x ﹣2，解得：x =4﹣a ，由分式方程有正数解，得到4﹣a ＞0，且4﹣a ≠2，解得：a ＜4且a ≠2，∴所有符合条件的正整数a 的个数为1，3．故选：B ．【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．17．D【解析】【分析】解出分式方程，根据题意确定a 的范围，解不等式组，根据题意确定a 的范围，根据分式不为0的条件得到a ≠﹣2，根据题意计算即可．【详解】 解：()()321262234y y y y a ++⎧>⎪⎨⎪-≥-+⎩①②由①得y ＞﹣8，由②得y ≤a ，∴不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵关于y 的不等式组()()321262234y y y y a ++⎧>⎪⎨⎪-≥-+⎩至少有3个整数解，∴a ≥﹣5， 解分式方程1133x a x x++=--，得x ＝42a - ， ∵关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且42a -≠3， ∴a ≤4且a ≠﹣2且a 为偶数；∴﹣5≤a ≤4且a ≠﹣2且a 为偶数，∴满足条件的整数a 为﹣4，0，2，4，∴所有整数a 的和＝﹣4+0+2+4＝2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．18．D【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m 的取值范围．【详解】解：去分母得：x+m-3m=3x ﹣12，整理得：2x=﹣2m+12，解得：x=2122-+m ， 已知关于x 的方程3344x m m x x++=--的解为正数， 所以﹣2m+12＞0，解得m ＜6，当x=4时，x=2122-+m =4，解得：m=2， 所以m 的取值范围是：6m <且2m ≠．故答案选:D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键,注意要排除产生增根时m 的值．19．C【解析】【分析】先解分式方程,再根据解是非负数可得不等式,再解不等式可得.【详解】方程两边乘以（x-1）得61m x -=-所以5x m =-因为方程的解是非负数所以50m -≥,且51m -≠所以5m ≥且6m ≠故选:C【点睛】考核知识点:解分式方程.去分母,解分式方程,根据方程的解的情况列出不等式是关键. 20．B【解析】【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.【详解】 解：211x k x x -=--， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，该分式方程有解，21k ∴+≠， 1k ∴≠-，0x ，20k ∴+>，2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.21．B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x ，根据方程的解为非负数求出m 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：m+3=x-1，解得：x=m+4，由方程的解为非负数，得到m+4≥0，且m+4≠1，解得：m ≥-4且m ≠-3．故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．22．A【解析】【分析】将分式方程化为整式方程解得x=2-3m ，根据方程的解是正数列得2-3m>0，即可求出m 的取值范围.【详解】2211x m m x x-+=--， x-m-2m=2（x-1），x-3m=2x-2，∴x=2-3m ， ∵方程2211x m m x x-+=--的解为正数， ∴2-3m>0， ∴23m <， 故选：A.【点睛】此题考查根据分式方程的解的情况求参数，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键.23．C【解析】【分析】解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数且分式方程有意义，可得不等式组，解不等式组，可得答案．【详解】232x m x +=-， 方程两边都乘以(x−2)，得：2x+m=3x−6，解得：x=m+6，由分式方程的意义，得：m+6−2≠0，即：m≠−4，由关于x 的方程的解是正数，得：m+6>0，解得：m>−6，∴m 的取值范围是：m>−6且m≠−4，故选：C ．【点睛】本题主要考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，掌握解分式方程，是解题的关键． 24．A【解析】【分析】方程两边同乘以1x -，化为整式方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．【详解】 解：12111m x x--=-- 12111m x x --=--- 方程两边同时乘以1x -()112m x ---=-4x m =-+∵已知关于x 的分式方程12111m x x--=--的解是正数，10x -≠ ∴4041m m -+>⎧⎨-+≠⎩∴4m <且3m ≠．故选：A【点睛】本题考查了分式方程的解的概念、解分式方程、数的分类、解不等式组等知识点，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有一定的难度．25．A【解析】【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，则a≤2且a≠﹣2，再解分式方程得到x＝61a+且x≠﹣1，利用分式方程的解为整数可求出解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，加上a的范围可确定满足条件的a的值，然后计算它们的和．【详解】解：根据题意得a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，解得a≤2且a≠﹣2，去分母得ax+x+1＝7，解得x＝61a+且x≠﹣1，因为分式方程的解为整数，所以a+1＝±1，±2，±3，±6，且a≠﹣7，解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，所以满足条件的a的值为﹣4，﹣3，0，2，1．所以所有满足条件的整数a之和为﹣4+（﹣3）+0+2+1＝﹣4．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，分式方程的解为整数，注意分式方程有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．26．D【解析】【分析】先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围．【详解】121m x +=- m+1=2x-2解得：x=32m + ∵分式方程的解为非负数 ∴302m +≥ 解得：m≥－3 ∵方程是分式方程，∴312m +≠ 解得：m≠－1综上得：m≥－3且m≠－1故选：D ．