解直角三角形应用题
解直角三角形的应用及解答
解直角三角形的应用及解答1．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为dm．2．如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）3．如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为米（结果保留根号）．4．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）5．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．参考答案与试题解析1．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为260dm．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，过C点作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥CG于E，则四边形DFGE为矩形，∴DE＝FG，EG＝DF，∠DEC＝90°，设AD＝BC＝x，则AB＝2x，∵tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，∴sin∠A＝，sin∠B＝，∴DF＝，AF＝，CG＝，BG＝，∴CE＝CG﹣EG＝CG﹣DF＝﹣＝，DE＝FG＝AB﹣AF﹣BG＝2a﹣﹣＝，在Rt△CDE中，DC＝dm，DE2+CE2＝DC2，即，解得x＝130，∴AB＝2x＝260dm．2．如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x米，∵CD⊥BD，AB⊥CD，∴四边形CDBE为矩形，∴BE＝CD＝3米，CE＝DB，∵斜坡AC的坡比i＝1：1，∴CE＝AE＝x米，∴AB＝（x+3）米，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，即≈1.43，解得：x≈6.98，则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米），答：土坡AB的高度约为10.0米．3．如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为（17+5）米（结果保留根号）．【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，∴EF＝tan60°•CF＝x（米），∵DE＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴DF＝5（+1）米，∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，故答案为：（17+5）．4．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝xm，∵∠A′OE＝60°，∴tan60°＝＝，即＝，解得x＝3+3，∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．5．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【解答】解：（1）作BD⊥AC于D．依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，∴＝，∴AD＝x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝＝，∴BC＝x，∵CD+AD＝30+30，∴x+x＝30+30，∴x＝30，∴AB＝2x＝60（km）；（2）第二组先到达目的地，理由：∵BD＝30km，∴BC＝x＝30km，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），∵＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第二组先到达目的地．。
解直角三角形的应用经典题型
解直角三角形应用经典1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为122.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈).3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?(2题图)17cm（第3题）ABCF参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千P C D G 60图1ABE F QP 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离.NM 东北BCAl7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB 与地面EH 平行，测得A 点到楼顶D 点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE 、BF 、CH 都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH 的长．8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°. （1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin 60°≈0.866,cos60°=0.5,tan 60°≈1.732）9． 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．第19题图AB45° 60°CED (第19题10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC为______米（精确到0.1）．（参考数据：414.12≈732.13≈）82.011. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈， 结果保留整数）．A45°60° 第（12）题BAC（第11题图）13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）B37° 48°DC A15.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.第15题图。
解直角三角形应用专题带答案
解直角三角形应用专题带答案解直角三角形应用专题练1.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度。
用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°。
求该雕塑的高度（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）。
2.一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处。
它沿XXX方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处。
求此时船距灯塔的距离（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果取整数）。
3.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，XXX用直升机航拍技术全程直播。
在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°。
如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4.XXX在某桥附近试飞无人机。
为了测量无人机飞行的高度AD，XXX通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上。
已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）。
5.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰。
其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米。
由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°。
若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据√3≈1.732）。
6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大。
2018年4月12日，XXX在南海海域隆重举行海上阅兵。
在阅兵之前我军加强了海上巡逻。
巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离XXX为400海里。
专题：解直角三角形的应用拥抱型
