2020~2021北京市西城区九年级初三上学期期末数学试卷及答案

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北京市第四中学2020-2021学年九年级数学第一学期期末综合测试十一试卷

AE 期末综合测试十一学校班级姓名考号一、选择题(本题共 24 分，每小题 3 分，下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的） 1．抛物线 y = (x -1)2+ 2 的对称轴是A ． x = -1B ． x = 1C ． x = -2D ． x = 22．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则sin A 的值为3．如图，线段 BD ，CE 相交于点 A ，DE ∥BC ．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5，则 BC 的长为 A ．1 B ．2C ．3D ．4CD4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则∠B 的大小为 EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°B C D5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB与△OCD 的周长分别是C 1 和C 2 ，则下列等式一定成立的是6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不．经过 A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q7．如果在二次函数的表达式 y = ax 2 +bx + c 中，a > 0 ，b < 0 ，c < 0 ，那么这个二次函数的图象可能是3 COD（A ）（B ）（C ）（D ）8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC = DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是AB图 1图 2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．方程 x 2- 2x = 0 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan A = 3 ，那么∠A 的大小是°．11．如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为 4，则弦 AB 的长为． 12．如图，抛物线 y = ax 2+ bx + c 的对称轴为 x = 1，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点 A ，点 C ，若∠P = 60°，PA= ，则 AB 的长为．初三年级（数学）第 2 页（共 6 页）yO xy O xy Ox y O xyO 1.097.49 9.6817.12xA CODB2 15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为．交通信号灯16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° -2 cos 45 ° + 8 ．18．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3的长．A，AC = 5， sin C = 3，求 BC5BC黄 3.2m绿0.8m20m10mx m已知：平面内一点 A ．求作：∠A ，使得∠A = 30°．作法：如图，D（1）作射线 AB ；AO C B（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．19．已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M ，分别以 AM 和 MB 为边截取两块相邻的正方形板料. 当 AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?20．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = -x 2 + mx + n 经过点 A (-1,0) 和 B (0,3) . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C ，连接 BC ．设抛物线的顶点 P 关于直线 y = t的对称点为点 Q ，若点 Q 落在△OBC 的内部，求 t 的取值范围．A21．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC ，过点 D 作 DE ∥AB 交弦BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．22．如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒ ，∠C = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至 AD ' ，连接 BD ' ．已知 AB = 2cm ，设 BD 为 x cm ，B D '为 y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）DOB EC F（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x / cm0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y / cm1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD ' 的长度的最小值约为 cm ；若 BD ' ≥ BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是．23．已知二次函数 y = ax 2- 4ax + 3a ．（1）该二次函数图象的对称轴是 x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是 2，求当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点 P (x 1，y 1 ) 合图象，直接写出t 的最大值．， Q (x 2，y 2 ) ，当t ≤ x 1 ≤ t +1， x 2 ≥ 5 时，均满足 y 1 ≥ y 2 ，请结24．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A ，若平面内的点 P 满足：射．线．AP 与⊙C 交于点Q （点 Q 可以与点 P 重合），且 1 ≤PA≤ 2 ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A （-1，0）．（1）若点 P 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标；（2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 tan ∠BAO = 1 ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；2（3）直线 y = 3x + b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是．yy5 5 4 4 3 3 2211AA–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x25．在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ．（1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD ，CE 交于点 Q ，请判断“ QB =2QA ”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA ，PB ，且PB = ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP = 30°，求∠PAB 的大小；PA ．②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC ，设∠APC = α，∠BPC = β，用等式表示 α，β 之间的数量关系，并证明你的结论．A AABCB CB C图 1 图 2 图 3PPEQD2。

2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ．（1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是；（3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ；（2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--，当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上，当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上，当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上，故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=．故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-；再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+，故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==，故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=，故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =，故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ；此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中，得231a =⨯，解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =．故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则62sin 93AC B AB ===，故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示：弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=，故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=．故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==，故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=．补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-．方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．（3）点A 在O 外．理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠．故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=．解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===．在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ；（2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ．（3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时，由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时，由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=．将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3．当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--．整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -；（3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。

2021-2022学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )A. y=x+1B. y=x2C. y=(x−4)2D. y=1x2.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标为( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,−1)D. (−2,1)4.在△ABC中，CA=CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定5.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案(如图)，则α可以为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )A. x2=2(2−x)B. x2=2(2+x)C. (2−x)2=2xD. x2=2−x7.如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是( )A. A，B，C都不在B. 只有BC. 只有A，CD. A，B，C8.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n26551279310341306155820832598“正面向上”的频率nm0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是( )A. ②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是.(写出一个符合题意的答案即可)10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．11.若点A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=2x2的图象上，则y1，y2的大小关系为：y1____ y2(填“>”，“=”或“<”)．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,0)，点B(0,1).将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．13.若关于x的方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．14.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧AB⏜上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是．15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为cm.(π取3.1)16.给定二元数对(p,q)，其中p=0或1，q=0或1.三种转换器A，B，C对(p,q)的转换规则如下：规则a.转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b.在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．(1)在图1所示的“A−B−C”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为；(2)在图2所示的“①−C−②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“−C−”.(写出一种组合即可)．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。

2023北京西城区初三(上)期末考数学试卷及答案

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学 2023.1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．二次函数2(2)3y x的最小值是（A）3 （B）2 （C）3 （D）22．中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．下列事件中是随机事件的是（A）明天太阳从东方升起（B）经过有交通信号灯的路口时遇到红灯（C）平面内不共线的三点确定一个圆（D）任意画一个三角形，其内角和是540°注意事项1．本试卷共7页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将考试材料一并交回。