【点睛】本题考查解含有字母的分式方程，注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况． 27．C【解析】【分析】先解分式方程得x ＝4-3a -，根据分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解，可推出a 可以取的值，再根据二次函数的性质可推出a 的取值范围，即可求解．【详解】 解分式方程22x -﹣3＝2ax x --， 可得x ＝4-3a -， ∵分式方程22x -﹣3＝2ax x --有整数解， ∴a ＝﹣1，2，4，5，7，∵y ＝2x 2﹣（a ﹣2）x +1，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝24a -， ∴当x ＞24a -时，y 随x 的增大而增大， ∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴24a-≤1，解得a≤6，∴a能取的整数为﹣1，2，4，5；∴所有整数a值的和为10，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程和二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．28．A【解析】【分析】先解关于y的不等式组，根据不等式组有解，确定k的范围．整理分式方程，用含k的代数式表示出x，根据x有非负整数解，确定k的值，并得结论．【详解】不等式组整理得：4156 y ky k≥+≤+⎧⎨⎩，由不等式组有解，得到5k+6≥4k+1，即k≥-5，分式方程去分母得：kx=2x-4-3x-2，整理，得kx+x=-6即（k+1）x=-6，解得：x=-61k+，由方程有非负整数解，∴k+1=-6或-3或-2或-1 所以k=-7或-4或-3或-2又因为k≥-5，且-61k+≠2，所以k=-3，-2∵-3-2=-5．故选：A．【点睛】本题考查了求不等式组、求分式方程的解等知识点，题目难度较大，求分式方程非负数解的过程中，容易忘记分式方程的分母不等于0条件．29．D【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a 的新方程，解此新方程可以求得a 的值．【详解】解：把x=1代入原方程得:23314a a +=-， 去分母得，8a+12=3a-3，解得a=-3，故选：D ．【点睛】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．30．B【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．【详解】 解方程2311a x x x--=--，得： 12a x +=， ∵分式方程的解为正数，∴1a +>0，即a>-1，又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，∵关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩有解， ∴a-1<y ≤8-2a ，即a-1<8-2a ，解得：a<3，综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1，则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．31．C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x ﹣2＝0，求出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】解：去分母得：13(2)m x x --=-，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m ﹣3＝0，解得：m ＝3，故选：C【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．32．C【解析】【分析】【详解】解：略33．D【解析】【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有k 的代数式表示的x ，根据x 的取值求k 的范围．【详解】解：分式方程转化为整式方程得，(3)(1)k (1)(2)x x x x +-=+-+解得：k 1x =+解为非负数，则k+10≥，∴k -1≥又∵x≠1且x≠-2，∴k+11k+1-2≠≠，∴k -1≥ ，且k 0≠故选D【点睛】本题考查了分式方程的解，解答本题的关键是先把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．34．B【解析】【分析】先根据一次函数图像过一、三、四象限求出a 的取值范围，再解分式方程，进而确定其整数【详解】解：∵一次函数()210y a x a =--+过一、三、四象限∴20100->⎧⎨-+<⎩a a ，求得a 的取值范围为：210a << 解分式方程：93322ay a y y --=-- 得：3(2)39--=-ay y a整理得：3153(3)663333---===----a a y a a a ∵解为整数 ∴3a -能被6整除，且3a ≠∴31,2,3,6-=±±±±a解得4,2,5,1,6,0,9,3=-a又2y ≠，∴6323-≠-a ，∴9a ≠ 又210a <<∴4,5,6.=a∴所有满足条件的整数a 的和为4+5+6=15.故答案为：B.【点睛】本题考查了一次函数图像问题和分式方程解的整数个数问题，熟练掌握一次函数的图像及分式方程的解法是解决此类题的关键.35．D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a 的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a 的值，求出之和即可．【详解】 解：3133x ax x x++=-- 解得：6x a = ∴方程有正整数解 且63a≠即2a ≠ ∴136a =、、 解不等式组252510y a y -⎧<⎪⎨⎪--≤⎩解得1521y y a ⎧<⎪⎨⎪≥-⎩关于y 的不等式组至少有两个奇数解a-≤∴15a≤∴6∴满足条件得整数a有3个，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
一元二次方程整数根问题-2021-2022学年九年级数学上册同步知识例题精讲+对点巩固练(人教版)
一元二次方程整数根问题及应用中考要求例题精讲板块一：一元二次方程的整数根问题☞有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c【例1】 对于任意实数x ，二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式，求m 的值【解析】略【答案】由题意得2231()24m m m =-+，整理得25410m m +-=解得15m =或1m =-【例2】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。
