全等三角形证明题培优(38题)(方法)
全等三角形证明题（经典38题）（方法）
1.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.
2.(方法：巧做辅助线）如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
3.(方法：巧做辅助线）如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.
4.图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.
5.(方法：巧做辅助线）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。
6.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连D E交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．
7.(方法：火眼金睛找条件）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．
8.(方法：火眼金睛找条件）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.
(1)求证：AN=BM;
(2)求证：△CEF为等边三角形
9.(方法：火眼金睛找条件）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E 作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．
F
D
E C
B
A
(2)
10.(方法：巧做辅助线）如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F 是CD 的中点， 求证：AF ⊥CD.
11.(方法：巧做辅助线）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 上的点，∠MAN=45°． 求证：MB+ND=MN ．
12.(方法：巧做辅助线）已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．
13.(方法：火眼金睛找条件）如图E 为正方形ABCD 边BC 的中点，F 为DC 的中点，
BF 与AE 有何关系？请解释你的结论。
14.(方法：火眼金睛找条件）已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
(!)求证：BF =AC ； (2)求证：CE =
1
2
BF ； (3)CE 与BC 的大小关系如何？试证明你的结论。
15.(方法：火眼金睛找条件）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线上，连结BD ，AE ，
并延长AE 交BD 于F ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ．（2）直线AE 与BD 互相垂直吗？证明你 的结论。
16.(方法：火眼金睛找条件）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线。
F
D
A
C B
17.(方法：火眼金睛找条件）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º． ①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
B
C E F
A
B
C
D
E F 图甲
图乙 F E
D
C B
A
F E
D
C
B A
图丙
（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．
试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
18.(方法：火眼金睛找条件）分别以△ABC 的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG,M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EG.
19.(方法：中点构造全等法）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ； （2）AB=BC+AD ．
(3) 若∠ABC=50°,求∠F.
20、(方法：中点构造全等法）如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD=AB ，连接CD ．求证：CE=
2
1
CD.
21.(方法：中点构造全等法）如图，△ABC 中，AB=4，AC=7，M 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作MF ∥AD ，交AC 于F ，求FC 的长．
A
B
D
C
22.(方法：巧做辅助线法）已知在△ABC 中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
m ∠B'AC = 42.35︒
m ∠BAB' = 42.23︒
23.(方法：巧做辅助线法）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE,求证：(1)BD ·BE=AB ·BC ；(2)CE=
2
1
BD.
24.(方法：中点构造全等法）在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM 的取值范围。
25.(方法：巧做辅助线法）如图，△ABC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，你能说明DC ⊥AC
吗？
26.（2009年莆田）已知：如图在ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA
的延长线、AB DC BC 、、的延长线于点E M N F 、、、．
观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；
27.(方法：巧做辅助线法）如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ．∠C=20°，AB+BD=AC ，则
∠B 的度数是______．
28.(方法：巧做辅助线法）如图，已知在△ABC 中，AD 平分BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F,AF=EF,求证：AC=BE.
29.(方法：巧做辅助线法）如图，BE=CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB=DC ， 求证：AD 是∠BAC 的平分线．
30.(方法：性质法）如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是______．
31.如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，那么∠C=（ ）度.
E B
M
O
D N
F C
A E
B M O
D N
F C
A
32.(方法：巧做辅助线法）已知，如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.
33.(方法：巧做辅助线法）已知，等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求∠DEC;(2)求证：AD=EC.
34.(方法：巧做辅助线法）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，
求证：∠2=∠1+∠C．
35.(方法：巧做辅助线法）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD= BD．
（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
B A O D C
E 图2
36.(方法：巧做辅助线法）如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、BC 于点E 、F ．且FG ⊥AB ，垂足为G ，求证：CE=FG ．
37.如图①，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点，连接AE 交对角线BD 于点F ，过点F 作FG ⊥AE 交BC 于点G ． （1）求证：AF=FG ；
（2）如图②，连接G ，当BG=3，DE=2时，求EG 的长．
38. (2008年·东莞市)（本题满分9分）（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；
（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.