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第1页（共7页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第2页（共7页）4．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A =45°，∠APD =80°，则∠B 的大小是（A ）35°（B ）45°（C ）60°（D ）70°5．抛物线221y x 通过变换可以得到抛物线22(1)3y x ，以下变换过程正确的是（A ）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位（B ）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位（C ）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位（D ）先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛.如果设邀请x 个球队参加比赛, 那么根据题意可以列方程为（A ）215x（B ）(1)15x x （C ）(1)15x x（D ）(1)152x x 7．如图，在等腰△ABC 中，∠A =120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE ，当点A 的对应点D 落在BC 上时，连接BE ，则∠BED 的度数是（A ）30° （B ）45° （C ）55° （D ）75°8．下表记录了二次函数22y ax bx （0a ）中两个变量x 与y 的5组对应值，其中121x x ．x … 5 1x2x1 3 … y…m2m…根据表中信息，当502x 时，直线y k 与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（A ）726k （B ）76＜k ≤2 （C ）823k（D ）2＜k ≤83北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第3页（共7页）第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9．一元二次方程2160x 的解是____．10．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，则点P 在⊙O ______ （填“内”“上”或“外”）．11．若关于x 的一元二次方程230x x c 有两个相等的实数根，则c 的值为_____． 12．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．13．点M （3，m ）是抛物线2y x x 上一点，则m 的值是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．14．已知二次函数满足条件：①图象过原点； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大. 请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O 逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A ，使得⊙A 与y 轴相切，则α的度数是____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AB OC ， P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ．若⊙O 的半径为2，则CM 长的最大值是_____．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第4页（共7页）三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解方程：2420x x ．18．已知：点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠BAC =45°．求作：直线l ，使其过点C ，并与⊙O 相切．作法：①连接OC ；②分别以点B ，点C 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于⊙O 外一点D ； ③作直线CD ．直线CD 就是所求作直线l ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OB ，BD ，∵ OB =OC =BD =CD ， ∴ 四边形OBDC 是菱形.∵ 点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠BAC =45°，∴ ∠BOC =______°（_________________）（填推理的依据）． ∴ 四边形OBDC 是正方形. ∴ ∠OCD =90°，即OC ⊥CD . ∵ OC 为⊙O 半径，∴ 直线CD 为⊙O 的切线（_________________）（填推理的依据）．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第5页（共7页）19．已知二次函数223y x x ．（1）将223y x x 化成2()y a x h k 的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当-1＜x ＜2时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．20．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是AB 的中点，连接OC 并延长交劣弧AB 于点D ，连接OB ，DB ．若AB =4，CD =1，求△BOD 的面积．21．在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，其中红球的个数是；（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第6页（共7页）22．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，连接AE ，BE ，CE ．（1）求∠CBE 的度数；（2）若△ACD 是等边三角形，且∠ABC =30°，AB =3，BD =5，求BE 的长．23．已知关于x 的方程22290x mx m ．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，且12x x ，若1225x x ，求m 的值．24．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点O 是AC上一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，使⊙O 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ．过点B 作BF ∥AC ，交ED 的延长线于点F ．（1）若AB =4，求⊙O 的半径；（2）连接BO ，求证：四边形BFEO 是平行四边形．25．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系： 2116y x bx c．已知OA ＝70 m ，OC ＝60 m ，落点P 的水平距离是40 m ，竖直高度是30 m ．（1）点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______；（2）求满足的函数关系2116y x bx c；（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学第7页（共7页）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝t ，且320a b c .（1）当0c 时，求t 的值；（2）点1(2)y ,，2(1)y ,，3(3)y ,在抛物线上，若a ＞c ＞0，判断1y ，2y 与3y 的大小关系，并说明理由.27．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°，∠APB =45°，连接CP ，将线段CP 绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ . （1）依题意，补全图形，并证明：AQ =BP ；（2）求∠QAP 的度数；（3）若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP与CP 之间的数量关系，并证明.28．给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1，-2），B （5，-2），C （-1，4）.（1）在点D （-4，0），E （2，2），F （6，0）中，与点O 关于线段AB 双对合的点是；（2）点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T （0，t ）关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围.北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第1页（共7页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考2023.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案ACBADDBC二、填空题（共16分，每题2分）9．14x =-，24x =．10．外．11．94．12．6π．13．6，（－3，－6）．14．答案不唯一，如：22y x x =-．15．45°或135°．16．1．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解：1=a ，4b =-，2c =．······················································1分224(4)4128b ac ∆=-=--⨯⨯=>0．·······················································2分方程有两个不相等的实数根=x=···································································4分2=±原方程的根为12x =+，22x =-··················································5分18．解：（1）补全图形，如图所示；··································································2分（2）90°，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．