吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试 理科数学试题含答
11．设 I 为 ∆ABC 的内心，延长线段 AI 交线段 BC 于点 D ，若 CD = 3DB ，则 sin B : sin C =
高三数学（理科）试题 第 2 页 （共 12 页）
A. 2 : 1
B. 3 : 1
C. 4 : 1
D. 9 : 1
ln x,
12.
已知函数
f (x) =
xe
x
,
f ( x + 1) =
f ( x − 1) +
f (1) ，且在区间[−1,0] 为减函数．则
f (−3) 与
f (−
5 ) 的关系为
2
A． f (−3) ≥ f (− 5) 2
B． f (−3) > f (− 5) 2
C． f (−3) ≤ f (− 5) 2
D．
f (−3) <
f (−
5 )
2
纸刀。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求。
1. 已知集合 A = { x | x2 − x − 6 > 0} ， B = { x | x ∈ N } ，则 (CR A) ∩ B =
A. {1,2}
B. {0,1,2}
C. {1,2,3}
D. {0,1,2,3}
2. 下列函数中最小正周期为 π 的函数的个数
① y =| sin x | ；② y = cos(2x + π ) ；③ y = tan 2x 3
A. 0
B. 1
C. 2
3. 下列向量中不是单位向量的是
A. (1,0) C. (cosα ,sinα )
B. (1,1)
D.
|
aρ aρ|
则 D, E 两点间的最小距离为
m.
A
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
{ } 数列 bn
前 n 项和为
Sn
且 b1
=
1, bn+1
=
1 2
Sn
是___________. 15. 有一个数阵排列如下：
1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28……………………………………
方形面积之比为1 : 25 ，则 cos(α − β ) 的值为
24
A.
25
B． 1
7
C．
25
D． 0
9. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
A.
y
=
(
e e
x x
− +
1 ) cos
1
x
B. y = 2|x| − x 2 − 2
C. y = 2|x| − | x | +2 D. y = ( x2 − 1)cos x 10. 某兴趣小组对函数 f ( x) 的性质进行研究，发现函数 f ( x) 是偶函数，在定义域 R 上满足
D. (−∞,− 1 − 1] ∪ [ 1 + 1 ，+ ∞) 3e 6 3e 6
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知复数 z = 2 − 3i ，则| z + 1 |= ________.
14. 已知函数 f ( x) = a1−x (a > 0 且 a ≠ 1) ，若 f (2021) > f (2020) ，则实数 a 的取值范围
实数 a 的取值范围是 A. − 1 < a < 3 C. − 3 < a < 1
B. a < −1 或 a > 3 D. a < −3 或 a > 1
8. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小
正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α , β ，且小正方形与大正
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
{ } 6. 等差数列 an 中， a5 + a10 + a15 = 30 ，则 a22 − 2a16 的值为
A． −10
B． −20
C．10
D．20
7. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间[0,+∞) 是单调增函数，若 f (1 − a) < f (2) ，则
(|
aρ|≠
0)
D. 3
4. 为了得到函数 y = cos(1 x + π ) 的图象，可将函数 y = cos 1 x 的图象
24
2
π
A. 向左平移 个单位
4
π
题 第 1 页 （共 12 页）
π
C. 向左平移 个单位
2
π
D. 向右平移 个单位
2
5. 设角α 的始边为 x 轴非负半轴，则“角α 的终边在第二、三象限”是“ cosα < 0 ”的
………………………………………
则第 40 行从左至右第 6 个数字为
.
