解直角三角形应用专题带答案
解直角三角形的应用及解答
解直角三角形的应用及解答1．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为dm．2．如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）3．如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为米（结果保留根号）．4．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）5．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．参考答案与试题解析1．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，测得C，D间的距离为4dm，则门槛AB的长为260dm．【解答】解：过D作DF⊥AB于F，过C点作CG⊥AB于G，过点D作DE⊥CG于E，则四边形DFGE为矩形，∴DE＝FG，EG＝DF，∠DEC＝90°，设AD＝BC＝x，则AB＝2x，∵tan∠DAB＝，tan∠CBA＝，∴sin∠A＝，sin∠B＝，∴DF＝，AF＝，CG＝，BG＝，∴CE＝CG﹣EG＝CG﹣DF＝﹣＝，DE＝FG＝AB﹣AF﹣BG＝2a﹣﹣＝，在Rt△CDE中，DC＝dm，DE2+CE2＝DC2，即，解得x＝130，∴AB＝2x＝260dm．2．如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，设AE＝x米，∵CD⊥BD，AB⊥CD，∴四边形CDBE为矩形，∴BE＝CD＝3米，CE＝DB，∵斜坡AC的坡比i＝1：1，∴CE＝AE＝x米，∴AB＝（x+3）米，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，即≈1.43，解得：x≈6.98，则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米），答：土坡AB的高度约为10.0米．3．如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为（17+5）米（结果保留根号）．【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，∴EF＝tan60°•CF＝x（米），∵DE＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴DF＝5（+1）米，∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，故答案为：（17+5）．4．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝xm，∵∠A′OE＝60°，∴tan60°＝＝，即＝，解得x＝3+3，∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．5．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【解答】解：（1）作BD⊥AC于D．依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，∴＝，∴AD＝x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝＝，∴BC＝x，∵CD+AD＝30+30，∴x+x＝30+30，∴x＝30，∴AB＝2x＝60（km）；（2）第二组先到达目的地，理由：∵BD＝30km，∴BC＝x＝30km，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），∵＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第二组先到达目的地．。
专题7 解直角三角形的实际应用(人教版含答案)
解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用题历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2016年一定会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度)1．(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)2．(2015·昆明西山区二模)如图：某新电视塔，塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.630，cos39°＝sin51°＝0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)3．(2015·昆明官渡区二模)如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距10米的A、B 两处测得点D和点C的仰角分别为30°和45°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE＝26米，求这块广告牌的高度．(结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4．(2015·昆明二模)如图所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(参考数据：3≈1.732，2≈1.414，结果精确到0.1米)类型2 利用方位角测量距离1．(2015·昆明西山区一模)一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°的方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449 5)2．(2015·恩施)如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时，观测到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离．(结果精确到1海里，参考数据：3≈1.732)3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C 处后．因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处与公路的距离(结果不取近似值)．4．(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(结果保留一位小数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)参考答案类型1 利用视角测量长度(高度)1.过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接BD.在Rt △DEB 中，∠DEB ＝90°，BE ＝AC ＝22米，tan32°＝DE BE， ∴DE ＝BEtan32°≈22×0.62＝13.64(米)．