······························5分19．解：（1）223y x x =--22113x x =-+--2(1)4x =--．顶点坐标是（1，-4）；································································2分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第2页（共7页）（2）图象如图所示；·······························4分（3）-4≤y ＜0．·····································6分20.解：设OD =x ，则OB =x ．∵点C 是AB 的中点，OC 过圆心O ，∴OC ⊥AB ．···································1分∵AB =4，CD =1，∴122BC AB ==，OC =OD －CD =x －1．······································2分∵在Rt △BCO 中，OB 2=OC 2＋BC 2，∴222(1)2x x =-+．····································································3分解得，52x =．∴52OD =．·················································································4分∴1522BOD S OD BC ∆=⋅⋅=．·························································5分21．解：（1）0.75，3；·············································································2分（2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．列表如下：可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A ）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），所以31()62P A ==． (5)分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第3页（共7页）22．解：（1）∵将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，∴CB ＝CE ，∠BCE ＝60°．∴△BCE 是等边三角形．∴∠CBE ＝60°．................................................................................................2分（2）∵△ACD 是等边三角形，∴AC ＝DC ，∠ACD ＝60°．∴∠ACE ＝∠DCB ．又∵CB ＝CE ，∴△ACE ≌△DCB ．∴AE ＝BD ．∵BD ＝5，∴AE ＝5．∵∠CBE ＝60°，∠ABC ＝30°，∴∠ABE ＝90°．∴在Rt △ABE中，BE =．∵AB ＝3，∴BE ＝4．················································································5分23．（1）证明：Δ22(2)41(9)m m =--⨯⨯-·······················································1分224436m m =-+36=＞0．∴方程有两个不相等的实数根．·········································2分（2）解：解方程，得2362622m m x ±±==，··················································3分∵12x x >，∴13x m =+，23x m =-．··················································4分∵1225x x =+，∴2(3)35m m +=-+．∴4m =-．·················································································5分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第4页（共7页）24．（1）解：连接OD ，如图1．∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，∴⊙O 与AB 相切于点A ，∠ACB ＝45°．∵OD 是⊙O 的半径，⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD ⊥BC ．∴∠ODC ＝90°，OD ＝DC ．∵AB ＝4，∴BD ＝AB ＝4，BC =∴4OD DC ==．∴⊙O的半径是4-．·····························································3分（2）证明：连接AD ，交OB 于点H ，如图2．∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°．∵AB ，BC 与⊙O 分别相切于点A ，D ，∴BD ＝AB ，∠ABO ＝∠DBO ．∴OB ⊥AD ．∴∠AHO ＝90°．∴∠AHO ＝∠ADE ．∴OB ∥EF ．∵BF ∥AC ，∴四边形BFEO 是平行四边形．····················································6分25．解：（1）A （0，70），P （40，30）．······························································2分（2）∵A （0，70），∴c ＝70．所以函数关系2116y x bx c =-++化为217016y x bx =-++．∵点P 的坐标是（40，30），∴214040703016b -⨯++=．图1图2北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第5页（共7页）解得32b =．所以函数关系是21370162y x x =-++．·············································4分（3）18m ．························································································6分26．解：（1）当0c =时，得320a b +=．∴324b t a =-=．········································································2分（2）∵320a bc ++=，∴3244b c t a a =-=+．∵a ＞c ＞0，∴0＜4c a ＜14．∴34＜t ＜1．··············································································4分∵点1(2)y -,关于直线x ＝t 的对称点的坐标是1(22)t y +,，∴72＜22t +＜4．∴1＜3＜22t +．∵a ＞0，∴当x ＞t 时，y 随x 的增大而增大．∴2y ＜3y ＜1y ．········································································6分27．（1）补全图形，如图1．证明：∵线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴CP ＝CQ ，∠PCQ ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠BCP ＝∠ACQ ．∵AC ＝BC ，∴△BCP ≌△ACQ ．∴AQ ＝BP ．·······································································2分图1（2）解：连接QP，如图2．由（1）可得△PCQ是等腰直角三角形，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．∴∠CQA＋∠PQA＝45°．∵∠APB＝45°，∴∠APQ＝∠CPB．由△BCP≌△ACQ可得∠CQA＝∠CPB．∴∠APQ＋∠PQA＝45°．∴∠QAP＝135°．················································4分（3）CP．证明：延长PN至K，使得NK=PN，连接AK，如图3．∵N为线段AB的中点，∴AN＝BN．∵∠ANK＝∠BNP，∴△ANK≌△BNP．∴∠KAN＝∠PBN，AK＝BP．∴AK∥BP，AK＝AQ．∴∠KAP＋∠APB＝180°．∵∠APB＝45°，∴∠KAP＝135°．∵∠QAP＝135°，∴∠KAP＝∠QAP．∵AP＝AP，∴△KAP≌△QAP．∴KP＝QP．∵在等腰直角△PCQ中，CP＝CQ，∴KP＝QP．∵KP＝2NP，∴CP．·······························································7分图3图2北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第6页（共7页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考第7页（共7页）28．解：（1）D ，F ；·············································································2分（2）①设GH 是⊙K 上任意一条直径，则GH ＝1．设点1A 是与点A 关于⊙K 双对合的点，将点A 和点1A 分别关于点G ，H 对称后重合的点记为2A ，所以点G ，H 分别是2AA 和12A A 的中点．由三角形中位线的知识，可知1AA ＝2GH ＝2．随着点G ，H 在⊙K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），将它记为S ．因为点A 与点T （0，t ）关于⊙K 双对合，所以当S 与y 轴相交时，可求得t的值为2--和2-+．所以t的取值范围是2--t≤2-+．····················5分②52-≤k ≤12或3≤k≤3+．·······················································································7分。