【解析】略【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式，因此22131()244k k k +=++，整理得230k k += 解得0k =或13k =-【巩固】设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值． 【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令22(1)4m m n ∆=--=，其中n 是非负整数，于是2261m m n -+=，所以22(3)8m n --=， 由于33m n m n -+--≥，并且(3)(3)8m n m n -+--=是偶数， 所以3m n -+与3m n --同奇偶，所以 3432m n m n -+=⎧⎨--=⎩，或3234m n m n -+=-⎧⎨--=-⎩． 所以61m n =⎧⎨=⎩，或01m n =⎧⎨=⎩(舍去)．所以6m =，这时方程的两个根为12，13． 点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．【答案】6m =☞整数根问题【例3】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【解析】由题意可知，方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ∆=--=-≥⇒≤方程2244450x mx m m -+--=的判别式为222(4)4(445)4(45)0m m m m ∆=---=+≥故54m ≥-，又m 为整数，0m ≠，故1m =-或1m =当1m =时，题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=，满足题意； 当1m =-时，题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=，不合题意．故1m =．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =，此时两个判别式都要是完全平方数． 【答案】1m =【例4】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． 【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．即1121x k =+，261x k =-．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =． 所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．【答案】2k =【例5】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】本题的难点在于a 并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论∆是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②，将②代入①，整理得12126x x x x +=-∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7±当211x +=时，20x =，16x =，0a = 当211x +=-时，22x =-，18x =-，16a = 当217x +=时，26x =，10x =，0a = 当217x +=-时，28x =-，12x =-，16a = 综上所述，0a =或16a =板块二：一元二次方程的应用☞增长率问题【例6】 某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%，则第一年的利润是多少元？【解析】略【答案】设第一年的利润为x 元，根据题意得(50000)(0.5%)2612.550000xx +⋅+=解得12250x =，252500x =-（舍） 答：第一年的利润为2250元【巩固】某商品两次价格下调后，单价从5元变成4.05元，则平均每次调价的百分率为（ ）A.9%B.10%C.11%D.12%【解析】略【答案】设平均每次调价的百分率为x ，根据题意得，25(1) 4.05x -=，解得0.1x =或 1.9x =（舍）因此选B【巩固】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2003年比2002年又上升10%，而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ ） A.降低了2% B. 没有变化 C.上升了2% D.降低了1.99%【解析】注意题目要求，还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额”【答案】设2001年的营业额为a 元，则2002年的营业额为1.1a 元，2003年的营业额1.21a 元，所以2005年的营业额为21.21(110%)0.9801a a ⨯-= 因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了0.9801100% 1.99%a aa-⨯= 所以选择D【巩固】北京市政府为了迎接2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A.10%B.20%C.30%D.40%【解析】略【答案】设绿地面积的增长率是x，原有绿地面积为a，根据题意得2(1)(144%)a x a+=+解得20%x=或220%x=-（舍）则平均增长率为20%∴选B☞商品利润问题【例7】某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加20%作为售价，售出50盒；第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价【解析】略【答案】设每盒进价x元，依题意可列下列方程：24005020%5(50)350xx⨯--=整理得21012000x x--=，解得130x=、240x=经检验130x=-、240x=都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取40x=答：每盒茶叶进价为40元【巩固】某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价为每只P（元），且R、P与x的关系式为50030R x=+，1702P x=-，当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？【解析】略【答案】根据题意得(1702)(50030)1750x x x--+=，解之，得125x=，245x=（舍），即日产量为25只时，每月获得利润为1750元【例8】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．⑴问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？⑵若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？【解析】略【答案】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100(10080)2000⨯-=（元）．⑵设后来该商品每件降价x元，依题意，得(10080)(10010)2160x x--+=整理得210160x x-+=解得12x=，28x=当2x=时，售价为98元当8x=时，售价为92元答：商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价为98元或92元【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。