16. 如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ABC ，经测量
得 AB = 30m, AC = 40m, BC = 10 13m ，在保护草坪的同时，
为了方便游人行走，现打算铺设一条小路 DE （其中点 D 在边
AB 上，点 E 在边 AC 上），若 DE 恰好将该草坪的面积平分，
x x
≥1 , g(x)
<1
=
kx +
f ′(2) ，对 ∀x1 ∈ R, ∃x2
∈[−3,3] ，使得
f ( x1 ) ≥ g( x2 ) 成立，则 k 的取值范围是
A. (−∞,− 1 − 1] 3e 6
B. [ 1 + 1 ，+ ∞) 3e 6
C. [− 1 − 1 , 1 + 1] 3e 6 3e 6
吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一
并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2021年高三上学期第一次测验数学理试题 含答案
2021年高三上学期第一次测验数学理试题含答案本试卷共4页，共20题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合，则等于（）A. B. C. D.2．与函数的图象相同的函数是（）A. B. C. D.3．若，则是的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）5．对于定义在R上的函数，若，则函数在区间内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断6．二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（）A. B. C. D. [2,4]7．设奇函数f (x )的定义域为R , 且, 当x时f (x)＝, 则f (x )在区间上的表达式为（）A．B． C． D．8.正实数及函数满足，且，则的最小值为( )A． 4 B ． 2 C ． D ．第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知命题P: “对任何”的否定是_____________________10．函数的定义域是____________11．设则__________．12．下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数，使；（4）或；（5）命题“都是偶数，则是偶数”的逆否命题“若不是偶数，则都不是偶数”；（6）若或”为假命题，则“非且非”是真命题；（7）已知是实数，关于的不等式的解集是空集，必有且。
吉林省2021年高三上学期数学第一次联考试卷(I)卷
吉林省2021年高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·荆门模拟) 已知全集，集合，，则A .B . 或C .D . 或2. （2分）(2016·安庆模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=2i2016 ，则复数z的虚部为（）A . ﹣1B . 1C . ID . ﹣i3. （2分）已知正方形ABCD的三个顶点A（1，1），B（1，3），C（3，3），点P（x，y）在正方形ABCD的内部，则z=-x+y的取值范围是（）A . (-2,2)B . (-1,1)C . (-2,1)D . (0,2)4. （2分）(2017·辽宁模拟) 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）给出下列命题：①在区间上，函数中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·沈阳月考) 已知左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，则（）A . 1或33B . 1C . 33D . 1或117. （2分） (2018高三上·牡丹江期中) 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·六安月考) 如图，在直角坐标系xoy中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若，其中，则的取值范围是（）A . [2,3+ ]B . [2,3+ ]C . [3- , 3+ ]D . [3- , 3+ ]9. （2分） (2019高三上·浙江月考) 口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为，，，，，从中任取个球，以表示取出球的最大号码，则 =（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·定远月考) 给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A . 16B . 17C . 18D . 19二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为________12. （1分） (2018高一下·中山期末) 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是________．13. （1分） (2019高一上·合肥月考) 若函数的值域为，则的取值范围为________．14. （1分）周长为2的直角三角形的面积的最大值为________．三、双空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2016高二上·乐清期中) 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________16. （1分）(2017·衡阳模拟) （x+ +2）3的展开式中，x2的系数是________（用数字作答）．17. （1分） (2020高一下·东莞月考) 化简 ________.18. （1分） (2019高二上·太原月考) 已知圆 .动点在直线上，过点引圆的切线，切点分别为，则直线过定点________.四、解答题 (共4题；共40分)19. （10分）(2019·南通模拟) 如图，在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP．（1）求证：MN∥平面PBC；（2）求证：MD⊥平面PAB．20. （10分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）=g（x）﹣（a﹣1）lnx，g（x）=ax+ +1﹣3a+（a﹣1）lnx．（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求正实数a的取值范围．21. （10分）(2019·全国Ⅲ卷理) 已知曲线C: ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.22. （10分） (2016高三上·杭州期中) 已知函数f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a为非零实数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若y=f（x）有两个极值点x1 ， x2 ，且x1＜x2 ，求证：＜．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、双空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共4题；共40分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
吉林省长春市2021届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 Word版含解析
长春市2022—2021学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)【试卷综评】本试卷试题主要留意基本学问、基本力量、基本方法等当面的考察，掩盖面广，留意数学思想方法的简洁应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评同学，有利于同学自我评价，有利于指导同学的学习，既重视双基力量培育，侧重同学自主探究力量，分析问题和解决问题的力量，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与思考等方面的考查。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 【题文】1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x = A. 0 B. 4- C. 0或4- D. 0或4±【学问点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合消灭重复元素，因此0x =或4-. 故选C.【思路点拨】依据B A ⊆分状况对参数的取值进行争辩，进而求出参数的值集合． 【题文】2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C. 2D. 12【学问点】复数的除法运算；复数模的概念.L4【答案解析】A 解析：由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i ==-. 故选A.【思路点拨】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出． 【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x = B. ln()y x =- C. xy xe -= D.2y x x=+【学问点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值.B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【题文】4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.【学问点】向量的运算；向量的几何意义.F1 F2【答案解析】B解析：由||-=m n 2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.【思路点拨】依据2222||||2226-++=+=m n m n m n ，代入计算即可． 【题文】5. 已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6y1.3 m 3m 5.67.4 画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m 的值（精确到0.1）为 A. 1.5 B. 1. 6 C. 1.7 D. 1.8 【学问点】回归直线.I4【答案解析】C 解析：将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.【思路点拨】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，即可得出结论． 【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+【学问点】三视图；几何体表面积. G2【答案解析】D 解析：如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 【思路点拨】依据已知中的三视图可得：该几何体是一个半球挖去一个圆锥，其表面积由半球面和圆锥的侧面积组成，由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高，进而求出圆锥的母线长，代入面积公式，可得答案．【题文】7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =A. 2-B. 2C. 4-D. 4【学问点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析：由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.【思路点拨】由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得结果. 【题文】8. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是正视图侧视图俯视图OO y x O yxOC D【学问点】函数的图像；函数的奇偶性以及单调性.B4 B3【答案解析】B 解析：由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.【思路点拨】由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点即可得到结论. 