北京市东城区2021届九年级上期末考试数学试题含答案

北京市东城区2021届九年级上期末考试数学试题含答案初三数学 2021.1 学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分.考试时刻120分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试终止，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为 -1，则a 的值为A ．4-B ．2-C ．2D ．4- 2．二次函数224y x x =-++的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．63．下列图形中，是中心对称图形的为A. 1个 B ．2个C ．3个D ．4个 4．一只不透亮的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必定事件的是A ．至少有1个球是黑球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则cos A 的值为 A 5B 25 C ．12 D ．2O yy O x C y O x B A x O y O DC B A 第10题D O BA C AB PO6．若二次函数y =x 2＋bx 的图象的对称轴是通过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=7．如图，在△ABC 中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，则ADE ABCS S △△的值为 A ．12B ． 23C ．45D ．498. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4， ∠P =30°，则弦AB 的长为 A ．25 B ． 23 C ．5 D ．2 9. 如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A =50°，∠B =30°，则∠ADC的度数为A ．70°B ． 90°C ．110°D ．120° 10. 如图1，在ABC △ 中，AB AC =，120BAC ∠=︒.点O 是BC 的中点，点D 沿B →A →C 方向从B 运动到C .设点D 通过的路径长为x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的A. BD B ．OD C ．AD D ．CD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：○1二次项系数是1；○2方程有两个相等的实数根. 此方程能够是．图1 图212．将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．13. 已知，AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使AC =3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD =3,则⊙O 半径的长为 .14. 如图，某校数学爱好小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为米．15．如图，已知A （32），B （231），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°，得到△A ′O B ′，则图中阴影部分的面积为．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小涵的要紧作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．运算：24cos 45tan 608(1)︒+︒-.尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O 和点P . P O 求作：过点P 的⊙O 的切线. 如图：（1）连结OP ，作线段OP 的中点A ；（2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点B ，C ；（3）作直线PB 和PC . 因此PB 和PC 确实是所求的切线. C B A P O18. 解方程： 2610x x --=.19．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =∠C ，AB =6， BD =4，求CD 的长.20．已知：抛物线y = x 2+(2m －1)x + m 2－1通过坐标原点，且当x < 0时，y 随x 的增大而减小.(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象写出y < 0时，对应的x 的取值范畴； (3)设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ， DC ⊥x 轴于点C. 当BC =1时，直截了当写出矩形ABCD的周长．21．列方程或方程组解应用题：某公司在2020年的盈利额为200万元，估量2020年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC 和点O ．（1）画△A ′B ′C ′，使它和△ABC 关于点O 成中心对称；（2）请在方格网中标出所有的D 点，使以点A ，O ，C ′，D 为顶点的四边形是平行四边形．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头” ．两人游戏时，若显现相同手势，则不分胜负游戏连续，直到分出胜负，游戏终止．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏连续；若显现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：（1）直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24. 如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若 sin C =33，半径OA =3，求AE 的长．25. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A 处测得杆顶端点P 的仰角是45°，再向前走到B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB 的长度就能通过运算求出电线杆PQ 的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出运算时的图形，简要写出运算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出运算思路.26. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和那个角的两边对应成比例.已知：如图，△ABC 中， AD 是角平分线.求证：DCBD AC AB .E D CB A证明：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E .∴Ð1=ÐE ,Ð2=Ð3. ……………………………○1 AD 是角平分线，∴ Ð1=Ð2.∴E ∠=∠3.AE AC =∴. .……………………………○2 又CE AD // ，DCBD AE AB =∴. ……………………………○3 ∴DCBD AC AB =. （1）上述证明过程中，步骤○1○2○3处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定明白得答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB =7cm ，AC =4cm ，BC =6cm ，求BD 的长；（3）我们明白假如两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点；（2）若AB =2，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点C （2,0），D （5,0），若抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与线段CD 有交点，请写出m 的取值范畴.28. 已知：在等边△ABC 中， AB = D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B 逆时针旋转，得到△BD 1E 1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE 1与C B A C B A AD 1的交点为P ．（1）判定△BDE 的形状；（2）在图2中补全图形，图1①猜想在旋转过程中，线段CE 1与AD 1的数量关系并证明；②求∠APC 的度数；（3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为．（直截了当填写结果）图2 备用图29. 已知两个函数，假如关于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为y 1，y 2，都有点（x ，y 1）、（x ，y 2）关于点（x ，x ）对称，则称这两个函数为关于y =x 的对称函数.例如，112y x =和232y x =为关于y =x 的对称函数.（1）判定：①13y x =和2y x =-；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y =x 的对称函数的是__________（填序号）.（2）若132y x =+和2y kx b =+（0k ≠）为关于y =x 的对称函数.①求k 、b 的值.②关于任意的实数x ，满足x >m 时，12y y >恒成立，则m 满足的条件为______.（3）若21y ax bx c =++ (0)a ≠和22y x n =+为关于y =x 的对称函数，且关于任意的实数x ，都有12y y ＜，请结合函数的图象，求n 的取值范畴.。