C B O
D 图1 A E。
全等三角形培优竞赛训练题
全等三角形培优竞赛训练题全等三角形是初中几何中的重要内容，它不仅是证明线段和角相等的重要工具，也是解决许多几何问题的基础。
在培优竞赛中，全等三角形的题目往往具有较高的难度和综合性，需要我们熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，并具备灵活运用知识的能力。
下面我们就来一起探讨一些全等三角形培优竞赛训练题。
一、基础巩固1、已知：如图 1，AB ＝ AC，AD ＝ AE，求证：∠B ＝∠C。
证明：在△ABD 和△ACE 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AD ＝ AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）所以∠B ＝∠C2、如图 2，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB ＝ AC，AD ＝ AE。
求证：BE ＝ CD。
证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AE ＝ AD，所以△ABE≌△ACD（SAS）所以 BE ＝ CD二、能力提升1、已知：如图 3，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF⊥AE 于 F，过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D。
求证：（1）AE ＝ CD；（2）若 BD ＝ 5cm，求 AC 的长。
证明：（1）因为 CF⊥AE，所以∠DCB ＋∠DBC ＝ 90°，又因为∠ACB ＝ 90°，所以∠EAC ＋∠AEC ＝ 90°，而∠AEC ＝∠DCB（对顶角相等），所以∠EAC ＝∠DBC。
在△CBD 和△CAE 中，∠DBC ＝∠EAC，BC ＝ AC，∠DCB ＝∠ECA ＝ 90°，所以△CBD≌△CAE（ASA）所以 AE ＝ CD（2）因为△CBD≌△CAE，所以 BD ＝ CE。
因为 AE 是 BC 边上的中线，所以 CE ＝ 1/2BC。
又因为 AC ＝ BC，BD ＝ 5cm，所以 AC ＝ 10cm2、如图 4，在△ABC 中，∠B ＝ 60°，△ABC 的角平分线 AD、CE 相交于点 O。
人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练(含答案)
人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练（含答案）考点1 利用SSS求证三角形全等1．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．2．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：(1)△DCA≌△EBC；(2)AD//CE．3．已知：如图，已知线段AB、CD相交于点O、AD、CB的延长线交于点E、OA=OC、EA=EC，求证：∠A=∠C、考点2 利用SAS求证三角形全等4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，BF=CE，AB‖DE，求证：△ABC≅△DEF．5．在△ABC中,AD为边BC上的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.△ABC的面积与△ABE的面积相等吗?说明理由6．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC ＝DC，AC，BD相交于点O．(1)求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；(2)如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．考点3 利用AAS 或ASA 求证三角形全等7．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．（1）证明：BDA AEC ≌；（2）3BD =，4CE =，求DE 的长．8．如图，已知AD 为ABC ∆的中线，延长AD ，分别过点B ，C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥．求证：BED CFD ∆≅∆．9．如右图，已知,90AB AC BAC BE CE =∠=︒,⊥于点E ，延长BE CA 、相交于点F ，求证：ADC AFB ≌10．如图，已知E 、F 在AC 上，AD //CB ，且∠D=∠B ，AE=CF ．求证：DF=BE ．考点4 利用HL 求证三角形全等11．在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF ≌；（2）若30CAE ∠=︒，求ACF ∠度数．12．如图，已知AE =DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，且AB =EC ．求证：BC =AB ＋DC ．13．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）若AB=21，AD=9，求AE的长．14．如图：AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD、求 .证：BE AC考点5 全等三角形综合15．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证：BM=CN；(2)在(1)的条件下，直接写出线段AM、CN与AC之间的数量关系_______．(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，∠MAN+MPN=180°，若AC：PC=2：1，PC=4，求四边形ANPM的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为（6，0）、（0，6），P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM＝ON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．答案1．解：（1）证明：BF EC =∵，BF FC EC FC ∴+=+，BC EF ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ≅∆∆∴；（2）150BFD ∠=︒，180BFD DFE ∠+∠=︒， 30DFE ∴∠=︒，由（1）知，ABC DEF ∆≅∆，ACB DFE ∴∠=∠，30ACB ∴∠=︒．2.（1）证明：点C 是AB 的中点，AC BC ∴=；在DCA ∆与EBC ∆中，AD CE CD BE AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()DCA EBC SSS ∴∆≅∆，（2）证明：DCA EBC ∆≅∆，A BCE ∴∠=∠，//AD CE ∴．3.如图，连结OE在、OEA 和、OEC 中OA OC EA EC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩、、OEA、、OEC （SSS ）、、A ＝、C （全等三角形的对应角相等）4.