∵EC ＝AB ＝1.5米，∴CD ＝CE ＋ED ＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．答：旗杆CD 的高度为15.1米．2.∵∠ACB ＝45°，∠A ＝90°.∴AC ＝AB ＝600米．延长DE 交AB 于点F ，则DF ⊥AB ，四边形DFAC 为矩形．∴DF ＝AC ＝600米．在Rt △BDF 中，tan ∠BDF ＝BF DF. ∴BF ＝DFtan39°.∵CD ＝AF ，∴CD ＝AB －DF ·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)．答：大楼的高度CD 约为114米．3.∵AB ＝10 m ，BE ＝26 m ，∴AE ＝AB ＋BE ＝10＋26＝36(m)．∴CE ＝BE ·tan45°＝26 m ，DE ＝AE ·tan30°＝36×33＝123(m)．∴CD ＝CE －DE ＝26－123≈5(m)．答：这块广告牌的高度约为5 m ． 4.(1)作AH ⊥CD 于点H ，由条件知，ABDH 为矩形，∴DH ＝AB ＝1.5米，BD ＝AH ＝6米．在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH ，∴CH ＝AH ·tan30°＝23米．∴CD ＝(23＋1.5)米．在Rt △CED 中，sin ∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CD sin60°＝(23＋1.5)÷32≈5.7(米)．类型2 利用方位角测量距离1．过点P 作PC ⊥AB 于点C.由题意得，∠A ＝60°，AP ＝80海里，∠B ＝45°，∴PC ＝AP ·sin60°＝80×32＝403(海里)，PB ＝PC sinB ＝40322＝406≈40×2.449 5≈98.0(海里)．答：海轮所在的B 处距离灯塔P 约98.0海里．2.过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠CDA ＝90°.由题意得：∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，AB ＝20海里，∴∠ACD ＝60°，∠DCB ＝30°.∴∠BCA ＝∠CAB ＝30°.∴CB ＝AB ＝20海里．∴CD ＝BC ·sin60°＝103≈17(海里)．答：渔船到灯塔的距离约为17海里．3.过点C 作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F.由题意得∠ABC ＝30°，∠FCD ＝45°，CD ＝CB ＝1 000米．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin30°＝1 000×12＝500(米)．在Rt △DCF 中，DF ＝DC ·sin45°＝1 000×22＝5002(米)．∵四边形AFCE 为矩形，∴AF ＝CE.∴AD ＝AF ＋FD ＝CE ＋FD ＝500＋5002(米)．故拦截点D 处与公路距离为(500＋5002)米．4.过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°，∴tan∠PAC ＝CP AP .∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(海里)，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2海里．∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34≈0.3(小时)．答：该渔船从B 处开始航行0.3小时，离观测点A 的距离最近．。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
2022年中考解直角三角形的应用专题-含答案
2022年中考解直角三角形的应用专题1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i ＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）20．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡比为i＝12：5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（tan48.8°≈1.14）21．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，象利用所学的解直角三角形的知识测量某大楼高度，如图所示，大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡长CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，他们先在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求楼AB的高度（结果保留根号）．22．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度i1＝1：3，斜坡CD的坡度i2＝1：1．（1）求斜坡AB的长（结果保留根号）；（2）求坝底AD的长度；（3）求斜坡CD的坡角α．23．如图，学校教学楼前方50米A处有一个坡度i＝1：的斜坡，为了测学校教学楼MN的高度，小明沿着斜坡向上前进了6米到达点B，在点B处用测角仪测得楼的顶部N的仰角为37°，已知测角仪BC 的高度为1.2米，求教学楼MN的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°．计算结果保留根号）24．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．（1）求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？（2）求建筑物BC的高度为多少米？（3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2（+3）m/s，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）．26．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）28．如图，AB，CD表示两栋建筑，小明想利用建筑CD玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB的高度，首先他在建筑AB的底部A处用测角仪测得其顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点E的仰角为α，然后他沿AC前进了10米到达点F处，再用测角仪测得建筑AB的顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知tanα＝，sinβ＝，测角仪置于水平高度1.5米的M、N处．