【题文】9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【学问点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.【思路点拨】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【题文】10. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【学问点】指、对、幂三种基本初等函数的图像；充要条件.B6 B7 B8A2【答案解析】B 解析：如图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】进行双向推断即可.【题文】11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]- 【学问点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8【答案解析】D 解析：由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.【思路点拨】由题可知，点B 的横坐标，结合已知条件，此时B y 的范围，即可求出直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围．【题文】12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8【学问点】函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.B4 B9【答案解析】B 解析：依据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，依据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.【思路点拨】先依据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观看交点的个数．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.【学问点】定积分. B13【答案解析】212e + 解析：计算可得221111()(ln )22e e x e x dx x x ++=+=⎰.【思路点拨】定积分的简洁应用.【题文】14. 在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项的系数是____________. 【学问点】二项式定理.B4 C3 D1【答案解析】12- 解析：在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-.【思路点拨】利用二项式开放式的通项公式，求出开放式中2x 项的系数即可.【题文】15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 【学问点】线性规划.B4 C3 D1【答案解析】1[,25]2解析：由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点结束距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.【思路点拨】由目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方即可得解.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.【学问点】正棱柱体积的最值问题. G7【答案解析】3R 解析：设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)2V R t t =-，求导可得当3t R =时，V 取得最大值为3R . 【思路点拨】设三棱柱的高为2t ，由题意可得到正三棱柱的体积的解析式，然后求导即可求得答案． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积4S =，4=+c a ，求b 的值. 【学问点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8 【答案解析】(1) 3B π=(2)解析：(1) 依据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分） (2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===.（10分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到4ac =，与4a c +=联立可得结果.【题文】18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设2log n n b a ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【学问点】数列通项公式；数列前n 项和公式；错位相减法. D3 D4 【答案解析】(1) 2n n a = (2) 1(1)22n n T n +=-⋅+ 解析：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =.（6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+.（12分）【思路点拨】（1）由22n n S a =-⇒12a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-⇒12n n a a -=，从而可知数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得数列{a n }的通项公式； （2）易求n b ，利用错位相减法即可求得数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【题文】19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优待，优待方案如下：选择套餐一的客户可获得优待200元，选择套餐二的客户可获得优待500元，选择套餐三的客户可获得优待300元. 依据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优待金额的总和，求X 的分布列和数学期望.【学问点】概率；分布列. K1 K6 【答案解析】(1)1332(2)分布列见解析；775. 解析：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=.（4分）(2) 由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅= 12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅= 1116(1000)2264P X ==⋅=（8分）综上可得X 的分布列为：（10分）X400 500 600 700 800 1000P164 664 964 864 24641664X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （12分） 【思路点拨】（1）由题意利用互斥大事加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率．（2）由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【题文】20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点. (1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ；(2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【学问点】空间平面的垂直关系；二面角.G5 G11 【答案解析】(1)见解析解析：(1) 证明：由于几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得， 11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B A C =-=-设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩，设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos 3||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD . （12分）【思路点拨】（1）由已知推导出DM ⊥A 1C 1，BM ⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面MBD ，由此能证明平面A 1C 1D ⊥平面MBD ．（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A 1BC 1与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围. 【学问点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1)12 (2) 9(0,)41解析：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.依据条件直线AB 的斜率肯定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 由于DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.（10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）【思路点拨】（1）依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-，结合234M m a ⋅=即可求出离心率；（2）先求出椭圆的方程，然后设直线AB 的方程，再联立转化为关于x 的方程，由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像可MAC 1DBCD 1A 1得12S S 的表达式，最终求出范围即可. 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.【学问点】函数与导数；导数的运算，函数的单调性、极值；函数与不等式. B3 B11 B12【答案解析】(1) 95a =(2) ()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞；(3) a 的取值范围是(1,)+∞. 解析：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）由于13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得512x =±，而12x ≠±. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞- 15(,1)22-- 512- 51(1,)22- 15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x ' --++-()f x微小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞； （9分） (3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+，令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得2212,a a a a a ax x a a--+-==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，微小值2()f x ，并且依据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1x e f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =肯定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）【思路点拨】（1）求出导数，由条件1()03f '=，解出a ，并检验是否为极值即可；（2）求出4a =-的函数的导数，令()0f x '=得512x =±，而12x ≠±．再解不等式，求出单调区间；（3）求出导数，令()0f x '=，争辩1a >时的两根．并求出极值，争辩它们的符号，再争辩当01a <≤时，()f x 的单调性，即可得到a 的取值范围．。
吉林省长春市重点高中2021年高三上学期第一次月考理科数学试题及参考答案
根据题意,分析得当 , 与 相交,在 有两个交点,再根据周期性,作出函数图像,数形结合求解即可.