北京市东城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题含答案

北京市东城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A ．2，1，5 B ．2，1，－5 C ．2，0，－5 D ．2，0，5 2．下列四个图形中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 3．将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =+（）D ．2-3)y x =（ 4．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，3）关于原点对称的点的坐标是（） A ．（2，－3） B ．（－2，3） C ．（3，2） D ．（－2，－3） 5．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（）A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝26．中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方．．的概率是（）A ．18B ．16C ．14D ．127．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若⊙ACB ＝70°，则⊙P 的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°8．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．正比例函数关系，二次函数关系二、填空题9．抛物线2=--+的顶点坐标是_________．3(1)2y x10．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．11．写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．12．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．13．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________．14．如图，将⊙ABC绕点A顺时针旋转得到⊙ADE，若⊙DAE=110°，⊙B=40°，则⊙C的度数为________．15．斛是中国古代的一种量器.据《汉书.律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则⊙APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．三、解答题17．解方程：2280--=．x x18．如图，AB为⊙O的弦，OC⊙AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC ＝3：2，求AB的长．19．下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，⊙作直径AB；⊙分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；⊙作直线MO交⊙O于点C，D；⊙连接AC，BC．所以⊙ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．⊙MA=MB，OA=OB，⊙MO是AB的垂直平分线．⊙AC= ．⊙AB是直径,⊙⊙ACB= ( ) (填写推理依据) ．⊙⊙ABC是等腰直角三角形．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；（2）求点B经过的路径'BB的长（结果保留π）.22．2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余．．的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时．．被选中的概率．23．已知关于x的一元二次方程2(4)40-++=．x k x k（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．24．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为x m，面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊙OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA ＝BP ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为4，PC ＝AB 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =-+上．（1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线x t =，⊙直接写出t 的取值范围；⊙已知点（－1，y 1），（32，y 2），（3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．27．如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当⊙BPC ＝120°时，⊙直接写出P BP '∠ 的度数为；⊙若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到⊙O 的弦A ´B ´（A ´，B ´分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是⊙O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是⊙O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，11,2233,,,,A B A B A B 的横、纵坐标都是整数．⊙在线段11,2233,A B A B A B 中，⊙O 的关于直线y ＝x ＋2对称的“关联线段”是_______； ⊙若线段11,2233,A B A B A B 中，存在⊙O 的关于直线y ＝－x ＋m 对称的“关联线段”，则 m ＝；（2）已知直线+(0y x b b =＞）交x 轴于点C ，在△ABC 中，AC =3，AB =1，若线段AB是⊙O 的关于直线+(0y b b =＞）对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案：1．B【解析】【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【详解】解：⊙一元二次方程2x2+x-5=0，⊙二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．2．B【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．3．A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是23y x =+故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求得．【详解】解：点A （2，3）关于原点对称的点的坐标是()2,3--故选D【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．5．A【解析】【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．【详解】解：x 2＋4x ＝124414x x ++=+即()225x +=故选A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．6．C【解析】【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是21 84 ，故选：C．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．7．D【解析】【分析】首先连接OA，OB，由P A，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得⊙OAP=⊙OBP=90°，又由圆周角定理，可求得⊙AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，⊙P A，PB为⊙O的切线，⊙⊙OAP=⊙OBP=90°，⊙⊙ACB=70°，⊙⊙AOB=2⊙P=140°，⊙⊙P=360°-⊙OAP-⊙OBP-⊙AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8．C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．9．（1，2）【解析】【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．【详解】⊙23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，⊙顶点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．10．1【解析】【分析】根据关于x 的方程x 2-2x +m =0的一个根是1，将x =1代入可以得到m 的值，本题得以解决．【详解】解：⊙关于x 的方程x 2-2x +m =0的一个根是1，⊙1-2+m =0，解得m =1，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 11．22y x =+（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，写出一个0,2a c >=的解析式即可【详解】解：根据题意，0,2a c >=故22y x =+符合题意故答案为：22y x =+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．12．0.2【解析】【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，故答案为：0.2．【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．13．210(1)12.1x +=【解析】【分析】根据题意可得4月份的参观人数为10(1)x +人，则5月份的人数为210(1)x +，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为210(1)12.1x +=故答案为：210(1)12.1x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键． 14．30︒【解析】【分析】先根据旋转的性质求得CAB ∠，再运用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：将⊙ABC 绕点A 顺时针旋转得到⊙ADE ，⊙DAE =110°110BAC DAE ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：30°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．15【解析】【分析】如图，根据四边形CDEF 为正方形，可得⊙D =90°，CD =DE ，从而得到CE 是直径，⊙ECD =45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，⊙四边形CDEF为正方形，⊙⊙D=90°，CD=DE，⊙CE是直径，⊙ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522⊙2222=+=，CE CD DE CD2⊙CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．16．90︒1【解析】【分析】利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得⊙DAE＝⊙CDF，然后求出⊙APD＝90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．【详解】解：四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，⊙ADE＝⊙BCD＝90°，在△ADE 和△DCF 中，90AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，⊙△ADE ⊙△DCF （SAS ）⊙⊙DAE ＝⊙CDF ，⊙⊙CDF ＋⊙ADF ＝⊙ADC ＝90°，⊙⊙ADF ＋⊙DAE ＝90°，⊙⊙APD ＝90°，由于点P 在运动中保持⊙APD ＝90°，⊙点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，取AD 的中点Q ，连接QC ，此时CP 的长度最小，则DQ ＝12AD ＝12×2＝1，在Rt △CQD 中，根据勾股定理得，CQ所以，CP ＝CO −QP．故答案为：90︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．17．1224x x =-=，．【解析】【分析】利用配方法变形为2(1)90x --=，再根据平方差公式变形为(2)(4)0x x +-=即可求解．【详解】2280x x --=，2(1)90x ∴--=，⊙（x-1+3）(x-1-3)=0(2)(4)0x x ∴+-=，则20x +=或40x -=，解得1224x x =-=，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．18．16AB =【解析】【分析】连接OA ，根据⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2可求出OM 的长，由勾股定理求出AM 的长，再由垂径定理求出AB 的长即可．【详解】解：如图，连接OA ．⊙OM ：MC ＝3：2，OC ＝10，⊙OM ＝331055OC =⨯=6． ⊙OC ⊙AB ，⊙⊙OMA ＝90°，AB ＝2AM ．