中考专题复习——整数根
初三数学专题复习1——整数根例1．已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．例2、关于x 的一元二次方程x 2－2(2m －3)x+4m 2－14m+8=0（1）若m ＞0，求证：方程有两个不相等的实数根（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值例3、关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.（1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.例4、已知: 关于x 的一元二次方程0)2(2=+++-n m x n m mx ①.（1）求证: 方程①有两个实数根;（2）求证: 方程①有一个实数根为1（3）设方程①的另一个根为1x ，若2=+n m ，m 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x 的二次函数n m x n m mx y +++-=)2(2的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5， 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离。
一元二次方程的整数根问题专题练习(解析版)
一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．即x 1=121k +，x 2=61k -． 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，∴只有k =2为所求．二、填空题2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．答案：2解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．∴x 1=61k +，x 2=31k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．答案：24解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．此时原方程的两个实数根为：x =212m +14502=±，不妨设x 1＞x 2，则x 1=32，x 2=18．故m=244、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，∴m =7或m =-1．三、解答题5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．答案：-1．解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，设4m 2+5=n 2（n 为正整数），4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩， 则m =-1．6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，由求根公式得：x1=61a-，x2=41a+，∵方程有两个不相等的负整数根，∴a-1=-1，-2，-3，-6，a+1=-1，-2，-4，即：a=0，-1，-2，-5，a=-2，-3，-5，∴a=-2或-5．∴a=-2．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．解答：当m=0时，x=-1，当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1m，∵xm为整数，∴m=±1，综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，有整数根x=1，满足题意．当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，[mx-（2m+2）]（x-1）=0，mx-（2m+2）=0或a-1=0，∴x1=22mm+=2+2m，x2=1．又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴2m为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．则m 的值为0或1或2或-2．9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？答案：（1）证明见解答．（2）m =2或m =3．解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．由求根公式解得：x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．∴m =2或m =3．10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．答案：（1）证明见解答．（2）当m =-1时，原方程的根是整数．解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，得x =3m --．要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩．将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．∴当m =-1时，原方程的根是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，∴x =()22m +±． ∵该方程的根均为整数，∴m 2-12m +4必为平方数，令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），整理得（m -6）2-n 2=32，∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122m n =⎧⎨=⎩，当157m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．当122m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．答案：（1）证明见解答．