∵BF=CE ，∴BF+FC=CE+FC ，即BC=EF ．∵AB ∥DE ，∴∠B=∠E ．在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）5.△ABC 与△ABE 的面积相等．理由：∵AD 为边BC 上的中线，∴BD=CD ，在△BDE 和△CAD 中，BD DC BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CAD、SAS、，BDE ABD CAD ABD S S S S +=+，即△ABC 与△ABE 的面积相等．6.(1)证明：①在△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）.②∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAO=∠DAO.∵AB=AD ，∠BAO=∠DAO ，OA=OA ，∴△ABO ≌△ADO （SAS ）.∴OB=OD ，AC ⊥BD.(2)筝形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积=12×AC×BO+12×AC×DO=12×AC×(BO+DO)=12×AC×BD=12×6×4=12. 7.（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90ABD BAD ∠+∠=︒，∵AB AC ⊥，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在BDA 和AEC 中，90ADB CEA ABD CAEAB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BDA AEC AAS ≅；（2）∵BDA AEC ≅△△，∴BD AE =，AD CE =，∴7DE DA AE BD CE =+=+=．8.证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴ BD ＝CD ，∵ BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠E ＝∠CFD ＝90°在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，90BDE CDF E CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴ Rt △BDE ≌Rt △CDF （AA S ）9.、、BAC=90°，、、BAF=180°-、BAC=90°，、、BAF=、CAD ，、F+、ABF=90°，∵CE ⊥BE ，、、CEF=90°，、、F+、ACD=90°，、、ABF=、ACD ，在、ADC 和、AFB 中，BAF CAD AC ABACD ABF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， 、、ADC ≌、AFB （ASA ）．10.解：证明：∵AE=CF ，∴AE -EF=CF -EF即AF=CE ，∵AD ∥CB ，∴∠A=∠C ，在△ADF 和△CBE 中，A C AF CE DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CBE （ASA ），∴DF=BE ．11.（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB -∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°．12.∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，在Rt △AEB 和Rt △EDC 中，AB EC AE DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △EDC （HL ），∴DC=BE ，∵BC=BE+CE ，∴AB+DC=BC ．13.（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠DFC=∠BEC=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，CE CF BC CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ）；（2）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴CF=CE ，∠CFA=∠CEA=90°，在Rt △AFC 和Rt △AEC 中，CF CE AC AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFC ≌Rt △AEC （HL ），∴AF=AE ，由（1）知Rt △BCE ≌Rt △DCF ，则BE=DF ，∵AB=21，AD=9，∴AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+ DF =AD+2DF=9+2DF=21， 解得，DF=6，∴AE=AF=AD+DF=9+6=15，即AE 的长是15．14.证明： ∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°．又∵BF ＝AC ，FD ＝CD ，∴△RtADC ≌Rt △BDF （HL ）．∴∠EBC ＝∠DAC ．又∵∠DAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＋∠ACD ＝90°．∴BE ⊥AC ．15.（1）证明：点P 为EAF ∠平分线上一点，PB AE ⊥于B ，PC AF ⊥于C ， PB PC ∴=，在Rt PBM ∆和Rt PCN ∆中，PB PC PM PN =⎧⎨=⎩， Rt PBM Rt PCN ∴∆≅∆，BM CN ∴=；（2）AM CN AC +=，理由如下：在Rt PBA ∆和Rt PCA ∆中，PB PC AP AP =⎧⎨=⎩， Rt PBA Rt PCA ∴∆≅∆，AB AC ∴=，AM CN AM BM AB AC ∴+=+==，故答案为：AM CN AC +=；（3）:2:1AC PC =，4PC =，8AC ∴=，PB AE ⊥，PC AF ⊥，90ABP ACP ∴∠=∠=︒，180MAN BPC ∴∠+∠=︒，又180MAN MPN ∠+∠=︒， MPB NPC ∴∠=∠，在PBM ∆和PCN ∆中，BPM CPN PB PCPBM PCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PBM PCN ∴∆≅∆，∴四边形ANPM 的面积=四边形ABPC 的面积1842322=⨯⨯⨯=． 16.解：（1）结论：PM ＝PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB ＝OA ＝6，∠AOB ＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝12AB＝PB＝P A，OP⊥AB，∠PON＝∠P AM＝45°，∴∠OP A＝90°，在△PON和△P AM中，ON AMPON PAMOP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON≌△P AM（SAS），∴PN＝PM，∠OPN＝∠APM，∴∠NPM＝∠OP A＝90°，∴PM⊥PN，PM＝PN．（2）结论：OD＝AE．理由如下：如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG＝∠BOD＝∠OFD＝90°，∴∠ODF+∠AOG＝90°，∠ODF+∠OBD＝90°，∴∠AOG＝∠DBO，∵OB＝OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G＝∠AEP，在△P AE和△P AG中，AEP GPAE PAGAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△P AE≌△P AG（AAS），∴AE＝AG，∴OD＝AE．。