专题7：解直角三角形的应用拥抱型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例1（2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜i=（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，坡AB的坡度3:4︒≈︒≈）C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =，3sin 5BE BAE AB ∴∠==75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒tan 58 1.6x AN∴︒=≈58AN x ∴≈5608NE AN AE x ∴=+=+在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒45tan 220.4x BF -∴︒=≈5(45)2BF x ∴≈-5560(45)82x x ∴+=-解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．专题过关1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM ＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD ；（2）此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）【答案】（1）（2）()90+米【解析】【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH=DG=30米，DH=BG ，证明AB=BC ，设AB=BC=x米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到30903x x -=+据此求解即可．【小问1详解】解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，∴13DG CG =，∴90CG =米，∴CD ==米；【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG ，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，设AB=BC=x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH 中，tan 3AH ADH DH ∠==，∴30903x x -=+，解得90x =+，∴()90AB =米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．3.（2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD 的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测“大玉米”顶端C 处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测“大玉米”底部D 处的俯角是30°．已知楼房AB 高约是162m ，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果≈1.41≈1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt △ABD 中由边角关系求出AD 的长，在Rt △ACD 中，求出CD 即可．【详解】解：如图，由题意可知，∠CAD ＝45°，∠EBD ＝30°＝∠ADB ，AB ＝DE ＝162米，在Rt △ABD 中，∵tan30°AB AD=，∴AD 33==3，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝3≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE ＝2.5m ，在平地上的B 处测得石碑的底部E 的仰角为10°，向前走1m 到达点D 处，测得石碑的顶端A 的仰角为60°，求石碑AE 的高度.（精确到0.1m ；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183）【答案】石碑AE 的高度为19.8m【解析】【分析】在Rt BCE 中利用正切可求出BC 的长，从而得出CD 的长，再在Rt ACD △中利用正切即可求出AC 的长，进而可求出AE 的长．【详解】解：根据题意可知10EBC ∠=︒，60ADC ∠=︒，1m BD =．∵在Rt BCE 中，tan EC EBC BC∠=，∴ 2.5tan10BC ︒=，∴ 2.513.9m 0.18BC ≈≈，∴12.9m CD BC BD =-=．∵在Rt ACD △中，tan AC ADC CD ∠=，∴tan 6012.9AC ︒=，∴13.9tan 6012.912.9 1.22.37m 3AC =⨯︒=⨯≈⨯≈，∴22.3 2.519.8m AE AC EC =-=-=．答：石碑AE 的高度为19.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．5.（2022河南二模）洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE 的高度为21m ，他们在测量点A （与C 在同一水平线上）测得底座最高点E 的仰角为20°，沿AC 方向前进24m 到达测量点B ，测得老子铜像顶部D 的仰角为60°．求老子铜像DE 的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈，1.73≈）【答案】老子铜像DE 的高约38.3米．【解析】【分析】在t R ACE △，由根据正切定义解得AC 的长，继而得到BC 的长，在t R BCD 中，由正切定义解得CD 的长，最后根据线段的和差解答．【详解】解：在t R ACE △tan 20,21CE CE AC ︒==2158.33tan 20AC ∴=≈︒24AB =58.32434.3BC ∴=-=在t tan 60CDR BCD BC︒=，tan 6034.359.34CD BC ∴=⋅︒=⨯59.342138.3DE CD CE ∴=-=-≈（米）答：老子铜像DE的高约38.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．6.（2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.41，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM 的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1＝BMAM＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN 为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME ，在Rt △ABM 中，∠BAM ＝30°，∴AM ＝cos302AB AB °==（米），∴ME ＝AM+AE ＝（）米=BN ，∵∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN ＝（）米，∴CE ＝CN+NE ＝（）米，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE•tan53°≈21×43＝28（米），∴CD ＝CE ﹣DE ＝﹣28＝2≈6.7（米），即广告牌CD 的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．7.（2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G 信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD ）恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得信号柱顶端A 的仰角为30°，在C 处测得信号柱顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB 的长度．（结果保留根号）【答案】信号柱AB 的长度为12)+米【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，由锐角三角函数定义定义求出CH 、DH 、HG ，设BC x =米，再由锐角三角函数定义求出BG ，然后列出方程，解方程即可．【详解】（方法一）解：过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH AB ⊥交AB 于点H ，又AB BC ⊥，则四边形BEDH 为矩形，在Rt DCE V 中，1260CD DCE =∠=︒，，6CE DE ∴==，，=BH DE ∴=在Rt ABC △中，45ACB =︒∠，∴设==AB BC x ，(6)DH BE BC CE x ∴==++，(AH AB BH x ∴=-=+，在Rt ADH 中，30ADH ∠=︒，3tan 303AH DH ∴︒==，63x x -∴=+，解得：12)x =+．答：信号柱AB的长度为12)+米．（方法二）解：延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，在Rt DHC △中，60,12DCH CD ∠=︒=米，则cos 12cos 606CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），sin 12sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），,30DH BG G ⊥∠=︒，18tan 33DH HG G ∴===（米），24CG CH HG ∴=+=（米），设AB x =米，,30,45AB BG G BCA ⊥∠=︒∠=︒，,3tan 33AB BC x BG G ∴====（米），BG BC CG -=，324x -=，解得：312x =+，答：信号柱AB 的长度为312)+米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，因为tan ∠BDA＝，可求出AD ，又由tan30°＝，可求出CD ，即得到答案．