（2）2或0或3或-1．解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，a =m -1，b =-2m ，c =m +1，∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m±-， ∴x 1=1，x 2=11m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m ＜-3．（3）m =-3，-1，3．解答：（1）解法一：由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．解法二：原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，∵m ≠0，∴原方程必有两个实根．（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m-， ∴2＜23m m -＜3，化简得2＜2-3m＜3， 由2＜2-3m可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．（3）∵m 为整数，x 2=2-3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．答案：（1）m ＜52． （2）2．解答：（1）由题意得：b 2-4ac =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，解得：m ＜52．（2）由m 为正整数，可知m =1或2，求根公式得x =-1∵方程的根为整数，∴5-2m 为完全平方数，则m 的值为2．15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．答案：（1）m ＞-1．（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）=8m +8．∵方程有两个不相等的实数根，∴8m +8＞0，∴m ＞-1．（2）在（1）的条件下，当m =1时，该方程可化为x 2+4x =0．∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．答案：（1）m ＞-18． （2）m =15．解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，原因：方程解为x =()23m -，∵10＜m＜21，m为整数，∴81＜8m+1＜169且为整数，∴913，又∵方程有两个整数根，或11或12，∴m=998或15或118，∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得（2x-m）（x-2m）=5故2521x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2125x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2521x mx m-=-⎧⎨-=-⎩，或2125x mx m-=-⎧⎨-=-⎩解得31311313 x x x xm m m m==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1＞0由根与系数关系得：x1+x2=-1kk+=-1-1k，x1·x2=1kk-=1-1k，∵根都是整数，∴k=±1，检验：k=-1不符合（舍）．综上所述，k=1．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k 的值．答案：（1）k =0，±2．（2）k =0，±2，±12． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，∴k =0，±2．（2）由x 1=61k +，x 2=31k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，∴k =0，±2，±12． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，∴2k -3≠0，∴k ≠32． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，∴0＜4k +1＜14，∴-14＜k ＜134． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，∴k ≥1516， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，∴k =1或2或3．当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。
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初三数学提高班 方程的整数根(练习)
1、设a 为整数,若存在整数b 和c,使(x+a)(x-15)-25=(x+b)x+c),则a 可取值为 。
2、设p 、q 为质数,则关于x 的方程x 2+px+q 4=0的整数解是 。
3、设k 为整数,关于x 方程(k 2－1)x 2－3(3k －1)x+18=0有两个不等正整数根,
则k= 。
4、方程(a 2－1)x 2－2(5a+1)x+24=0有两个不等负整数根,则整数a 的值是 。
5、已知0122=-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数
a 的个数为 。
6、若方程x 2+(4n+1)x+2n=0(n 为整数)有两个整数根,那么这两个根是( )
(A)都是奇数 (B)都是偶数 (C)一奇一偶 (D) 无法判断
7.若p 、q 都是自然数,方程px 2－qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( )
(A) 404 (B) 1998 (C)414 (D) 1996
8、已知方程a 2x 2－(3a 2－8a)x+2a 2－13a+15=0(其中是a 正整数)至少有一个整数根,
求a 的值。
9、设m 为整数,且4＜m ＜40, 方程x 2+2(2m －3)x+4m 2－14m+8=0有两个整数根,求m
的值
10、求所有实数k,使方程kx 2+(k+1)x+(k －1)=0的根都是整数。
11、若k 为正整数,且一元二次方程(k －1)x 2
－px+k=0的两根为正整数,
求k kp (p p +k k )+(p+k)的值。
12、求所有的正整数a ，b ，c ，使得关于x 的方程0232=+-b ax x ，0232=+-c bx x ，
0232=+-a cx x 的所有的根都是正整数。
13、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2
+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根
14、周长为6面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明,若存在,共有几个? .。