《全等三角形》培优题型全集
《全等三角形》培优题型全集题型一：倍长中线（线段）造全等1.已知：如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证：AC=BFC2.如图,△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值规模是______.D CBA3.在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值规模是( )A.1<AB<29B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<194.已知：AD.AE分离是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证：AE=21ACC E5.已知：如图,在ABC∆中,ACAB≠,D.E在BC上,且DE=EC,过D作BADF//交AE于点F,DF=AC.求证：AE等分BAC∠ABFD E C题型二：截长补短1.已知,四边形ABCD中,AB∥CD,∠1＝∠2,∠3＝∠4. 求证：BC＝AB＋CD.2.已知：如图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2,求证：AB=AC+CD.3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°, AD是∠BAC的等分线,且AC=AB+BD,求∠ABC 的度数D CBA4.已知ABC∆中,60A∠=,BD.CE分离等分ABC∠和.ACB∠,BD.CE交于点O,试断定BE.CD.BC的数目关系,并加以证实．DOECBA题型三：角等分线上的点向角双方引垂线段1.如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,求证：∠BAD+∠C=180°2.如图,四边形ABCD中,AC等分∠BAD,CE⊥AB于D CBA12姓名E,AD+AB=2AE,则∠B 与∠ADC 互补,为什么？3.如图,△ABD 和△ACD,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD 等分∠BAC.4.已知,AB ＞AD,∠1＝∠2,CD ＝BC. 求证：∠ADC ＋∠B ＝180°.图九21CBAD5.如图,在△ABC 中∠A BC,∠A CB 的外角等分线订交于点P,求证：AP 是∠BAC 的角等分线图十一4321PABC6.如图,∠B=∠C=90°,AM 等分∠DAB,DM 等分∠ADC. 求证:点M 为BC 的中点题型四：衔接法（结构全等三角形）1.已知：如图,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.2.如图,直线AD 与BC 订交于点O,且AC=BD,AD=BC ． 求证：CO=DO ．AOD CB3.已知：如图,AB=AE,BC=ED,点F 是CD 的中点,AF ⊥CD ． 求证：∠B=∠E ．DAFEABCDAF DC BE4.在等边ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.题型五：全等+角等分线性质 1.如图,AD 等分∠BAC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证：EB=FC2.已知：如图所示,BD 为∠ABC 的等分线,AB=BC,点P 在BD 上,PM ⊥AD 于M,•PN ⊥CD 于N,求证：PM= PNP D ACBM N题型六：全等+等腰三角形的性质1.如图,在△ABE 中,AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED; (2) OB ＝OE .OCEBDA2..已知：如图,B.E.F.C 四点在统一条直线上,AB ＝DC, BE ＝CF,∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．题型七：两次全等1.如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CFFDCBA2.如图,D.E.F.B 在一条直线上AB=CD, ∠B=∠D,BF=DE. 求证：（1）AE=CF;（2）AE ∥CF （3）∠AFE=∠CEF3.如图：A.E.F.B 四点在一条直线上,AC ⊥CE,BD ⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证：△ACF ≌△BDEACEF4.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．654321E D CBA5.已知如图,E.F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相等分ADFECBDECBA6.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G,交AB 的延伸线于点E,且AE=AC.求证：BG=FG题型八：直角三角形全等（余角性质）1.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延伸线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G ．求证：BD ＝CG ．2.如图,将等腰Rt △ABC 的直角极点置于直线l 上,且过A,B 两点分离作直线l 的垂线,垂足分离为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证实它们全等的进程．3.如图,∠ABC ＝90°,AB ＝BC,D 为AC 上一点,分离过A.C 作BD 的垂线,垂足分离为E.F,求证：EF ＝CF －AE题型九：延伸角等分线的垂线段1.如图,在△ABC 中,AD 等分∠BAC,CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．AF DCBE2.如图,△ABC 中,∠BAC=90度,AB=AC,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD=2CE ．FE DCB A3.