【试题解析】
解:当 时, 即
当 时,直线 过点 ,此时直线与半圆 相交,
当 时,圆心 到直线 的距离为 ,此时直线与与半圆 相切,
所以当 , 与 相交,在 有两个交点,
因为 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,
A. B. C. D.
3.已知向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,则 ()
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是 上的增函数,又是以 为周期的偶函数的是()
A. B.
C. D.
5.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数.若 为真命题,则实数 的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若 , , ,则 ､ ､ 的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(-∞,a)单调递减,则a的取值范围是()
A.(－∞,－1]B.(－∞,2]C.[5,＋∞)D.[3,＋∞)
8.已知函数 则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
9.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)()
吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中) 数学(理)含答案
目要求。
1. 已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数
①
；②
；③
A. 0
B. 1
3. 下列向量中不是单位向量的是
A.
C. 2 B.
D. 3
C.
D.
4. 为了得到函数 A. 向左平移 个单位 C. 向左平移 个单位
所以
是首项为 ，公比 的等比数列.......................................8 分
所以
18【解析】 （1）由题得，
...........................10 分
7
……………………………………………………4 分
令
，得
所以，函数 的对称中心为
…………………………………6 分
（2）由（1）知
，因为
则 两点间的最小距离为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
数列 前项和为 且
，
（I）求 （II）求
的通项公式； 值.
3
18．（本小题满分 12 分）
已知函数
，
（I）求函数
的对称中心；
（II）若存在
，使不等式
， 成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）
在
中，
分别是内⻆
的对边，
，
（I） 求⻆的大小；
（II）若
，且
吉林省2021届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(有答案)
吉林省2021届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1.设集合{}290A x x =-<，{}B x x N =∈，则A B ⋂ ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2.已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A.00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>，3.已知i(R)a b a b +∈，是1i1i-+的共轭复数，则a b +=( ) A ．1-B ．12-C ．12D ．14.已知双曲线22220,0():1x y C a a bb -=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )BD．5.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()200,0102,,x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩6.若(cos )cos2f x x =，则π(sin)12f = ( ) A ． B ． C ．D ．7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．12-2-122A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．413B ．C ．926D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =，且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y +=D.2213616x y +=11.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )AB ．15CD12.已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( ) A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B.()4,3--C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭二、填空题13.已知，2,3a b ==，,a b 的夹角为30︒，()()2//2λa b a b ++，则()()a b a b λ+⋅-=_____________.14.我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为________．15.设O 为坐标原点,(2,1)A ，若点(,)B x y 满足22111201x y x y ⎧+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，则OA OB ⋅的最大值是_______________.16.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_________． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为π,4k x k Z =∈；③()f x 在区间π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；④方程6()5f x =在区间3π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根. 三、解答题17.如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平面PAB ⊥平面ABC ，,D E 分别为AB ，AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．18.某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[)[)[)[)[]0,2020,4040,6060,8080,100，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向 文科方向 总计 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考临界值：“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差()D ξ．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,,n n n a S 成等差数列， ⑴证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；⑵记22log (1)1n n b a =+-，若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值.20.从抛物线2:2(0)C x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21.已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x =+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =．（1）讨论()f x 的单调性； （2）求实数0x 和a 的值； （3）证明()*1ln(21)2nk n n N =>+∈.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线12cos :(2sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xOy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线：2πsin 16:C ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；(2)若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标． 23.