【解答】解：由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，∴tan ∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan ∠CAD ＝tan30°＝＝＝，∴CD ＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．9.（2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【答案】路灯的高度为13.4m ．【解析】【分析】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2；在Rt △AFM 中求得 1.2tan10x FA -=︒，即可得 1.22tan10x AE -=︒；在Rt △CEP 中，可得1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，由此即可求得路灯的高度为13.4m ．【详解】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2，在Rt △AFM 中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，tan MF MAF FA ∠=，∴ 1.2tan10x FA -︒=，∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE=AE-AC= 1.22tan10x -︒-10，在Rt △CEP 中，∠PCE=27°，CE= 1.22tan10x -︒-10，tan PE PCE CE∠=，∴1.2tan27 1.22tan11xx-︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD ＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（8+4）m．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即这棵古树的高AB为（8+4）m．12.（2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到12≈1.414，3≈=1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【解析】【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程353x x -=+，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+x ＝7+≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A 处起飞，沿直线飞行120米至点B ，在此处测得楼基A 的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C ，在此处测得楼顶D 的俯角为30°，请计算万楼主楼AD 的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．【答案】万楼主楼AD 的高度约为52米．【分析】由题意可得在Rt △ABE 中和Rt △CDE 中，AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ，根据解直角三角形在在Rt △ABE 中，可计算出BE 和AE 的长度，在Rt △CDE 中，可计算出AD 的长度，由AD ＝AE ﹣AD 计算即可得出答案．【解答】解：由题意可得，在Rt △ABE 中，∵AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∴BE ＝＝＝60（米），AE ＝sin60°•AB ＝（米），在Rt △CDE 中，∵∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ＝60+30＝90（米），∴DE ＝tan30°•CE ＝＝30（米），∴AD ＝AE ﹣AD ＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD 的高度约为52米．14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m ，AB=10m ，∠C=90°，则BC=AC -AB=30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=o 故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．。
解直角三角形及其应用题目
解直角三角形是数学中的一个重要概念，它涉及到利用三角函数来求解三角形的未知元素。
在解直角三角形的问题中，我们通常知道三角形的一个锐角及其对应的两边（直角边和斜边），或者知道两个锐角和一边。
通过使用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以找到三角形的其他元素。
下面解直角三角形的题目示例：1、【题目】在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 4cm。
求AC 的长度。
【解析】利用勾股定理求解。
在直角三角形中，AC2= AB2–BC2。
代入已知数值，AC2 = 52– 42 = 9，所以AC = 3cm。
2、【题目】在直角三角形中，∠A = 30°，∠C = 90°，BC = 3cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正弦函数求解。
sin A = BC/AB，所以AB = BC/sin A = 3/sin 30° = 6cm。
3、【题目】在直角三角形中，∠B = 45°，∠C = 90°，AC = 2cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正切函数求解。
tan B = AC/BC，所以BC = AC/tan B = 2/tan 45° = 2cm。
因为∠B = 45°，所以AB = sqrt(2) * BC = 2sqrt(2)cm。
4、【题目】在直角三角形中，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 4cm。
求BC 和AC的长度。
【解析】利用余弦函数和勾股定理求解。
cos A = AC/AB，所以AC = AB * cos A = 4 * cos 60° = 2cm。
然后利用勾股定理，BC2 = AB2– AC2 = 16 - 4 = 12，所以BC = 2sqrt(3)cm。
5、【题目】一艘船以15节（海里/小时）的速度向正北方向航行。
同时，一股水流以5节的速度从东向西流过。
求船的实际航向和速度。
专题7 解直角三角形的实际应用(人教版含答案)
解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用题历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2016年一定会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度)1．(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)2．(2015·昆明西山区二模)如图：某新电视塔，塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.630，cos39°＝sin51°＝0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)3．(2015·昆明官渡区二模)如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距10米的A、B 两处测得点D和点C的仰角分别为30°和45°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE＝26米，求这块广告牌的高度．(结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4．(2015·昆明二模)如图所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(参考数据：3≈1.732，2≈1.414，结果精确到0.1米)类型2 利用方位角测量距离1．(2015·昆明西山区一模)一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°的方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449 5)2．(2015·恩施)如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时，观测到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离．