已知,如图34,△ABC 中,∠ABC=90º,AB=BC,AE 是∠A 的等分线,CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．CEBAD题型十：面积法AB CFDEAFCBDEGABEO FDC1.如图,在△ABC 中,∠BAC 的角等分线AD 等分底边BC, 求证AB=AC.2.如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是AC 上的一点,BD=DC,P 是BC 上的任一点,PE ⊥BD,PF ⊥AC,E.F 为垂足． 求证：PE+PF=AB ．3.己知,△ABC 中,AB=AC,CD ⊥AB,垂足为D,P 是线段BC 上任一点,PE ⊥AB,PF ⊥AC 垂足分离为E.F,求证： PE+PF=CD.4.己知,△ABC 中,AB=AC,CD ⊥AB,垂足为D,P 是射线BC 上任一点,PE ⊥AB,PF ⊥AC 垂足分离为E.F,求证： PE – P F=CD.题型十一：扭转型1.如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点（点G 与C.D 不重合）, 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF,衔接DE 交BG 的延伸线于H.求证：①△BCG ≌△DCE,② BH ⊥DE2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E 在统一条直线上,贯穿连接DC ． （1）请找出图2中的全等三角形,并赐与证实（解释：结论中不得含有未标识的字母）;（2）证实：DC ⊥BE ．3.（1）如图7,点O 是线段AD 的中点,分离以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,贯穿连接AC 和BD,订交于点E,贯穿连接BC ．求∠AEB 的大小;（2）如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 外形和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 扭转（ΔOAB 和ΔOCD 不重叠）,求∠AEB .4.如图,AE ⊥AB,AD ⊥AC,AB=AE,∠B=∠E, 求证：（1）BD=CE;（2）BD ⊥CE ．5.如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.BAODCE 图CBO D图7AE图1图2DABFEDCAB GHFEDC ABGPF EDCA BGP求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF6. 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.7.D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.①当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.②若AB=2,求四边形DECF的面积. 8.五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°, 求证：AD等分∠CDECEDBA9.如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°, 求五边形ABCDE的面积10.已知Rt ABC△中,90AC BC C D==︒，∠，为AB边的中点,90EDF∠=°，EDF∠绕D点扭转,它的双方分离交AC.CB（或它们的延伸线）于E.F．（1）当EDF∠绕D点扭转到DE AC⊥于E时（如图1）,求证：12DEF CEF ABCS S S+=△△△．（2）当EDF∠绕D点扭转到DE AC和不垂直时（如图2）,求DEFS△.CEFS△.ABCS△之间的数目关系？（3）当EDF∠绕D点扭转到DE AC和不垂直时（如图3）,求DEFS△.CEFS△.ABCS△之间的数目关系？AEB MCF11.在△ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,直线MN 经由点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E. （1）.当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证：①△ADC ≌△CEB;②DE=AD ＋BE; （2）.当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,求证：DE=AD-BE;（3）.当直线MN 绕点C 扭转到图3的地位时,试问DE.AD.BE 具有如何的等量关系？ACBED NM 图3ACDEMN图2CBAED图1NMAECF BD图1图3ADFECBADBCE图2F。
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。
或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。
全等三角形培优试题
A F D CB E A FC G B E 全等三角形培优试题三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法，有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．1、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．2、已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．3、已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ．G A B F D E C A B F4、在Rt △ABC 中，∠B AC ＝90°，AB=AC ，CE ⊥BD 的延长线于E ，∠1=∠2求证：BD ＝2CE ．5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．6、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值为多少？7、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 上的点，BD ＝CF ，CD ＝BE ，G 为EF 中点，连结DG ，问DG 与EF 之间有何关系?证明你的结论。
(word版)全等三角形精选证明及辅助线作法(培优)