【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：()()()1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2---===-++-， ∴()i=i i a b +--=， ∴0,1a b ==， ∴1a b +=， 故选：D. 4.答案：B 解析： 5.答案：C 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：D解析：A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，90后占了56%，故A 选项结论正确； B ．由90后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为39.65%，故B 选项结论正确； C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中90后明显比80前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ． 8.答案：B 解析： 9.答案：A解析：在ABD △中，3,1,120AD BD ADB ==∠=︒，由余弦定理，得AB == 所以DF AB .所以所求概率为2413DEF ABC S S =△△.故选A. 10.答案：A 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：A 解析： 13.答案：1 解析： 14.答案： 解析： 15.解析：16.答案：①②④ 解析：17.答案：（1） 连接PD ．因为PA PB =，所以PD AB ⊥．因为//DE BC ，BC AB ⊥， 所以DE AB ⊥．又PD DE D ⋂=，所以AB ⊥平面PDE ．而PE ⊂平面PDE ，所以AB PE ⊥． （2） 因为 平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ，PD AB ⊥，所以PD ⊥平面ABC ，则以 D 为原点建立空间直角坐标系，如图：所以()1,0,0B，(P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(1,0,PB =，30,,2PE ⎛= ⎝．设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，所以0,30,2x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令z =，得(1n =．DE ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的法向量为()20,1,0n =．由图知1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅，由图知1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅，所以60θ=，即二面角 A PB E --的大小为60．解析：18.答案：解：(1)由频率分布直方图可得分数在[)60,80之间的学生人数为0.012 52020050⨯⨯=，在[]80,100之间的学生人数为0.007 52020030⨯⨯=，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为又22008050304016.498 6.631208011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为8022005p ==. 依题意知23,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以322()C 13(0,1,2,3)55P i i i ξ⎛⎫⎛⎫==⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为 所以期望()5E np ξ==，方差18()(1)25D np p ξ=-=. 解析：19.答案：⑴证明：因为n ，,n n a S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①所以11(1)2(2)n n S n a n --+-=≥.②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121(2)n n a a n -+=+≥.又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=，故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-.（2）根据（1）求解知，()22log 121121nn b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为1231,3,7a a a ===，456715,31,63,127a a a a ====，8255a =，64106107127,211,213b b b ===，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()7127212107(1213)107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- 281072911202=-+=.解析：20.答案：解：（1）因为232p MF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ①则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，②由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点， 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ，又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上，即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。
2021年高中毕业班第一次调研测试数学(理)试题 含答案
2021年高中毕业班第一次调研测试数学（理）试题 含答案考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上） 1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 已知复数（是虚数单位），，则 A. B. C. D.3. 如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. ?B. ?C. ?D. ?4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B.C. D.5. 设，，，则、、的大小关系为 A. B. C. D.6. 在正项等比数列中，已知，，，则A. 11B. 12C. 14D. 167. 直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，，则的外接圆的面积为A. B. C. D.8. 给定命题：函数和函数的图像关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值. 下列说法正确的是俯视图A. 是假命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题9.若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.10.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是A. B. C. D.11.如图，等腰梯形中，且，设，，以、为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以、为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则A. 当增大时，增大，为定值B. 当增大时，减小，为定值C. 当增大时，增大，增大D. 当增大时，减小，减小12.对于非空实数集，记. 设非空实数集合、满足：，且若，则. 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).13. 若实数满足11211x y x y x ⎧⎪⎪-+⎨⎪+⎪⎩≤≤≥≤，则的取值范围是____________. 14. 中，、、分别是角、、的对边，若，且，则的值为____________.15. 若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则____________.16. 定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是____________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 函数()sin()(0,0,)()22f x A x A x ππωϕωϕ=+>>-<<∈R 的部分图像如图所示. ⑴ 求函数的解析式；⑵ 当时，求的取值范围.18. （本小题满分12分） 数列的前项和是，且.⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 记，数列的前项和为，证明：. 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． ⑴ 证明：平面；⑵ 求直线与平面所成角的正弦值；⑶ 在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，其左、右焦点分别为、，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点.⑴ 求椭圆C 的方程；⑵不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分） 已知函数，且.⑴ 若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；⑵ 当时，求函数的最小值；⑶ 在⑴的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ． ⑴ 求证：； ⑵ 求证： 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.⑴求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；⑵设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数.⑴当时，求函数的定义域；⑵若函数的定义域为，试求的取值范围.xx年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. B3. A4. A5. A6. C7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1.B由可得，又中，则即，则，因此，故选B.2. B 由题意可知：2222221(1)1212341(1)(1)11155 ai ai ai a a ai iai ai ai a a a-----===-=-+++-+++，因此，化简得，则，由可知，仅有满足，故选B.3.A由于要取，，中最大项，输出的应当是，，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.4. A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为()(281111223236Vππ+⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯+=⎪⎝⎭，故选A.5.A由题意可计算得；6.1312122111103332xb x dx⎛⎫⎪⎛⎫⎪=-=-=--=⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎰；7.，综上，故选A.8.C由与可得，，因此，所以，故选C.9.B由题意中，，由正弦定理可知，由此，，故选B.10.B命题中3cos(2)cos(2)cos[(2)]44224y x x xπππππ=-=--=--与关于原点对称，故为真命题；命题中)sin2cos22sin24y x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭取极小值时，，则，故为假命题，则为假命题，故选B.11.D2142(2)228y xx y x yx y x y⎛⎫+=++=+++≥⎪⎝⎭，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，，解得，故选D.12.C当时，，，三点为等腰三角形的三个顶点，其中，，从而圆心到直线的距离为1，此时；当时，又直线与圆存在两交点，故，综上的取值范围为，故选C.13.B由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率14.设则，，，15.，，16.时，当增大，减小，导致减小.17.121e e⋅==. 故选B.18.C对于②，假设，则，则，因此②错误；对于③，假设，则，又，则，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 3 15. 16. 604简答与提示：19. 由题可知，即为求区域内的点与点连线斜率的取值范围，由图可知.20. 由正弦定理与余弦定理可知，可化为，化简可得，又且，可计算得.21. 设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.22. 由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得，，所以，则；将代入得，而，所以，因此函数；(6分)(2) 由于，，所以，所以的取值范围是. ( 12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)由题 ①②①-②可得，则. (3分)当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此. (6分)(2)， (8分) 所以21111111()22(2)4(2)82n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++， (10分) 11111111111113()(1)81324112821216n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++ (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) ，且O 为中点，，又侧面底面，交线为，，平面.(4分)(2) 如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、所在直线为x 、y 、z 轴，建立空 间直角坐标系，则由题可知，，，.，令平面的法向量为，则，而，，可求得一个法向量，所以1111|||cos ,|7||||2n AC AC n n AC ⋅<>===⋅⨯， 故直线与平面所成角的正弦值为.(8分) (3) 存在点为线段的中点.证明：连结交于点，连结、，则为的中点，从而是的一条中位线，，而平面，平面，所以平面，故的中点即为所求的点. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设，由可知 ①(1分)又，，即 ② (2分)①代入②得：. 又，可得，故所求椭圆方程为 (4分)(2)设直线，代入，有.设，则. (6分)若轴上存在定点满足题设，则，，21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+-+++++ (9分)由题意知，对任意实数都有恒成立，即对成立.解得， (11分)在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得： 22()()(22)(22)x x f x e ax x e ax x '''=⋅--+⋅--22(22)(22)()(2)x x x e ax x e ax ae x x a =--+-=-+； (2分)(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得； (4分)(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.从而函数在和上单调递增，在上单调递减.当时，即时，函数在上为减函数，；当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， .综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为. (8分)(3) 令，显然，则.构造函数，.令得，，，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值. 当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点. 函数的大致图像如图所示：根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线与函数的图像有三个公共点.因此或，即或，从而的取值范围是. (12分)22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD为⊙M的直径，连接，则，，由点G为弧BD的中点可知，故∽，所以有，即. (5分)(2)由(1)知，故∽，所以，即(10分)23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于：由，得，进而；对于：由（为参数），得，即.(5分)(2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当时，，由得或或，解得或．即函数的定义域为{x|或}. (5分)(2) 由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为.(10分)24893 613D 愽32846 804E 聎V31422 7ABE 窾37396 9214 鈔VI37311 91BF 醿34547 86F3 蛳29274 725A 牚27850 6CCA 泊26148 6624 昤39543 9A77 驷。
2021届吉林长春市普通高中高三上质监一数学理试卷
在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 的极坐标方程为 ，求 与 的公共点的极坐标.