(结果精确到1海里，参考数据：3≈1.732)3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C 处后．因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处与公路的距离(结果不取近似值)．4．(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(结果保留一位小数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)参考答案类型1 利用视角测量长度(高度)1.过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接BD.在Rt △DEB 中，∠DEB ＝90°，BE ＝AC ＝22米，tan32°＝DE BE， ∴DE ＝BEtan32°≈22×0.62＝13.64(米)．∵EC ＝AB ＝1.5米，∴CD ＝CE ＋ED ＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．答：旗杆CD 的高度为15.1米．2.∵∠ACB ＝45°，∠A ＝90°.∴AC ＝AB ＝600米．延长DE 交AB 于点F ，则DF ⊥AB ，四边形DFAC 为矩形．∴DF ＝AC ＝600米．在Rt △BDF 中，tan ∠BDF ＝BF DF. ∴BF ＝DFtan39°.∵CD ＝AF ，∴CD ＝AB －DF ·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)．答：大楼的高度CD 约为114米．3.∵AB ＝10 m ，BE ＝26 m ，∴AE ＝AB ＋BE ＝10＋26＝36(m)．∴CE ＝BE ·tan45°＝26 m ，DE ＝AE ·tan30°＝36×33＝123(m)．∴CD ＝CE －DE ＝26－123≈5(m)．答：这块广告牌的高度约为5 m ． 4.(1)作AH ⊥CD 于点H ，由条件知，ABDH 为矩形，∴DH ＝AB ＝1.5米，BD ＝AH ＝6米．在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH ，∴CH ＝AH ·tan30°＝23米．∴CD ＝(23＋1.5)米．在Rt △CED 中，sin ∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CD sin60°＝(23＋1.5)÷32≈5.7(米)．类型2 利用方位角测量距离1．过点P 作PC ⊥AB 于点C.由题意得，∠A ＝60°，AP ＝80海里，∠B ＝45°，∴PC ＝AP ·sin60°＝80×32＝403(海里)，PB ＝PC sinB ＝40322＝406≈40×2.449 5≈98.0(海里)．答：海轮所在的B 处距离灯塔P 约98.0海里．2.过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠CDA ＝90°.由题意得：∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，AB ＝20海里，∴∠ACD ＝60°，∠DCB ＝30°.∴∠BCA ＝∠CAB ＝30°.∴CB ＝AB ＝20海里．∴CD ＝BC ·sin60°＝103≈17(海里)．答：渔船到灯塔的距离约为17海里．3.过点C 作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F.由题意得∠ABC ＝30°，∠FCD ＝45°，CD ＝CB ＝1 000米．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin30°＝1 000×12＝500(米)．在Rt △DCF 中，DF ＝DC ·sin45°＝1 000×22＝5002(米)．∵四边形AFCE 为矩形，∴AF ＝CE.∴AD ＝AF ＋FD ＝CE ＋FD ＝500＋5002(米)．故拦截点D 处与公路距离为(500＋5002)米．4.过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°，∴tan∠PAC ＝CP AP .∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(海里)，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2海里．∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34≈0.3(小时)．答：该渔船从B 处开始航行0.3小时，离观测点A 的距离最近．。
(完整word版)解直角三角形的应用中考练习题
解直角三角形的应用练习题一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）D．50米A．100米B．50米C．米3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里（）二．填空题6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为_________米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了_________m．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出_________个这样的停车位．（≈1.4）9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是_________海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为_________米．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．D．50米米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．解答：解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．故选：D．点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．二．填空题（共5小题）6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为 3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD和CD，求差即可．解答：解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．解答：解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．平滑后高为4•sin60°=4•=．∴升高了2（）m．点评：本题重点考查了三角函数定义的应用．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）考点：解直角三角形的应用．专题：调配问题．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为100米．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC=75°，∠BPD=30°，∴∠APB=75°，∵∠BAP=∠APC=75°，∴∠APB=∠BAP，∴AB=PB=200m，∵∠ABP=30°，∴PE=PB=100m．故答案为：100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．解答：解：（1）猜想CD∥EB．证明：连接DE．∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，∴∠CDE=∠BED，∴CD∥EB．（2）BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=20≈49cm．答：A，B两点之间的距离大约为49cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF=30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度．解答：解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米，∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=135米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AE=135≈190.35米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC，以及坡度和坡角的关系．13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质．分析：（1）证明△CED是等边三角形，即可求解；（2）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可；（3）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围．解答：解：（1）连接CD（图1）．∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，根据AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的长度，继而可求出FM的长度；（2）在Rt△FAM中，根据sin∠FAM=，求出AF的长度，然后利用勾股定理求出AM的长度．解答：解：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长在Rt△ABN中，∵AB=6m，∠BAM=30°，∴BN=ABsin∠BAN=6×=3m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，同理可得：DG=FH=3m，∴FM=FH+DG+BN=9m；（2）在Rt△FAM中，∵FM=9m，sin∠FAM=，∴AF=27m，∴AM==18（m）．即AM的长为18m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。