（初中几何）全等三角形精选题目1.已知：如图，AE =AC ， AD =AB ，∠EAC =∠DAB ，求证：△EAD ≌△CAB ．2.如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A =∠D ，AB =DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB =50°，求∠EBC 的度数？3.如图，已知BE 、CF 是的高，且BP =AC ，CQ =AB ，求证：AP ⊥AQ ，AP =AQ4.如图， 在等边△ABC 中， BD =CE ， AD 与BE 相交于点P ， 求∠APE 的度数．EDCBAE OP F QCBA DP ECBAACBE D5.如图， 已知等腰Rt △OAB 中，∠AOB =90°， 等腰Rt △EOF 中，∠EOF =90°，连结AE 、BF ． 请猜想线段AE 和线段BF 的关系，并证明你给出的结论.6.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．7.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F .求证：AE =DE +EF .OFEBAFD C BAGFE DCBA8. 正方形四条边都相等，四个角都是90°，如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的正上方，BC 在直线MN 上，点E 是直线MN 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG.（1）如图1，当点E 在线段BC 上（不与点B 、C 重合）时： ① 判断△ADG 和△ABE 是否全等，并说明理由：② 过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，观察并猜想线段BE 和线段CH 的数量关系，并说明理由：（2）如图2，当点E 在射线CN 上（不与点C 重合）时： ①判断△ADG 和△ABE 是否全等，并说明理由：②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD =4，求△CFH 的面积.图1 图29.如图，在四边形ABCD 中，BC > BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180°.E H FGDCBAN MEN MHFGD CBA DCBA10.如图，已知AD ∥BC ，点E 是CD 上一点，连接AE 、BE ，且AE 、BE 恰好是∠DAB 和∠ABC 的角平分线.求证：AB =AD ＋BC .11.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 作射线交AB 于点E ，交CA 的延长线与点F ，若∠AEF =∠F ，求证：BE=CF .EDCBAF ED CB A F E DCBA13.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 为BC 边上的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于于点F ，试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.14.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.15.如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE .AFEDCBEDCB AEDCB A16.如图，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120°），点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，请探索△CPM 是什么三角形，并进行证明.17.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .（1）求证：BF =AC ；（2）CE 和BF 有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论.MP DC BEACEFHGD BA。
全等三角形证明经典30题
全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。
步骤二：连接线段 AX。
步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。
又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。
因此，∠AXB = ∠EXF。
步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。
因此，∠ABX = ∠EFX。
步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。
因此，AB = EF。
综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。
步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。
步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。
综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。
步骤二：连接线段 BC 和 EF。
培优专题03 证明三角形全等的基本思路-解析版
∴ VACE ≌ VDCE
∴ AE = DE ，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12 cm2 ，
∴阴影部分的面积为
S△ACE＋S△ABE＝
1 2
S△ABC＝
1 2
×12＝6 cm2 ．
故答案为 6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中
（
）
A．DF∥ AC
B．∠A=∠D
C．CF=BE
D．AC=DF
【答案】D
【分析】直接利用三角形全等判定条件逐一进行判断即可．
【详解】A. 由 DF∥AC 可得∠ACB＝∠DFE，由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因 AB=DE，利用 AAS
可得△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B. 由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因∠A＝∠D，AB＝DE，利用 ASA 可得△ABC≌△DEF，故本选项
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
【答案】B
【分析】根据 BE ^ CE ， AD ^ CE 得 ÐE = ÐADC ，则 ÐCAD + ÐACD = 90° ，再由 ÐACB = 90° ，得
ÐBCE + ÐACD = 90° ，则∠BCE = ∠CAD，从而证出 DBCE≌DCAD ，进而得出 BE 的长．
ìBD = CD ïíÐADB = ÐEDC ， ïî AD = DE
\DABD≌DECD(SAS) ， \CE = AB = 3 ， 在 DACE 中， CE - AC < AE < CE + AC ，
八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
全等三角形经典培优题型(含标准答案)
三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。
求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。