参考答案
1．B
【解析】
因 ，故复数 对应的点在第二象限，应选答案B．
2．C
【解析】试题分析：由已知 ，则 ，故选C.
考点：集合运算.
【易错点睛】（1）认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.
（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
（3）防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
3．D
【详解】
试题分析：由已知， 的边长为1， ，所以 ， ，则 ，故A错，
因为 ， 故B,C错
故选Байду номын сангаас.
考点：平面向量数量积运算.
【方法点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
吉林省吉林市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
吉林省吉林市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交【答案】D【解析】【分析】 通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误.【详解】 根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D. 【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】 列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i=≤满足，执行第一次循环，()120111S=+-⨯=-，112i=+=；28i=≤成立，执行第二次循环，()221123S=-+-⨯=，213i=+=；38i=≤成立，执行第三次循环，()323136S=+-⨯=-，314i=+=；48i=≤成立，执行第四次循环，()4261410S=-+-⨯=，415i=+=；58i=≤成立，执行第五次循环，()52101515S=+-⨯=-，516i=+=；68i=≤成立，执行第六次循环，()62151621S=-+-⨯=，617i=+=；78i=≤成立，执行第七次循环，()72211728S=+-⨯=-，718i=+=；88i=≤成立，执行第八次循环，()82281836S=-+-⨯=，819i=+=；98i=≤不成立，跳出循环体，输出S的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D.【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题 4．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2CD ．3 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =， 所以，00b y x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-， 所以，双曲线的离心率为2e =.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.5．复数2i z i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知全集，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得， ∵， ∴． 故选C ．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=4441515=55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．120 【答案】C【解析】【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以210199n =-=故选：C.【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.8．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC．D【答案】B【解析】【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线b y x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率. 【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bc b a a k c a b-==-=-，222b a ∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 9．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆，但要去掉两个点B ．椭圆，但要去掉两个点C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A【解析】【分析】 根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上.【详解】PB α⊥,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBCAC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上，又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.10．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件 【答案】D【解析】【分析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=m n ，则,0m n =，cos00m n m n m n ⋅==>，得证； 必要性：若0m n ⋅>，则),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 11．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省2021年高考数学一模试卷(理科)D卷
吉林省2021年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·赤峰模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·汉中月考) 若复数的共轭复数满足：，则复数等于（）A .B .C .D .3. （2分）设，向量且，则（）A .B .C . 2D . 104. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A . 24B . 18C . 12D . 95. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知等差数列有无穷项，且每一项均为自然数，若75，99，235为中的项，则下列自然数中一定是中的项的是（）A . 2017B . 2019C . 2021D . 20236. （2分）已知a=0.40.4 ， b=1.20.4 ， c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . a＜b＜cD . a＜c＜b7. （2分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，则该正三棱柱的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分）阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分）已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·安阳月考) 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高三上·泰州月考) 重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·莆田期末) 曲线y=x•ex在x=1处切线的斜率等于（）A . 2eB . eC . 2D . 1二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高二下·浙江期末) 如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n=________，展开式中的常数项为________14. （1分）(2017·重庆模拟) 已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为1，则m的值是________．15. （1分） (2019高二上·荔湾期末) 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点．△ 的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．16. （1分）(2020·连城模拟) 已知数列为等比数列，，则 ________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高二下·嘉兴期末) 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18. （15分） (2018高二下·牡丹江月考) 某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0100.0050.0012.072 2.7063.841 6.6357.87910.828（参考公式：，其中）（1）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（3）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.19. （10分）(2020·扬州模拟) 如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记 .（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.20. （5分） (2016高二上·绍兴期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点M到左焦点F1的距离的最大值为 +1 （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线L的斜率为k，且过左焦点F1 ，与椭圆C相交于P、Q两点，若△PQF2的面积为，试求k的值及直线L的方程．21. （10分）(2018·淮北模拟) 已知函数．（1）若函数在内有极值，求实数的取值范围；（2）在（Ⅰ）的条件下，对任意，，求证：．22. （10分） (2018高二下·临汾期末) 直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为 .（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.23. （10分） (2018高二下·泰州月考) 已知函数 ,函数（1）若 ,求不等式的解集;（2）若对任意 ,均存在 ,使得成立,求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。