试求建筑AB的高度．2022年中考解直角三角形的应用专题参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．【解答】解：（1）∵∠BEC＝60°，∠BDE＝30°，∴∠DBE＝60°﹣30°＝30°，∴BE＝DE＝20，∴CE＝BE＝10m；∴点E到建筑物AC的距离是10m；（2）在Rt△BEC中，BC＝BE•sin60°＝20×＝10≈17.3（米），∴AB＝BC﹣AC＝17.3﹣12＝5.3（米），答：旗杆AB的高度为5.3米．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO＝60°，OA＝200m．∵tan60°＝，即＝，∴OB＝OA＝200（m）．（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．则OE＝CH，EC＝OH．根据题意，知i＝＝，可设CH＝x，AH＝x．在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AH．∴200﹣x＝200+x．解得x＝200（2﹣）．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴AC2＝（x）2+x2＝4x2．∴AC＝2x＝2×200（2﹣）＝400（2﹣）（m）．答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为400（2﹣）m．3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．【解答】解：根据题意可得：AC＝＝21，则AB＝AC﹣BC＝21﹣30．故树高BE＝AB×tan30°＝（21﹣30）×tan30°≈3.7（米）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）【解答】解：过点Q作QE⊥AB，交AB于点E．根据题意，得：∠AQE＝37°，∠APB＝45°，CQ＝60，CP＝84，设AB＝x（米）．则AE＝（x﹣60），QE＝CB＝x+84．在Rt△APB中，得：PB＝AB＝x，在Rt△AQE中，AE＝QE•tan37°，即．解得：x＝492．答：环球国际金融中心（AB）的高度约为492米．6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝DF，FH＝AB＝CD＝1.5米，AC＝BD＝97米，DM＝1米，∠EAH＝37°，∵CD⊥BD，EF⊥MF，∴CD∥EF，∴△CDM∽△EFM．∴＝，∴＝，∴EH＝1.5CH，在Rt△EAH中，∠EAH＝37°，∴tan37°＝，∴≈0.75，∴4EH＝291+3CH，∴4EH＝291+2EH，∴EH＝145.5（米），∴EF＝EH+HF＝145.5+1.5＝147（米），答：该塔的高度EF为147米．7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∴∠BQP＝∠AQP＝90°，在RT△BPQ中，∵PQ＝10，∠BQP＝90°，∠B＝30°，∵tan B＝，∴＝，∴BQ＝10，在RT△APQ中，∠AQP＝90°，∠P AB＝45°，∴APQ＝90°﹣∠P AB＝45°，AQ＝PQ＝10，∴AB＝BQ+AQ＝10+10．答：A、B之间的距离为（10+10）米．（2）如图作AE⊥BC于E．在RT△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝30°，AB＝10+10，∴AE＝AB＝5+5，∵∠CAD＝75°，∠B＝30°，∴∠C＝45°，在RT△CAE中，sin C＝，∴＝，∴AC＝（5+5）＝5+5，答：AC的长为（5+5）米．8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan30o＝2（米），∴点F到地面的距离为2米；（2）∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），∴FD＝EG＝（3+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．【解答】解：在Rt△ABC中，设AB＝x，则AC＝2x，BC＝＝x，则BD＝（x﹣20）米，在Rt△ABD中，＝tan60°，＝，∴x＝10．答：楼AB的高为10米．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．【解答】解：在Rt△DEF中，∵∠DFE＝60°，∴EF＝DE，在Rt△DEG中，∵∠DGE＝30°，∴EG＝DE，∴GF＝EG﹣EF＝DE﹣DE＝（﹣）DE，又∵GF＝AB＝40m，∴（﹣）DE＝40，解得：DE＝60，∴DC＝DE+EC＝60+1.6＝61.6（米），即楼的高度为61.6米．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．【解答】解：过F点作FM⊥AB于M，交HG于点N，则MF＝BC，NF＝HC＝1.4，MB＝CF＝NH＝1，NG＝HG﹣NH＝1，∵∠AMF＝∠GNF，∠AFM＝∠GFN，∴△AMF∽△GNF，∴，即，∴BC＝1.4AB﹣1.4．∵∠ABD＝∠ECD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，即，∴3AB＝2BC+4.8，∴3AB＝2（1.4AB﹣1.4）+4.8，∴AB＝10，∴这棵侧柏的高AB为10米．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝4m，∠ACB＝30°，∴tan30°＝，∴AB＝m．（2）在Rt△ACB中，易知AC＝2AB＝m，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠DAC＝60°，∴CD＝AC＝8，在Rt△CDE中，sin60°＝，∴DE＝4m．13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）【解答】解：延长AE交BC的延长线于H，由题意知∠ACF＝∠ECF，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴∠BCF＝∠DCF＝∠ABC＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∵CD＝0.5，DE＝1，∴＝，∴AB＝2BC，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴ED∥FC∥AB，∴△HFC∽△HAB，△HED∽△HFC，∴＝，＝，设BC＝x，HD＝y，则AB＝2x，HB＝x+y+0.5，HC＝y+0.5，，解得：x＝49.5，∴AB＝99（米）答：揽月阁的高度AB为99米．