在Rt △AOM 中，AO ＝10，OM ＝6，⊙AM =8．⊙AB ＝2AM =16．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．19．（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【解析】【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出⊙ACB=90°即可．【详解】（1）⊙作直径AB；⊙分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；⊙作直线MO交⊙O于点C，D；⊙连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA，MB．⊙MA=MB，OA=OB，⊙MO是AB的垂直平分线．⊙AC=BC．⊙AB是直径，⊙⊙ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．⊙⊙ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键． 20．（1）223y x x =+-；（2）31x -<<【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出320c a c =-⎧⎨++=⎩解方程组即可；（2）先求抛物线与x 轴的交点，转化求方程2230x x +-=的解，再根据函数y ＜0，函数图像位于x 轴下方，在两根之间即可．【详解】解：(1) 抛物线22y ax x c =++经过点A (0，－3)，B (1，0) 代入坐标得：320c a c =-⎧⎨++=⎩，解得31c a =-⎧⎨=⎩，所求抛物线的解析式是223y x x =+-．(2) 当y=0时，2230x x +-=，因式分解得：()()310x x +-=，⊙3010x x +=-=，，⊙12=-3=1x x ，，当y ＜0时，函数图像在x 轴下方，⊙y ＜0时，x 的取值范围为-3＜x ＜1．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．21．（1）见解析，'A 的坐标为(0,5)-；（2）'52BB l π=【解析】【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可；（2）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，⊙OA ´B ´即为所求．点'A 的坐标为(0,5)-（2）由题意可求OB =5 ⊙'90551802BB l ππ⨯== 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．22．(1)随机；（2）见解析16【解析】【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．【详解】(1)根据随机事件的概念，A 志愿者被选中是随机事件上，故答案为：随机．(2) 由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A ，B 两名志愿者同时被选中的有2种.⊙P （A ，B 两名志愿者同时被选中）=21=126【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）证明见解析；（2）2k <．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得⊙＝（k −4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1＝4，x 2＝k ，根据方程有一根小于2，即可得出k 的取值范围．【详解】（1）⊙2(4)40x k x k -++=，⊙⊙=222[(4)]44816(4)0k k k k k -+-⨯=-+=-≥，⊙方程总有两个实数根．（2）⊙2(4)40x k x k -++=，⊙(4)()0x x k --=，解得：14x =，2x k =，⊙该方程有一个根小于2，⊙2k <．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当⊙≥0时，方程有两个实数根是解题关键．24．（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．【详解】解：（1）⊙四边形ABCD 是矩形，⊙AB =CD ，AD =BC ，⊙AB =x m ，⊙BC =(40-2x )m ，⊙花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，⊙40-2x ≤25，x +x <40，⊙x ≥7.5，x <20，⊙7.5≤x <20，⊙y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）⊙ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)⊙ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．25．（1）见解析；（2）3AB =．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得⊙BP A ＝⊙BAP 、⊙OAC ＝⊙OCA ．再运用等量代换说明⊙OAB ＝90°，即可证明结论；（2）先由勾股定理可得OP =2, 设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt ⊙AOB 中运用勾股定理列方程解答即可．【详解】解：（1）证明：⊙BA ＝BP ，⊙⊙BP A ＝⊙BAP ．⊙OA ＝OC ，⊙⊙OAC ＝⊙OCA ．⊙OP ⊙OC ，⊙⊙COP ＝90°．⊙⊙OPC ＋⊙OCP ＝90°．⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙⊙BAP ＋⊙OAC ＝90°．即⊙OAB ＝90°，⊙OA ⊙AB ．⊙OA 为半径，⊙AB 为⊙O 的切线；（2）在Rt ⊙OPC 中，OC ＝4，PC ＝⊙OP 2．设AB ＝x ，则OB ＝x ＋2．在Rt ⊙AOB 中，2224(2)x x +=+，⊙x ＝3,即AB ＝3．【点睛】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．26．（1）12x =；（2）⊙112t <<；⊙312y y y <<，见解析【解析】【分析】（1）把点（1，m ），m ＝0，代入抛物线2y x bx =-+，利用待定系数法求解解析式，再利用公式求解抛物线的对称轴方程；（2）⊙先判断,m n 异号，求解抛物线2y x bx =-+的对称轴为：1,212bx b t 抛物线与x 轴的交点坐标为：0,0,,0,b 根据点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =-+上，则0,0,m n 可得12,b 从而可得答案；⊙设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ，再判断023x <<．结合抛物线开口向下，当x t >时，y 随x 的增大而减小，从而可得答案.【详解】解：（1）⊙点（1，m ）在抛物线2y x bx =-+上，m ＝0，⊙10b -+=．⊙1b =．所以抛物线为：2,y x x⊙该抛物线的对称轴为()11212x =-=⨯-．（2）⊙0,mn 则,m n 异号，而抛物线2y x bx =-+的对称轴为：1,212bxb t 令0,y = 则20,x bx解得：120,,x x b 所以抛物线与x 轴的交点坐标为：0,0,,0,b点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =-+上，0,0,m n12,b111,22b 即1 1.2t << ⊙312y y y <<．理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´．⊙抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0⊙1＜x ＜2．⊙112t <<．设点（－1，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ．⊙点（－1，y 1）在抛物线上，⊙点01(,)x y 也在抛物线上．由0(1)x t t -=-- 得021x t =+． ⊙112t <<， ⊙1＜2t ＜2．⊙2＜2t ＋1＜3．⊙023x <<．由题意可知，抛物线开口向下．⊙当x t >时，y 随x 的增大而减小.⊙点（32，y 2），01(,)x y ，（3，y 3）在抛物线上，且0332t x <<<， ⊙312y y y <<【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的对称性与增减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关键. 27．（1）BP CP '=，理由见解析；（2）⊙60°；⊙PM ＝12AP ，见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，⊙BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解；（2）⊙由⊙BPC ＝120°，可得⊙PBC ＋⊙PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得⊙BAC ＝60°，从而得到⊙ABC ＋⊙ACB ＝120°，进而得到⊙ABP ＋⊙ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；⊙延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得⊙PCM ⊙⊙NBM ．从而得到CP ＝BN ，⊙PCM ＝⊙NBM ．进而得到BN BP '= ．根据⊙可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，⊙BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，⊙PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩⊙ABP ACP SAS '≌（）． ⊙BP CP '= ．（2）⊙⊙⊙BPC ＝120°，⊙⊙PBC ＋⊙PCB ＝60°．⊙在等边三角形ABC 中，⊙BAC ＝60°，⊙⊙ABC ＋⊙ACB ＝120°，⊙⊙ABP ＋⊙ACP ＝60°．⊙ABP ACP '≌ ．⊙ABP ACP '∠=∠ ，⊙⊙ABP ＋⊙ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝；⊙PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．⊙M 为BC 的中点，⊙BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙PCM ⊙⊙NBM （SAS ）．⊙CP ＝BN ，⊙PCM ＝⊙NBM ．⊙BN BP '= ．⊙⊙BPC ＝120°，⊙⊙PBC ＋⊙PCB ＝60°．⊙⊙PBC ＋⊙NBM ＝60°．即⊙NBP ＝60°．⊙⊙ABC ＋⊙ACB ＝120°，⊙⊙ABP ＋⊙ACP ＝60°．⊙⊙ABP ＋⊙ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝．⊙P BP NBP '∠∠＝．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙PNB PP B '≌ （SAS ）．⊙PN PP '= ．⊙60AP AP PAP ''=∠=︒，，⊙PAP ' 为等边三角形，⊙P P AP '= ．⊙PN AP = ，⊙PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．28．（1）⊙ A1B1；⊙2或3；（2）b BC b此时BC【解析】【分析】（1）⊙根据题意作出图象即可解答；⊙根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可；（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可；【详解】解：（1）⊙作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意；故答案为：A1B1；⊙由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”；由于线段A3B3O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m 对称的“关联线段”；A B A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关直线A2B2的解析式是y=-x+5，且22联线段”；当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1,0）时，m=3，当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1,0）时，m=2，故答案为：2或3．（2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊙x轴于点M，⊙CA’=CA=3，⊙点C坐标为（4，0），代入直线+=，得by b⊙A’B’=OA’=OB’=1，⊙⊙OA’B’是等边三角形，⊙OM=1，'B M=，2在直角三角形CB’M中，CB'BC=当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊙x轴于点M，⊙CA’=CA=3，⊙点C坐标为（2，0），代入直线+=，得by b⊙A’B’=OA’=OB’=1，⊙⊙OA’B’是等边三角形，⊙OM=1，'B M=，2在直角三角形CB’M中，CB'=BC=综上，b BC b BC【点睛】本题是新定义综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确理解新定义的含义、灵活应用数形结合思想是解题的关键．。