解直角三角形典型应用20例子
解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米， 多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图， 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速 度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的 抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。
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解直角三角形应用题
解直角三角形的应用
一、仰角、俯角、方向角：
1．在离地高为30米的高楼窗台处测得地面花坛中心标志物的俯角为60°，那么这一标志物离高楼的距离为
米．2．如果在距离某一大楼100米的地面上，测得这幢大楼顶的仰角为30°，那么这幢大楼高为米．
3．如果某飞机的飞行高度为m千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为α，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是（）．
（A）
α
sin
m
（B）
α
cos
m
（C）α
tg
⋅
m（D）α
ctg
⋅
m
4．如图，飞机P在目标A的正上方1100m处，飞行员测得地面目标B的俯角30
α=，那么地面目标B
A、之间的距离为米（结果保留根号）．
5．如图，小明用一块有一个锐角为304米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
6．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30，旗杆底部B点的俯角为45．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离9
BE=米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．
7．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？
α
B
（第4
请说明理由．
8．如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量
湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米，求小岛C 、D 间的距离.（计算过程和结果均不取近似值）
9．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，
B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.414
3 1.732
==，）
10．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A 、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是30°和 60°（如图），试确定生命所在点 C 的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：
2 1.41,
3 1.73≈≈）
11．如图8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点
D 、B 、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）
Q
B C
P A 450
60︒
30︒
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理
由
(
参
考
数
据
：
2.449=== )
二 、坡角、坡度：
1．已知一段公路在斜坡上，坡度i=1︰3，若汽车在斜坡上行驶100米，则汽车升高 米。
2．如果一斜坡的坡度是1∶
3，那么坡角α= 度．
3．某山坡的路面坡度1:2.4i =，小王沿此山路向上前进了39米，则小王升高了 米. 4．一斜面的坡角为30°，一物体沿斜面向上推了10米，那么这个物体升高了 米。
5．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底
宽（精确到0.1m
=1.732
6． 如图梯形
ABCD 是拦水坝的横断面图，
（图中1:i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60
B ∠=，6AB =，4AD =，求拦水坝的横断面
ABCD 的面积．
（结果保留三位有效数字，
1.732
，
1.414）
三、综合复习课
1．如图，AC 是上海市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．
经
A
C
B
B
（第5题
E
测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
2．某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐蓬的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形
组成（如图所示）．已知等腰△ABE的底角∠AEB=θ，且tanθ=3 4
，矩形BCDE的边CD=2BC，这个横截面框架（包括BE）所用的钢管总长为15m．求帐篷的篷顶A到底部CD的距离．（结果精确到0.1m）
3．如图某拦河坝截面的原设计方案为：AH BC
∥，坡角74
ABC
∠=，坝顶到坝脚的距离6m
AB=．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长（精确到0.1m）．
4．如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．(精确到0．1米)
（已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．)
A
B
C
中
山
文
化 D
和
平
45°15°
30°
环
E
F
θ
A
B
C D
E
第2
A
B C
D H
55
5．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i （即tan α）为1︰1.2，坝高为5米。
现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1︰1.4。
已知堤坝总长度为4000米。
（1）求完成该工程需要多少土方？（4分）
（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天。
准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率。
甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成。
问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（5分）
6． 如图，甲船在港口P 的北偏西60方向，距港口80海里的
A 处，沿AP 方向以12海里/时的速度驶向港口P ．乙船
从港口P 出发，沿北偏东45方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/
1.41
1.73）
7．某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，AD BC //，
斜坡AB 长
m 1062
5
，坡度5:9=i ．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过
45时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B 到地面的垂直距离BE 的长；
A
P
东
北
45
60
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 削进到F 处，问BF 至少是多少米？
8． 如图6，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东o
60的
BD 方向移动，在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响。
⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？
⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？
北
60o
东
D
C B
A。