14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∵tanα＝＝，∴设AB＝xm，则AE＝2xm，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝xm，∴EC＝AE+AC＝30，即：2x+x＝30，解得：x＝10，答：求得旗杆高度为10米；（2）过D作DG⊥AF于点G，在Rt△DEG中，tanα＝＝，设DG＝ym，则EG＝2ym，∴CG＝2y﹣30，∵tan∠DCG＝，∴DG＝CG×tan∠DCG，∴y＝（2y﹣30）×tan48°，∴y＝1.11×（2y﹣30），解得：y≈27.3，答：求得风筝D离地面的距离为27.3米．15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【解答】解：（1）如图，设DE＝x米，∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，∴EF＝（x﹣2）米，AC＝2AB＝4（米），∵∠ECD＝60°，∴△ACE是直角三角形，∵AF∥BD，∴∠CAF＝30°，∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2AC＝8（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝4（米），即x﹣2＝4，解得x＝6，即树DE的高度为6米；（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，由（1）知CD＝CE＝×AC＝2（米），BC＝2（米），∴PD＝BP+BC+CD＝（3+2+2）米＝（3+4）米，∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，∴NP＝PD＝（3+4）米，∴NM＝NP﹣MP＝（3+4﹣2）米＝（1+4）米，即食堂MN的高度为（1+4）米．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）【解答】解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10米，∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米，∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF＝＝20≈35米，∴AD＝AE+EF+FD＝95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100＝105000米3．17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．【解答】解：（1）设AE＝5x米，∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE＝12x米，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴BE＝12x＝24（米）；（2）过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，∴FG＝BE＝24米，BF＝GE，在Rt△AFG中，∠F AG＝53°，∴AG＝≈≈18.0（米），由（1）可知，AE＝10米，∴BF＝GE＝AG﹣AE≈8（米），答：BF至少是8米．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【解答】解：（1）在Rt△ADB中，AB＝30m，∠ABC＝60°，sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin∠ABC＝30×sin60°≈26.0（m）答：AD等于26.0米；（2）在Rt△ADB中，cos∠ABD＝，∴DB＝AB•cos∠ABD＝30×cos60°＝15（m），连接BE、过E作EN⊥BC于N，∵AE∥BC，∴四边形AEND为矩形，NE＝AD≈26.0，在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0，∴AE＝ND＝BN﹣BD＝11.0（m），答：AE至少是11.0 m．19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）【解答】解：（1）斜坡AB的坡角是∠A，即tan∠A＝i．（1分）∵i＝1：，∴tan∠A＝．（1分）∴∠A＝30°．（1分）（2）过点C作CG⊥AD，垂足为点G．由题意可知：BH＝CG＝20（米），BC＝HG＝6（米）．（2分）。
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用(附参考答案)
中考数学专题训练：解直角三角形及其应用（附参考答案）1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )A．sin B＝ADAB B．sin B＝ACBCC．sin B＝ADAC D．sin B＝CDAC2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin ∠AEC＝( )A．2√55B．√55C．12D．√1043.计算sin 30°·tan 45°的结果是( )A．12B．√32C．√36D．√244.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则tan B的值为( ) A．√33B．1C．√3D．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为( )A．13B．12C．√22D．√326.如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )A．3√2B．3√5C．3√7D．6√27.已知α为锐角，且2sin (α－10°)＝√3，则α等于( )A．50°B．60°C．70°D．80°8.如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( )A．15sin 32°B．15tan 64°C．15sin 64°D．15tan 32°9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，使得AE ＝AC.若BE＝3ED，则sin ∠BAE＝( )A．12B．15C．35D．3410.如图，河对岸有铁塔AB，C，D，B三点共线，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向铁塔方向水平前进14 m到达D处，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为( )A．4(4√3－1)m B．7(√3＋1)mC．(16√3＋7)m D．(10√3＋7)m11.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的塔AB的高度，他从塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶√3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得塔AB的高度是( )A．(10√3＋20)m B．(10√3＋10)mC．20√3 m D．