西城区初三数学试卷及答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. √4/3D. π2. 下列各式中，正确的是（）A. 2x + 3 = 5x + 1B. 2x - 3 = 5x - 1C. 2x + 3 = 5x - 1D. 2x - 3 = 5x + 13. 若a > b，则下列不等式中成立的是（）A. a - 2 > b - 2B. a + 2 > b + 2C. a - 2 < b - 2D. a + 2 < b + 24. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）5. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长是（）A. 14B. 18C. 22D. 266. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = -x^2D. y = x^37. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^28. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 ÷ a^2 = aB. a^3 ÷ a = a^2C. a^3 ÷ a^2 = a^2D. a^3 ÷ a = a9. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^210. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 ÷ a^2 = aB. a^3 ÷ a = a^2C. a^3 ÷ a^2 = a^2D. a^3 ÷ a = a二、填空题（每题5分，共20分）11. 若a = -2，b = 3，则a^2 - b^2 = ________。

2021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2. 二次函数的图象的顶点坐标是（）()=-+2y 2x 31A.B. C. D.()2,3()2,1()3,1-()3,1【答案】D【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，()=-+2y 2x 31∴ 其顶点坐标为(3，1)，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（）A B C O OAB ACB ∠A. 60°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C【解析】【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．OAB ∆【详解】解：∵为等边三角形，OAB ∆∴∠AOB=60°，∴=∠AOB =×60°=30°． ACB ∠1212故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确28100x x -+=()2x a b +=的是（）A. B. C. D. ()246x -=()286x -=()246x -=-()2854x -=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，28100x x -+=∴，2810x x -=-∴，即，28161016x x +=-+-2(4)6x -=故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为O ABCD O ABCD （）A. 4B. 8C.D. 【答案】D【解析】【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE ，由垂径定理可知BC=2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，∴OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，45BOE ∠=︒∴OE=BE，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴ BE ===∴BC=2BE=ABCD 的边长是．故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可x 以列方程为（）A.B. ()2.51 3.2x +=()2.512 3.2x +=C.D. ()22.51 3.2x +=()22.513.2x -=【答案】C【解析】【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列x 出方程即可．【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，x 由题意得：，()22.513.2x +=故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题()21a x b ±=的关键．7. 下列说法中，正确的是（）A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A ，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B ，可判断C ，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D ．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A 不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B 正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C 不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D 不正确．故选择B ．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物0ac <0a b c -+>90m a +=线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序(),C t n 4t +2ax bx c n ++=号是（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则(),C t n ()4,-C t n 可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a ⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．xOy ()4,7-【答案】（-4，7）【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），()4,7-故答案是：（-4，7）．【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．10. 关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．x 240x mx ++=m 【答案】-5【解析】【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是1，240x mx ++=∴12+m+4=0，解得：m=-5．故答案是：-5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．800π【答案】900【解析】【分析】由弧长公式l=得到R 的方程，解方程即可． 180n R π【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm ）． 800π160180R π答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角180n R π的度数．12. 写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_______．y 【答案】y=-x 2-2x+1【解析】【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为y=-x 2-2x+1，故答案为：y=-x 2-2x+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点xOy A B C 作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线xOy ()21422y x =--+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线的过程：_______． 2122y x =+()21422y x =--+【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【解析】【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此2122y x =+()21422y x =-+时正好与关于直线对称，即可得到答案． 2122y x =-+2y =【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线2122y x =+()21422y x =-+后，正好与关于直线对称， 2122y x =-+2y =∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关()21422y x =--+2122y x =+于直线轴对称得到的， 2y =故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰ABC A ()090αα︒<<︒ADE B D 好落在边上，则_______．（用含的式子表示）BC ADE ∠=α【答案】 1802α-【解析】【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB ，∠B，进而即可求解．αADE ∠=【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，ABC A ()090αα︒<<︒ADE ∴∠DAB=，AD=AB ，∠B，αADE ∠=∵∠B=， 1802α-∴， ADE ∠=1802α-故答案是：． 1802α-【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足Rt ABC △90ACB ∠=︒D ABC．若，则长的最小值为_______．222AC AD CD -=AB =4BC =BD【答案】2【解析】【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，由1D BD 1BD 此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵，即，222AC AD CD -=222=AC AD CD +∴∠ADC=90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，1D BD 1BD∵，，∠ACB=90°，AB =4BC =∴，AC =∴， 1132OC OD AC ===∴，5OB ==∴，112BD OB OD =-=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：．2220x x --=【答案】1211x x =+=【解析】【分析】把方程化成x 2=a 的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.【详解】2220x x --=221120x x -+--=2213x x -+=2(1)3x -=1x =∴原方程的解为1211x x ==【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出AB O C O ABC 中边上的高.AB 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长交于点，延长交于点；AC O D BC O E ②分别连接，并延长相交于点；AE BD F ③连接并延长交于点．FC AB H所以线段即为中边上的高．CH ABC AB （1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴________°．（______）（填推理的依据）ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，________是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 【答案】（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【解析】【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据） ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，_BD__是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．19. 已知二次函数．243y x x =++（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写()10,A y ()2,B m y 12y y <出的取值范围．m 【答案】（1）抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；（2）见解析；（3）2x =-或4m <-0m >【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图像求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ()224321y x x x =++=+-∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；2x =-（2）列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 …243y x x =++ (3)0 -1 0 3 … 函数图像如下所示：（3）由函数图像可知，当时，或．12y y <4m <-0m >【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．20. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋ABCD AE CD E AE A 转，与的延长线交于点，，连接．CB F BF DE =FE（1）求证：；AF AE =（2）若，，直接写出的面积．30DAE ∠=︒2DE =AEF 【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据SAS 证明即可得到结论；ADE ABF ≅ （2）根据直角三角形的性质求出AE=4，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD=AB=BC=CD，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒∴90ABF D ∠=∠=︒在和中，ADE ∆ABF ∆AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ABF ≅ ∴AF AE =（2）由（1）得ADE ABF ≅ ∴，DAE BAF ∠=∠AF AE =∴90BAF BAE BAE DAE BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴是等腰直角三角形，FAE ∆在Rt△ADE 中，，，30DAE ∠=︒2DE =∴AE=2DE=4∴AF=4∴ 1144822AEF S AE AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、三角形的面积以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程． x ()25620x k x k -+++=（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．1-k 【答案】（1）见详解；（2）k ＜-4【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×()25620x k x k -+++=（6+2k ）=k 2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵， ()()[]2562320-+++=-+-=⎡⎤⎣⎦x k x k x k x ∴x 1=2，x 2=k+3．∵此方程恰有一个根小于，1-∴k+3＜-1，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k 的一元一次不等式．