40 m12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是______．13.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4√2，BC＝5，则△ABC的面积为_________．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，，则点C的坐标为______．且点C在点A右方，连接AB，BC.若tan ∠ABC＝1315.如图，在杭州西湖风景区游船处，在离水面高度为5 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m，此人以0.5 m/s的速度收绳，10 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了______________m.(假设绳子是直的，结果保留根号)16.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东45°方向航行，那么“海天”号沿______________方向航行．17.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离；(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732)(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)18.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan ∠ABG＝1，正方形ABCD的边长为8，求BH的长．219.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．参考答案1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 11．A 12．12，0) 15.(12－√39) 16.北偏西45°13. 2或14 14.(9417.(1)湖岸A与码头C的距离约为1 559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船，理由略18.BH＝1019.(1)DE的长为3.4 cm (2)点A，B之间的距离为22.2 cm。
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)
2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。
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解直角三角形应用专题带答案解直角三角形应用专题练1.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度。
用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°。
求该雕塑的高度（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）。
2.一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处。
它沿XXX方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处。
求此时船距灯塔的距离（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果取整数）。
3.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，XXX用直升机航拍技术全程直播。
在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°。
如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4.XXX在某桥附近试飞无人机。
为了测量无人机飞行的高度AD，XXX通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上。
已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）。
5.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰。
其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米。
由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°。
若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据√3≈1.732）。
6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大。
2018年4月12日，XXX在南海海域隆重举行海上阅兵。
在阅兵之前我军加强了海上巡逻。
巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离XXX为400海里。
巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处。
求此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到1海里）。
7.首艘于2018年5月完成了第一次海上试验任务。
在航行过程中，当航母到达A处时，测得小岛C位于它的XXX70°方向，距离航母80海里。
之后，航母继续航行到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向。
现在航母要继续航行到小岛C的正南方向的D处，求航行距离BD的长度。
8.在某市郊外景区内，公路l经过景点A和B，景区管委会开发了风景优美的景点C。
测量结果显示，景点C位于A的北偏东60°的方向上，位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km。
现在需要求出景点B与C的距离，并且为了方便游客到达景点C，景区管委会准备修建一条距离最短的公路连接景点C和公路l，求这条最短公路的长度。
9.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，数学小组在公路l上的点A处进行测量。
测得凉亭P在XXX的方向上。
从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在XXX的方向上。
现在需要求凉亭P到公路l的距离。
10.甲、乙两座建筑物的水平距离为78m。
从甲的顶部A 处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°。
现在需要求甲、乙建筑物的高度AB和DC。
11.在放学路上，XXX看到隧道上方有一块宣传“中国-南览会”的竖直标语牌CD。
她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m）。