22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；2-乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规5-m 则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个a 球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．b a b <a b =a b >（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；2m =-（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的m m 值．【答案】（1）见详解；（2）m=-1【解析】【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；（2）取一个符合条件的m 的值，即可．【详解】解：（1）画树状图如下：∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，a b <a b >∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=； 1312（2）当m=-1时，画树状图如下：此时，小明和小刚获胜的概率相同．【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键．23. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于AB AC O B C CO O 点，过点作的切线交的延长线于点，于点．D D O ABE EF AC ⊥F（1）求证：四边形是矩形；CDEF（2）若，求的长.．CD =2DE =AC【答案】（1）见详解；（2）5【解析】【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB=AC ，BE=DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，DE 是的两条切线，于点AC O EF AC ⊥F ∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，∴四边形是矩形；CDEF （2）∵四边形是矩形，CDEF∴EF=，CF=，CD =2DE =∵，，DE 是的两条切线，AB AC O ∴AB=AC，BE=DE ，设AB=AC=x ，则AE=x+2，AF=x-2，在中，， Rt AEF ()(()22222x x -+=+解得：x=5，∴AC=5．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的y x 图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为A 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把()()23 3.30y a x a =-+≠x=0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，()()233.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得B ()23 3.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+，解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，AB O ABCD O D AC DE BC ⊥交的延长线于点．BC E（1）求证：是的切线；DE O （2）若，，求的长． 10AB =8BC =BD【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；（2）连接AC ，交OD 于点F ，利用勾股定理可得AC ，，再证明四边形DFCE 是6=4OF =矩形，进而即可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，∵是的中点， D AC ∴∠ABC=2∠ABD， ∵∠AOD=2∠ABD， ∴∠AOD=∠ABC， ∴OD∥BC， ∵， DE BC ⊥∴， DE OD ⊥∵OD 为半径∴是的切线； DE O （2）连接AC ，交OD 于点F ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°，，6==∵是的中点， D AC ∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，4O F ===∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴CD ==， ∵∠ADB=90°，∴BD ===【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A ，． xOy ()28y a x h a =--702h <<（1）若，1a =①点A 到轴的距离为_______；x ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；x （2）已知点A 到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为x 21y x =-+，，其中，若点在此抛物线上，当时，()11,B x y ()22,C x y 12x x <(),y D D D x 12D x x x <<总满足，求的值和的取值范围．D y 21D y y y <<a h【答案】（1）①8；②2）， 12a =5722h <<【解析】【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为1a =()()2288y a x h a x h =--=-- ，即可求解；(),8h -②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即()280x h --=x ()(),h h +-可求解；（2）根据点A 到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为x 12a =±12a =，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--21y x =-+()11,B x y ，其中，得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()2224100x h x h --+-=，进而得到，然后把，()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦72h <()2142y x h =--，联立得，再由点21y x =-+1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=-=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<轴在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为x h =()22,C x y 12a =-，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--+21y x =-+()11,B x y ，其中得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()222460x h x h -++-=，进而求出，把，()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦52h >-()2142y x h =--+，联立得，由点21y x=-+1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=++⎪⎪⎨⎨=--+=--⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y << 在点的左侧，即可求解．x h =()11,B x y 【详解】解：（1）①当时，， 1a =()()2288y a x h a x h =--=--∴抛物线的顶点坐标为， (),8h -∴点A 到轴的距离为8；x ②令，即， ()280x h --=()28x h -=解得：，12x h x h =+=-∴此抛物线与轴的两个交点为，x ()(),hh +-∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为；x ((h h +--（2）∵点A 到轴的距离为4， x ∴，解得：， 84a -=±12a =±①当时， 12a =∴抛物线为， ()2142y x h =--∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()214221h x x =---+()2224100x h x h --+-=∴， ()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦解得：， 72h <把，，联立得： ()2142y x h =--21y x =-+， ()214221y x h y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得：1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=--=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的右侧， x h =()22,C x y ∴， 2h h >-+∴， 52h >∵． 702h <<∴的取值范围为． h 5722h <<②当时， 12a =-∴抛物线为， ()2142y x h =--+∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()212142x x h -+=--+()222460x h x h -++-=∴ ， ()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦解得：， 52h >-把，，联立得： ()2142y x h =--+21y x =-+ ， ()214221y x h y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-+⎩解得：，1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--=--⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的左侧， x h =()11,B x y ∴，2h h <+-∴， 32h <-∴， 5322h -<<-∵． 702h <<∴无解．综上，，的取值范围为． 12a =h 5722h <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．27. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，ABC 90ACB ∠=︒CA CB =D E CA CB ，连接，，．点在线段上，连接交于点．CDCE =DE AE BD F BD CF AE H（1）①比较与的大小，并证明； CAE ∠CBD ∠②若，求证：；CF AE ⊥2AE CF =（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中CDE △C ()090αα︒<<︒F BD点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 2AE CF =【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF 仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD 即可得到∠CAE=∠CBD；②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF ，CF=BF ，则BD=2CF ，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，只需要证明△ACE≌△BCG 得到AE=BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG=2CF ，即可证明AE=2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，， =CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△CAE≌△CBD（SAS ）， ∴∠CAE=∠CBD； ②∵CF⊥AE， ∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°， ∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD， ∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF， ∴CF=DF，CF=BF ， ∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD， ∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF 仍然成立，理由如下：如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°， ∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC ， ∴△ACE≌△BCG（SAS ），∴AE=BG，∵F 是BD 的中点，CD=CG ， ∴CF 是△BDG 的中位线， ∴BG=2CF， ∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如xOy O A O P O 下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍AP O B AP kAB =P A O k 特征点．（1）如图，点的坐标为．A ()1,0①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；P 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭P A O ②在，，这三个点中，点_________是点关于的110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭A O 12倍特征点；③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于l A y D 60DAO ∠=︒E l E A的倍特征点，求点的坐标；O 12E （2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上k ()101y x x =-+<<M O 都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值． N M N O k k【答案】（1）①；②；③（）；（2）k 的最小值为k 有最大值为343C 34．【解析】【分析】（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；②先求出，，即可得到是点A 关112OC =1OA =1AC ==1C于⊙O 的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求12112AC AE =22AE OA =>=出是点A 关于⊙O 的倍特征点，得到3AC ==3C 12，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，312AC AF =2C 12212AC =则，则点不是点A 关于⊙O 的倍特征点； 214AC AB =2C 12③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，即可得到点E 的坐标为EF =34OF ==（）； 34（2）如图所示，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP⊥CD 交CD 1y x =-+于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到，MN NP ≥AM BP ≤，由，可得，可以推出当的值越大，k 的值越MN kAN =1111MN k AM k k ==-+--MN AN大，则当AM=BP ，MN=NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．【详解】解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（，0）， 12-∴，B 点坐标为（-1，0）， 32AP =。

2020-2021学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。

2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。

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