现在需要求标语牌CD的长度。
12.某测量小组为了测量XXX的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°。
之后，他们沿着坡度为1:的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°。
现在需要求山高BC的长度。
13.在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米。
在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E 在同一直线上。
1) 求坡底C点到大楼距离AC的值。
2) 求斜坡CD的长度。
14.台风来临前，我国海上搜救中心A接到一渔船遇险的报警。
于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救。
已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向。
此时离台风来到C处还有12小时。
如果救援船每小时行驶20海里，能否在台风来到之前赶到C处对其施救？15.在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km。
现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处。
1) 求观测点B到航线l的距离。
2) 求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）。
17.市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库。
如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度。
如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米）18.在坡角为30°的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙。
当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CE的长为6米。
求旗杆AB的高度。
CD=100海里，所以AD=AC=100海里。
在Rt△BCD中，∠B=60°，∠CBD=45°，所以∠C=75°。
因此，在Rt△BCD中，XXX≈100/2.414≈41.39海里。
又因为∠BDC=180°-∠C=105°，所以BC=BD/cos(180°-∠XXX-∠CBD)≈41.39/0.5≈82.78海里。
答：此时船距灯塔的距离约为83海里。
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，AC=10，BC=24，DE=6，求AD的长度。
解答】解：在Rt△ABC中，AB=√(AC²-BC²)=√(100-576i)=√(676i-576)≈13.42.在Rt△ADE中，∠A=90°，DE=6，所以AD=AE/tanA=DE/cosA=6/cos(arctan(BC/AC))≈6/0.6≈10.答：AD的长度为10.4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为BC边上一点，且AD=AC，BD=5，CD=3，求AB的长。
解答】解：在Rt△ABC中，AC=AD，所以BC²=BD·CD=15.又因为∠XXX°，所以AB²=AD²+BD²=2AC²+BC²=2·15+25=55.答：AB的长为√55.5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，AC=15，BC=8，DE=3，求BD的长度。
解答】解：在Rt△ABC中，AB=√(AC²-BC²)=√(225-64)=√161.在Rt△ADE中，∠A=90°，DE=3，所以AD=AE/tanA=DE/cosA=3/cos(arctan(BC/AC))≈3/1.25≈2.4.在Rt△BDE中，XXX(arctan(BC/AC))≈3/0.8≈3.75.答：BD的长度为3.75.1.根据勾股定理得：$BD=50$，则$AB=AD+BD=100$，此时船锯灯塔的距离为$193$海里。
2.解：根据勾股定理得：$BD=200\sin30^\circ=100$，则$AB=AD+BD=150$，此时直升机A、B两点间的距离为$150\sqrt{3}$米。
3.解：根据勾股定理得：$AD=200\tan30^\circ=200\sqrt{3}/3$，则$AB=2AD=400\sqrt{3}/3$，此时A、B两点间的距离为$400\sqrt{3}/3$米。
4.解：根据正弦定理得：$AD=30/\sqrt{3}$，则$BC=30-AD=30(1-\sqrt{3}/3)$，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BC^2}=20\sqrt{6}$，此时无人机飞行的高度为$AD=30/\sqrt{3}$米。
5.解：根据正弦定理得：$AD=30/\sqrt{3}$，则$BD=AD/\tan30^\circ=AD\sqrt{3}$，$CD=AD/\tan45^\circ=AD$，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BD^2+(CD-AC)^2}=20\sqrt{6}$，此时隧道最短为$AC-2AD=1000-20\sqrt{3}$米。
解答】解：首先画出图形如下：由题意可知，∠ACB=150°，∠ABC=30°，AB=10km，设BC=x，则AC=10+x。
在△ABC中，根据余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2AB·BC·cos∠ABC代入已知数据，得：10+x)²=x²+10²-2x·10·cos30°化简得：3x²+20x-100=0解得：x≈3.333因此，景点B与C的距离约为3.333km。
为了方便游客前往景点C，景区管理委员会决定修建一条距离最短的公路连接景点C和公路L，忽略其他因素，求最短公路的长度。
解：如图所示，根据题意可得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，因此∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°，∠XXX∠C=30°，BC=AB=10km，即景点B和C之间的路程为10km。
过点C作CE⊥AB于点E，由于BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，因此∠CBE=60°，在直角三角形CBE中，CE=5km。
为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路L的距离，某数学兴趣小组在公路L上的点A处，测得凉亭P在XXX的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路L上的点B处，再次测得凉亭P在XXX的方向上。